( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
|
|
- Paulina Piekarska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E ( Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α β α + β Na ćwczeach w zadau. lczylśmy wartość oczewaą zmeej z rozładu Beta, wartość oczewaą oraz warację, czyl odpowedo perwszy momet zwyły, drug momet zwył drug momet cetraly. Porówaj róweŝ z aalogczym przyładem z zadaa.(z tą róŝcą, Ŝe lczylśmy momety rozładu Gamma. Metoda mometów polega a przyrówau mometów empryczych do teoretyczych rozwązau uładu rówań, ze względu a ezae parametry rozładu. To co jest apsae wyŝej to perwszy drug momet zwyły (teoretycze. W celu uzysaa estymatorów aleŝy przyrówać je do mometów empryczych (polczoych a podstawe próby. Perwszy momet zwyły polczoy a podstawe próby to oczywśce średa arytmetycza, drug momet zwyły to średa z wartośc realzacj zmeych losowych podesoych do wadratu. Po przyrówau aleŝy wyzaczyć szacowae metodą mometów parametry (alfa beta rozwązać uład rówań, ze względu a alfa beta. α α + β ( α + α ( α + β + ( α + β Z perwszego rówaa mamy: β α( I po podstaweu do drugego otrzymamy:
2 α Wtedy oszacowae drugego parametru wyese: ( ( β.. ( α β,,..., ~ Γ, α α β + α + + α β α β E e e β Γ α + β αγ α α Γ α Γ α β Γ α + Γ α β β Γ α + α + α Γ α α + α E e e + α + + β α β α + β Γ α Γ α β Γ α + Γ α β β α + α α α Var β β PowyŜej zajdują sę wyraŝea a wartość oczewaą warację zmeej losowej z rozładu Gamma (porówaj z zadaem. z ćwczeń. Podobe ja wyŝej przyrówujemy momety teoretycze do mometów empryczych. E Var α α β α β α β β β
3 ..,,..., ~ Poss E Var ˆ ( ˆ Zarówo ja mogą być estymatoram parametru ˆ. Pamętajmy jaa hest róŝca mędzy mometam teoretyczym empryczym!!! Zazwyczaj średa polczoa a podstawe próby oraz waracja będą róŝe! Rówość dla rozładu Posso a zachodz jedye dla mometów teoretyczych!.. ( Γ(,,..., : f e ~, L e e... e e l L l + l d l L ˆ d W ogólym przypadu E( f ( f ( E( wobec tego aleŝy lcząc wartość oczewaą uzysaego estymatora wyzaczyć rozład y, a astępe wyzaczyć momety zmeej z. y ~ Γ(, Y Γ(, ɵ Y ( Y E( E E Y e dy Y e dy Y Y Γ Y Γ( + + Ostata cała jest rówa jede, pod waruem, Ŝe (->. WyraŜee podcałowej jest wtedy fucją gęstośc rozładu Γ(,.
4 W celu polczea waracj sorzystamy z wzoru: Var E E ɵ Y Y E E E Y e dy Y Y Y e dy + + Γ Γ Przy załoŝeu, Ŝe (-> oblczamy aalogcze ja w przypadu wartośc oczewaej. ɵ ɵ ɵ Var E E PowyŜsze wyraŝee moŝa oczywśce uproścć..5. Nech,... będą ezaleŝym zmeym losowym z tego samego rozładu o gęstośc f e θ θ dla (,. + Wyzaczyć estymator ajwęszej warogodośc parametru θ, wyzacz jego wartość oczewaą oraz warację. UWAGA, Treść zadaa zameszczoa a stroe zawerała błąd. Podaa fucja gęstośc e była fucją gęstośc. NaleŜało zameć 6 w maowu a. PowyŜej treść jest poprawa! Var Var Var E E E d L d L e e e e L Var E e f l l l l l..., ~,...,, + + Γ
5 Przy lczeu wartośc oczewaej waracj, sorzystalśmy z fatu, Ŝe aŝda ze zmeych ma detyczą wartość oczewaą oraz waracją dodatowo podczas lczea waracj sorzystalśmy z ezaleŝośc zmeych.6. [ ],,..., ~ U, ˆ ˆ F t t F P( Y Y P Y (. ˆ E F ( E Y E Y ˆ Var F Var Y Var Y VarY 6 6 Porówaj z rozwązaem zadaa. z ćwczeń!.7. + P( θ ( θ + l( θ l + lθ + l( θ l ( θ ( θ θ ˆ θ θ θ + Zmea losowa ozacza lczbę poraŝe zaobserwowaych do zajśca -tego sucesu. Uzysalśmy sesowy estymator prawdopodobeństwa sucesu: lczba zaobserwowaych sucesów podzeloa przez lczbę dośwadczeń (suma poraŝe sucesów..8. NaleŜy polczyć wartość oczewaą T. T ( Mamy do czyea z rozładem wyładczym czyl rozładem Gamma(,. Podobe ja w zadau. aleŝy zaleźć rozład ajperw y. ET E( (, EY Y Γ Y ( + ( + Y ( + EY Y Y e dy Y e dy Γ Γ ( + Zowu mamy do czyea z przypadem edy całujemy fucję gęstośc rozładu Gamma po całej dzedze a tórej jest ezerowa, stąd cała upraszcza sę do jedy. 5
6 ( + ( + ET tatystya T e jest oczywśce eobcąŝoym estymatorem podaego w treśc wyraŝea, poewaŝ jej wartość oczewaa e jest rówa szacowaemu wyraŝeu...,... P( e,,...! P( e P( e e ZauwaŜmy róweŝ, Ŝe: F( P( + P( F( P( F( F( P( e W zadau. poazalśmy Ŝe dystrybuata emprycza jest eobcąŝoym estymatorem dystrybuaty teoretyczej, t.j. E( F ( t F( t. E( F ( F ( E( F ( E( F ( F( F( P( e Dlatego wyraŝee F ( F ( moŝemy zastosować jao eobcąŝoy estymator e. F( F( ( ( (.* a Poazać, Ŝe ( ˆ P F( t ( F( t ( F( t dla,,,...,. ˆ P( F( t P( ( t P( ( t Zdarzee ( t ozacza, Ŝe dołade razy (spośród prób wylosowao zmeą losową o wartośc e węszej od lczby t. Prawdopodobeństwo wylosowae w pojedyczej próbe wartośc zmeej losowej e węszej od t, jest tae samo dla aŝdej ze zmeych wyos P( t F( t. Łatwo zauwaŝyć, Ŝe moŝemy zastosować schemat Beroulego gdze przez suces uzamy wylosowae lczby e węszej od t, wyoamy 6
7 ezaleŝych dośwadczeń losowych, tóre ończą sę sucesem z prawdopodobeństwem rówym F( t. Węc otrzymujemy ( t ~ B(, F( t, czyl: ( ˆ P F( t P( ( t ( F( t ( F( t b Poazać, Ŝe dystrybuata gęstość zmeej losowej : wyoszą odpowedo P( : t ( F( t ( F ( t f ( t f ( t( F( t ( F( t : Zdarzee : t ozacza, Ŝe wylosowao przyajmej, spośród zmeych losowych, tach, tóre są e węsze od t. Podobe ja w poprzedm podpuce moŝemy zastosować schemat Beroulego, z tym, Ŝe tym teresuje as prawdopodobeństwo uzysaa sucesu przyajmej razy. + P( : t P( ( t ( F( t ( F( t ( F( t ( F( t F t F t W celu wyzaczee fucj gęstośc aleŝy polczyć pochodą dystrybuaty ze względu a t. F : ( t ( ( F( t ( F( t ( ( F( t ( F( t [ ( F( t f ( t( F( t ( F( t ( ( F( t ( f ( t ] + F t f t F t ( F( t ( f ( t( F( t I II Osobo wyzaczymy I II wyraŝee. I ( F( t f ( t( F( t ( F( t f ( t( F( t + + ( + ( F( t f ( t( F( t + ( + ( F( t f ( t( F( t ( F ( t f ( t ( F ( t! {ZauwaŜamy, Ŝe ( + (!( +! ( + +!!! (!(!( (, ( + (!( +! ( + (!( +! ( ( + + td. } ( F ( t f ( t ( F ( t + ( ( F ( t f ( t ( F ( t + 7
8 + ( ( F( t f ( t( F( t F t f t F t ( ( II ( F( t ( f ( t( F( t ( f ( t( F( t ( F( t + + ( f ( t( F( t ( F( t ( f ( t( F( t ( F( t + ZauwaŜamy, Ŝe drug wyraz z I sróc sę z perwszym z II, trzec wyraz z I sróc sę z drugm z II, td.. Czyl ostatecze zostae tylo perwszy wyraz z wyraŝea I oraz ostat z wyraŝea II. JedaŜe ostat wyraz w wyraŝeu II jest rówy. Otrzymujemy węc: F : ( t! ( F ( t f ( t ( F ( t!(! F t f t F t ( F( t f ( t( F( t ( F( t f ( t( F( t (! (!(! c ZałóŜmy, Ŝe,... są ezaleŝym zmeym losowym z rozładu jedostajego a przedzale [,]. Na podstawe wyu z podputu b poazać, Ŝe : ~ Beta(, +. Dystrybuata rozładu jedostajego a przedzale [,], to F( t t, atomast gęstość f ( t (dla t [,]. Podstawamy te fucje do ogólego wzoru a gęstość rozładu zmeej losowej : uzysaego w podpuce a: F : ( t t ( t t ( t t ( t! Γ ( + (!(! Γ( Γ ( + otrzymujemy gęstość rozładu Beta(, +..* Nech,..., będze próbą losową z rozładu 8 N ( µ, σ. Nech oraz. Czy statystya T jest estymatorem eobcąŝoym µ dla wyraŝea σ? tatysty są ezaleŝe dla modelu ormalego, czyl: E EE µ E., NaleŜy węc wyzaczyć 8 E. Wemy, Ŝe T ~ χ8 ~ Γ (,. Przeształcając powyŝszy wzór σ otrzymujemy: ( T σ. 8 σ T ( ( ( σ T σ σ Γ( σ Γ( t,5 E E E T t t e dt t e dt t 8
9 Γ(,5,5,5 t Γ(,5 σ Γ( Γ (,5 t e dt σ, gdze sorzystalśmy z fatu, Ŝ pod całą zajdowała sę gęstość zmeej losowej o rozładze Γ (,5;. Γ(,5,5,5 Γ,5,5 σ σ σ σ co ozacza, Ŝ zapropooway estymator jest obcąŝoy..* Nech L( θ będze fucją cągła, tóra ma perwszą drugą pochodą cągłą dla θ ( a, b ( a, b R; w szczególośc moŝe to być esończoość. Poadto załadamy, Ŝe lm L( θ lm L( θ są sończoe oraz L( θ > dla aŝdego θ ( a, b. Poazać, Ŝe θ a θ b ˆ θ ( a, b jest masmum dla L( θ, wtedy tylo wtedy, gdy jest masmum dla l L( θ. ɵθ jest argumetem masymalzującym wartość fucj warogodośc L( θ. Wtedy mus zachodzć: L '( ɵ θ L ''( ɵ θ < (l L( θ ' L '( θ L( θ Dla θ ɵ θ mamy: ɵ l( L( θ ' L'( ɵ θ oczywste, patrz wyŝej. L( θ L ''( θ L( θ L '( θ L '( θ L ''( θ L( θ L '( θ (l L( θ '' ( L '( θ ' L( θ L( θ L( θ Dla θ ɵ θ mamy: ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ L''( θ L( θ L'( θ L''( θ L( θ L''( ɵ θ L( ɵ θ ɵ ɵ L( θ l( L( θ '' <, bo L''( θ < > ɵ ɵ ɵ ɵ L( θ L( θ L( θ L( θ Poazalśmy, Ŝe pochoda fucj warogodośc zeruje sę zawsze wtedy, edy logarytm tej fucj. Druge pochode tych fucj mają ta sam za w puce zerowae sę pochodej. JeŜel ɵ θ jest argumetem masymalzującym fucję warogodośc to masymalzuje róweŝ jej logarytm odwrote!.* Zmea losowa ma rozład geometryczy z parametrem θ : Pθ ( θ ( θ, dla,,,.... Oblcz wartość oczewaą zmeej losowej.
10 ( [( + ( + ( +...] E θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ [( + ( + ( +...] θ + θ + θ + θ [...] θ [ + ( +...] Dość łopotlwą sumę z perwszej lj moŝemy rozbć a sumy o postac zacze ułatwającej sumowae. To co apsao w olejych werszach począwszy od drugego zsumowae da w wyu wyraŝee z wersza perwszego. Poadto, aŝde wyraŝee w olejych werszach (od drugego to sumy esończoej lośc wyrazów cągu geometryczego o postępe geometryczym rówym θ. KaŜde z wyraŝeń róŝ sę jedye początowym elemetem, od tórego zaczyamy sumowae. Załadając, Ŝe θ co dowartośc bezwzględej jest e węsze od jedy moŝemy oreślć wy powyŝszych sumowań wyorzystując wzór a sumę esończoej lośc wyrazów cągu geometryczego. θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( θ θ [( + ( + ( +... ( ( ( θ[ + ( θ + ( θ +... θ( θ θ( θ ( θ ( θ θ θ[ + ( θ +... θ( θ θ( θ ( θ ( θ θ oro szuaa suma to suma powyŝszych werszy to wystarczy zsumować wy sumowaa aŝdego z tych werszy. ZauwaŜymy, Ŝe sumowae wyrazy to zomu oleje wyrazy cągu geometryczego o postępe θ perwszym wyraze θ. ( θ E θ ( θ ( θ ( θ θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowobędzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2
Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E). Zadae. eh K K
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoKonspekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 2007/2008 Strona 1
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa Języ prawdopodobeństwo jego rozład Pojęce rozładu prawdopodobeństwa lczby z totolota jao zmee losowe o rozładze sretym zmea losowa częstoścowa defcja
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA NR 3. loga. i nosi nazwę entropii informacyjnej źródła informacji. p. oznacza, Ŝe to co po im występuje naleŝy sumować biorąc za i
ZAJĘCIA NR Dzsaj omówmy o etro, redudacj, średej długośc słowa odowego o algorytme Huffmaa zajdowaa odu otymalego (od ewym względam; aby dowedzeć sę jam doczeaj do ońca). etro JeŜel źródło moŝe adawać
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoPlan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej
--8 Wstęp do probablsty statysty Wyład. Zmee losowe ch rozłady dr hab.ż. Katarzya Zarzewsa, prof.agh, Katedra Eletro, WIET AGH Wstęp do probablsty statysty. wyład Pla: Pojęce zmeej losowej Iloścowy ops
Bardziej szczegółowoPojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k
Statystya Wyład Adam Ćmel A4 5 cmel@agh.edu.pl Pojęce statysty Pojęce statysty w statystyce matematyczej jest odpowedem pojęca zmeej losowej w rachuu prawdopodobeństwa. Nech X(X,...,X ) będze próbą z pewej
Bardziej szczegółowo[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH. Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej jednowymiarowej.
L.Kowals Fucje zmeych losowych FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH Uwag o rozładze fucj zmeej losowej jedowymarowej. Jeśl - soowa, o fucj prawdopodobeńswa P( x ) p, g - dowola o fucja prawdopodobeńswa zmeej losowej
Bardziej szczegółowoESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
L. Kowals - styacja TYMACJA UNKTOWA I RZDZIAŁOWA ROZKŁADY ODTAWOWYCH TATYTYK zea losowa odpowed badaej cechy,,,..., próba losowa zea losowa wyarowa, ezależe zee losowe o ta say rozładze ja. Jeśl x jest
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA wybrane zagadnienia
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA wybrae zagadea PRAWDOPODOBIESTWO Przyład Rozpatrzmy jao dowadczee losowe jedoroty rzut szece ost. Choca e potrafmy przewdze
Bardziej szczegółowoSPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI
SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoBadania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników
Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoR j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.
c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym
Bardziej szczegółowoBajki kombinatoryczne
Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja
Bardziej szczegółowo65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Bardziej szczegółowoPrzegląd wybranych testów
Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl Przegląd wybraych testów Testy dotyczące wartośc oczewae w rozładze ormalym problem testowaa rówośc średch w dwóch zależych populacach o rozładze ormalym.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE
ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoReprezentacja krzywych...
Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc
Bardziej szczegółowonpq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi,
Zadaie aa jest fucja gęstości zmieej losowej X: 9 8 Wyzacz: F (X ; Q ; ; ( X ; 9 9 P X P Zadaie ( Statystya II, X a b F( b F( a X e! P m ( ; m E( X ( X V ( X X R P ( X R ( X V ( X jest fucją gęstości zmieej
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoTyp może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Bardziej szczegółowoFINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA DANYCH SAMOSKORELOWANYCH
Semarum Wydzału u Fzy Iformaty Stosowaej AGH 6 weta 00 STATYSTYKA DANYCH SAMOSKORELOWANYCH Adrzej Zęba Pla:. Wstęp - formalzm stadardowy jego ograczea - matematyczy ops daych samosorelowaych. Teora aaltycza,
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja i ocena ryzyka wykonania planu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym
Prof. dr hab. ż. HENRYK PRZYBYŁA, dr hab. ż. STANISŁAW KOWALIK Poltecha Śląsa, Glwce Idetyfacja ocea ryzya wyoaa plau producj w przedsęborstwe górczym Artyuł opował prof. dr hab. ż. Adrzej Karbow. Wprowadzee
Bardziej szczegółowoBADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ
Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoMetoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1
Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń 2 Zmienna losowa dyskretna Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Powtarzanie doświadczeń
Materały do ćwczeń Zmea losowa dysreta Rozład zmeej losowej dysretej Powtarzae dośwadczeń Przygotował: Dr ż Wojcech Artchowcz Katedra Hydrotech PG Zma 4/5 ZMIEA LOSOWA DYSKRETA I JEJ ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoAnaliza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa
Bardziej szczegółowo