obliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem - różniczka zupełna u i, j =1, 2, 3

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "obliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem - różniczka zupełna u i, j =1, 2, 3"

Zuzanna Kaczmarczyk
5 lat temu
Przeglądów:

1 TEORI STNU ODKSZTŁCENI. WEKTOR RZEMIESZCZENI x u r r ' ' x stan p defrmacj x stan przed defrmacją płżene pt. przed defrmacją ( r) ( x, x, x ) płżene pt. p defrmacj ( r ) ( x, x, x ) przemeszczene puntu u r r wetrwe ple przemeszczeń u u( r). ZMIN ODLEGŁOŚCI MIĘDZY UNKTMI u x x,, u u x x x (,, ) x r d r r + d r u u + d u Q ' Q ' x x stan przed defrmacją stan p defrmacj płżene pt. p defrmacj ( r + u) płżene pt. Q p defrmacj Q ( r + dr + u + du) wadrat dległśc mędzy puntam Q przed defrmacją ds dr dx + dx + dx dx dx wadrat dległśc mędzy puntam ' Q ' p defrmacj r + u + ' Q' r + dr + u + du Q ' ' dr+ du ( ) ( ) ( ) ( )( ) ds dr + du dx + du + dx + du + dx + du dx + du dx + du blczene różncy wadratów dległśc puntów p przed dształcenem - różncza zupełna u du dx j u, j dx j, j,, j

2 TEORI STNU ODKSZTŁCENI (, j j )(, j j ) ds dx + u dx dx + u dx ds ds u dx dx + u u dx dx j, j j,, j u dx dx u dx dx j, j j, j ds ds u dx dx + u dx dx + u u dx dx, j j j, j,, j j (,,,, ) ds ds u + u + u u dx dx j j j j j j ds ds e dx dx ( u + u u u ) e j, j j, +,, j macerz stanu dształcena ( II rzędu, symetryczna ) Macerz stanu dształcena jest TENSOREM Dwód: w "nwym " uładze ( x x x ),,, brócnym wzg. uładu wyjścweg m m ds ds e dx dx dx α dx dx α dx j mj m m m j j j mj m e dx dx e dx dx e α α dx' dx' m mj j e α α e pr. transfrmacj tensra. ODKSZTŁCENI LINIOWE I KĄTOWE wyberamy włóna : Q równległe d s x R równległe d x. Wyznaczyć długśc tyc włóen raz ąt mędzy nm p dształcenu. R x x ' Q β długśc włóen Q, R QR przed dształcenem Q ' R ' Q dx ds R dx QR dx + dx długść włóna p dształcenu ds ds + e dx dx długśc włóen ' Q ', ' R ', Q ' R ' p dształcenu j j Q dx + e ds R dx + e QR ( + e ) dx + ( + e ) dx + 4e dx dx

3 TEORI STNU ODKSZTŁCENI zmana ąta mędzy włónam ' Q ' ' R ' (tw. Carnta, "tw. csnusów") e csβ ( + e)( + e ) ( ) csβ sn π / β π β arc sn e ( + e)( + e ) dształcena lnwe (względna zmana długśc włóna Q) Q Q dx Q ε lm 0 γ Q x ε lm 0 dx Q Q Q Q ne ma sumwana p "" lm + e + e ε Q dształcena ątwe ε lm π β 0 dx dx 0 Q j x j x Q ' β j Q ' ' Q j ε j lm π β ε γ Q Q j j j j ε j Q Q j lm e j arc sn arc sn 4. RÓWNNI GEOMETRYCZNE zwąz mędzy przemeszczenam dształcenam e ( + e )( + e ) ( + e)( + e jj) jj e u + u + u u (,,,, ) j j j j ε + e ε j arc sn są t nelnwe równana gemetryczne e ( + e)( + e jj) j

4 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 4 lnearyzacja równań gemetrycznyc załżene : pcdne przemeszczeń są welścam małym x L / x f L / 50 u L u u u / L <<. / ( x 0 ) WNIOSEK : wadraty pcdnyc przemeszczeń, ja małe wyższeg rzędu mżna pmnąć. dształcena lnwe ( ) ( e ) ε ε + ε + e dształcena ątwe e << e j ε j arc sn dla małyc α arcsn α α ε j e j lnwe równana gemetryczne - równana Caucy'eg ( u, u, ) ε j j + j ε u ε u ε u,,, ε ( u, + u, ) γ ε ε ( u, + u, ) γ ε ε ( u, + u, ) γ ε ε ε ε tensr dształcena T ε ε ε ε ε ε ε 5. KINEMTYCZNE WRUNKI BRZEGOWE ε e lnwe równana gemetryczne ( rów. Caucy'eg ) - 6 równań różnczwyc cząstwyc wzg. neznanyc funcj przemeszczeń ( u, u, ) ε j j + j rzwązane ma pstać : u u + u - cała gólna uładu równań różnczwyc jednrdnyc (psuje stan bezdształcenwy ε j 0 - przemeszczena puntów bryły sztywnej) u u s - cała szczególna uładu równań różnczwyc nejednrdnyc s

5 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 5 elementarne przeształcena algebraczne różnczwe prwadzą d cał gólnej w pstac + u a+ bx + cx u d bx fx u g cx fx Ostateczne trzymujemy zatem rdznę rzwązań 6 parametrac a, b, c, d, f g. arametry te reśla sę z warunów wynającyc ze spsbu pdparca nstrucj. Warun te nszą nazwę nematycznyc warunów brzegwyc. przyłady nematycznyc warunów brzegwyc x x x x B x. u(, ) u(, ) x B. u(, ) u(, ) u (, ) C. u(, ) u (, ) (, ) C u x x u

6 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 6 6. RÓWNNI NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTŁCEŃ - lnwe równana gemetryczne ( rów. Caucy'eg ) ( u, u, ) ε j j + j - 6 równań różnczwyc ze wzg. na newadme funcje przemeszczeń - rzwązane stneje tyl wówczas, gdy mędzy dształcenam zacdzą zwąz zwane równanam nerzdzelnśc. przestawena wsaźnów : + ε ( u u ) j, j + j,, ( u u ) ε j, l, jl + jl, ε l, j, lj + l, j ( u u ) + + ( u u ) ( ) ε, jl, jl, jl ( u u ) ( ) ε jl, j, l l, j ε + ε ε ε 0 j, l l, j, jl jl, lczba równań (lczba 4 elementwyc waracj ze zbru elementweg) wyns 4 8, ale lczba równań nezależnyc wyns 6 nterpretacja gemetryczna ε + ε ε 0,,, ε + ε ε 0,,, ε + ε ε 0,,, ε + ε ε ε,,,, 0, +,,, 0 ε ε ε ε ε + ε ε ε,,,, 0 NIE TK l 7. DEFORMCJ SZEŚCINU JEDNOSTKOWEGO

7 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 7 rblem : Oreślć defrmację sześcanu jednstwyc rawędzac ("braz" puntu materalneg tzn. puntu przypsanej mase).. W uładze współrzędnyc reślnym przez se główne tensra dształcena () + ε () () przed dształcenem + ε + ε p dształcenu długśc rawędz sześcanu jednstweg p dształcenu ε L L L,, zmana bjętśc sześcanu L L + ε,, ( ε )( ε )( ε ) V V V ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε ε + ε + ε ε zmana ątów mędzy rawędzam sześcanu - ne występuje, gdyż dla j, εj0. WNIOSEK : ) zmana bjętśc zwana dylatacją jest równa I nezmennw tensra, jest węc taa sama w ażdym uładze współrzędnyc V ε ε ) ne występuje zmana pstac B. W dwlnym uładze współrzędnyc x x x przed dształcenem p dształcenu długśc rawędz sześcanu jednstweg p dształcenu ε L L L,, zmana bjętśc sześcanu - dylatacja L L + ε,,

8 TEORI STNU ODKSZTŁCENI 8 V ε zmana ątów mędzy rawędzam sześcanu ε π β β π ε j j j j WNIOSEK : ) zmanę bjętśc, nezależne d uł. współrzędnyc psuje I nezmenn V ε ε ) występwane zmany pstac zależy d uładu współrzędnyc. 8. DEWITOR I KSJTOR SYMETRYCZNEGO TENSOR II RZĘDU TWIERDZENIE :ażdy tensr symetryczny II rzędu mżna przedstawć w pstac sumy dwóc tensrów symetrycznyc w pstac : D T T + T t t + t asjatr T t m I t j t mδ j j j D j 00 I T t m t + t + t t m t m t m ( ) dewatr TD T T t t t δ t t t t T D 9. KSJTOR I DEWITOR TENSOR ODKSZTŁCENI D j m t t t m t t t t t m j m j ε ε m ε ε ε m 0 0 D ε ε ε ε ε ε ε m 0 m 0 ε ε ε ε m 0 0 ε m I nezmenn (zmana bjętśc) asjatra dewatra dla asjatra V ε m + ε m + ε m ε m ε + ε + ε dla dewatra V ε + ε + ε ε m 0 WNIOSKI : ) całą zmanę bjętśc psuje asjatr tensra dształcena, ne psuje n zmany pstac ) zmanę pstac psuje dewatr tensra dształcena, ne psuje n zmany bjętśc

Podobne dokumenty

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA J. Wyrwał Wyłady z mechan materałów.. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA... Wetor przemeszczena Rozważmy bryłę (cało materalne) o dowolnym ształce meszczoną w prostoątnym ładze odnesena Ox xx (rys.