Model Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...

Transkrypt

1 Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy symulować zmiay stau liczebości w poszczególych grupach wiekowych. Ozaczmy: 0 m i liczba potomstwa poawiaącego się co edostkę czasu u osobika z i-te grupy wiekowe, i =,..., k, [0, ] s i przeżywalość osobików z i-te grupy wiekowe dożywaących przyależości do astępe (i + )-e grupy wiekowe (aki procet odobików i-te grupy dożywa awasu do (i + )-e grupy wiekowe), i =,..., k, x,i liczba osobików z i-te grupy wiekowe w -te edostce czasu, i =,..., k.

2 2 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Struktura wiekowa populaci w -te edostce czasu podlega zależościom: x = [x,, x,2,..., x,k ] T x +, = k i= m i x,i liczba owych osobików (wszystkie grupy wiekowe mogą wydawać potomstwo), x +,i+ = s i x,i, i =, 2,..., (k ), liczba osobików, które postarzały się awasuąc do astępe grupy wiekowe (pozostałe umarły). Macierzowo: x + = M x, gdzie M = m, m 2,..., m k, m k s, 0,..., 0, 0 0, s 2,..., 0, , 0,..., s k, 0. Powyższy wzór rekurecyy prowadzi do wzoru awego : x = M x 0.

3 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 3 Przykład. W pewe populaci wyróżiaą się dwie grupy wiekowe: osobiki iedorzałe, które ie mogą się rozmażać (m = 0 o przeżywałości s (s = s), oraz 2 osobiki dorzałe o płodości m, które mogą się rozmażać (m 2 = m). m Macierz Lesliego: M = m 2 s 0 Przez idukcę moża zauważyć, że: M 2+ = Zatem 0 m + s s + m 0 x 2+ = M 2+ x 0 = = x 2 = M 2 x 0 = m + s x 0,2 s + m x 0, =, M 2 = 0 m s 0 0 m + s s + m 0. m s 0 0 s m x 0, x 0,2 = = (m s) [m x 0,2, s x 0, ] T, m s 0 0 s m Zachowaie asymptotycze: x = x, x,2 x 0, x 0,2 = (m s) x 0. [ 0 0 ], gdy 0 < ms <, [ ], gdy ms >..

4 4 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Przykład (cyklicze zmiay struktury wieku). M = Zachowaie asymptotycze:. Łatwo dostrzec, że: M 3 = [ x 3 = x 0 = [x 0, x 02, x 03 ] T, x 3+ = x = [x, x 2, x 3 ] T = x 3+2 = x 2 = [x 2, x 22, x 23 ] T = Cykl powtarza się co trzy edostki czasu: x 0, x, x 2, x 0, x, ]. 4 x 03, 3 x 0, 3 4 x 02 3 x 02, 4 3 x 03, 4 x 0 T T,.

5 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 5 Przykład (stabila struktura wieku). 2 M = (3) 0 W tabeli zbieramy dae o procetowym udziale w liczebości populaci poszczególych grup wiekowych po trzech iteracach. liczebość początkowa udział procetowy [x,i / 3 i= x,i, i =, 2, 3] [, 0, 0] [49, 772%, 26, 94%, 23, 288%] [0, 20, 0] [49, 54%, 27, 85%, 23, 30%] [0, 0, 8] [50, 000%, %, 24, 999%] [00, 00, 00] [49, 749%, 26, 936%, 23, 38%] [250, 0000, 00] [49, 56%, 27, 38%, 23, 300%] [00000, 5000, 0] [49, 77%, 26, 942%, 23, 288%] [200, 45000, 6000] [49, 534%, 27, 33%, 23, 334%] Struktura wiekowa populaci w stosukowo krótkim czasie stabilizue się i zależy od takich parametrów specyficzych dla populaci ak śmiertelość i rozrodczość.

6 6 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Macierze Markowa M = p p 2 p 3... p s p 2 p 22 p p 2s p s p s2 p s3... p ss = [p i ] i, s macierz stochastycza (= macierz Markowa = macierz prześcia), gdy i, 0 p i, i s = p i =. Termiologia: {,..., s} zbiór staów układu; p i prawdopodobieństwo prześcia ze stau i w sta, i, {,..., s}; M = [p i ] i, {,...,s} macierz prześcia dla edorodego łańcucha Markowa; p () i prawdopodobieśtwo z akim cząstka, która est w staie i zadzie się w staie po cyklach.

7 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 7 Przykład. Niech () czerwoy i (2) iebieski będą staami akie przymue pewa cząstka. Zmieia oa swó sta zgodie z macierzą prześcia W szczególości: M = p 2 = 2 3 prawdopodobieństwo zmiay z czerwoego a iebieski, p 2 = 3 4 prawdopodobieństwo zmiay z iebieskiego a czerwoy. (a) Wyzaczyć prawdopodobieństwo p (2) zalezieia się czerwoe cząstki w staie czerwoości po dwóch cyklach. p p 2 2 p p (2) p 2 I cykl II cykl p (2) = p p + p 2 p 2 = = 8 3 = p.

8 8 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak prze- (b) Wyzaczyć wszystkie prawdopodobieństwa p (3) i miay ze stau i w sta po trzech cyklach. p i p i2 i i 2 p p (2) p 2 I cykl II cykl p (2) i = p i p + p i2 p 2 = 2 macierz prześcia po dwóch cyklach: k= [p (2) i ] i, = M M = M 2. p ik p k,

9 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 9 p (2) i i i 2 p p (3) p (2) i2 p 2 II cykl III cykl p (3) i = p (2) i p + p (2) i2 p 2 = 2 macierz prześcia po trzech cyklach: k= p (2) ik p k, [p (3) i ] i, = [p (2) ik ] i,k [p k ] k, = M 2 M = M 3.

10 0 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak (c) Prawdopodobieństwo pozostawaia czerwoym przez cykli wyosi p p... p }{{} razy = p. Prawdopodobieństwo pozostawaia iezmieie czerwoym wyosi lim p = lim = 0. 3 Co dziee się z prawdopodobieństwem p () powrotu do stau czerwoości po cyklach? i p ( ) i p ( ) i2 i 2 p p () p 2 cykl ( ) cykl p () i = p ( ) i p + p ( ) i2 macierz prześcia po cyklach: p 2 = 2 k= p ( ) ik p k, [p () i ] i, = [p ( ) ik ] i,k [p k ] k, = M M = M.

11 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Aby zaleźć p () musimy wyzaczyć potęgę M. Ozaczmy: M α = β. Wówczas γ δ skąd α + β + γ + δ + = α β γ δ α + β = () α + = 3 α β (2) β + = 2 3 α + 4 β α = 3, β = 2 3 (3) γ + δ = γ + = 3 γ δ α β γ δ (*), δ + = 2 3 γ + 4 δ γ = 3 4, δ = 4. Wystarczy rozwiązać podukład (*). Podstawiaąc () do (2) dostaemy rówaie (L-): α + = 3 α ( α ) = 5 2 α + 3 4, którego rozwiązaie ogólym est α = α

12 2 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Uwzględiaąc waruek początkowy (3): dostaemy 3 = α = α = 5 α α 0 = Zatem p () = α 3 4 = Podobie p () 8 2 = β = α 7. Przymuąc za (α, β ) odpowiedio ciągi (γ, δ ) otrzymuemy rozwiązaie ogóle tego samego kształtu: δ = γ, γ = γ 0 + Po uwzględieiu waruków początkowych 3 4 = γ = γ γ 0 = 0

13 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 3 uzyskuemy γ = Zatem ak poprzedio p () 2 = γ = 9 7, p () 8 22 = δ 7. W te sposób otrzymaliśmy opis asymptotyczego zachowaia się macierzy prześcia po cyklach: M Mówimy, że macierz M est ergodycza, a prawdopodobieństwa graicze lim p() = lim p () 2 = 9 7, lim p() 2 = lim p () 22 = 8 7, azywae są prawdopodobieństwami ergodyczymi.

14 4 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak (d) Niech π = [π, π 2 ] będzie początkowym rozkładem prawdopodobiestwa: zaim zadziałał mechaizm zmia kolorów cząstka zadowała się w staie () z prawdopodobieństwem π, a w staie (2) z prawdopodobieństwem π 2. Wyzaczyć rozkład prawdopodobieństwa stau cząstki π () = [π (), π () 2 ] po edym cyklu. π π 2 2 p p 2 p 2 p sta początkowy sta po cyklu czyli [π (), π () 2 ] = [π, π 2 ] π () = π p + π 2 p 2, π () 2 = π p 2 + π 2 p 22, p p 2 p 2 p 22 = [π, π 2 ] M.

15 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 5 (e) Przez idukcę rozkład prawdopodobieństwa π () = [π (), π () 2 ] stau cząstki po cyklach opisue zależość [π (), π () 2 ] = [π, π 2 ] p p 2 p 2 p 22 Uzasadieie: ćwiczeie. Niezależie od rozkładu początkowego π gdzie π = [π, π 2], π () = π M π, π = lim p () i = = [π, π 2 ] M. 9 7, = 8 7, = 2 iezależe od i =, 2 prawdopodobieństwa graicze zalezioe w pukcie (c). Tym samym rozkład graiczy π występue we wszystkich wierszach macierzy graicze lim M.

16 6 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Przykład M = (3) 0.(3) 0.(3). W tabeli zbieramy dae z czterech kroków iteraci wykoaych dla trzech rozkładów początkowych. π () π () π () 0 [0, 0, ] [0.5, 0.25, 0.25] [.667,.333, 0] [.333,.333,.333] [.246,.346,.408] [.27,.350,.433] 2 [.26,.327,.4] [.272,.32,.407] [.275,.38,.406] 3 [.27,.323,.405] [.27,.325,.406] [.270,.325,.404] 4 [.270,.324,.405] [.27,.324,.406] [.270,.324,.406] π = [0.(270), 0.(324), 0.(405)].

17 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 7 Sam rozkład ergodyczy π łatwo zaleźć ie iteruąc ai macierzy ai rozkładów, gdyż est o stacoary. Twierdzeie (stacoarość rozkładu ergodyczego) Jeżeli łańcuch Markowa M est ergodyczy tz. -te rozkłady prawdopodobieństwa π = π M zbiegaą do pewego rozkładu π iezależie od rozkładu początkowego π, to π = π M est edyym rozkładem stacoarym. Dowód. Stacoarość: π () = π M π, π π(+) = π M + = (π M ) M π M. Jedyość: ˆπ = ˆπ M ˆπ = ˆπ M = (ˆπ M) M = ˆπ M 2 =... = ˆπ M π ˆπ = π.

18 8 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Przykład. M = [π, π 2 ] = [π, π 2 ] M =, π = [π, π 2 ], π i 0, i π i =. 3 π π 2, 2 3 π + 4 π 2 π = 9 7, π 2 = π = 8 7. Jedak awet edyość rozkładu stacoarego ie gwaratue ego ergodyczości. Przykład (łańcuch okresowy). 0 M =, π = [π 0, π 2 ], π i 0, π i =. i [π, π 2 ] = [π, π 2 ] M = [π 2, π ] π = π 2 = 2. Zalezioy rozkład ie est ergodyczy, bo M = 0, 0 parzyste, M, ieparzyste. Jak się przekoać, że zalezioy rozkład stacoary est ergodyczy?

19 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 9 Jako że zadowaie awe postaci -te potęgi macierzy est pracochłoe (awet z użyciem postaci Jordaa), powstae pytaie, czy ie moża określić ergodyczości macierzy Markowa bezpośredio a podstawie e współczyików. Takiego kryterium dostarcza Twierdzeie 2 (ergodycze dla łańcuchów) Niech macierz Markowa M = [p i ] i, {,...,s} spełia i, p i > 0. Wówczas π > 0 i lim p () i = π, s = π =, π = ( π ) s = = π M. Przypomimy, że M = [ p () ] i, a więc i, {,...,s} M [π,..., π ] T, }{{} s razy π () = π M π.

20 20 Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Dowód. Ustalmy 0 < ε < mi i, i przymimy ozaczeia: α () β () p i = mi i=,...,s p() i = max i=,...,s p() i [!] > 0, α (). [!] Jeśli i p i > 0, to i p () i > 0 (ćwiczeie). Oczywiście Stąd p (+) i czyli [p (+) i ] i, = M + = M M = [p il ] i,l [p () l ] l,, = l β (+) Aalogiczie Łączie: p (+) i = l ( pil ε p () ) () l p l β () = max i α (+) β (+) l p il p () l. + ε l p () l p () l ( pil ε p () ) (2) l + ε p = = β () p (+) i α () p il l }{{} = β () ε l p () l }{{} = + ε p (2), ( ε) + ε p (2). ( ε) + ε p (2) (*). α (+) ( ε) ( β () α () ),

21 skąd β () Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak 2 α () ( ε) ( β () α () ) 0. Przechodząc w (*) z ε 0 widzimy, że tz. ( α () ) = przy czym π > 0, bo lim α() Ostateczie α () α (+), rosący i ograiczoy. Istieą więc graice α () α () p () i π = lim α (), = mi i π β () a tym samym istieą lim p () i π = lim p() i p i mi i α () 0, = π > 0 oraz = lim p() i =. p i > ε > 0. Uwaga: Wystarczy założyć, że dla pewego 0 potęga M 0 ma wszystkie wyrazy dodatie: p ( 0) i > 0.