DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

Transkrypt

1 DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zaaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora. MODEL MATEMATYCZNY pewnego uładu opisany za poocą równań ruchu oraz warunów początowych ożey rozwiązać w dziedzinie czasu i doonać analizy tego rozwiązania. Alternatywną etodą jest przejście do ziennych fazowych - zienna zależna od czasu i jej prędość. Metodę płaszczyzny fazowej stosujey głównie do uładów o jedny stopniu swobody. W uładzie autonoiczny czas nie występuje jawnie w równaniach ruchu, np.: 3 (t)+c (t)+ (t)+ (t)=0 Przyład uładu nieautonoicznego: (t)+ (t)=a cos( ω t+ fi) Uład zachowawczy to tai, tóry w czasie ruchu zachowuje swoją całowitą energię, zate w uładzie nie a tłuienia i sił zewnętrznych. Ogólna postać taiego uładu: (t)+ F ( )=0

2 OSCYLATOR HARMONICZNY NIETŁUMIONY reprezentacja drgań na płaszczyźnie fazowej (t)+ (t )=0, >0, >0 (t) Liczyy energię potencjalną uładu całując siłę potencjalną sprężystości po odształceniu (czyli liczyy pracę wyonaną podczas rozciągania lub ścisania sprężyny, a praca ta zaienia się w energię zagazynowaną w sprężynie): [ ] z E p = dz= = 0 0 Zauważay przy oazji, że siła w sprężynie jest pochodną energii de potencjalnej uładu F s== p =K 'p d Podobnie postępujey wyznaczając energię inetyczną uład - licząc pracę siły bezwładności (dla uproszczenia użyto tu całi nieoznaczonej i poinięto stałą całowania) dv d= v dv = v dt Ponieważ uład ten jest zachowawczy, ożey zapisać: E = d= v d= E =E p =const v + = v + = Stała jest całowitą energią uładu i zależy od warunów początowych. Ruch uładu przedstawić zate ożey na płaszczyźnie fazowej (przeieszczenie, prędość). Dla wybranych warunów początowych otrzyujey trajetorie eliptyczne paraetryzowane czase. v środe/centru (stateczne położenie równowagi)

3 (t)+ (t )=0, >0, <0 Analogicznie ja w poprzedni przyładzie otrzyay trajetorie v = opisane wzore v siodło (niestateczne położenie równowagi) Przy oazji zwracay uwagę, że trajetorie fazowe ają pewne szczególne właściwości: - górna półpłaszczyzna zawiera trajetorie o dodatniej prędości, dlatego też trajetorie uszą ta być sierowane w prawo, - dolna półpłaszczyzna zawiera trajetorie o ujenej prędości, dlatego też trajetorie uszą ta być sierowane w lewo, - dla prędości równej zero (oś pozioa) nie zienia się przeieszczenie, dlatego też trajetorie przecinają oś pozioą przeieszczenia pod ąte prosty. OSCYLATOR HARMONICZNY TŁUMIONY (t )+ c (t )+ (t )=0, >0, c >0, >0 (t)+ h (t )+ ω0 (t )=0 c h<ω 0 tłuienie podrytyczne h ω0 tłuienie rytyczne i nadrytyczne ogniso, stateczne położenie równowagi węzeł, stateczne położenie równowagi (spirala logaryticzna) przyładowa trajetoria przyładowa trajetoria (t)

4 RÓŻNE RODZAJE SPRĘŻYN liniowa F( )=, > 0 progresywna F( )= + 3, >0, >0 degresywna F( )= 3, > >0 niesyetryczna F( )= +, > >0 WAHADŁO MATEMATYCZNE EZ OGRANICZENIA MAŁYCH KĄTÓW g g sin ϕ=0 Równanie ruchu: ϕ(t)+ L de p g = sin ϕ d L g E p= cos ϕ L Miniu energii potencjalnej dla: ϕ= 4 π, π, 0, π, 4 π,... - będą to stateczne położenia równowagi (wahadło w dolny położeniu). nieważi pręt o długości L punt aterialny o asie Masiu energii potencjalnej dla: ϕ= 3 π, π, 0, π, 3 π,... - będą to niestateczne położenia równowagi (wahadło w górny położeniu.

5 Po połączeniu, pełen portret fazowy uładu: Zagada: ja wygląda portret fazowy dla uładu: (t)+ c (t)=0, > 0, c >0 OSCYLATOR HARMONICZNY NIETŁUMIONY ZE SPRĘŻYNĄ NIELINIOWĄ (t)+ (t)+ 3 (t)=0 - tego typu zadania nie rozwiążey ateatycznie w sposób ścisły (w sensie wyznaczenia rozwiązania ogólnego (t)). Możey jedna napisać energię całowitą v + + 4=C i doonać analizy trajetorii na płaszczyźnie fazowej. uładu: 4 PRZYKŁAD

6 W dalszej analizie będziey orzystać z fatu, że przebieg energii potencjalnej uładu odzwierciedla charater przebiegu trajetorii fazowych.

7 PRZYKŁAD Sebastian Korcza, atualizacja: atualizacja: