Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?"

Transkrypt

1 /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania --9 Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstok Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5 kg, 6 kg, i 5 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w ie, u, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6 kg, kg, kg oraz 5 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. Tablica. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła 5 5 Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty. --9 Przykład Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła Kluczbork Białystok 5 5 Piła 5 5 DOSTAWCY DECYZJA? ODBIORCY --9

2 /9/ Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona i od dostawcy i, i,,, do odbiorcy j, j,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Koszty transportu 5 Kluczbork 6 Białystok 6x 7x x x 7x 5x x 6 x 5x x x 5 Piła 5x Sformułowanie problemu zminimalizować: z x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x +x +5x +x +5x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona i od dostawcy i do odbiorcy j, i,,; j,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas

3 /9/ Koszty transportu 5 Kluczbork 6 Białystok x x x x x x x x x 6 Sformułowanie problemu zminimalizować: z x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x +x +5x +x +5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x x 5 Piła x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona i od odbiorcy i do dostawcy j, i,,; j,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas Odbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie Koszty transportu 5 Kluczbork 6 Białystok 5 Piła x x x x x x x x x x x x x

4 /9/ Sformułowanie problemu zminimalizować: z x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x +x +5x +x +5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x +x +x 6 x +x +x x +x +x x +x +x 5 x ij, i,,; j,,, --9 Ogólny model zagadnienia transportowego zminimalizować przy ograniczeniach n i m j n m i j c ij x ij x b, j, K m ij j, x a, i, K n ij i, x ij, i,,, m, j,,, n gdzie: i - indeks dostawcy, i,, n j - indeks odbiorcy, j,, m x ij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy j c ij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy j a i - zapas dostawcy i b j - zapotrzebowanie odbiorcy j całkowity koszt zapotrzebowanie zapas nieujemny przesył --9 Warianty zagadnienia transportowego całkowita podaż nie jest równa całkowitemu popytowi (zadanie niezbilansowane) maksymalizacja funkcji celu minimalne i maksymalne pojemności dróg Dodajemy sztucznego dostawcę lub odbiorcę. Mnożymy przez (-). Dodajemy ograniczenia. Własności zagadnienia transportowego Zadanie transportowe jest sformułowane jako zadanie programowania liniowego zatem można je rozwiązać stosując np. metodę simplex. Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania. niedopuszczalne połączenia Obciążamy bardzo dużymi kosztami

5 /9/ Własności zagadnienia transportowego n [ ] Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne. L n... n... E n L L L L LA L n E n E n E n... E n Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n ) zmiennych bazowych. Jeżeli wszystkie a i i b j są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych. Własności zagadnienia transportowego Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania zbudowany w sposób następujący: wierzchołkami są węzły (i,, dla których x ij > każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i, j ) (i, j ), że albo i i albo j j oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków i \ j Własności zagadnienia transportowego Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. i \ j Własności zagadnienia transportowego Niech x B będzie dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymy zbiór par (i,, takich że x ij jest zmienną bazową, ą to spełniony jest następujący układ równań: c ij + +v j dla (i, B gdzie zmienne iv j noszą nazwę potencjałów. Macierz C [(c ij z ij )] [c ij + +v j ], i,..m, j,..,n, nazywamy równoważną macierzą zerową rozwiązania bazowego x B. Na to, aby rozwiązanie bazowe x B zadania transportowego było optymalne potrzeba i wystarcza, aby jego równoważna macierz zerowa była nieujemna

6 /9/ Własności zagadnienia transportowego Układ równań: c ij + +v j dla (i, B ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie one wyznaczają tę samą równoważną macierz zerową. Jeżeli macierz C zawiera elementy ujemne, to odpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym. --9 Własności zagadnienia transportowego Przez cykl γ( oznaczamy cykl w grafie rozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej ( do rozwiązania bazowego. i \ j 5 5 Niech ( (,5) γ n ((,5) {(,5), (,)} γ p ((,5) {(,), (,5)} Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynając od wierzchołka (. Przez γ p ( oznaczamy zbiór wierzchołków o numerach parzystych, a przez γ n ( o numerach nieparzytych. --9 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metodakąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl min {c kj } albo c kl min {c il }

7 /9/ Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok Piła Białystok Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok 5 5. Piła Białystok. Piła

8 /9/ Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 5. Białystok 6. Piła 5 5 b j 6 5 a i Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Czy jest to rozwiązanie bazowe? c ij + +v j dla (i, B Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. --9 u --9 8

9 /9/ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B c ij + +v j dla (i, B + + v + + v Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B c ij + +v j dla (i, B 7 + u + ( ) 5 + ( ) + v

10 /9/ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B c ij + +v j dla (i, B + ( ) + v + u Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij + +v j dla (i, B 5 + ( 6) + v c ij c ij + +v j c ij dla (i, B

11 /9/ Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła Piła v j v j c ij c ij + +v j c ij c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j --9 Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j --9 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła Piła v j v j c ij c ij + +v j c ij c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j --9 Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j --9

12 /9/ Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij c ij + +v j c ij c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Zbadać, czy C. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ

13 /9/ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c min{ c : c < } kl ij ij Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie cyklu.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wyznaczyć ć ckl cykl γ p (, γ n (. Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ

14 /9/ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Usunąć ą z bazy zmienną ą x rs, taką, ą że x rs min j ) k, l θ { x : j ) B} θ ) ij.kluczbork 5. Białystok --9. Piła 5 5 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 γ ( + θ n( θ θ Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 Czy jest to rozwiązanie bazowe?.kluczbork 5. Białystok. Piła Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków

15 /9/ Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m ) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero. Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi. Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli. Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B u

16 /9/ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B u c ij c ij + +v j.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Wyznaczanie cyklu.kluczbork 6 6. Białystok 7. Piła 5 v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c min{ c : c < } kl ij ij Wyznaczyć ć ckl cykl γ p (, γ n (

17 /9/ Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Usunąć ą z bazy zmienną ą x rs, taką, ą że x rs min j ) k, l θ 5 { x : j ) B} θ ) ij.kluczbork 5. Białystok --9. Piła 5 65 Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 γ ( + θ n( θ θ 5.Kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B u c ij c ij + +v j.kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 v j

18 /9/ Rozwiązanie.Kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 v j Równoważna macierz zerowa jest nieujemna rozwiązanie jest optymalne..kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła 5 Koszty transportu X 5 5 Kluczbork X 5 X 5 6 Białystok X X 5 X 5 5 Piła Rozwiązanie optymalne Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy Koszt całkowity Kluczbork x 5 5 Kluczbork x 5 Białystok x Białystok x Białystok x 5 5 Piła x 5 5 Razem 9 5 Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metodakąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl min {c kj } albo c kl min {c il }

19 /9/ Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Postępujemy podobnie, jak w metodzie północnozachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Białystok Piła Piła

20 /9/ Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 5. Białystok Piła Białystok Piła

21 /9/. Oznaczmy przez (i,, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone.. Oznaczmy przez d j (i,, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów.. Wybierz α max{, d j }.. Jeżeli α, to wybierz element w wierszu k i oraz kolumnie l, takiej że c kl min{c kj }. 5. Jeżeli α d j, to wybierz element w kolumnie l j oraz wierszu takim że c kl min{c il }..Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j

22 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j

23 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j α max{, d j } α max{, d j } c kl min{c il } Kluczbork Białystok Piła Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j

24 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j c kl min{c kj }.Kluczbork 7 6. Białystok Piła

25 /9/.Kluczbork 7 6.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Białystok Piła 5 5. Piła d j Kluczbork 7 6. Białystok Kluczbork 7 6. Białystok Piła Piła

26 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok Piła Kluczbork Białystok Piła

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1 Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu Tytuł: 06 Model: 2o1r_T Zastosowanie programowania liniowego Autor: iotr SAWC Zakład Systemów Transportowych WMRiT piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/iotr.sawicki.ut

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Wybrane elementy badań operacyjnych

Wybrane elementy badań operacyjnych Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania binarnego.

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.asp Pokój A405 Literatura okukuła K.

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11,

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 1 Kwantyzacja skalarna Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 10.05.005 Kwantyzacja polega na reprezentowaniu dużego zbioru wartości (być może nieskończonego) za pomocą wartości

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy zachłanne

Temat: Algorytmy zachłanne Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo