Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Transkrypt

1 Mciej Grzesik Istytut Mtemtyki Politechiki Pozńskiej Cłki ozczoe. Defiicj cłki ozczoej Niech d będzie fukcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey podprzedziłów puktmi = x < x < x <... < x < x = b Długość i tego podprzedziłu ozczymy x i = x i x i, cły zbiór podprzedziłów ozczymy. Podziłowi możemy przyporządkowć liczbę δ = mx x i, zywą średicą podziłu. Możemy rozptrywć ciąg podziłów ( ). Tki ciąg zywmy ormlym, gdy δ =. Dl dego podziłu wybiermy w kżdym podprzedzile liczbę ξ i, x i ξ i x i i tworzymy sumę σ = f(ξ i ) x i. () Jeżeli dl kżdego ciągu ormlego podziłów przedziłu [, b] kżdy ciąg sum (σ ) dąży do gricy skończoej (iezleżej od wyboru puktów ξ i ), to gricę tę zywmy cłką ozczoą fukcji f(x) w przedzile [, b] i ozczmy przez Sumy () zywmy summi cłkowymi lub summi Riem. Pojedycze skłdiki sumy () są polmi prostokątów o podstwie x i i wysokości f(ξ i ). Sum tych pól jest przybliżeiem pol figury ogriczoej od dołu osią Ox, od góry wykresem fukcji f, z boków odcikmi prostych x =, x = b (tką figurę zywmy trpezem krzywoliiowym). Przybliżeie to jest corz dokłdiejsze gdy rośie. Wrtość gricz, czyli cłk ozczo, jest polem trpezu krzywoliiowego. Uwg. Powyższe określeie cłki dotyczy przypdku gdy < b. Przyjmujemy podto, że f(x) =, b f(x) = f(x) dl < b. Przykłd. Obliczymy z defiicji cłkę x. W tym celu rozptrzymy ciąg podziłów rówych części: Berhrd Riem < < < < =.

2 Pukty ξ i wybierzemy jko środki odpowiedich odcików: Wtedy σ = Ciąg jest stły, więc i ξ i = x i + = i + = i. = (i ) = + ( ) =. x = σ =. Zuwżmy, że dl iego wyboru liczb ξ i, p. ξ i = x i = i σ = i = (i ) = + ( ) Tym rzem ciąg ie jest stły, le gric jest tk sm: =. Jeszcze iczej: gdy ξ i = x i = i, to otrzymmy σ = i = I zowu gric jest tk sm: Twierdzeie. (włsości cłki).. (f(x) ± g(x)) = f(x) = c f(x) + f(x) ± 4. Jeżeli f(x) g(x) dl x [, b], to c i = + + =. g(x) ; Af(x) = A f(x) dl < c < b; f(x) otrzymmy = +. g(x). f(x) ; =. Twierdzeie. (o istieiu cłki) Jeżeli fukcj f jest ogriczo [, b] i m tym przedzile skończoą liczbę puktów ieciągłości pierwszego rodzju, to istieje cłk ozczo Mówimy wtedy, że fukcj f jest cłkowl [, b]. Wiosek. Fukcj f ciągł przedzile [, b] jest cłkowl [, b]. Uwg. Liter, jkiej użyjemy jko zmieej cłkowi jest ieistot, bo f(x) = f(s) ds = f(t) dt = Cłk ozczo jest liczbą, cłk ieozczo zbiorem fukcji. Niemiej te dw pojęci są blisko ze sobą związe. Nstępujące twierdzei, wyjśijące te związek, są podstwowymi twierdzeimi rchuku cłkowego.

3 Twierdzeie (o cłce ze zmieą górą gricą) Jeżeli fukcj f jest ciągł [, b], x to dl kżdego x [, b] istieje cłk ozczo f(t) dt. Moż więc określić fukcję G(x) = x f(t) dt. Fukcj G(x) jest różiczkowl [, b] i G (x) = f(x). Nieformly dowód twierdzei. Chcemy wykzć, że dl dowolego x [, b] jest G (x) = f(x), tz. że G(x + h) G(x) = f(x). h h Gdy f(x) [, b], to G(x) jest rówe polu pod wykresem fukcji f, od do x. Ztem G(x + h) G(x) jest rówe polu pod wykresem fukcji f, od x do x + h. Ituicyjie jest zrozumiłe, że to pole jest rówe polu prostokąt o podstwie h i wysokości rówej f(z) dl pewego z [x, x + h]. Wtedy ilorz G(x+h) G(x) h jest rówy f(z). Z ciągłości fukcji f wyik, że gdy h, to z x orz f(z) f(x). Tego włśie chcieliśmy dowieść. Przykłd. Obliczyć G(x), gdy { x dl x [, ] f(x) = + x dl x [, 3] Rozwiązie. Trktując G(x) jk pole odpowiediego obszru zuwżmy jpierw, że gdy x [, ], to obszr jest trpezem o podstwch 3 i f(x) = x orz wysokości x+. Ztem G(x) = 3+ x (x + ) = x + x + 4. W szczególości G() = 4. Gdy x [, 3], to obszr jest sumą dwóch trpezów: tego lewo od osi Oy i trpezu o podstwch i f(x) = + x orz wysokości x. Ztem G(x) = G() + ++x x = x + x + 4. Ostteczie { G(x) = x + x + 4 dl x [, ] x + x + 4 dl x [, 3] Moż sprwdzić (z defiicji), że t fukcj jest różiczkowl w zerze. Twierdzeie 4. (Newto-Leibiz) Jeżeli F jest dowolą fukcją pierwotą fukcji f ciągłej [, b], to f(t) dt = F (b) F (). D o w ó d. Niech G ozcz fukcję pierwotą zdefiiową wyżej: G(x) = dl dowolego x [, b] G(x) F (x) = C. Dl x = jest G() =. Ztem C = F (), więc Jeśli terz podstwimy x = b, to G(x) F (x) = F (). x f(t) dt. Wtedy ztem f(t) dt F (b) = F (), f(t) dt = F (b) F (). 3

4 To kończy dowód. Zmist F (b) F () piszemy F (x) b lub [F (x)] b. 8 Przykłdy.. 3 x ;. 4. (x + 3 x ) ; 3 π ( si x 3 cos x). 3 +x. Nstępujące twierdzei ułtwiją obliczie cłek. Twierdzeie 5. (o cłkowiu przez podstwieie) Jeżeli fukcj f(t) jest ciągł zbiorze wrtości fukcji t = ϕ(x) ciągłej i mjącej ciągłą pochodą w [, β] orz jeżeli ϕ() =, ϕ(β) = b, to Przykłdy x ; f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Podstwimy x = t, więc x = (t + ) orz = (t + ) dt. Gdy x = 4 to t =, gdy x = 9 to t =. Ztem 9 4 = x (t ) t dt = [t l t] = ( l ). e x +e ; Podstwimy e x = t, więc x = l t orz = dt x t x = to t = e. Ztem π/ cos x si x. e e x + e x = dt e t(t + t ) =. Gdy x = to t =, gdy dt t + = rctg t e = rctg e π 4. Podstwimy t = cos x, więc dt = si x. Gdy x = to t =, gdy x = π to t =. Ztem π/ cos x si x = ( t ) dt = t dt = 3. Twierdzeie 6. (o cłkowiu przez części) Jeżeli fukcje u(x) i v(x) mją w przedzile [, b] ciągłe pochode, to Przykłdy... xe x ; l x ; u(x)v (x) = u(x)v(x) b 4 v(x)u (x).

5 π π x si x. Ze wzorów redukcyjych dl cłek ieozczoych si x = cos x si x + si x,, cos x = si x cos x + cos x,, wyikją wzory dl cłek ozczoych: π/ π/ si x d x = cos x d x, = π/ π/ si x d x, cos x d x,. Zstosowie cłek w geometrii.. Obliczie pól Pole trpezu krzywoliiowego ogriczoego od dołu osią Ox, od góry wykresem fukcji f(x), z boków odcikmi prostych x =, x = b wyosi: P = Jeżeli fukcj ogriczjąc z góry m rówi prmetrycze x = x(t), y = y(t), gdzie t β, orz x(t) jest rosąc i m ciągłą pochodą [, β] y(t) jest ciągł i ieujem [, β] x() =, y(β) = b to: P = y(t)x (t) dt. Jeżeli x(t) jest mlejąc (pozostłe złożei jk wyżej), to P = y(t) x (t) dt. Jeżeli obszr jest ogriczoy od dołu wykresem fukcji g, od góry wykresem fukcji f, z boków odcikmi prostych x =, x = b, to wzór pole uleg modyfikcji i m postć: P = (f(x) g(x)). Uwg. Nie m zczei, czy wykresy są d osią Ox, czy ie. Wże jest jedyie by f(x) g(x) dl dowolego x [, b]. Przykłdy. Obliczyć pol figur ogriczoych krzywymi: 5

6 . xy =, y =, x =, x =.. y = 4x + 4, y = x. x + y b = (elips). Wsk. Korzystmy z symetrii elipsy: P = 4 b x. Wrtość cłki uzyskujemy bez liczei iterpretując ją jko pole ćwirtki koł. Moż też obliczć pole posługując się rówimi prmetryczymi elipsy x = cos t, y = b si t. 4. x = (t si t), y = ( cos t), t π, y = (łuk cykloidy). Jeżeli w bieguowym ukłdzie współrzędych mmy obszr określoy ierówościmi: ϕ β, ρ ρ(ϕ), gdzie ρ(ϕ) jest pewą krzywą (tki obszr jest trójkątem krzywoliiowym), to jego pole obliczmy stosując wzór P = ρ (ϕ) dϕ Uzsdieie. Przedził [, β] dziey podprzedziły: = ϕ < ϕ < ϕ < < ϕ < ϕ = β obszr podobszry W i, które są w przybliżeiu wycikmi koł; kąt wycik W i to ϕ i = ϕ i ϕ i, promień to ρ(ψ i ), gdzie ψ i (ϕ i, ϕ i ) jest pewą liczbą. Sum pól tych wycików (ρ(ψ i)) ϕ i jest przybliżoą wrtością pol obszru, które jest tym lepsze im większe jest. W gricy otrzymujemy cłkę (ρ(ψ i)) ϕ i = ρ (ϕ) dϕ Przykłdy. Obliczyć pol figur ogriczoych krzywymi:. ρ = ϕ dl < ϕ < π ;. ρ = cos ϕ, gdzie > (lemiskt Beroullego).. Długość łuku Aby obliczyć długość łuku krzywej y = f(x) głdkiej (tz. zkłdmy, że fukcj f jest różiczkowl) dl x b przedził [, b] dziey puktmi = x < x < x <... < x < x = b i tworzymy łmą P P... P, gdzie P i = (x i, f(x i )). Długość tej łmej jest sumą długości odcików P i P i = (x i x i ) + (f(x i ) f(x i )). Z twierdzei o wrtości średiej istieje w i (x i x i ) tkie, że Ztem f(x i ) f(x i ) = f (w i )(x i x i ) P i P i = (x i x i ) + (f (w i )(x i x i )) = (x i x i ) + (f (w i )) = gdzie x i = x i x i. = + (f (w i )) x i, 6

7 Długość cłej łmej wyosi P i P i = + (f (w i )) x i, i jest to przybliżeie długości łuku krzywej y = f(x). W gricy otrzymujemy cłkę + f (x). Ztem otrzymliśmy stępujące twierdzeie Twierdzeie 7. Jeżeli fukcj f jest różiczkowl (, b), to długość łuku krzywej y = f(x) dl x b jest rów l = + f (x). () Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. f(x) = l cos x, x π 4 ;. x /3 + y /3 = /3, gdzie > (steroid). Wsk. Korzystmy z symetrii steroidy i liczymy długość łuku w I ćwirtce płszczyzy. Stosując wzór pochodą fukcji uwikłej sprwdzmy jpierw, że +(y ) = /3 x /3, co umożliwi obliczeie pierwistk. Odp. 6. Moż też obliczyć długość steroidy posługując się rówimi prmetryczymi: x = cos 3 t, y = si 3 t i wzorem podym iżej. Twierdzeie 8. Jeżeli fukcje x(t) i y(t) są różiczkowle (, β), to długość łuku krzywej określoej prmetryczie: x = x(t), y = y(t) dl t β, wyrż się wzorem: l = (x (t)) + (y (t)) dt. (3) Jeżeli we wzorze (3) podstwimy x = t, y = f(t), to otrzymmy wzór (). Ztem wzór () jest szczególym przypdkiem wzoru (3). Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. x = (t si t), y = ( cos t), t π (łuk cykloidy). Odp. 8..x = e t si t, y = e t cos t, t π W bieguowym ukłdzie współrzędych, dl krzywej ρ = ρ(ϕ), ϕ β: l = (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ. (4) Rówież te wzór jest szczególym przypdkiem wzoru (3), gdy x = ρ cos ϕ, y = ρ si ϕ (sprwdzić!). Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. ρ = si 3 ϕ 3, ϕ [, 3π];. ρ = si ϕ, >, ϕ [, π]. 7

8 . Objętość i pole powierzchi brył obrotowych W ukłdzie Oxy rozptrujemy krzywą o rówiu y = f(x), x b, i obrcmy ją dokoł osi Ox. Krzyw zkreśl wtedy powierzchię. Po zmkięciu tej powierzchi płszczyzmi x = i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wyosi: V = π f (x), pole powierzchi boczej S = π f(x) + (f (x)). W przypdku rówń prmetryczych x = x(t), y = y(t) dl t β, odpowiedie wzory to: V = π y (t) x (t) dt, S = π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. Przykłdy.. Obliczyć objętość bryły powstłej przez obrót elipsy x + y b = dokoł osi odciętych. Odp. 4 3 πb.. Obliczyć objętość bryły powstłej z obrotu jedego łuku cykloidy x = (t si t), y = ( cos t), t π dokoł osi odciętych. π V = π y (x) = π π π y (t)x (t) dt = π 8 3 si 6 t dt = 5π 3. Obliczyć pole powierzchi powstłej przez obrót dokoł osi Ox krzywej y = si x, x π. Wsk.: zstosowć wzór: x + = l x + x + + x x + + C Odp. π[ + l( + )]. 4. Obliczyć pole powierzchi powstłej przez obrót steroidy x = cos 3 t, y = si 3 t, > dokoł osi Ox. Odp. 5 π. 8

9 Zstosowi fizycze. Drog Jeżeli pukt porusz się po prostej ze zmieą prędkością v = v(t), to drog przebyt w przedzile czsu [t, t ] wyosi s = t t v(t) dt. Przykłd. Prędkość puktu wyosi v =, 6t sek. Jką drogę przebędzie pukt w czsie T = sek począwszy od początku ruchu? Jk jest prędkość średi? Odp. Mmy s = m, 6t dt = m. Prędkość średi: v = = m sek. Przykłd. Pukt mterily porusz się po prostej pod dziłiem stłej siły F. Zjdź jego prędkość v = v(t) i przyspieszeie = (t). Rozwiązie. N mocy II zsdy dymiki = F m. Ztem gdzie v = v(t ). Nstępie t s(t) = s(t ) + t v(t) = v(t ) + t t F m du = v + F m (t t ), ( v + F m (t t ) ) du = s + v (t t ) + F m (t t ). W szczególości w pobliżu Ziemi, gdy F m pioowym (pomijmy opór powietrz): = g otrzymujemy wzór drogę przy rzucie Gdy t = wzór uprszcz się do s(t) = v (t t ) g (t t ). s(t) = v t g t. Nleży pmiętć, że cłk fukcji prędkości dje w wyiku drogę etto. N przykłd dl obiektu wyrzucoego w górę z prędkością v = 9, 6 m/s fukcj prędkości to v(t) = v gt = 9, 6 9, 8t. Ztem drog etto w czsie pierwszych 4. sekud to s = le drog cłkowit to s = 4 ( 9, 8t + 9, 6)dt + ( 9, 8t + 9, 6)dt = 4 [ 9, 8 t + 9, 6t ] 4 =, ( 9, 8t + 9, 6)dt = 9, 6 + 9, 6 = 39,. 9

10 . Prc Jeżeli zmie sił F = f(x) dził w kieruku osi Ox, to prc tej siły przedzile [x, x ] wyosi W = x x Przykłd. Jką prcę leży wykoć by rozciągąć sprężyę o 6 cm, jeżeli sił N rozciąg ją o cm? Odp. Zgodie z prwem Hooke F = kx dl pewej stłej k. Podstwijąc F = [N] i x =, [m] otrzymujemy k =. Ztem F = x orz W =,6 x =, 8 J. Przykłd. Jką prcę leży wykoć by wyieść kg obiekt z powierzchi Ziemi odległość D od środk Ziemi? Rozwiązie. N mocy prw grwitcji sił dziłjąc obiekt jest rów F = k r, gdzie k = GMm jest stłą (G to stł grwitcji, M ms Ziemi, m ms obiektu). Ztem W = D r k r dr = k D = k r r D + k, r gdzie r jest promieiem kuli ziemskiej. Moż wyliczyć, że k 3, Biorąc r = 6378 km otrzymmy liczbowo (w dżulch) W = k D + 6, 5 8. Gdy D rośie, to W też rośie, gdyż skłdik który odejmujemy mleje. Prc jedk ie przekroczy 6, 5 8 dżuli. 4. Cłki iewłściwe Jeżeli fukcj f(x) jest ciągł w (, b] i jest ieogriczo w otoczeiu puktu, to określmy cłkę iewłściwą pierwszego rodzju: f(x) = ε +ε Alogiczie określmy cłkę z iewłściwością w gricy górej: f(x) = ε b ε Jeżeli powyższe grice istieją i są skończoe, to cłki zywmy zbieżymi; w przeciwym przypdku (tj. gdy grice ie istieją lub są iewłściwe) cłki zywmy rozbieżymi. Przykłdy.. x = ;. x l x = l ;

11 (x ) (rozbież). Czsem wystrcz iformcj, czy cłk jest zbież, czy ie. Moż wtedy zstosowć kryterium porówwcze: Jeżeli f(x) g(x) w (, b) i cłk g(x) jest zbież, to f(x) też jest zbież. Cłkmi iewłściwymi drugiego rodzju zywmy cłki po przedzile ieogriczoym: Przykłdy.. e x = ;. 4. x +x = l ; si x jest rozbież. x +x+ f(x) = f(x) = f(x) = c b f(x), f(x), f(x) + b c