Metody rozwiązania ZBTS i proste przykłady

Transkrypt

1 Wyład : Metody rozwiązania ZBTS i proste przyłady Lesze CHODOR dr inż. bd inż.arch. lesze@chodor.co Literatra: [] Timoscheno S. Goodier A.J.N. Theory of lasticity Mc Graw Hill nd Oford 95 [] Piechni S. Wytrzymałość materiałów dla Wydziałów bdowlanych PWN Warszaw-Kraów 98 [] Raowsi G. Macierzowa analiaza onstrcji PWN Warszawa 979 [4] Bower A. Linear lasticity Lectre Notes Division of ngineering Brown University Spring 5 [5] Lebedev L.P. Clod M.J. Tensor Analysis with Applications in Mechanics World Scientific [6] Chodor L. pbliacje własne - różne. [7] Strony www [dostępne lty ] - różne Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

2 Metody rozwiązywania zagadnień Metoda sił: ij j Pi Równania Cachy ego Warni nierozdzielności (eliminjemy przemieszczenia ij ( Równania Hooe a (odształcenia wyrażamy przez naprężenia i w rezltacie mamy związi miedzy naprężeniami (+ Równania Naviera : ład równań tóry zawiera tylo niewiadome fncje naprężeń Metoda Równania Hooe a (naprężenia przemieszczeń: wyrażamy przez odształcenia Równania Cachy ego - ij G i j j i ij rr ij...( i j otrzymjemy naprężenia wyrażone przez przemieszczenia Równania Naviera : ład trzech równań tóry zawiera tylo fncje naprężeń przemieszczeń Metoda mieszane: Kombinacja powyższych metod w zależności od onretnego zadania Technii rozwiązania ZBTS: bezpośrednie trdne matematycznie ( zaawansowany aparat matematyczny równań różniczowych półodwrotne (przypszczania podejście statyczne podejście inematyczne lecz podstawowy sposób minimalizacja fncjonał metodą bezpośrednią + nmerycznie Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

3 Podejście statyczne metody przypszczeń Przypszczamy (zgadjemy macierz naprężeń ale taą tóra spełnia równania Naviera i statyczne warni brzegowe Równania Hooe a dla przyjętych fncji naprężeń obliczamy fncje odształceń. Równania Cachy ego: obliczamy fncje przemieszczeń Podejście inematyczne: przypszczamy fncje przemieszczeń ale taie tóre spełniają inematyczne warni brzegowe i są lasy C Fncje inematycznie dopszczalne. Fncje statycznie dopszczalne. Sprawdzamy równania nierozdzielności odształceń: jeśli nie będą spełnione to nie ma sens dalej zadania rozwiązywać msimy przypścić inną macierz naprężeń Sprawdzamy inematyczne warni brzegowe. Jeśli są spełnione to znaleźliśmy rozwiązanie ZBTS (spełnione są wszystie równania!!! Równania Cachy ego: Obliczamy odształcenia dla przyjętych przemieszczeń. Równania Hooe a obliczamy fncje naprężeń z odształceń. Sprawdzamy równania Naviera : jeśli obliczone naprężenia spełniają te równania i statyczne warni brzegowe to rozwiązaliśmy ZBTS!!! W przeciwnym przypad trzeba poprawić przypszczenie przemieszczeń Uwagi: Mamy możliwość niezbyt precyzyjnego przypszczenia naprężeń (lb przemieszczeń z pewnymi parametrami (salarnymi lb fncyjnymi tóre mogą być dobierane z warn najlepszego dopasowania do równań Cachy ego (lb Naviera na ońc proces rozwiązania. Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

4 [] ij Prawo Hooe a ( i j Równania Cachyego i j Rozwiązanie ZBTS czyste rozciąganie Sformłowanie ZBTS Równania Naviera + statyczne warni brzegowe: + inematyczne warni brzegowe a w twierdzeni O( Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 4 ( ] G [ (analogicznie dla pozostałych fncji odształceń i ij j P ij i j a na pobocznicy: b na ścianach Poprzecznych i ( i = i = l: ( l ( l ( l

5 Rozwiązanie ZBTS czyste rozciąganie (proste siły przerojowa N Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 5 Metoda statyczna: przypszczenie macierzy naprężeń. Na podstawie: analogii do innych rozwiązań obserwacji zachowań się bryły pod obciążeniem pomiar naprężeń na powierzchni bryły INTUICJI przypścić macierz naprężeń: Łatwo sprawdzić że macierz ta spełnia warni równowagi i statyczne warni brzegowe:. Hrra! ] [. obliczyć macierzy odształceń - z równań Hooe a : ] [ 4. obliczenie wetora przemieszczeń - z równań Cachy ego :. sprawdzić warni nierozdzielności (wiążą drgie pochodne odształceń ponieważ e=const więc są spełnione tożsamościowo:. Hrra! Niejednorodny ład równań różniczowych. Rozwiązanie jest smą: ( całi ogólnej (ład jednorodnego i ( całi szczególnej (... s s s 5. Uwzględnić inematyczne warni brzegowe w (+( (. Hrra!!! (ścisłe ( ( ( (... f c g f b d c b a O O O ; ;... ( Zał: P i = []

6 [] ij ( i j.prawo Hooe a Rozwiązanie ZBTS czyste zginanie (proste siły przerojowa M Równania Cachyego i j. Przypszczona macierz naprężeń Sformłowanie ZBTS Równania Naviera +statyczne warni brzegowe: b. Kinematyczne warni brzegowe Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 6 i ij a na pobocznicy ja poprzednio (pręt rozciągany b na ścianach poprzecznych = i = s: Zał: P i = ( ] j P ij i a w twierdzeni O( ja poprzednio (pręt rozciągany G [ (analogicznie dla pozostałych fncji odształceń [ ] ( ( s ( s j s Łatwo sprawdzić że macierz ta spełnia warni równowagi i statyczne warni brzegowe:. Hrra!

7 Rozwiązanie ZBTS czyste zginanie (proste siły przerojowa M Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 7. obliczyć macierzy odształceń - z równań Hooe a : ] [ 4. obliczenie wetora przemieszczeń - z równań Cachy ego całjemy niejednorodny ład równań różniczowych analogicznie ja poprzednio i otrzymamy:. sprawdzić warni nierozdzielności - są spełnione tożsamościowo:. Hrra! 5. Uwzględnić inematyczne warni brzegowe:. Hrra!!! ( f c g f b d c b a g f d c b a W zapisie technicznym: ] [ ] [ ]; [ ] [ ]; [ ] [ l m n w z y ( w y w yz z Przemieszczenia na osi pręta: w ; ; gdzie - parametr obciążenia ( '' ( w Analizjąc zysane rezltaty można wyazać np. prawo płasich przerojów Bernolliego: przeroje płasie w onfigracji początowej pozostają płasie i prostopadłe do giętej osi pręta po odształceni J y M /

8 Rozwiązanie ZBTS zginanie poprzeczne(z działem siły poprzecznej Q yz główne centralne osie bezwładności *pręt nieważi * twierdzony w pt O Założenia:. słszna jest zasada płasich przerojów Bernolliego ( w zginani poprzecznym jest zachowana tylo przybliżeni naprężenia s y i s z są nieporównanie małe w stosn do s (wynia z prostego doświadczenia Z założenia i wynia [] że M ( Jy z [] Ponieważ z równania Naviera wynia: Gdzie fncję c(y dobieramy z warn spełnienia statycznych warnów brzegowych na rawędziach przeroj a dla przeroj prostoątnego bh otrzymamy []. z z z z z ( Wyznaczenie naprężeń stycznych w ogólności jest trdnym zadaniem bo np. zależy od ształt przeroj poprzecznego. Dlatego wyznaczymy naprężenia średnie z warnów równowagi [] (wzór Żrawsiego I Q( S y ( z z dz c( y z( z J yb( z z h ( z Q( S Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 8 z h [] y J y I y h( y ( z

9 Rozwiązanie ZBTS zginanie poprzeczne beli prostoątnej bh [] Sprawdzenie statycznych warnów brzegowych na pobocznicy y=+-b/. Wobec = y = z = i a =a z = i a y =+- mamy y y na pobocznicy y=+-h/. Wobec = y = z =-( i a =a z = i a y =+- mamy ( y yz Warni brzegowe na pobocznicy ściśle spełnione zy z Analogicznie możemy wyazać że warni brzegowe na ścianach czołowych spełnione [] Wniose: macierz naprężeń zpełniona elementem s z! Ściśle spełnia równania Naviera i statyczne warni brzegowe. Hrra! Po obliczeni macierzy odształceń z prawa Hooe a sprawdzamy warni nierozdzielności... Niestety nie są spełnione Ojej!!! : Macierz naprężeń [s] nie jest więc macierzą rzeczywistą a przedstawia tylo zbiór fncji przybliżających rozwiązanie. Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 9

10 Rozwiązanie ZBTS czyste sręcanie (proste siły przerojowa M Sformłowanie ZBTS. Podejście inematyczne obciążenie o ściśle oreślonej gęstości - tylo do czoła redje się do pary [] Zał: P i = Równania Naviera ze statycznymi warnami brzegowymi a na pobocznicy ja poprzednio (pręt rozciągany b na ścianach poprzecznych = i = s: y z ( y( ( z y y zy m m m z yz z n n n Równania Cachyego z inematycznymi warnami brzegowymi Równania Hooe a w twierdzeni S( w w z y y z w. Przypścić fncje przemieszczeń Fncje przemieszczeń przyjmjemy opierając się na obserwacji. [] a at sręcenia Q jednostowy at sręcenia Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

11 Rozwiązanie ZBTS czyste sręcanie (proste siły przerojowa M Pierwsza fncja wetora przemieszczenia założymy w lasie fncji niezależnych od (wszystie przeroje po dłgości pręta deplanją się ta samo w zależności od nieznanej jeszcze fncji - parametr ( y z z w. Sprawdzić inematyczne warni brzegowe. będą spełnione jeśli w pt S( y z. Obliczyć macierz odształceń - z równań Cachy ego. Obliczyć macierz naprężeń- z równań Hooe a y Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności Fncję f należy dobierać ta by te warni były spełnione (parametry dobieramy na ońc zadania 4. Sprawdzić warni równowagi Naviera. Dobrać parametry zależnie od warnów brzegowych Drgie i trzecie równanie Naviera jest spełnione G G tożsamościowo. Natomiast pierwsze przyjmje postać Poazaliśmy więc że fncja paczenia jest fncją biharmoniczną a rozwiązanie ZBTS sręcania sprowadza się do dobor fncji paczenia a ponadto spełniać warni brzegowe tóre można zapisać [] (i wówczas mamy rozwiązanie ścisłe ZBTS y y z z G G ( z y y ( z

12 Metody wariacyjne w teorii sprężystości Istota metod wariacyjnych Więszość zadań TS sprowadza się do rozwiązywania równań różniczowych z warnami brzegowymi co jest często trdne ze względów rachnowych ale też formalnych. Dlatego ważne są metody wariacyjne tóre formłją metody otrzymania rozwiązania przybliżonego z żądaną doładnością. Idea metod wariacyjnych polega na tym że mając zadanie brzegowe często daje się podać wyrażenie całowe I[f] oreślone dla fncji f pewnej lasy tóre przyjmje swoje minimm właśnie dla szanego rozwiązania ZBTS. Rozwiązanie równania różniczowego jest więc równoważne zrealizowani minimm całi I[f]. Problem podstawowy rachn wariacyjnego. Równanie lera Spośród fncji f( przyjmjących na ońcach przedział zadane wartości: f(a=a f(b=b i mających w nim ciągła pochodną znaleźć te dla tórych cała I przyjmje minimm. Z matematyi pamiętamy że jeśli istnieje rozwiązanie f(=y( tj b I[ ] F( ' jeśli istnieje fncja dla tórej cała ma wartość najmniejszą d ( W. to y( msi spełniać ta zwane równanie lera i zadane warni brzegowe a To znaczy z ażdym fncjonałem stowarzyszone jest równanie różniczowe a sposób minimalizacji fncjonał będziemy nazywać minimalizacją pośrednią Problem odwrotny rachn wariacyjnego podstawowy dla ZBTS ' F Posziwać będziemy rozwiązania odwrotnego. Znając warne onieczny (równanie różniczowe ZBTS posziwać będziemy postaci fncjonał i minimalizować go metodą bezpośrednią (czyli całę bez np. metodą Ritza Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności d d F

13 Metody wariacyjne w teorii sprężystości Metoda Ritza minimalizacji fncjonał Metoda Ritza jest najprostszym sposobem szania minimm fncjonał. Niech fncjonał (W. będzie tym dla tórego szamy fncji realizjącej minimm.. Szać będziemy f(w lasie fncji dopszczalnych to znaczy w lasie fncji spełniających warni brzegowe. W metodzie Ritza ograniczamy się do ombinacji liniowej jednomianów fncji Ritza spełniających warni brzegowe. n ( n( ai i( ( W. i Podstawiając (W. do (W. i wyonjąc zaznaczone tam operację różniczowania i całowania otrzymamy fncję n zmiennych a i : I I( a a... an ( W. Z warn oniecznego istnienia estremm I (.. n ( W.4 a Uzysjemy ład równań algebraicznych do wyznaczenia stałych fncji Ritza (W.. Dla celów pratycznych wystarcza względnić jedynie ila sładniów smy (W. a doładność rozwiązania sprawdzamy w ren sposób że mając oreślone fncje f ( i f + (obliczamy ich wartości w wybranych pntach i jeśli różnić się będą mniej od założonej doładności to fncję f ( ważamy za rozwiązanie ZBTS. Odpowiednie fncjonały I[f] dla zagadnień teorii sprężystości oreśla się z zasady prac przygotowanych czyli na bazi metod energetycznych. Do tego cel przydatne jest zredowanie ład równań ZBTS w przemieszczeniach (równania Lamego lb w naprężeniach (Beltramiego- Michela. Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

14 Przyład zastosowania metody Ritza Znaleźć linię gięcia beli ja na rysn metodą Ritza. Ograniczyć się do drgiego przybliżenia. Rozwiązanie:. Warne brzegowy na podporze. Reacja V = N Przemieszczenie w(==v/c=/=67 m. w n ( Linia gięcia beli na sprężystych podporach I I( a a... an ( W.. Rozwiązanie poszjemy w lasie fncji dopszczalnych: gdzie a ( a ( 67. Sprawdzenie spełnienia warnów brzegowych: w n ( 67 w ( 4. Fncjonał Lagrange a dla beli na sprężystym podłoż ze współczynniiem sprężystości np. [] ( z wytrzymałości materiałów przyjmje postać. V l J '' N ' [ w ( ] [ w ( ] [ w( ] ( w( d P w( ' n M ' w ( Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 4

15 Przyład zastosowania metody Ritza Wobec ==M = fncjonał Lagrange a przyjmie postać 5. Zestawienie pochodnych fncji Ritza oraz wyrachowanie fncjonał ' '' J '' N ' [ w ( ] [ w ( ] d P w( V w ( a a w ( a a w ( a 6a l Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 5

16 Przyład zastosowania metody Ritza 6. Pochodne i warne minimm fncjonał V a V a 7. Przybliżona linia gięcia beli Doładność aprosymacji można oszacować zwięszając rząd wielomian aprosymacyjnego do III przybliżenie np. poprzez przyjęcie Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 6 4

17 Zastosowanie metody różnic sończonych. Miejsce metody różnic sończonych (MRS w teorii sprężystości (TS Idea MRS została zaproponowana jż przez Carla Fridricha Gassa lecz dopiero w erze ompterowej znalazła ona szersze zastosowanie. Jest to ogólna metoda rozwiązywania równań różniczowych. Polega ona na zastąpieni równania różniczowego ładem równań różnicowych więc w sprowadzeni problem do rozwiązywania ład równań algebraicznych lb do problem wartości i wetorów własnych macierzy. Jest metodą pojęciowo prostą lecz trdną do niwersalnego zalgprytmizowania szczególnie w obszarze warnów brzegowych. Dlatego została pratycznie zastąpiona przez metodę elementów sończonych (MS. W niniejszym wyładzie metodę poażemy ze względ na wartość historyczną ale też możliwość szybiego zastosowania (bez potrzeby znajomości zawiłych teorii pratycznie w ażdym indywidalnym przypad zagadnienia inżyniersiego. Najprostsze w zastosowani są różnice centralne choć oprócz różnic centralnych istnieje wiele metod aprosymacji pochodnych przez ilorazy różnicowe. W ogólności a doładność wyniów MRS zależy od sposob aprosymacji pochodnych oraz sposob podział rozpatrywanego obszar na elementy. MRS słży do rozwiązywania równań różniczowych ale poazjemy ją dla porząd bez zbytnich szczegółów.. Różnice centralne [] [] Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 7

18 Zastosowanie metody różnic sończonych. Różnice centralne cd [] Wybrane wzory różnicowe... Politechnia Świętorzysa Lesze CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 8