Matematyka dyskretna

Transkrypt

1 Lista 1 Zadaie1.Wyzaczwszystkieparywrelacjiρ X Y,gdzie (a)x={1,2,3},y={6,7,8}iρ={(x,y):x y}, (b)x=y= Niρ={(x,y):x 2 +y 2 10}. Zadaie 2. Które z własości, tz. zwrotość, symetrię, atysymetrię, przechodiość, posiadarelacjaρ X X? (a)x=zbiórprostychapłaszczyźie,ρ={(x,y):x y}, (b)x=zbiórprostychapłaszczyźie,ρ={(x,y):x y}, (c)x=zbiórprostychapłaszczyźie,ρ={(x,y):x y }, (d)x=zbiórprostychapłaszczyźie,ρ={(x,y): x y =1}, (e)x=zbiórsłów,ρ={(x,y):słowoxmatęsamądługośćcosłowoy}, (f)x=zbiórsłów,ρ={(x,y):słowoxmawspóląprzyajmiejjedąliteręzesłowemy}, (g)x= R,ρ={(x,y):x y}, (h)x= R,ρ={(x,y):x<y}, (i)x= R,ρ={(x,y):0 xy}. Zadaie 3. Które z podstawowych własości spełiają astępujące relacje? (a)xρy x y,dlax,y N 0, (d)xρy x < y dlax,y R, (b)xρy 2 (x+y)dlax,y N, (c)xρy 3 (x y)dlax,y N, (e)xρy x+y=1dlax,y R, (f)xρy 1 x+ydlax,y R. Zadaie4.Ograiczającrelacje(a),(b),(c)zzadaia2dozbioru{1,2,...,8}sporządzić tabelki tych relacji. Zadaie 5. Które z podstawowych własości ma relacja określoa a zbiorze X formułą aρb wd(a,b)=1. Jak zmiei się ta relacja(i jej własości), gdy przyjmiemy: (a)x={2,3,4,...}, (b) X = zbiór liczb parzystych, (c) X = zbiór liczb pierwszych. Zadaie 6. Które z relacji opisaych w zadaiach 2, 3 są relacjami rówoważości? Dla takich relacji wyzaczyć klasy abstrakcji.

2 Zadaie 7. Na zbiorze liczb całkowitych Z określamy astępującą relację: xρy x 2 =y 2. Uzasadij, że to relacja rówoważości i wyzacz jej klasy abstrakcji. Zadaie8.NiechX ={1,2,3,4,5}iiechρbędzierelacjąwrodziie2 X wszystkich podzbiorów zbioru X określoą w astępujący sposób: AρB A = B, gdzie C ozacza ilość elemetów zbioru C. Sprawdzić, że relacja ρ jest relacją rówoważości. Podać klasę rówoważości tej relacji o reprezetacie{1, 2}. Zadaie9.Czyazbiorze{x R:0 x 2}istiejerelacjarówoważości,którejklasamiabstrakcjisązbiory:{x R:0 x 3 2 }oraz{x R:1<x 2}. Zadaie 10. Wykazać, że każda z poiższych relacji jest relacją rówoważości i wyzaczyć jej klasy abstrakcji: (a)xρy x = y dlax,y R, (b)kρ kmatylesamocyfrco,dlak, N, (c)(m 1, 1 )ρ(m 2, 2 ) m =m dla(m 1, 1 ),(m 2, 2 ) N 2, (d)(x 1,y 1 )ρ(x 2,y 2 ) x 1 3y 1 =x 2 3y 2 dla(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) R 2. Zadaie11.Określićrelacjęrówoważościapłaszczyźie R 2,takabyklasamiabstrakcji tej relacji były: (a)prostepostaciy=3x+b,b R, (b)okręgiośrodkuwpukcie(0,0)ipromieiachr 0. Zadaie 12. Niech l będzie ustaloą prostą a płaszczyźie Π. Określamy relację ρ a zbiorze wszystkich prostych a płaszczyźie Π w astępujący sposób Czy relacja ρ jest relacją rówoważości? kρm k l oraz m l.

3 Lista 2 Zadaie 1. Które z relacji określoych a poprzediej liście są fukcjami? Zadaie2.Którazpoiższychrelacjiρ {1,2,3,4,5} {a,b,c,d,e}jestfukcją?dla każdej z takich relacji wyzaczyć relację odwrotą. Która z ich jest fukcją? (a)ρ={(1,b),(1,c),(3,d),(2,a)}, (b)ρ={(1,c),(2,d),(4,e),(3,a),(5,b)}, (c)ρ={(2,b),(4,c),(2,a)}, (d)ρ={(1,d),(2,d),(5,e),(3,a),(4,e)}. Zadaie 3. Która z astępujących fukcji jest surjekcją, która iiekcją, a która bijekcją? Dla bijekcji wyzaczyć fukcje odwrote. (a)f: R R, f(x)=x 3, (b)f: R R, f(x)= x + x 1, (c)f:[1, ) [1, ), f(x)= x + x 1, (d)f:(0, ) R, f(x)=log 2 x, (e)f:[1, ) R, f(x)=x 2 2x, (f)f:[1, ) [ 1, ), f(x)=x 2 2x. Zadaie 4. Wykazać, że złożeie surjekcji(iiekcji) jest surjekcją(iiekcją). Zadaie5.Daajestfukcjaf: R RorazzbioryAiB.Zaleźćzbioryf(A)if 1 (B), gdy (a)f(x)= x 2 4,A=[0,1],B=[2,4], (b)f(x)= x 2 2x,A=( 1,1),B=(0, 3 4 ), (c)f(x)=2 x,a=[1,3),b=[3,5).

4 Lista 3 Zadaie 1. Wykazać, że relacja rówoliczości zbiorów jest rówoważością. Zadaie 2. Czy astępujące zbiory są rówolicze? (a)a={a,b,1,2},b={α,β,γ,δ}, (b)a={x R:x 2 2x+1=0},B=, (c)a=n,b={ N:=3kdlapewegok N}, (d)a={ N:10<},B= N, (e)a=n,b= Z, (f)a=(0,1),b=(1, ), (g)a=(,0],b=[0, ), (h)a=(0, ),B=(a, ), (i)a=(0,1),b= R, Zadaie 3. Wykazać rówoliczość zbioru puktów we wętrzu i brzegu kwadratu ze zbiorempuktówajedymzjegoboków. Zadaie 4. Wykazać rówoliczość zbiorów puktów dwóch okręgów. Zadaie 5. Czy zbiór, którego każdy podzbiór właściwy jest przeliczaly, jest zbiorem przeliczalym? Zadaie 6. Zbadać moc zbioru wszystkich okręgów a płaszczyźie o środku w pukcie (0,0)ipromieiubędącymcałkowitąwielokrotością 2.

5 Lista 4 Zadaie 1. Sprawdzić, że (a) (2 1)= 2, (b) = (+1), 2 (c) = (+1)(2+1), 6 (d) (3 1)= 32 +, 2 (e) =( ) 2, (f)( ) 2 = 2 (+1) 2, 4 (g) (2 1) 2 = (2 1)(2+1), 3 (h) (2 1) 3 = 2 (2 2 1), (i) (4 3)=(2 1). Zadaie2.Dlajakich Nzachodzi 2 <2? Zadaie3.Dlajakich Nzachodzi6+6<2? Zadaie4.Dlajakich Nzachodzi<2? Zadaie5.Zajdźzbiórliczbaturalych,dlaktórychzachodziierówość Zadaie 6. Udowodij, że dla dowolej liczby aturalej > 0, (a)8 11 3, (b) , (c)5 5, (d)2 2 +, (e)19 ( ), (f)30 5, (g)6 3, (h)6 3 +5, (i) ,

6 Zadaie7.Wykaż,żedla 2liczbapostaci2 2 maakońcuwzapisiedziesiętym cyfrę 6. Zadaie8.NiechA={ N: 2 3+3jestparzysta}.Pokaż,żejeśli Atoi +1 A.JakieliczbyależąwięcdoA? Zadaie 9. Pokaż, że dla dowolej liczby N zachodzi astępująca rówość: (a) (b) (c) (d) (e) (6 5) (6+1) = 6+1, (3 1)(3+2) = 2(3+2), (+1) = +1, (2 1)(2+1) = 2+1, (3 2)(3+1) = 3+1.

7 Lista 5 Zadaie1.Oblicza 4,gdywiadomo,że (a)a 0 =1,a 1 = 1,a +1 =a 2 +a 1dla 1, (b)a 0 =1,a 1 = 1,a +1 =2 a dla 1, { 3a, gdy2, (c)a 0 =1,a 1 = 1,a +1 = 3a, gdy2, dla 1. Zadaie2.Dayjestciągarytmetyczy:2,5,8,11,14,...Podajwzórrekurecyjytego ciągu. Zadaie3.Dayjestciąggeometryczy:8,4,2,1,...Podajwzórrekurecyjytegociągu. Zadaie4.Podajrekurecyjądefiicjęciągua,wktóreja jestwyrażoeprzypomocy a 1.Pamiętajowarukachpoczątkowych. (a)a =10 dla 0, (b)a =5dla 1, (c)a = 3dla 0. Zadaie 5. Zajdź wzór jawy ciągu. Poprawość wzoru uzasadij idukcyjie. (a)a 1 =3,a 2 = 1,a =2a 1 a 2 dla 3, (b)a 0 = 2,a +1 = 1 2a dla 0, (c)a 1 =1,a =2a 1 dla 1, (d)a 0 =2,a 1 =5,a =5a 1 6a 2 dla 2, (e)a 0 =1,a 1 =2,a = a2 1 a 2 dla 2, (f)a 0 =1,a 1 =1,a =10a 1 25a 2 dla 2, (g)a 0 =1,a 1 =1,a = 14a 1 49a 2 dla 2, (h)a 1 =1,a =2a 1 +1dla 1. Zadaie6.Niecha ozacza(a)sumę,(b)sumękwadratów,(c)sumęsześciaów,pierwszychliczbaturalych.podajrekurecyjądefiicjęciągua. Zadaie 7. W pewym mieście jede człowiek zachorował a grypę. Załóżmy, że każda chora osoba zaraża codzieie 4 zdrowe osoby. Ilu będzie chorych po upływie di? Podaj rozwiązaie w postaci jawej i rekurecyjej.

8 Lista 6 Zadaie 1. Piotrek ma w szufladzie 200 białych skarpetek i 300 czarych. Lewe skarpetki są zupełie ieodróżiale od prawych. Niestety Piotr jest daltoistą i ie potrafi też odróżiać awet białego i czarego koloru. Ile skarpetek musi o zabrać, aby mieć pewość, że choć dwie będą tego samego koloru? Ile skarpetek musi o zabrać, aby mieć pewość, że choć 10 będzie tego samego koloru? Zadaie 2. Uzasadij, że wśród wszystkich mieszkańców Wila są co ajmiej dwie osoby, które mają tyle samo włosów a głowie. Zadaie 3. W szufladzie jest 20 sztućców, to zaczy łyżek, oży i widelców. Udowodij, żezajdziemytam7łyżek,lub10oży,lub5widelców. Zadaie4.Kabeldługości100cmtiemydowoliea6częścitak,żedługośćkażdejz tych części wyraża się całkowitą liczbą cetymetrów. Uzasadić, że zawsze któraś z części będzie miała przyajmiej 17cm. Czy zawsze musi powstać część dłuższa iż 17cm? Zadaie 5. Pokazać, że wsród 25 studetów zdających egzami zawsze zajdziemy pięciu, którzyotrzymalitesamąoceęprzyskalioce:2,3,3+,4,4+,5. Zadaie 6. Uzasadij, że wśród pięciu puktów wybraych wewątrz kwadratu wielkości 2 2zawszesądwapuktyodległeoiewięcejiż 2. Zadaie 7. Uzasadij, że wsród dowolych 14 liczb aturalych zajdziemy dwie, które przy dzieleiu przez 13 dają tę samą resztę.

9 Lista 7 Zadaie1.Ilejestliczbaturalychod1do100iepodzielychaiprzez2,aiprzez3? Zadaie2.Ilejestliczbaturalychod1do100iepodzielychaiprzez2,aiprzez3, aiprzez5? Zadaie 3. Zbadao 50 samochodów wykoując testy a poziom zawartości trzech grup zaieczyszczeń: NO, HC i CO. 1 samochód ie spełia żadej z trzech orm, 3 samochody przekroczyły poziom NO i HC, 2 samochody przekroczyły poziom NO i CO, 1 samochód przekroczyłpoziomhcico,6samochodówmazbytwysokipoziomno,4samochody majązbytwysokipoziomhc,a3samochodymajązbytwysokipoziomco.ilesamochodów spełia wszystkie testowae ormy? Zadaie4.Ilejestciągówdługości,gdzie>3,złożoychzcyfr0,1,...,9takich,w którychiewystępującyfry1,2,3. Zadaie5.Nailesposobówztalii52kartmożawybrać1asa?Nailesposobówmoża wybrać1asai1króla?nailesposobówmożawybrać1asa,1królai1damę?aaile sposobówmożawybrać4kartytakabybył1as,1króli1dama? Zadaie 6. Ile jest PIN-ów, czyli cztero-elemetowych słów złożoych z cyfr dziesiętych, takich że żada cyfra się ie powtarza? Zadaie 7. Na kurs tańca uczęszcza pięciu chłopaków i pięć dziewcząt. Kroki taecze ćwiczy się parami. Na ile sposobów może być wykoay jede taiec? Zadaie miu uczestikom pewej koferecji iformatyczej przygotowao kota komputerowe, gdzie ID są 8-zakowe i utworzoe wyłączie z liter a, b. Przydzieloo je późiej losowo. Na ile sposobów było to możliwe? Zadaie 9. Na ile sposobów moża rozstawić 8 wież a poumerowaych polach szachowicy8 8wtakisposób,byżadedwieiezajdowałysięwpoluwzajemegorażeia? Zadaie 10. Mamy 9 białych i 9 czarych klocków o ieodróżialych kształtach. Na ile sposobów możemy zbudować wieżę o wysokości 10 klocków? Zadaie 11. Ile jest różych relacji dwuargumetowych a zbiorze elemetowym? Ile spośród ich jest zwrotych, a ile symetryczych?

10 Lista 8 Zadaie1.Ilejestciągówdługości,>3,złożoychzcyfr0,1,...,9takich,wktórych iewystępującyfry1,2,3.ilejesttakichciągów,żekażdazcyfr1,2,3występujew każdym z ciągów co ajmiej raz? Zadaie2.Nailesposobówztalii52kartmożawybrać5karttak,abyotrzymaćco ajmiej jedego asa, co ajmiej jedego króla i co ajmiej jedą damę? Zadaie3.Ilejestparpostaci(A,B),gdzieA B X,gdy X =? Zadaie 4. Na ile sposobów moża rozmieścić 5 czerwoych kulek w 4 poumerowaych pudełkach? Zadaie 5. Ile jest sposobów rozmieszczeia idetyczych przedmiotów w k poumerowaych pudełkach? Zadaie 6. Na ile sposobów moża wybrać 10 moet mając ieograiczoy zapas po 1, 5,10i20groszy? Zadaie idetyczych listów ma być wrzucoych do 4 różych skrzyek pocztowych. Na ile sposobów moża to zrobić? Ile jest możliwych sposobów, gdy do każdej ze skrzyek muszą być wrzucoe co ajmiej 2 listy? Zadaie 8. Ile moża otrzymać różych mieszaek po 10 cukierków jeśli mamy do dyspozycji 4 rodzaje cukierków w ieograiczoej ilości? Zadaie9.Wykaż,że ( ) + 0 Zadaie 10. Wykaż, że ( )( ) m 0 k + ( ) ( )( ) m k 1 ( ) =2. ( m k )( 0 ) ( ) m+ =. k Zadaie 11. Wykaż, że ( ) ( ) ( ) 2 = ( ) 2. Rozważliczbęwyborówosóbz2-osobowejgrupyzłożoejzmężczyzikobiet.

11 Zadaie 12. Wykaż, że ( ) ( ) ( ) = Rozważ liczbę wyborów z grupy osób podzbioru z wyzaczoym w im przywódcą. Zadaie 13. Wykaż, że ( )( ) 0 k + ( )( ) 1 1 k 1 ( )( ) ( ) k + + =2 k. k 0 k Rozważ liczbę kolorowań dwoma kolorami k rozróżialych obiektów wybraych spośród obiektów.

12 Lista 9 Zadaie 1. Udowodij, że: (a)2 2, (b)6 3, (c)30 5, (d) ,dla 2. Zadaie2.Udowodij,żedlaa,b, N,jeślia,b inwd(a,b)=1,toab. Zadaie 3. Stosując algorytm Euklidesa oblicz NWD(101, 1001) oraz NWD(55, 89). Zadaie4.Któraliczbajestwiększa czy6 19? Zadaie5.Niecha= ,b= ,c= ObliczNWDiNWWdla wszystkichmożliwychparliczboraznwd(a,b,c)inww(a,b,c)? Zadaie6.Niecha= ,b= ,c= ObliczNWDiNWW dlawszystkichmożliwychparliczboraznwd(a,b,c)inww(a,b,c)? Zadaie7.ObliczNWD(24!,24 8 )oraznww(12 12,18 18 ). Zadaie8.ObliczNWD( ,10 43 ). Zadaie9.ObliczNWD( ,2 50 ). Zadaie10.Wyzaczyćwszystkieliczbyaturale>1,dlaktórychliczba 2 1jest pierwsza. Zadaie 11. Wyzaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p + 1 jest pierwsza. Zadaie12.Wyzaczyćwszystkieliczbypierwszep,dlaktórychliczbap 2 +2jestpierwsza.

13 Lista 10 Zadaie 1. Oblicz: (a) mod8, (b) mod9, (c) mod9, (d)18 15 mod11, (e) mod12, (f) mod14. Zadaie 2. Podaj zbiór rozwiązań astępujących rówań: (a)21x 36 5, (d)3x , (g)11x 22 33, (b)4x 7 6, (c)3x 33 27, (e)2x 4 3, (f)16x (h)42x 12 78, (i)8x Zadaie3.Niechbędzieliczbącałkowitąróżąod1.Pokaż,żeiedzieli2 1. Zadaie4.Zajdźostatiącyfręliczby Zadaie5.Wyzaczdwieostatiecyfryliczby Zadaie 6. Udowodij, że liczba aturala jest podziela przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdysumajejcyfrteżjestpodzielaprzez9.jakjestdlaliczby3? Zadaie 7. Zajdź ajmiejszą, ieujemą liczbę x, która przy dzieleiu przez 3 daje resztę2,przydzieleiuprzez5dajeresztę3,przydzieleiuprzez11dajeresztę4,aprzy dzieleiu przez 16 daje resztę 5. Zadaie 8. Zajdź ajmiejszą, ieujemą liczbę x, która przy dzieleiu przez 31 daje resztę23,przydzieleiuprzez12dajeresztę7,aprzydzieleiuprzez35dajeresztę12. Zadaie 9. Zajdź ajmiejszą, ieujemą liczbę x, która przy dzieleiu przez 3 daje resztę2,przydzieleiuprzez13dajeresztę12,przydzieleiuprzez11dajeresztę10,a przy dzieleiu przez 7 daje resztę 1. Zadaie 10. Zajdź ajmiejszą, ieujemą liczbę x, która jest podziela przez 2, przy dzieleiuprzez12dajeresztę7,aprzydzieleiuprzez15dajeresztę2.

14 Lista 11 Zadaie1.Przedstawzapomocąmacierzyicydecjigraf G= V,E wktórym Narysuj te graf V=1,2,3,4 i E= { {1,2},{2,3},{3,4},{1,3},{2,4} }. Zadaie 2. Czy graf(ieskieroway) o 7 wierzchołkach, w którym suma stopi wierzchołków wyosi 30 może być iespójy? Zadaie3.Czygraf G= V,E wktórym V=1,2,3,4,5,6 i E= { {1,4},{1,5},{1,6},{2,4},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6} } jest plaary? Zadaie 4. Sprawdź bez rysowaia grafu, czy w grafie o macierzy sąsiedztwa istieje droga lub cykl Eulera? Zadaie5.CzywgrafieK 17,17 istiejecyklhamiltoa?jeślitaktoilewyosidługość tego cyklu? Zadaie 6. Udowodij, że drzewo jest grafem dwudzielym.