STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO

Transkrypt

1 Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN Nr Współczese Fiase 1 Tadeusz Czerik Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Fiasów i Ubezpieczeń Katedra Matematyki Stosowaej tadeusz.czerik@ue.katowice.pl STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO Streszczeie: Jedym z celów działań człowieka jest pomażaie posiadaego majątku. Iwestorzy, podejmując działaia a ryku kapitałowym, stosują bardzo zróżicowae strategie. Poiższe opracowaie przedstawia strategię stop-loss & profit. Poadto zaprezetowao tu optymalizację powyższej strategii z puktu widzeia wybraych miar atrakcyjości/ryzyka. Słowa kluczowe: strategia iwestycyja, ryzyko, procesy losowe. Wprowadzeie Wszelkim działaiom, a w szczególości aktywości iwestycyjej, towarzyszy ryzyko. Stąd potrzeba jego idetyfikacji, kwatyfikacji oraz optymalizacji. Klasycze miary atrakcyjości i ryzyka rozważae w aalizie portfelowej to między iymi: oczekiwaa stopa zwrotu, wariacja stopy zwrotu, semiodchyleie stadardowe, wartość zagrożoa oraz maksymala strata [Szegö, 2004; Czerik, Iskra, 2012]. Spośród strategii iwestycyjych do ajczęściej stosowaych ależą: strategia stałej struktury ilościowej (iezmiea w horyzocie iwestycji liczba akcji, strategia kup i trzymaj) oraz stała struktura owa (iezmiey w horyzocie iwestycji odsetek kapitału zaiwestoway w odpowiedie akcje) [Meucci, 2005]. Poadto w aalizie portfelowej uwzględia się pewe zdarzeia determiujące specyfikę. W strategii stop-loss spadek iwestycji poiżej określoego poziomu jest bodźcem do rozwiązaia (sprzedaż aktywów). W iiejszym opracowaiu zapropoowao strategię stop-loss & profit. W strategii tej zamykamy pozycje a ryku kapitałowym

2 8 Tadeusz Czerik w dwóch sytuacjach: jeżeli wartość spadie poiżej określoego poziomu (ograiczeie strat) lub gdy wartość wzrośie powyżej ustaloego z góry poziomu (kosumpcja zysku). Powyższa strategia została poddaa optymalizacji ze względu a wybrae miary atrakcyjości/ryzyka. Celem opracowaia jest porówaie optymalych strategii iwestycyjych w przypadku strategii stop-loss & profit oraz klasyczej strategii bez barier. 1. Strategia stop-loss & profit Jak wspomiao wyżej, strategia stop-loss & profit jest pewą modyfikacją strategii stop-loss. Polega oa a tym, że poza poziomem ograiczającym stratę wprowadzoo poziom determiujący rozwiązaie akcji w sytuacji, gdy wartość będzie większa lub rówa pożądaego zysku z iwestycji w istrumety ryku akcji. Poadto w momecie rozwiązaia akcji astępuje kowersja a środki pieięże ulokowae w istrumecie wolym od ryzyka oprocetowaym według stopy wolej od ryzyka. W celu ocey atrakcyjości i optymalizacji wartość końcowa (wartość końcowa akcji lub wartość końcowa ulokowaa w istrumecie wolym od ryzyka) będzie dyskotowaa a początek okresu iwestycji. Stopa dyskota jest rówa tej samej stopie wolej od ryzyka. Warto także admieić, iż w pracy Czerika [2007] zapropoowao pewą miarę ryzyka opartą a strategii podobej do strategii stop-loss & profit. Rysuek 1 przedstawia przykładowe realizacje iwestycji. Jak wyika z rysuku 1, wartość końcowa iwestycji jest ograiczoa od góry przez wartość 1,2 (liczba przykładowa, dobraa w celu prezetacji strategii) oprocetowaą a cały okres trwaia iwestycji. Góre ograiczeie mogłoby być osiągięte jedyie w sytuacji, gdy góry poziom kowersji (profit) zostałby osiągięty a początku iwestycji. Dole ograiczeie końcowej wyosi 0,8 (wartość przykładowa dobraa w celu prezetacji). Sytuacja taka miałaby miejsce jedyie wtedy, gdy doly poziom kowersji (loss) byłby osiągięty a koiec okresu. Wartość obeca iwestycji (zdyskotowaa wartość końcowa) jest ograiczoa od góry przez poziom 1,2 oraz od dołu przez zdyskotowaą wartość 0,8.

3 9 Stra tegia stop-loss & profit 1. Przykładowe realizacje iwe estycji. Doly pozi iom rozwiązaia akcji wy- osi 0, 8, góry 1,2 Źródło: Opracowaie włase. Formaly zapis dyamiki iwestycji ma postać: " "losowa ewolucja" jeżelii ( s ( P dp t = s > loss P s < profit) ( 1.1) Pt rdt jeżeli ( s t) : ( P s losss Ps profit) gdzie: losowa ewolucja kapitałł ulokoway w portfelu akcji, P t wartość iwestycji w chwili t,, r stopa wola od ryzyka, dt ifiitezymaly przyrost czasu, losss doly poziom kowersji akcj ji, profit góry poziom kowersji wart tości akcji. Wyrażeie dp t = Ptdt jest rówoważe stwierdzeiu, że wartość kapitału jest oprocetowaaa według stopy (itesywości oprocetowaia) kapitalizacji ciągłej r. t) : 1.1. Dyamika port tfela akc cji W opracowaiu założoo, żee dyamika ce akcji jest opisaaa geometrycz- ym ruchem Browa [Merto, 1973; Øksedal, ]: ds i = μ i S i idt + σ i S i dw i, (1.2 2)

4 10 Tadeusz Czerik gdzie: S i cea i-tej akcji, μ i dryf i-tej akcji, σ i zmieość i-tej akcji, W i proces Wieera. Wartość akcji w dowolym momecie jest daa wzorem: P = S, (1.3) t i i i= 1 gdzie: i liczba akcji i-tego podmiotu, liczba podmiotów, których akcje zajdują się w portfelu. Ifiitezymala zmiaa akcji może być zapisaa astępująco: dp = ds. (1.4) t i i i= 1 W zapisie tym skorzystao z waruku samofiasowaia, tz. zmiaa może się jedyie dokoać a skutek zmiay cey istrumetów wchodzących w skład. Zmiaa liczby akcji ie wpływa a wartość. Poadto założoo brak kosztów trasakcyjych. W przypadku strategii kup i trzymaj (do mometu osiągięcia poziomu loss lub profit) rówaie to moża zapisać: i dalej: ( μ σ ) (1.5) dp = S dt + S dw t i i i i i i i= 1 ( μ ) σ. (1.6) dp = S dt + S dw t i i i i i i i i= 1 i= 1 Korzystając z własości procesu Wieera, rówaie (1.6) moża zapisać w postaci: dp = μ dt + σ dw, (1.7) gdzie: μ = μ S dryf, P i i i i= 1 t p P P = i i Si + 2 i j i j ijsisj i= 1 i= 1 j> i zmieość, σ σ σσ ρ

5 Strategia stop-loss & profit 11 ds ds i j ρ = corr, = corr dw,dw Si S j dw proces Wieera. ( ) ij i j współczyik korelacji, Jak moża zauważyć, przydatość wzoru (1.7) w symulacjach jest wątpliwa dryf i zmieość zależą od ce akcji i tym samym musiałyby być geerowae osobo. Optymalym wyborem formuł w ewetualych symulacjach (strategia kup i trzymaj) są wzory (1.4) oraz (1.2). W przypadku stałej struktury owej (iezmiey odsetek jest ulokoway w każdej z akcji) wzór (1.4) moża zapisać astępująco: gdzie w S dp S ds ds P P S S t i i i i = = wi t i= 1 t i i= 1 i, (1.8) i i i = jest odsetkiem kapitału zaiwestowaego w i-tą akcję. Pt Jak łatwo zauważyć, suma wag wyosi jede: S 1 1 = = = = 1 i i wi S i i Pt i= 1 i= 1 Pt Pt i= 1 Pt. (1.9) Dodatia wartość wagi w i ozacza długą pozycję, atomiast wartość ujema krótką sprzedaż. Wzór (1.8) moża zapisać w postaci: dpt P t ds = = + S i wi wi( μidt σidwi). (1.10) i= 1 i i= 1 Podobie jak wyżej, wzór (1.10) moża przedstawić astępująco: gdzie: μ = w μ dryf, dp = μ Pdt + σ PdW, (1.11) t p t P t P i i i= P = wi i + 2 ww i j i j ij i= 1 i= 1 j> i zmieość, σ σ σ σ ρ ds ds i j ρ = corr, = corr dw,dw Si S j dw proces Wieera. ( ) ij i j współczyik korelacji,

6 12 Tadeusz Czerik Z powyższego wyika, że w przypadku stałej struktury owej (w i = cost) wielkości μ P oraz σ P są stałe, tym samym rówaie (1.11) ozacza, że wartość jest geometryczym ruchem Browa. 2. Miary atrakcyjości/ryzyka Podstawowymi wielkościami decydującymi o włączeiu akcji do, a ostateczie także o optymalej strategii, są miary atrakcyjości i ryzyka. W poiższym opracowaiu ie zostaie omówioy związek miar ryzyka i atrakcyjości z teorią użyteczości. Pierwszą z omówioych miar atrakcyjości jest oczekiwaa stopa zwrotu: P P 1 = = 1. (1.12) t 0 ERt E EPt P0 P0 W sytuacji gdy oceiamy strategię wyłączie ze względu a oczekiwaą stopę zwrotu, moża rówoważie oceić strategię, stosując wartość oczekiwaą przyszłej lub zdyskotowaą (według ustaloej stopy, p. stopy wolej od ryzyka) wartość oczekiwaą przyszłej : rt rt ( t) ( t) E e P = e E P. (1.13) Wariacja stopy zwrotu z jest jedą z klasyczych miar ryzyka: 2 2 Pt P D Rt = D = D P 2 t, (1.14) P0 P0 gdzie D 2 (X) ozacza wariację wielkości X. Podobie jak w przypadku oczekiwaej stopy zwrotu, rówoważie moża rozważyć wariację zdyskotowaej : rt rt ( t) ( t) D e P e D P =. (1.15) Poieważ wariacja stopy zwrotu ie odróżia wzrostów i spadków, zapropoowao wiele jej modyfikacji, w tym między iymi semiodchyleie. W iiejszym opracowaiu ie będzie oo rozważae. Koleją miarą ryzyka jest wartość zagrożoa VaR (Value at Risk) [Holto, 2003; Artzer, Delbae, Heath, 1999]: ( ) P P P VaR α = α, (1.16) t 0

7 Strategia stop-loss & profit 13 gdzie α jest poziomem istotości (w zależości od kotekstu zwykle zawiera się w przedziale od 0,001 do kilku dziesiątych). Podobie jak wcześiej, moża rówoważie rozważyć wartość zagrożoą zdyskotowaej (wartość P 0 przesuwa jedyie rozkład zmieej losowej, jaką jest zdyskotowaa wartość ): rt rt ( t 0 ) P e P P e VaR α = α. (1.17) W dalszej części opracowaia będzie stosowaa poiższa otacja: rt ( t 0 ) P e P P VaR α = α, (1.18) gdzie VaR α jest ą zagrożoą zdyskotowaej. Notacja ta ie zaburza uporządkowaia ryzyka. W teorii i praktyce decyzji iwestycyjych są także rozważae ie miary, p. warukowa wartość zagrożoa czy też maksymala strata, jedak ie będą oe rozważae w dalszej części opracowaia. 3. Symulacje Rozważay w opracowaiu portfel akcji będzie się składał z akcji dwóch podmiotów, których ewolucja ce będzie daa rówaiem (1.2). W celu prezetacji strategii stop-loss & profit przeprowadzoo symulacje (rozwiązao umeryczie stochastycze rówaia różiczkowe opisujące ewolucje ce akcji i, stosując algorytm Eulera-Maruyamy [Kloede, Plate, 2013]) w przypadku strategii stałej struktury owej (iezmiee wagi S i i wi = = cost ). Wartości parametrów determiujące: stochastyczą ewolucję Pt ce akcji, stopę wolą od ryzyka (wprowadzeie stopy wolej od ryzyka pozwala otrzymać aalogie do bieżącej etto) oraz horyzot iwestycji wybrao arbitralie. S i i Strategia stałej struktury owej ( wi = = cost ) wymaga ciągłej Pt rekostrukcji w celu przywróceia pierwotej wag w i. Możliwe jest rówież przeprowadzaie restrukturyzacji w sytuacji, gdy wybraa miara ryzyka wskazuje a przekroczeie założoych wcześiej limitów (tu rekostruowao portfel w sposób ciągły). Jedak strategia ta ie jest sesu stricto strategią o stałej strukturze owej. W opracowaiu założoo brak kosztów trasakcyjych. Założeie to sprawia, że portfel jest portfelem samofiasującym.

8 14 Tade eusz Czerik We wszystkich przebiegach symulacyjych założoo idetycze astępujących parametrów: P 0 = 1 początkowa wartość, profit = 1,,2 poziom profit, losss = 0,8 poz ziom loss, r = 0,05 stopa wola od ryzyka. Poadto wykluczooo krótką sprz zedaż (w i [0,1 1]). Rysuki 2 i 3 przedstawiają war iację zdyskotowaej wart tości port fela dla μ 1 = 0,1, μ2 = 0,1, σ 1 = 0,1, σ 2 = 0, 1, ρ 12 = 0, w przypadku odp powiedio strate- gii bez ograiczeńń oraz strategii stop-loss & profit dla różych długości hory y- zotów iwestycji T. 2. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia bez ograiczeńń Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte-

9 15 Stra tegia stop-loss & profit 3. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte- Jak wyika z powyższych rysuków, wariacja dla strate- gii stop p-loss & profit jest mie ejsza od wariacji dla strategii bez ograiczeńń (je- dyie w przypadku krótkiego horyzotu czasu T różice są iewielkie). Jest to zrozumiałe, gdyż stra ategia stop p-loss & profit ograicza rozproszeie potecjal- ych iwestycji. Poło ożeia optymalych wag różią sięę po- międzyy strategiami. Poadto w przypadku długich horyzotów T wariacja war r- tości dla strategii stop-losss & profit posi iadaa maksimum. Wy ika to faktu, iż jeżeli zostaą osiągięte graice obszaru, to astępuje kowersja środ d- ków zaiwestowaych w akcje a środki pieięże pozbawioe ryzyka. Dlatego malejee iepewośćć (część trajektorii wykazuje determiistycz- ą ewo olucję). Wartości przyjętych parametrów sprawiają, żee (dla horyzotu T = 2) dla wagi w 1 0,2 jest bard dzo prawdopodobe, że bariery ie zostaą osiągięte (losowa atura ewolucji zostaie zachowaa), co iekoieczie skutku- je wzro ostem zagrożeia stratą. Jak wyika z powyższego, w przypadku strategii stop-loss & prof fit wari iacja war rtości ie jest odpowiediąą miarąą ryzyka. Rysuki 4 i 5 przedstawiająą wariację zdyskotowaej, gdy μ 1 = 0,1, μ 2 = 0,3, σ 1 = 0,,5, σ 2 = 0,1, ρ 12 = 0,9 dla odpowiedio strategii bez ograiczeń oraz strategii stop-loss & profit dla różych horyzotów iwe- stycji T.

10 16 Tade eusz Czerik 4. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia bez ograiczeń Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte- 5. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte-

11 Podobie jak wcześiej, ryzyko mierzoe wariacjąą w strategii stop-loss strategii stop-loss & profit) ) występuje spłaszczeiee wykresu warto- ści wariacji. Z jedej stroy wydaje się to być cechąą pożądaą, gdyż wartość wariacji ie jest wrażliwa a drob be wahaiaa wagi. Jedak, jak zauw ważoo wcześiej, wari iacja ie jest w tym przypadku odpowiedią miarą ryzyka. Dzieje się tak dlatego, że ie wiemy, czy redukcja ryzyka wystąpi- ła a skutek przekroczeia górej czy dolej graicy obszaru. Z tego względu poiżej zaprezetowao wyiki prze edstawiające zależość war rtości zagr rożoej od skła adu. Rysuki 6 i 7 przedstawiają wykresy zagrożoej zdyskotowaej w zależości od składu (wagi w 1 ) dla astępujących parametrów: μ 1 = 0, 1, μ 2 = 0,,1, σ 1 = 0,1, σ 2 = 0,1, ρ 12 = 0,9. Podob- ie jak poprzedio, odpowiedio dla strategii bez ograiczeńń oraz strategii stop p- losss & profit dla różych horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,05. & profit zostało zaczie zredukowae. W okolicy w 1 0 0,2 (w Stra tegia stop-loss & profit Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,05. Strategia bez ograiczeń Źródło: Opracowaie włase.

12 18 Tade eusz Czerik 7. Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Pozi iom istotości α = 0,05. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase. Podobie jak w przypadku wariacji, wykresy zagrożoej dla krótkich horyzotów czas su prak ktyczie się ie różią. Dla dłuż ższych horyzotów iwestycj ji występuje redukcja ryzyka mier rzoego ą zagrożoą. Poa adto zauważamy y, że w przypadku strategii stop-loss & profit wartość zagrożoa jest ograiczoa od góry przezz warto ość wyoszącą około 0,27. Wyika to z faktu, iżż wartość zagrożoa zdyskotowaej jest miejsza lub rówa od P 0 loss e rt 0,,276. Z uwag gi a osią ągaą wartość VaR (dla długich horyzotów) dla wagi w 1 bliskiej 1 moża wioskować, że jest bardzo prawdopodobe prze ekroczeiee pozio- mu losss (μμ 1 jest ujeme, a zmi ieości są idetycze dla obu akcji). Natomiast rysuki 8 i 9 przedstawiająą wykresy zagrożoej zdys s- kotowaej war rtości w zależ żości od składu (wagi w 1 ) dla a- stępujących war rtości parametrów: μ 1 = 0,1, μ 2 = 0,3, σ 1 = 0,5, σ 2 = 0,1, ρ 12 = 0,,9 w przy ypadku odpowiedio: strat tegii bez ograiczeńń oraz strategii stop-loss & prof fit dla różych hory yzotów iwestycji T. Poziom istotości wyosi α = 0,15. W przypadku strategii bez ogra aiczeńń miimalaa wartość zagro- żoej ie jest ograiczoa od dołu ujema wartośćć VaR ozacza zysk. Maksy- mala wartość zagrożoaa w tej strategiii jest ograiczoa od dołu przez P 0. Jed- ak w zakresie wag [0,1] ogra aiczeie to ie jest osiągae. Wartość zagrożoa w przy ypadku strategii stop-losss & profit, podobie jak wcześiej, jest ogr raiczo- a od góry przez P 0 loss e rt 0,276. Jedak z powodu stosukowoo wysokiej istotości (α α = 0,15) ie jest oa osią ągaa.

13 19 Stra tegia stop-loss & profit 8. Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,15. Strategia bez ograiczeń Źródło: Opracowaie włase. 9. Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,15. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase.

14 20 Tadeusz Czerik Ograiczeie dole wyoszące: P 0 profit = 0,2 ie jest osiągae między iymi z powodu poziomu istotości zaczie różiącego się od 1. Poadto ograiczeie to byłoby osiągięte w sytuacji, w której wartość osiągęłaby wartość 1,2 w ieskończeie krótkim czasie co jest ieprawdopodobe. W przypadku długich horyzotów iwestycji oraz wagi w 1 0,5 widocza jest duża wrażliwość zagrożoej a zmiaę składu. Z rysuku 5 (idetycze parametrów) wyika, że w przypadku średich i długich horyzotów iwestycji wariacja (strategia stop-loss & profit) jest bardzo mała. Fakt te w zestawieiu z iską ą VaR świadczy o szybkim i stosukowo wysoce prawdopodobym osiągięciu górej graicy (profit). W odróżieiu od strategii bez ograiczeń, w przypadku strategii stop-loss & profit wariacja oraz poziom ryzyka mierzoy ą zagrożoą stabilizują się a iskim poziomie w szerokim zakresie wag (w 1 < 0,5). Podsumowaie W opracowaiu zaprezetowao strategię stop-loss & profit. Porówao własości wybraych miar ryzyka: wariację zdyskotowaej oraz wartość zagrożoą zdyskotowaej. Jak wyika z przeprowadzoych symulacji (dla stałej struktury owej), zależość omówioych miar ryzyka w strategii stop-loss & profit, w odróżieiu od strategii bez ograiczeń, od wagi w 1 jest ietrywiala. W przypadku zapropoowaych parametrów zależość ta jest iemootoicza. Miary ryzyka osiągają ie tylko miimum, ale także maksimum. Zapropoowaa tu strategia stop-loss & profit może być dalej rozszerzaa. Na przykład moża przyjąć iesymetrycze (względem początkowej ) poziomy profit i loss. Poadto graice te mogą być fukcjami czasu. Zależość ta może być zarówo determiistycza, jak i losowa. W przypadku losowej zależości graic moża je oprzeć a wybraym bechmarku. Literatura Artzer P., Delbae F., Eber J.-M., ad Heath D. (1999), Coheret Measures of Risk, Mathematical Fiace, 9, s Czerik T. (2007), Zysk przed stratą miara ryzyka z rodziy FPRM [w:] Metody matematycze i ekoometrycze metody ocey ryzyka fiasowego, red. P. Chrza, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej, Katowice, s

15 Strategia stop-loss & profit 21 Czerik T., Iskra D. (2012), Maximal Loss ad Value at Risk. Portfolio Aalysis A Compariso [w:] Mathematical, Ecoometrical ad Computer Methods i Fiace ad Isurace 2010, eds. A.S. Barczak, T. Węgrzy, Publisher of the Uiversity of Ecoomics i Katowice, Katowice, s Holto G.A. (2003), Value at Risk. Theory ad Practice, Academic Press. Kloede P.E., Plate E. (2013), Numerical Solutio of Stochastic Differetial Equatios, Spriger. Merto R.C. (1973), Theory of Ratioal Optio Pricig, Bell Joural of Ecoomics ad Maagemet Sciece, 4 (1), s Meucci A. (2005), Risk ad Asset Allocatio, Spriger. Øksedal B. (2010), Stochastic Differetial Equatios: A Itroductio with Applicatios, Spriger. Szegö G. (2004) (ed.), Risk Measures for the 21st Cetury, Joh Wiley & Sos. STOP-LOSS & PROFIT STRATEGY PORTFOLIO OPTIMIZATION Summary: Oe of the goals of huma activity is icreasig of wealth. Ivestors takig actio o the capital market use very differet strategies. This paper presets a strategy stop-loss & profit. I additio, portfolio optimizatio were coducted from the poit of view of selected measures of attractiveess/risk. Keywords: ivestmet strategy, risk, radom processes.