Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
|
|
- Kinga Marciniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 1 / 15
2 Obliczanie momentów bezwładności Przyład: Znajdź sładowe tensora momentu bezwładności jednorodnej płyty o masie M i boach 2a oraz 2b. Względem środa masy G: x 3 I 11 = 1 3 Mb2 I 22 = 1 3 Ma2 ta ja dla pręta ta ja dla pręta I 33 = I 11 + I 22 = 1 3 M(a2 + b 2 I 12 = I 23 = I 31 = 0 Względem puntu C: I 11 = 1 3 Mb2 + Mb 2 = 4 3 Mb2 I 22 = 1 3 Ma2 + Ma 2 = 4 3 Ma2 I 33 = I 11 + I 22 = 4 3 M(a2 + b 2 I 12 = 2a 2b dx 1 dx 2 (σx 1 x 2 = 4σa 2 b 2 = Mab G b a x 2 D x 1 I G = 1 b M 0 a a 2 + b 2 I C = 1 4b 2 3ab 0 3 M 3ab 4a (a 2 + b M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 2 / 15 C x 3 2b x 2 2a x 1
3 Obliczanie momentów bezwładności Przyład: Tensor bezwładności względem puntu G w uładzie obróconym względem osi Gx 3 ta aby nowa oś Gx 1 porywała się z linią GD. 2a I G = A I G A T M 2 b 2 ab(a 2 b 2 0 = ab(a 2 b 2 a 4 + b 4 0 3(a 2 + b (a 2 + b 2 2 gdzie A jest odpowiednią macierzą obrotu. Przyład: Energia inetyczna płyty obracającej się woół osi GD z prędością ątową λ. T = 1 2 ωt I G ω = 1 λ cos 2 (λ cos, λ sin, 0 I G λ sin = Ma2 b 2 λ 2 3(a b 2 T = 1 2 ω T I G ω = 1 λ 2 (λ, 0, 0 I G 0 = Ma2 b 2 λ 2 3(a b 2 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 3 / 15
4 Uogólnione twierdzenie Steiner a Rozważamy dwa ułady współrzędnych związane z ciałem: uład Ox 1 x 2 x 3 związany ze środiem masy X 3 x 3 oraz inny uład QX 1 X 2 X 3 o odpowiednio równoległych osiach i przesuniętym początu: R O r x = a + r. 2 a R x 1 Q X I 2 ij = ( m δ ij (x + a 2 (x i + a i (x j + a j = X 1 = ( m δ ij x 2 x i x j + + ( m δ ij (2x a + a 2 (a i x j + a j x i + a i a j = = I ij + ( m δ ij a 2 a i a j + ( m 2δ ij x a a i x j a j x i = = I ij + ( m δ ij a 2 a i a j = I ij + M(a 2 δ ij a i a j M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 4 / 15
5 Osie główne bezwładności Twierdzenie: Każdą macierz symetryczną można zdiagonalizować a pomocą ortogonalnej transformacji podobieństwa A T A T. Wniose: W dowolnym puncie O bryły sztywnej można wybrać tzw. osie główne, tóre definiują uład współrzędnych w tórych tensor momentu bezwładności jest diagonalny. W uładzie oreślonym przez osie główne, moment pędu i energia inetyczna bryły sztywnej względem stałego (nieruchomego puntu O mają postać: L O = (I 1 ω 1 ê 1 + (I 2 ω 2 ê 2 + (I 3 ω 3 ê 3 T = 1 ( I1 ω1 2 + I 2 ω2 2 + I 3 ω Uwaga: Identyczne relacje zachodzą w dowolnym ruchu bryły sztywnej względem środa masy G Znajdowanie osi głównych w oparciu o symetrie: jeśli ciało posiada symetrię ze względu na odbicie w płaszczyźnie przechodzącej przez O, wówczas linia prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez O jest jedną z osi głównych, O M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 5 / 15 G
6 Osie główne bezwładności jesli ciało posiada symetrię rotacyjną względem osi przechodzącej przez O, to ta oś jest osią główną. Z równania ruchu względem osi głównych d dt (I O ω = K O wynia, że pod wpływem tych samych sił zewnętrznych ciała tóre mają taie same główne momenty bezwładności poruszają się ta samo. Ze względu na geometrię ciał rozróżniamy następujące dynamiczne symetrie: I 11 I 22 I 33 ciało dynamicznie niesymetryczne (np. prostoąt, I 11 = I 22 I 33 ciało dynamicznie osiowo symetryczne (np. ostrosłup, Ciało tóre posiada symetrię obrotową rzędu co najmniej trzeciego posiada taże dynamiczną symetrię osiową. I 11 = I 22 = I 33 ciało dynamicznie sferycznie symetryczne (np. ula, sześcian, czworościan Ciało tóre posiada dynamiczną symetrię osiową względem dwóch różnych osi przechodzących przez punt O jest dynamicznie sferycznie symetryczne względem puntu O. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 6 / 15
7 Opis ruchu ciał dynamicznie sferycznie symetrycznych Rozważamy ruch uli bilardowej o masie M i promieniu b przy czym dopuszczamy mozliwość poślizgu. Oznacza to, że siła reacji podłoża X nie jest sierowana pionowo do góry. M V = F M V = X Mgˆ L G = K G LG = ( bˆ X L G = I ω I ω ( = b M V + Mgˆ ˆ = = Mb V ˆ Całując po czasie otrzymujemy: X G Mg I ω + Mbˆ V = C const / ˆ ω ˆ = n const Wniose: W dowolnym ruchu uli sładowa pionowa ω jest zachowana. Korzystając z równania ruchu otrzymujemy: Iˆ ω = ˆ C Mbˆ (ˆ V = ˆ C Mb ( (ˆ V (ˆ ˆ V = ˆ C Mb V W przypadu brau poślizgu ( V = ω (bˆ ruch odbywa się po linii prostej: ( ( Mb 2 b V + V = C I I ˆ V = const, ω = 1 b ˆ V + nˆ = const M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 7 / 15 C ω V
8 Opis ruchu ciał dynamicznie osiowo symetrycznych Rozważamy ruch ciała o dynamicznej symetrii osiowej. Niech główne momenty bezwładności względem osi głównych przechodzących przez środe masy G będą równe {I, I, I 3 }. W przypadu brau sił zewnętrznym (lub jednorodnego pola grawitacyjnego mamy K G = 0, więc: L G = 0 gdzie L G = Iω 1 ê 1 + Iω 2 ê 2 + I 3 ω 3 ê 3 Uwaga: wetory {ê 1, ê 2, ê 3 } zależą od czasu. Oznaczając ê 3 a mamy a = ω a oraz: a = ω a a a = a ( ω a = ( a a ω ( a ω a = ω ( a ω a A więc w ogólności ω ma postać: ω = a a + λ(t a gdzie λ = ω a Ponieważ wetory λ a oraz a a mają ieruni osi głównych, więc: L G = I a a + I 3 λ a Po wstawieniu do równania ruchu otrzymujemy: dl G = K dt G 0 I a a + I 3 ( λ a + λ a = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 8 / 15 x 1 ω L G G x 3 a x 2
9 Opis ruchu ciał dynamicznie osiowo symetrycznych Mnożąc salarnie przez a otrzymujemy równanie ruchu swobodnego ciała o dynamicznej symetrii osiowej: gdzie n = ω a nazywamy spinem. I a a + I 3 n a = L G Aby rozwiązać powyższe równanie mnożymy najpierw obustronnie salarnie przez a: I a ( a a + I 3 n a a = L( a ˆ I 3 n = L( a ˆ = L cos Oznacza to, że n = L I 3 cos, a więc oś symetrii ciała tworzy stały ąt z ˆ i zatacza stoże woół osi {G, ˆ}. Mnożąc równanie ruchu obustronnie wetorowo przez a dostajemy olejno : I a ( a a + I 3 n a a = L( a ˆ = L( a ˆ a = ( I ( a a a ( a a a ( L I ˆ a Oznacza to, że oś symetrii ciała precesuje woół osi {G, ˆ} ze stałą prędością ątową L/I. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 9 / 15
10 Opis ruchu ciał dynamicznie osiowo symetrycznych Rzeczywista prędość ątowa ciała jest równa: ( ( ω = a a L L cos + n a = a I (ˆ a + a = L I ˆ + L cos I 3 ( I I3 Twierdzenie: Niech bryła sztywna porusza się z prędością ątową ω w uładzie C, a uład C ma prędosć ątową Ω względem uładu C. Wówczas rzeczywista prędość ątowa ciała względem uładu C jest równa ω = Ω + ω. Patrząc z uładu precesującego, tzn. uładu tóry obraca się woół osi {G, ˆ} z prędością ątową (L/Iˆ mamy: ( I ω I3 = L cos a II 3 Podsumowanie: oś symetrii ciała tworzy stały ąt z wetorem Lˆ i precesuje woół osi {G, ˆ} ze stałą prędością ątową L/I, spin bryły n = ω a = L cos /I 3, w uładzie precesującym ciało obraca się woół osi symetrii ze stałą prędością ątową L cos (I I 3 /(II 3. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład / 15 II 3 a
11 Dynamia ruchu symetrycznego bąa Rozważamy ruch symetrycznego bąa poruszającego się woół ustalonego puntu O w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu ma postać: X ω G a L O = K O d dt (I a a + I 3 λ a = Mgh a ˆ Z poprzednich rozważań wiemy, że: O Mg ω = a a + λ a L O = I a a + I 3 λ a A więc równanie ruchu bąa ma postać: d dt (I a a + I 3 n a = Mgh a ˆ gdzie stałą n = ω a należy wyznaczyć z warunów początowych. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład / 15
12 Dynamia ruchu symetrycznego bąa Precesja stacjonarna: oś bąa tworzy stały ąt z pionem i precesuje woół osi {O, ˆ} ze stałą prędością ątową Ω. Znajdziemy częstość precesji stacjonarnej rozwiązując równanie ruchu. a a = a (Ωˆ a = Ω( a aˆ Ω( a ˆ a = Ω(ˆ cos a d dt ( a a = Ω 2 cos ( a ˆ Równanie ruchu przyjmuje postać: ( I cos Ω 2 CnΩ + Mgh ( a ˆ = 0 Precesja stacjonarna mo zachodzić gdy: C 2 n 2 4IMgh cos Otrzymujemy wówczas dwie wartości dozwolonej częstości precesji: [ Ω F,S = Cn ( ] 1/2 4IMgh cos 1 ± 1 2I cos C 2 n 2 Ponieważ 1 x 1 1 4IMgh x więc jeśli 2 C 2 n 2 1 to: Ω F I 3n oraz Ω S Mgh I cos I 3 n M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład / 15 a Ω
13 Lagrangian wirującego bąa Jao współrzędne uogólnione wybieramy ąty Eulera: począte uładu umieszczamu w środu masy G, jeśli ciało ma oś symetrii, wówczas ąty ϕ oraz θ oreślają jej położenie, ąt ψ oreśla obrót ciała względem wybranej osi (symetrii jeśli istnieje. Lagrangian wirującego bąa: T = 1 2 I θ I ( ϕ sin θ I 3 ( ψ + ϕ cos θ V = Mgz = Mgh cos θ 2 θ φ sin θ L = 1 2 I θ I ( ϕ sin θ I 3 ( ψ + ϕ cos θ 2 Mgh cos θ Ponieważ ϕ oraz ψ są współrzędnymi cylicznymi więc zachowane są: p ϕ = L ( ϕ = I ϕ sin2 θ + I 3 ψ + φ cos θ cos θ L z p ψ = L ( ψ = I 3 ψ + ϕ cos θ = I 3 n G z O θ z θ y φ φ ψ ψ A N y B x x ψ + φ cos θ M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład / 15
14 L z = 1 2 I 3n, E = 1 2 I 3n Mgh, F (u = IMghu(1 2u(2 u M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład / 15 Nutacja osi bąa Korzystając z powyższych zależności oraz zasady zachowania energii: 1 2 I θ I ( ϕ sin θ2 + 1 ( 2 2 I 3 ψ + ϕ cos θ + Mgh cos θ = E otrzymujemy równanie: I θ 2 = 2E I 3 n 2 (L z I 3 n cos θ 2 I sin 2 2Mgh cos θ θ 2 = θ gdzie F (u = I(2E I 3 n 2 (1 u 2 (L z I 3 nu 2 2IMghu(1 u 2 ruch mozliwy dla F (cos θ > 0 oś bąa wyonuje ruch oscylacyjny pomiędzy u min < u < u max gdzie F (u min = F (u max = 0 oscylacje w ącie θ nazywamy nutacją osi bąa. 1 F (u cos θ0 F (cos θ I 2 sin 2 θ Przyład: Puszczamy swobodnie bą, tórego oś początowo tworzy z pionem ąt θ = π/3. Załadamy, że C 2 n 2 = 4IMgh. Dla warunów początowych θ = π/3, θ = ϕ = 0 mamy: 1 u
15 Precesja osi bąa A więc oscylacje ąta θ (nutacja odbywają się w zaresie π 3 θ π 2. Znając funcję θ(t mozna wyznaczyć zależność ϕ(t z z.z. momentu pędu: I ϕ sin 2 θ + I 3 n cos θ = L z Dla warunów początowych θ =, θ = 0, ϕ = 0, ϕ = Ω mamy: I ϕ sin 2 θ = I ϕ sin 2 + I 3 n(cos cos θ W przypadach iedy może zachodzić precesja stacjonarna, C 2 n 2 4IMgh, mozliwe są następujące ruchy bąa: Ω < Ω S ąt θ początowo rośnie, < θ < β (rysune lewy, Ω = 0 rysune środowy, Ω < 0 ale I ϕ sin 2 + I 3 n(cos cos β > 0 rysune prawy, I ϕ sin 2 + I 3 n(cos cos β < 0 ϕ < 0 Ω S < Ω < Ω F ąt θ początowo maleje, ϕ > 0. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład / 15
VII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 5
Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoBąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).
Bryła sztywna (2) Bąk Równowaga Rozważmy bąk podparty wirujący do okoła pionowej osi. Z zasady zachowania mementu pędu wynika, że jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna przestrzeni
ALGEBRA LINIOWA 1 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr zimowy 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Wetory, długość wetora Geometria analityczna przestrzeni Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Równania Eulera Bak swobodny Porównanie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoRuch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,
Bardziej szczegółowo1. RACHUNEK WEKTOROWY
1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXII: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym. Bak Precesja Żyroskop
Bryła sztywna Wykład XXII: Fizyka I (B+C) Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Bak Precesja Żyroskop Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Porównanie Punkt
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne
Wydział PRACOWNA FZYCZNA WFi AGH mię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel
Bardziej szczegółowoOpis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności
Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE
ĆWICZENIE 1 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA Cel ćwiczenia: Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera, wyznaczenie
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoCiało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu
Ruch obrotowy 016 Spis treści Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu bezwładności Ruch obrotowo-postępowy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowobędzie momentem Twierdzenie Steinera
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz. Niech 90 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała o masie i niech będzie momentem bezwładności tego ciała względem osi równoległej
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Tensor momentu bezwładności i osie główne Równania Eulera Bak swobodny. Podsumowanie wykładu Egzamin
Bryła sztywna Wykład XXIII: Fizyka I (BC) Tensor momentu bezwładności i osie główne Równania Eulera Bak swobodny Podsumowanie wykładu Egzamin Tensor momentu bezwładności Tensor momentu bezwładności pozwala
Bardziej szczegółowoWykład 21: Studnie i bariery cz.1.
Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoFizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9
Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO
R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowov 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.
Dynamika bryły sztywnej.. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności. 171. Na cząstkę o masie kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j działa siła F 3i 4j. Wyznacz wektora momentu tej
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 9 1.X.016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Moment bezwładności - koło Krążek wokół osi symetrii: M dm
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 6 ułady dysretne o wielu stopniach swobody Poniższe
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą. Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!
Bryła sztywna Ciało złożone z cząstek (punktów materialnych), które nie mogą się względem siebie przemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałych odległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej. zbiór
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowo4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)
256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe malują fraktale
Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego
Bardziej szczegółowo(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej
3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)
Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla
Bardziej szczegółowoSymetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
Bardziej szczegółowoDrgania harmoniczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Drgania haroniczne Projet współfinansowany przez Unię Europejsą w raach Europejsiego Funduszu Społecznego Drgania haroniczne O oscylatorze haroniczny ożey ówić wtedy, iedy siła haująca działa proporcjonalnie
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładów na temat Obliczanie sił przekrojowych i momentów przekrojowych. dla prętów zginanych.
ateriały do wyładów na temat Obliczanie sił przerojowych i momentów przerojowych dla prętów zginanych Wydr eletroniczny. slajdów na. stronach przeznaczony do celów dydatycznych dla stdentów II ro stdiów
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa
Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoSymetria w fizyce materii
Symetria w fizyce materii - Przekształcenia symetrii w dwóch i trzech wymiarach - Wprowadzenie w teorię grup; grupy symetrii - Wprowadzenie w teorię reprezentacji grup - Teoria grup a mechanika kwantowa
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoFizyka 5. Janusz Andrzejewski
Fizyka 5 Przykład R y F s x F n mg W kierunku osi Y: W kierunku osi X: m*0=r-f n m*a=f s F s =mgsinα F n =mgcosα Dynamiczne równania ruchu Interesujące jest tylko rozpatrywanie ruchu w kierunku osi X a=gsin
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoSiły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym
FIZYKA I Wykład III Mechanika: Pojęcia podstawowe dynamika i punktu historiamaterialnego (VI) Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym s = v 0 t + at v 0 = 0; a = g; s = h h = gt F o = k v F g
Bardziej szczegółowoWięzy i ich klasyfikacja Wykład 2
Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoWyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego
POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ CHEMCZNY KATEDRA FZYKOCHEM TECHNOLOG POLMERÓW LABORATORUM Z FZYK Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC
Bardziej szczegółowoStany stacjonarne w potencjale centralnym
3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu 14.1.1 Przypomnienie lasycznego problemu Keplera Rozważmy cząstę
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowoIII.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.
III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe kreślą fraktale
26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoWykład 10. Ruch w układach nieinercjalnych
Wykład 10 Ruch w układach nieinercjalnych Prawa Newtona są słuszne jedynie w układach inercjalnych. Ściśle mówiąc układami inercjalnymi nazywamy takie układy odniesienia, które albo spoczywają, albo poruszają
Bardziej szczegółowo3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości
3. Kinematya odstawowe ojęcia i wielości Kinematya zajmuje się oisem ruchu ciał. Ruch ciała oisujemy w ten sosób, że odajemy ołożenie tego ciała w ażdej chwili względem wybranego uładu wsółrzędnych. Porawny
Bardziej szczegółowoUkłady fizyczne z więzami Wykład 2
Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowo