Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013

Transkrypt

1 Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy też o podane numeru grupy Prosmy o sprawdzene czy telefon komórkowy jest wyłączony a kalkulator nne pomoce naukowe np tablce matematyczne) schowane W raze wątplwośc prosmy o kontakt z asystentem Zadane 1 Zapsz równane z + z x y w zmennych ξ x η y x +y x +y Rozw azane: Wemy że gdze z zx y) Wȩc x ξ x ξ + η x η y ξ y ξ + η y η x y x x + y ) ξ + xy x + y ) η η ξ ) ξ ηξ η Z tego wynka że y xy x + y ) ξ + y x x + y ) η ηξ ξ + η ξ ) η z x η ξ ) ξ ηξ η ) η ξ ) z ξ ) z ηξ η z x η ξ ) z ξ +4η ξ z η ηη 3ξ ) z η +ξ 3η +ξ ) z ξ +4ηξξ η ) z ξη Natomast z y ηξ ξ + η ξ ) ) ηξ z η ξ + η ξ ) z ) η z y η ξ ) z η +4η ξ z ξ +ηη 3ξ ) z η ξ 3η +ξ ) z ξ 4ηξξ η ) z ξη Wówczas z x + z y η + ξ ) ) z ξ + z η z ξ + z η Zadane Wyznaczyć zbadać punkty krytyczne funkcj zx y) nejawne zadanej równanem: z 3 + z + xz x x y) + 3

2 Rozw azane: by znaleźć punkty krytyczne musmy rozw zać układu z x z y F x y z) z3 + z + xz x x y) + 3 w punktach gdze F/z czyl kedy z można przedstawć jako z zx y) za pomoc a funkcj F by oblczyć z/x z/y korzystamy z wzorów: F z x x F z F z y y F z To prostsze nż oblczyć zx y) za pomoc a F x y z) oblczyć jej pochodnȩ wyrażena z zx y) może być bardzo skomplkowane) Z powyższych wzorów wdać że punkty krytyczne funkcj z zx y) s a punktam x y ) takm że punkt x y z ) dla pewnego z jest rozw azanem równań: F x 8x 4y x 1)z 1 + x ) F y 4x + y F x y z) F/z Z drugego równana x y Z tego perwszego wynka że x {1 1} albo z Korzystaj ac z F x y z) zauważamy że F x y x ) 3 Wȩc ne stnej a rozw azana tego układu z z Natomast dla x 1 mamy y z 3 + z + 3 czyl z 1 Jednoczesne dla x 1 mamy że y z 3 3 Ponadto F z 1 + x 1 + x + 3z F 5 z P1 Podsumuj ac funkcja zx y) ma punkty krytyczne F z P P 1 1 ) z1 ) 1) P 1 ) z 1 ) 3 3)

3 Przyanalzużemy czy take punkty s a maksmum mnmum czy punktem sodła Muszmy oblczyć macerz Hessana: Przypomnamy że Skoro z F x x to macerze Hessana s a F z z x z xy z x 8 + 4xx 3)z 1 + x ) 3 P 1 ) ) z xy z y z F y y F z z y z F xy xy F z z xy 4 P ) Wdać że dla perwszego punktu czyl 1 ) to D 1 < D > Wȩc to localne maksmum z 1 Dla drugego punktu 1 ) mamy że D 1 > D < To punkt sodła Zadane 3 Oblczyć objętość częśc na które podwójny stożek x + y a b rozcna elpsodę x + y + z 1 a b c Rozw azane: Korzystamy z współrzȩdnych elptycznych r θ φ): x a r cos φ sn θ y b r sn φ sn θ z c r cos θ gdze r > φ [ π) θ [ π) W tych współrzȩdnach mamy że x a + y b z c r sn θ r cos θ θ π/4 x a + y b + z c 1 r 1 Punkty przecȩce mȩdze takym bryłyam spełnaj a że x x a + y b + z 1 r 1 c ) z c a + y z b c r sn θ r cos θ θ π/4 Wdać że górna czȩsc przecȩca jest take że r 1] φ [ π) θ [ π/4) Wówczas objȩtość przecȩca jest dxdydz J xyz rφθ drdφdθ 1 π/4 π J xyz rφθ drdφdθ

4 Łatwo oblczyć że x x J xyz rφθ r φ y y r φ z r z φ x θ y θ z θ Wȩc objȩtość górnej czȩsc przecȩca to 1 π/4 dxdydz abc r dr sn θdθ Objȩctość całego przecȩca to dwa razy tyle a cos φ sn θ ar sn φ sn θ ar cos φ cos θ b sn φ sn θ br cos φ sn θ br sn φ cos θ c cos θ cr sn θ π dφ π 3 abc[1 cos π/4] a b c r sn θ Zadane 4 Znaleźć rozw azane ogólne równana różnczkowego: sn x cos y dy dx cos x sn y Podać rozw azane szczególne spełnaj ace warunek pocz atkowy y) π Rozw azane: Ps ac równane w postac cos y dy sn y cos x dx sn x wdać że to równane w rozdzelnych zmennych Sprawdzamy kedy manownk po prawej strone sȩ zeruje To może prowadć do rozw azań szczegółowych Manownk sȩ zeruje gdy sn y czyl kedy y kπ k Z Wdać że to s a rozw azana szczegółowe równana W szczególnośc y π to rozw azane szczegółowe które spełna że y) π Wȩc to rozw azane szczegółowe spełnaj ace wymagany warunek zadana Gdy sn y mamy że y cos y dy sn y Wówczas x cos x dx sn x + C log sn y log sn x + C sn y e C sn x sn y λ sn x λ R Jeżel dla z [ 1 1] zdefnujemy arc snz) jako k at ϕ w [ π π] tak że snϕ) z to y arc snλ sn x)+kπ albo π y arc snλ sn x)+kπ k Z λ R Wȩc y arc snλ sn x) + kπ k Z λ R Rozw azana równana wygl adaj a nastȩpuj aco

5 Wdać że ne stnej a szczegółowe rozw azana take że y) kπ dla pewnego k Z Kedy y) kπ rozw azane ne jest jedynem