punktów ciała w dowolnej fazie deformacji. W chwili początkowej, tuż przed przyłożeniem obciążenia, mamy oczywiście (1)

Transkrypt

1 Wyład II STAN ODKSZTAŁCENIA Przeeszczena odształcena Oznaczy przez B obszar zaowany przez analzowane cało w chwl początowe a przez b przestrzeń zaowaną przez ne w dowolne faze proces deforac Na rysn oznaczono: współrzędne ateralne pntów cała współrzędne oreślaące położene pntów cała przed obcążene ξ współrzędne przestrzenne pntów cała współrzędne oreślaące położene pntów cała w dowolne faze deforac W chwl początowe tż przed przyłożene obcążena ay oczywśce Wetor r r ξ ( r ( ξ e ( ξ e ( ξ e ( ξ e ( nazyway wetore przeeszczena Stan przeeszczena cała będze znany eśl znane będą fnce wążące współrzędne ateralne ze współrzędny przestrzenny ξ r r

2 ξ ξ ( ( ξ ξ ξ Sładowe wetora przeeszczena ożey przetawć ta ( ξ( będzey wtedy ówl o opse ateralny lb ta ( (4 ξ ξ ξ ξ ( ξ ξ (5 ( ξ W ty przypad ay do czynena z opse przestrzenny Marą odształcena oże być zana odległośc poędzy sąsedn pnta cała Jeśl odległośc poędzy dowolny pnta cała ne legły zane to cało to ne legło żadny deforaco choć ogło sę przeeścć ao cało sztywne Nech oznacza odległość ędzy pnta A B pnta cała w onfgrac początowe a odległość ędzy pnta a b pnta cała w onfgrac atalne Jeżel położene pntów wybrano ta a to poazano na rysn to d d dξ dξ (6 Za arę odształcena przyey różncę wadratów dłgośc odcnów eleentarnych t dξ dξ d d (7 Przyy dale że stosey ops ateralny tzn że za zenne nezależne przyey współrzędne ateralne A zate

3 ( d d ξ ξ ξ (8 Ta węc d d d d d d d d d d d d d d ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (9 ale ( ( ξ ( ξ ( analogczne ξ ( May zate d d d d ( Ostateczne otrzyey (po dozwolone zane ndesów d d G (4 Welość dwwsaźnową wydzeloną nawase oznaczy przez G gdze ( G ' ' ' ' (5 est tensore odształcena GreenaSant-Venanta

4 4 Gdyby powtórzyć to sao wyprowadzene z wyorzystane ops przestrzennego otrzyalbyśy arę deforac w postac tensora odształceń Alansego: A ξ ξ ξ ξ ( ' ' ' ' (6 Dale rozpatrywać będzey edyne probley w tórych przeeszczena są newele a loczyny gradentów przeeszczeń są poalne ałe wobec saych gradentów Zaast tensora GreenaSant-Venanta (czy tensora Alansego żywać będzey tensor ałych odształceń czyl tensor Cachy ego: ( ' ' (7 Zwąz te noszą nazwę zwązów geoetrycznych albo zwązów Cachy ego Po założen ałych odształceń zna różnca poędzy opse ateralny a opse przestrzenny Pochodna ' oznaczać będze zależny od współrzędnych ateralnych wszyste welośc Można poazać że sładowe stotne są sładowy tensora o walenc Ta węc (8 est acerzową reprezentacą tensora co ożna poazać rozpatrąc prawo transforac (tego t ne roby Interpretaca sładowych stan odształcena Uowa znaowana Sładowe dagonalne tensora odształcena aą nterpretacę odształceń lnowych (wydłżeń w odpowednch ernach I ta est względny odształcene lnowy włóna leżącego wzdłż os

5 5 est względny odształcene lnowy włóna leżącego wzdłż os est względny odształcene lnowy włóna leżącego wzdłż os Jeśl chodz o owę znaowana to względne wydłżena aą zna pls a względne srócena zna ns Sładowe pozadagonalne dotyczą odształceń postacowych Ich nterpretaca fzyczna est następąca: est połową zany ąta (w radanach poędzy początowo prostopadły włóna leżący wzdłż os os est połową zany ąta (w radanach poędzy początowo prostopadły włóna leżący wzdłż os os est połową zany ąta (w radanach poędzy początowo prostopadły włóna leżący wzdłż os os Za dodatne waża sę zany ątowe powodące zneszene ąta prostego (ąt prosty przechodz w ąt ostry Przyład W pewny cele stan przeeszczena opsą następące fnce: ( [ ] ( ( ( L

6 6 gdze L stałe Wyznaczyć sładowe stan odształcena (sładowe tensora Cachy ego May do dyspozyc zwąz ( ' ' Wyorzystay e ( ( ' ' Można poazać że ta stan odształcena występe w pręce pryzatyczny zwsaący swobodne pod cężare własny

7 7 Transforaca tensora odształcena Prawo transforac tensora o walenc obowąze oczywśce taże w przypad tensora odształcena ' ' ' ' l Stosąc analogczne postępowane a w przypad tensora naprężena ożna też wyznaczyć ern wartośc główne tensora odształcena Uład równań z tórego wyznaczay wartośc główne a postać: z dodatowy warne l ( n (9 n n ( Warne stnena nezerowych rozwązań ład (7 est znane wyznaczna ( det Warne ten prowadz do równana weowego w tóry I I I det I I I ( ( det ( ( Prawdzwa też est onstrca grafczna oła Mohra T na os odcętych należy odładać odształcena postacowe Ich asyalna wartość występe na płaszczyźne nachylone pod ąta 45 o do ernów asyalnych odształceń lnowych I III Analogczne są też wnos wynaące z grafczne onstrc oła Mohra

8 Względna zana obętośc dylataca 8 Rozważy część ontn odształcalnego w postac ost prostopadłoścenne o boach a b c (por rys Obętość te ost przed odształcene est równa V a b c ( Po deforac dłgośc boów ost legną zane Zgodne z nterpretacą sładowych stan odształcena a a b c b c Po deforac obętość zen sę na ste zany dłgośc boów (ałe odształcena postacowe ne wpłyną na zanę obętośc dlatego t e poay będze równa V ( a a ( b b ( c c a( a b c( a b c( a b c( b( b( po ponęc nesończene ałych wyższego rzęd podreślonych w powyższy wyrażen Względna zana obętośc (dylataca będze równa śladow tensora odształcena V V V V V a b c( a b c a b c (5 (4 Warn nerozdzelnośc Załóży że znay 6 sładowych tensora odształcena na te potawe próbey wyznaczyć trzy sładowe wetora przeeszczena Ze zwązów Cachy ego ay W szczególnośc ( ' ' (6

9 9 ' ' ' (7 Scały te zwąz d d d F ( F ( F ( Ze zwązów Cachy ego wynaą ponadto następące zależnośc ( ' ' ( ' ' ( ' (8 ' (9 Wyorzystay perwszy z tych zwązów potawaąc za to co otrzyalśy powyże F ( F ( d d Aby pozbyć sę neznanych fnc F F zróżnczy powyższy zwąze po po Po zróżnczowan po otrzyay F ( ' d ' a po zróżnczowan po ' ' ' ( Ta otrzyalśy perwszą z zależnośc tóry szą być zwązane sładowe tensora odształcena Jest ch raze sześć ogólne ożey e zapsać ta: e e ln l ' n ( e Rozpszy ten zwąze przyładowo dla Otrzyay e ' ' ' e e ' ' e e ' e e ' czyl zwąze wyprowadzony powyże Wyprowadzone zależnośc poędzy sładowy stan odształcena to równana nerozdzelnośc albo zwąz de Sant Venanta ( ( (4

10 Równano nerozdzelnośc ożna nadać oreśloną nterpretace geoetryczną Jeśl w stane początowy wyróżny podobszary w postac reglarne sat to po deforac ta sata legne zneształcen ale wszyste podobszary nadal będą ścśle przylegały do swoch sąsadów sprzed deforac Wylczona est sytaca poazana na rys c III ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE Cachy założył ta przyey za n że sładowe stan naprężena pozostaą w lnowy zwąz ze sładowy stan odształcena σ Cl l (5 gdze C l est tensore stałych aterałowych Zgodne z regłą loraz est to tensor o walenc 4 Posada on 8 sładowych choć tylo część z nch est nezależnych Z syetr tensora naprężena wyna że Warne syetr spełna też tensor odształcena σ σ (6 C l C l (7 l l (8 C l C l (9

11 Wobec powyższych warnów syetr blans nezależnych eleentów wygląda następąco C C 6 C 6 C 6 C 6 C 6 (4 l 6 l l l l l Jeśl dodatowo założyy stnene fnc energ odształcena W w postac W C l l (4 tae że oraz załadaąc syetrę fory wadratowe dostaney dodatowy warne W σ (4 Cl l (zawsze to ożey zrobć C l C l (4 Teraz lczba nezależnych stałych sprężystośc będze równa C l 6 Cl 5 Cl 4 Cl Cl Cl (44 W nabardze ogólny przypad cała anzotropowego występe raze nezależnych stałych W przypad aterał zotropowego t taego tórego własnośc są ednaowe we wszystch ernach sładowe tensora C l ne pownny zależeć od ern czyl ne pownny sę zenać przy transforac Nabardze ogólną postać tensora zotropowego czwartego rzęd ożna tworzyć z tensora zotropowego drgego rzęd (est n w sposób następący Cpql Ms być spełnony warne syetr ν λ pq l pl q p ql (45 µ C pql C pql (46 z tórego otrzyay λ pq l µ ν λ µ ( pl q p ql ν( pl q p ql ( µ ν( pl q pl q p ql p ql pq l µ p ql ν pl q (47

12 Warne ten będze spełnony dla dowolny wsaźnów p l q tylo wtedy gdy C pql µ ν (48 µ ( λ pq l pl q p ql (49 Ta wyazalśy że tensor stałych aterałowych wyraża sę tylo przez dwe stałe nezależne λ µ tóre noszą nazwę stałych Laego Zwąze onstyttywny dla aterał zotropowego przye w ty przypad postać następącą lb po dalszych przeształcenach [ λ µ ( ] σ pq pq l pl q p ql l (5 Zeńy eszcze wsaźn µ pq σ pq λ pq (5 Zwąze ten wyraża ogólnone prawo Hooe a Można go odwrócć σ λ µ (5 σ µ λ σ µ λ (5 Jeśl zaast stałych Laego wprowadzy tzw stałe nzynerse t odł Yonga E współczynn Possona ν orzystaąc z wzaenych zależnośc E ν ( ν ( ν E µ G ( ν λ (54 to otrzyay albo po odwrócen σ E ν ν ν [( ν σ ν σ ] E (55 (56