D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO"

Transkrypt

1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie z regułami gry przegrany płaci wygranemu. Przy czym rozważamy tylko gry w których bierze udział dwóch graczy i przegrana jednego jest wygraną drugiego. Ponadto dysponujemy tzw macierzą wypłat, która pozwala nam na określenie gry. I. DEFINICJE i TWIERDZENIA Konfliktowe gry dwuosobowe opisuje macierz wypłat ( a ) [ ] A mxn ij,b ij gdzie: aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II Jeżeli suma wypłat jest równa zero, tj. aij + bij 0 to grę nazywamy dwuosobową grą macierzową o sumie wypłat zero. Macierz wypłat takiej gry jest więc następująca [( a, a )] A mxn ij ij W tej sytuacji macierz wypłat może opisywać tylko wygrane jednego z graczy. Przyjęto iż będzie to gracz I; zatem wygrane gracza II będą automatycznie liczbami przeciwnymi do wygranych gracza I.

2 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 2 Def. Macierz wypłat gry dwuosobowej o sumie wypłat zero ma postać A mxn [ a ] ij Elementy macierzy A są wygranymi gracza I i jednocześnie przegranymi gracza II. Def. Strategia mieszana Wektor wierszowy opisujący częstość stosowania poszczególnych strategii przez gracza I. X xm [ x x x m ] 2... gdzie: x i 0 dla i,2,...,m oraz m x i i Wektor kolumnowy opisujący częstość stosowania poszczególnych strategii przez gracza II Y nx y y 2... y n gdzie: y j 0 dla j,2,...,n oraz n y j j Def. Strategia czysta Jeżeli X lub Y są wersorami to nazywamy je strategiami czystymi.

3 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 3 Def. Funkcją wypłaty nazywamy oczekiwaną wygraną gracza I (nadzieję matematycznę wygranej gracza I) E ( X Y), XAY m i n j x a y i ij j Def. Rozwiązaniem gry nazywamy wektory [ x x L x ] X m 2 m i Y n y y M y 2 n oraz liczbę rzeczywistą v takie, że spełnione są warunki ( X ) E j v ( ), dla strategii czystych gracza II j,2,...,n E i,y v dla strategii czystych gracza I i,2,...,m Strategie X oraz Y nazywamy strategiami optymalnymi, a liczbę v wartością gry. Wartość gry v jest oczekiwaną wygraną (nadzieją matematyczną wygranej) gracza I jeżeli obaj gracze stosują swoje optymalne strategie mieszane X oraz Y, tj. E ( X, Y ) v Tw. (H.Kuhn'a o punkcie siodłowym w teorii gier) Oczekiwana wygrana (nadzieja matematyczna) gracza I stosującego dowolną strategię mieszaną X podczas gdy gracz II stosuje optymalną strategię Y nie przekracza wartości gry. I odwrotnie, oczekiwana wygrana gracza I stosującego optymalną strategię X podczas gdy gracz

4 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 4 II stosuje dowolną strategię mieszaną Y jest nie mniejsza niż wartość gry ( X, Y ) ( X, Y ) ( X, Y) E E E Tw. (twierdzenie minimaksowe von Neumana i Morgensterna - twierdzenie zasadnicze gier macierzowych) Dla każdej gry macierzowej istnieją i są sobie równe wielkości max min E ( X, Y) oraz min max E ( X, Y), które odpowiadają wartości X Y gry v, tj. Y X ( X Y) ( X Y) max min E, min max E, v X Y Y X Każda gra 2-osobowa o sumie wypłat zero ma zawsze rozwiązanie. Tw. (twierdzenie o liczbie stosowanych strategii) Niech m ( n ) oznacza liczbę strategii jaką używać będzie postępujący optymalnie gracz I (gracz II). Każdy z graczy postępując optymalnie używać będzie nie więcej strategii niż wynosi mniejsza z liczb m (liczba strategii gracza I) lub n (liczba strategii gracza II), tj. m min { m, n} { } oraz n min m, n Def. Dolna wartość gry (minimalna wygrana gracza I) Liczba rzeczywista v taka, że v i { a i } max { } gdzie a min i aij j

5 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 5 Dla dolnej wartości gry zachodzi { } ij v max min a v i j Def. Górna wartość gry (maksymalna przegrana gracza II) Liczba rzeczywista v taka, że v min j { a } j Dla górnej wartości gry zachodzi { } gdzie a j max aij { ij} v minmax a v j i Sposób określania dolnej ( v ) i górnej ( v ) wartości gry nosi nazwę zasady minimaksu, tj. zasady odzwierciedlającej ostrożne postępowanie obu graczy. [ 3] [ 2] A [ ] aij v v 3 2 v 3 i Def. Gra z punktem siodłowym jest to gra, w której dolna ( v ) i górna ( v ) wartości gry są sobie równe, tj. v v Def. Punkt siodłowy jest to ten z elementów macierzy wypłat [ ] A a ij, który wyznacza dolną ( v ) i górną ( v ) wartość gry w grze z punktem siodłowym.

6 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 6 Tw. (twierdzenie o rozwiązaniu gry z punktem siodłowym) Rozwiązaniem gry z punktem siodłowym jest para strategii czystych (wersorów) X i Y oraz wartość gry v v v [ ] [ 2] A X [ ] Y v [ ] v v v 2 v Def. Gra symetryczna. Grę nazywamy grą symetryczną jeżeli macierz wypłat tej gry jest macierzą skośno-symetryczną, tj. [ a a ] A m ij ji Tw. (twierdzenie o rozwiązaniu gry symetrycznej) W grze symetrycznej optymalne strategie obu graczy są identyczne, a wartość gry wynosi zero, tj. X Y oraz v / 0 A [ ] a X [ ] Y ij v 2 2/ 0 3/ 0 5/ 0 3/ / v 0 v 2

7 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 7 Tw. (twierdzenie o dodaniu stałej do macierzy wypłat) Dla dwóch gier macierzowych A i B o macierzach wypłat A mxn [ a ij ] oraz B mxn [ b ij a ij + c] gdzie c R \ {0} i wartościach gry odpowiednio v A oraz v B zachodzą następujące związki:. optymalne strategie mieszane sa identyczne, tj. X A X oraz Y Y B A B 2. wartości gry różnią się o stałą c, tj. v v + c B A [ ] [ 2] A X [ ] Y v A 2 A 0 A [ ] v v v 2 v A 2 A A A 0 0 [ ] [ 6] B A + [ ] X [ ] Y v B 6 B 0 B [ ] v v v 6 v 6 v v B B A B B B 0 0

8 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 8 II. ROZWIĄZYWANIE GIER MACIERZOWYCH II.. Redukcja macierzy wypłat Redukcja macierzy polega na zastąpieniu wyjściowej macierzy A mxn ekwiwalentną macierzą A kxr gdzie zachodzi przynajmniej jeden z przypadków k<m lub r<n. Rozwiązania gry wyjściowej i ekwiwalentnej są identyczne. Def. Wiersz dominujący, zdominowany (strategia gracza I dominująca lub zdominowana) Mówimy, że wiersz t jest zdominowany przez wiersz s jeżeli a tj asj dla wszystkich j Wiersz s-ty nazywamy dominującym, a wiersz t-ty zdominowanym. Def. Kolumna dominująca, zdominowana (strategia gracza II dominująca lub zdominowana) Mówimy, że kolumna p jest zdominowana przez kolumnę r jeżeli a ip air dla wszystkich i Kolumnę r-tą nazywamy dominującą, a kolumnę p-tą zdominowaną.

9 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 9 Z wyjściowej macierzy A mxn usuwamy wszystkie wiersze i kolumny zdominowane. Odpowiadające im strategie nie będą używane przez optymalnie postępujących graczy, tj. odpowiednie częstości oraz y j będą równe zero. x i PRZYKŁAD A 4x z z z y 2 0 y z z x 0 x A 2x

10 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 0 II.2. Graficzne rozwiązywanie gier macierzowych Jeżeli przed lub po redukcji wymiarów macierz wypłat ma dwa wiersze lub dwie kolumny (jest macierzą A 2 xn lub A mx2 ), to odpowiadającą jej grę można rozwiązać graficznie. Dla gry o macierzy wypłat A 2x 3 postępowanie wygląda następująco. [ ] [ 2] A 2 x 3 v v 3 v 3 Wektory strategii mieszanych obu graczy mają postać X x [ x ] 2 i Y y y y 2 3 Z założenia x + x2. Przyjmując x x mamy x2 x. Stąd X [ x x] Wyznaczamy oczekiwane wygrane gracza I, jeżeli gracz II stosuje swoje strategie czyste, tj. E[ j] Nanosimy otrzymane proste na układ xoy. X,. Oznaczać je będziemy krótko E j. Oś Ox ograniczymy do odcinka [0,] rozciągając go nieproporcjonalnie w stosunku do jednostek na osi Oy. Wystawiamy pomocniczą prostą o równaniu x. Oś Oy powiążemy z wygraną, tj. z funkcją wypłaty E[X,Y].

11 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 2 E E[ X, ] [ x x] 2x E2 E[ X, 2] [ x x] 2x + 5 E3 E[ X, 3] [ x x] x 0 5 Zgodnie z zasadą minimaksu określamy dla każdej wartości x [0,] minimalną (gwarantowaną) wygraną. Będą to wartości wynikające z E, E2, E3. Największa z minimalnych dolnej obwiedni { } (gwarantowanych) wygranych występuje przy przecięciu E z E 2 E E 2 2x + 4 2x + x 3 / 4

12 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 2 Optymalna strategia mieszana dla gracza I ma więc postać X [ 3 / 4 / 4] Wartość wygranej przy x3/4 jest równa wartości gry v 5 / 2 E E 2 [ [ ] ] [ ] E 3 / 4 / 4, 2 3 / / 2 [ ] E 3 / 4 / 4, / / 2 Gracz II nie powinien stosować żadnej swojej strategii, przy której wygrana optymalnie postępującego gracza I byłaby większa od wartości gry v5/2. Musi wyeliminować wszystkie strategie, dla których E[ j] Warunek taki spełnia strategia 3 ponieważ [ ] X, > 5 / 2. E X, 3 5 / 4 > 5 / 2. Zatem w optymalnej strategii mieszanej gracza II y 3 0. Aby określić pozostałe składowe wektora Y należy rozwiązać pomocniczy układ równań z def. y + y + y [ Y ] [ Y ] 2 3 E, 2y + 3y + 5y 5 / E 2, 4y + y + 0y 5 / Ponieważ y 3 0, to powyższy układ równań można zastąpić [ Y ] [ Y ] y + y 2 E, 2y + 3y 5 / 2 2 E 2, 4y + y 5 / 2 2

13 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 3 Wykorzystując dwa dowolnie wybrane równania powyższego układu otrzymamy y / 2 oraz y 2 / 2 Rozwiązanie omawianej gry o macierzy wypłat A 2 x 3 jest następujące X [ 3 / 4 / 4] i Y / 2 / 2 0 oraz v 5 / 2 Dla gier o macierzy wypłat A mx2 postępować będziemy podobnie. Rysunek dotyczył będzie gracza II, o którym należy pamiętać, że jest zainteresowany w minimalizacji warości gry v. Optymalne częstości w wektorze Y wyznaczymy tutaj analizując górną obwiednię { E, E 2,..., E m }, poszukując na niej minimalnej wartości gry (minimalnej przegranej gracza II). Dla gry o macierzy wypłat A 3x 2 postępowanie wygląda następująco. [ ] 2 A 3 x 2 4 v [ 4] v 4 v 4 Wektory strategii mieszanych obu graczy mają tutaj postać X [ x x2 x3 ] i Y y y 2

14 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 4 + y2. Przyjmując y y 2 Z założenia y Y mamy y y. Stąd y y Wyznaczamy oczekiwane wygrane gracza II, jeżeli gracz I stosuje swoje strategie czyste, tj. E[ i,y ]. Oznaczać je będziemy krótko E i. y 2 y 2 y + E E[,Y ] [ ] y y 4 y + E E[,Y ] [ ] y 3 y 5y E E[,Y ] [ ] E2 E3 5y + 4 5y y 2 / 5

15 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 5 Optymalna strategia mieszana dla gracza II ma więc postać Y 2 / 5 3 / 5 Wartość wygranej przy y2/5 jest równa wartości gry v2 E E 2 3 E E 2/ 5 2, 5 2 / / 5 2/ 5 3, 5 2 / 5 2 3/ 5 Gracz I nie powinien stosować żadnej swojej strategii, przy której przegrana optymalnie postępującego gracza II byłaby mniejsza od wartości gry v2 (wygrana gracza I byłaby mniejsza od wartości gry!!!). Musi wyeliminować wszystkie strategie, dla których E[ i,y ] < 2. Warunek taki spełnia strategia ponieważ [ ] E, Y 8 / 5 < 2. Zatem w optymalnej strategii mieszanej gracza I x 0. Aby określić pozostałe składowe wektora X należy rozwiązać pomocniczy układ równań z def. x + x + x [ X, ] [ X, ] 2 3 E x x + 5x E 2 2x + 4x + 0x 2 2 3

16 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 6 Ponieważ x 0, to powyższy układ równań można zastąpić [ X, ] [ X, ] x + x 2 3 E x + 5x E 2 4x + 0x Wykorzystując dwa dowolnie wybrane równania powyższego układu otrzymamy x 2 / 2 oraz x 3 / 2 Rozwiązanie omawianej gry jest następujące X [ 0 / 2 / 2] i Y 2 / 5 3 / 5 oraz v 2

17 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 7 II.4. Iteracyjne rozwiązywanie gier macierzowych Jedną z metod przybliżonego rozwiązywania gier jest metoda symulacyjna oparta na analizie skumulowanych wygranych. Omówimy ją na przykładzie A 2 x 3 v v 3 2 v 3 Proces iteracyjny prowadzimy w tablicy do momentu, gdy wykonamy minimalną liczbę iteracji (np. 8). Po ich wykonaniu możemy zakończyć proces symulacji gry, gdy: otrzymamy błąd oszacowania wartości gry (ε) nie większy od założonego poziomu (np. ε 0.) osiągniemy maksymalną liczbę iteracji (np. 00) lub W kolumnie (k) odnotowuje się numer bieżącej iteracji, a w kolumnie (ε) błąd oszacowania wartości gry. W kolumnach (gracz II) odnotowuje się skumulowane wypłaty gracza II, a w kolumnach (gracz I) skumulowane wygrane gracza I.. Symulację rozpoczynamy od dodania do kolumn (gracz II) pierwszego wiersza macierzy wypłat. W kolumnach (gracz II) wybieramy najmniejszą skumulowaną wypłatę; jest to wypłata 2 odpowiadająca strategii gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajemy zatem kolumnę macierzy wypłat A. W kolumnach (gracz I) wybieramy największą skumulowaną wygraną; jest to wygrana 4 odpowiadająca strategii 2 gracza I. Taki wybór powoduje, że w kolejnej (k2) iteracji do kolumn (gracz II) dodajemy wiersz 2 macierzy wypłat A. 2. W kolumnach (gracz II) wybieramy najmniejszą skumulowaną wypłatę; jest to wypłata 4 odpowiadająca strategii 2 gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajemy zatem kolumnę 2 macierzy wypłat A. W kolumnach (gracz I) wybieramy największą skumulowaną wygraną; jest to wygrana 5 odpowiadająca strategii gracza I (wybór był tutaj niejednoznaczny; wybrano strategię o niższym numerze). W wyniku tego w kolejnej (k3) iteracji do kolumn (gracz II) dodajemy wiersz macierzy wypłat A.

18 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 8 W ten sposób przebiegają kolejne iteracje. Po 8 iteracjach wolno nam zakończyć proces obliczeniowy jeżeli błąd oszacowania wartości gry nie przekracza 0% (ε0.). Taka sytuacja ma miejsce dopiero po 0 iteracjach. Rozwiązanie gry uzyskujemy zliczając w kolumnach (gracz I) i (gracz II) krotność użycia każdej strategii. Dzieląc te krotności przez liczbę wykonanych iteracji otrzymamy oszacowania składowych wektorów X i Y. Przybliżone rozwiązanie gry uzyskane w wyniku symulacji jest następujące X [ 7 / 0 3 / 0] i Y / 2 / A 2 x oraz v 49 / 20 gracz II v gracz I v ε v iteracja strategia strategia 2 strategia 3 strategia strategia 2 k a a 2 a 3 a j / k a a 2 ai / k v v ( v v) /2 /2 9/ / /3 /3 5/ / /2 0 5/ / /5 2/5 3/ / /2 /6 / / /7 /7 5/ / /2 0 5/ / /9 2/9 23/9 + / / /2 /0 49/20 krotność użycia wartość gry częstość 5/0 5/0 0 7/0 3/0 49/20

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.

STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną. STRATEGIA PRZYBLIŻONA Ogólna strategia rozwiązywania gier NxN może być trudna obliczeniowo. Np. sprawdzenie otrzymanej mieszanej strategii wyrównującej : czy wszystkie strategie przeciwnika dają te same

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w

TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w TEORIA GIER GRA DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) Gra składa się z zestawu reguł określających możliwości wyboru postępowania jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej

Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej 2012 2013-01-16 1 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,-1 2013-01-16 2 Diagram przesunięć 2013-01-16

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny

Bardziej szczegółowo

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.

1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych. Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Materiały wykładowe (fragmenty)

Materiały wykładowe (fragmenty) Materiały wykładowe (fragmenty) 1 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo