Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Maksyminowe strategie immunizacji portfela"

Transkrypt

1 Alina Kondraiuk-Janyska Maksyminowe sraegie immunizacji porfela rozprawa dokorska Promoor: dr hab. Leszek Zaremba Kaedra Meod Ilościowych Wyższa Szkoła Zarządzania- The Polish Open Universiy Wydział Fizyki Technicznej, Informayki i Maemayki Sosowanej Poliechnika Łódzka Łódź 26

2 Spis reści Wsęp 2 Preliminaria 6 1 Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela 9 2 Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Sraegie ypu DD Model wielomianowy wolny od arbirażu Badania empiryczne Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia 3 4 Różne kryeria wyboru porfela obligacji Kryerium maksyminowe Kryerium bayesowskie Kryerium Γ-maksyminowe Kryerium Markowiza Spis lieraury 46

3 Wsęp Ważnym zagadnieniem dla inwesorów jes zarządzanie ryzykiem sóp procenowych i konrolowanie zmian przyszłych warości w srumieniach pieniężnych. Rozważmy syuację, kiedy inwesor ma zaciągnięy dług L PLN, kóry musi spłacić w momencie m, przy czym inwesor dysponuje w chwili obecnej pewną kwoą B PLN mniejszą niż L PLN. Pojawia się nauralne pyanie jak ją zainwesować, by w chwili spłay zobowiązania posiadać pieniądze na jego pokrycie i czy kwoa B PLN jes dosaecznie duża, aby można było z niej spłacić dług w chwili m. Idealnym rozwiązaniem byłoby, gdyby kwoa B PLN reprezenująca na przykład warość obecną porfela akywów wysarczyła do spłay długu w przyszłości bez względu na zachowanie się sóp procenowych. Jeśli na rynku byłaby dosępna odpowiednia ilość obligacji zerokuponowych wygasających w erminie horyzonu inwesycji, o aki porfel spełniałby powyższe kryerium. Zazwyczaj jednak inwesor musi podjąć decyzję wyboru obligacji kuponowych, czyli musi się zmierzyć, obok ryzyka warości, z ryzykiem reinwesycji. Właśnie sraegia immunizacyjna pozwala na konsrukcję opymalnego porfela. Według niej, porfel powinien być ak zbudowany, że jeśli sopy procenowe wzrosną, o sray wynikające ze spadku cen insrumenów finansowych będą w pełni rekompensowane wyższymi niż przewidywano dochodami z reinwesycji srumieni pieniężnych pojawiających się przed końcem horyzonu inwesycyjnego. Jeśli naomias sopy procenowe spadną, o dodakowe dochody ze sprzedaży insrumenów po cenie wyższej od zaplanowanej powinny być nie mniejsze niż sray z reinwesowania akywów według sóp niższych od prognozowanych. Porfel akywów skonsruowany w en sposób nazywa się porfelem idealnie uodpornionym. Pierwsze prace doyczące uodpornienia opierały się na definicji średniego okresu (ang. average period) sformułowanego przez Hicksa (1939) i wyrażonego przez elasyczność warości insrumenu finansowego względem zmian czynnika dyskonującego oraz 2

4 Wsęp na pojęciu czasu rwania (ang. duraion) zdefiniowanego przez Macaulaya (1938) jako średnia ważona erminów wypła dochodów. Średni okres Hicksa jes równy czasowi rwania Macaulaya. Niezależnie od siebie Samuelson (1948) i Redingon (1952) określili sposoby zabezpieczenia się przed zmianą sóp procenowych wprowadzając pojęcie porfela idealnie uodpornionego. Dowiedli, że jeśli czasy rwania Macaulaya akywów i pasywów są równe, o porfel jes zabezpieczony przeciwko niewielkim zmianom sóp procenowych. Przyjęli założenie, że krzywa erminowej srukury sóp procenowych jes płaska, a jej zmiany są równoległymi przesunięciami. Pomimo ych rezulaów, prakycy i eoreycy nie rozwijali ego zagadnienia. Dopiero praca Fishera i Weila (1971), w kórej uogólniono wcześniejsze wyniki formułując warunki, przy kórych porfel jes idealnie uodporniony przeciw równoległym zmianom sóp procenowych dla dowolnej erminowej srukury sóp procenowych, zapocząkowała lawinę badań w ym kierunku. Główny rezula pracy Fishera i Weila (1971) mówi, że porfel jes idealnie uodporniony, jeśli czas rwania Fishera-Weila porfela jes równy długości planowanego okresu inwesycyjnego. Uogólnienienie wyników Fishera i Weila (1971) można znaleźć w pracy Monrucchio i Peccai (1991), gdzie dowiedziono, że jeśli zbiór K zaburzeń sóp procenowych zawiera wszyskie funkcje k akie, że exp ( m k(s)ds) jes funkcją wypukłą, o każdy porfel z dopasowanym czasem rwania do długości horyzonu inwesycyjnego jes idealnie uodporniony. Teoria, w kórej rozważa się idealne uodpornienie porfela nosi nazwę klasycznego podejścia (zobacz Fabozzi, 1993, Panjer, 1998). Klasyczne podejście rozwijano dla różnych modeli zachowań sóp procenowych, w ym akże sochasycznych (parz np.: Cox, Ingersoll i Ross, 1979, Khang, 1979, Bierwag i Kaufman, 1977, Bierwag, 1987, Chambers, Carleon i McEnally, 1988, Prisman i Shores, 1988, Crack i Nawalkha, 2). Wobec różnych założeń co do kszału srukury sóp procenowych, a akże charakeru jej przekszałceń (na przykład addyywnych, muliplikaywnych) powsały różne miary na bazie czasu rwania Macaulaya (parz na przykład Rządkowski i Zaremba, 2, Shiu, 1987, Reiano, 1991, 1992, Zaremba, 1998, Zaremba i Smoleński, 2ab). Jednakże Ingersoll, Skelon i Weil (1978) zarzucili klasycznemu podejściu, że klasy zachowań sóp procenowych są wąskie, przez co model jes niezgodny z warunkami równowagi na rynku finansowym, a klasyczne sraegie immunizacyjne dopuszczają arbiraż, czyli gwaranują inwesorowi zysk bez ryzyka. Zaczęo zaem rozszerzać klasy zaburzeń i poszukiwać nowego podejścia w sformułowaniu problemu. 3

5 Wsęp Pionierska praca Fonga i Vasička (1984) proponuje, by dopuścić możliwość poniesienia sray w chwili rozliczenia, a jako sraegię immunizacyjną zasosować maksymalizację dolnego oszacowania na względną zmianę końcowej warości porfela. Fong i Vasiček (1984) przyjęli założenie o dowolnym kszałcie funkcji zmian sóp procenowych z ograniczoną i ciągłą pochodną oraz rozważyli porfel z dopasowanym czasem rwania Fishera-Weila. Wykazali, że dolne oszacowanie względnej zmiany warości porfela można przedsawić w posaci iloczynu dwóch czynników: konrolowanego i poza konrolą inwesora. Czynnik, na kóry ma wpływ inwesor jes związany ze srukurą porfela i funkcjonuje w lieraurze jako miara M 2. Nawalkha i Chambers (1996), Balbás i Ibáñez (1998), Balbás, Ibáñez i López (22), Nawalkha, Soo i Zhang (23) w swoich pracach rozwinęli o podejście i uzyskali różne dolne oszacowania na względną zmianę końcowej warości porfela, co doprowadziło do uzyskania różnych sraegii minimalizujących sraę inwesora lub równoważnie maksymalizujących jego zysk. Przegląd współczesnego sanu wiedzy można znaleźć na przykład w książce Nawalkhi i Chambersa (1999) oraz Jackowicza (1999). Ponieważ inwesor zabezpiecza się przed najgorszym scenariuszem rozwoju syuacji na rynku, więc budując opymalny porfel ma do rozwiązania problem maksyminowy. W większości przypadków nie isnieją jego jawne rozwiązania i dlaego poszukuje się dolnych oszacowań na warość maksyminową. W niniejszej rozprawie opierając się na podejściu Fonga i Vasička, Nawalkhi i Chambersa, Balbása i Ibáñeza uzyskano różne dolne ograniczenia względnej zmiany warości końcowej porfela rozważając różne ypy obligacji wchodzące w jego skład. Zawaro również empiryczne badania ilusrujące prakyczne zasosowanie uzyskanych rezulaów. W końcowej części pracy przedsawiono jawne rozwiązania problemu uodpornienia w różnych modelach wolnych od arbirażu. Zaproponowano przy ym nowe kryeria wyboru porfela. Preliminaria mają za zadanie wprowadzić czyelnika w omawianą problemaykę oraz zapoznać z oznaczeniami i pojęciami wysępującymi w dalszej części pracy. W rozdziale 1 przedsawiono nową sraegię uodpornienia porfela obligacji bez opcji wykupu przysługującej emienowi (ang. noncallable) i wolnych od ryzyka niewykupienia przez emiena obligacji (ang. defaul free). Sraegia polega na minimalizacji miary, kóra jes liniową kombinacją luki czasu rwania i miary rozrzuu przy różnych klasach zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej (ang. insananeous forward rae). Ponado uogólniono nierówności Fonga i Vasička (1984), Nawalkhi i Chambersa 4

6 Wsęp (1996) oraz Balbása i Ibáneza (1998). W rozdziale 2 rozważono innowacyjne klasy zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej i zaproponowano dwie sraegie uodpornienia porfela. Pierwszą z nich łączącą czas rwania Fishera-Weila z miarą M-Absolue zdefiniowaną przez Nawalkhę i Chambersa porównano empirycznie ze sraegiami Fishera-Weila oraz Nawalkhi i Chambersa. Druga sraegia polega na minimalizacji kombinacji liniowej czasu rwania, miary M-Absolue i miary M 2 Fonga i Vasička. Nasępnie uogólniono uzyskane rezulay rozważając model wielomianowy zachowań sóp procenowych. Głównym celem rozdziału 3 jes przedsawienie nowej definicji czasu rwania porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu przysługującej emienowi (ang. noncallable) i obarczonych ryzykiem niewykupienia przez emiena obligacji (ang. defaulable). W szczególności, jeśli porfel składa się z obligacji bez ryzyka niewykupienia, o jego czas rwania saje się czasem rwania Fishera-Weila. Dla rozważonego porfela zaproponowano sraegię uodpornienia. Rozdział 4 poświęcono analizie wolnych od arbirażu modeli uodpornienia porfela obligacji pod kąem porównania rezulaów z wynikami uzyskanymi w klasycznym podejściu. Rozważono model rzyokresowy i podano jawne rozwiązania problemu uodpornienia przy różnych kryeriach opymalizacyjnych akich jak: kryerium maksyminowe, bayesowskie, gamma-maksyminowe, Markowiza. Przy pewnych kryeriach orzymano, że wszyskie sraegie inwesowania są opymalne. Kryerium Markowiza nie generuje powyższej anomalii i ponado, sosując je orzymano, że opymalnym porfelem jes porfel z dopasowanym czasem rwania. Powyższe rozważania doyczą problemu spłay pojedynczego zobowiązania. Nauralnym rozszerzeniem badań jes przypadek wielu zobowiązań rozważany np.: w pracach Gajka (25), Gajka i Osaszewskiego (24), czy Hürlimanna (22). Oczywiście ema nie jes wyczerpany, wymaga dalszego zgłębiania eoreycznego jak i szerokich badań empirycznych. O wadze problemu uodpornienia świadczy powszechne sosowanie przez prakyków sraegii immunizacyjnych. Prisman i Tian (1993) podają, że na począku la 9-ych akywa amerykańskich funduszy emeryalnych o warości 1 miliardów dolarów miały posać zimmunizowanych porfeli. W ym miejscu pragnę podziękować prof. dr hab. Lesławowi Gajkowi za uwagi, kóre sały się inspiracją do dalszych badań. 5

7 Preliminaria Wprowadźmy oznaczenia: [, T ] jes przedziałem czasu, gdzie chwila = oznacza chwilę worzenia porfela, czyli momen zakupu obligacji. m jes momenem spłay zobowiązania akim, że < m < T. f(, s) jes chwilową erminową sopą procenową (ang. insananeous forward ineres rae) na przedziale czasu [, s], o znaczy jeśli zainwesujemy jednoskę w chwili, o orzymamy w chwili s warość exp( s f(, u)du). Zbiór chwilowych erminowych sóp procenowych {f(, s) : < s} generuje losową srukurę sóp procenowych zdefiniowaną na przesrzeni probabilisycznej (Ω, F, P). W chwili =, funkcja s f(, s) jes deerminisyczna. C jes srumieniem pieniężnym wypła z porfela obligacji w chwilach T ( = 1,..., N ). Zakładamy, że dla dowolnego, C sprzedaż., czyli wykluczamy króką V () jes warością porfela liczoną na chwilę m przy bieżącej srukurze erminowej f(, s). k(s) jes funkcją zaburzenia chwilowej erminowej sopy procenowej. V (k) jes warością porfela liczoną na chwilę m, jeśli pojawiło się zaburzenie k(s). = C exp( m f(,u)du) C (m) jes warością względną wypłay C V () w odniesieniu do całego porfela liczoną na chwilę m. 6

8 Preliminaria W klasycznym podejściu do problemu uodpornienia porfela poszukuje się akiego składu porfela, dla kórego V (k) V () inf, k K V () gdzie K jes klasą zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej. Cel pracy W modelu arbirażowym uodpornienie polega na rozważeniu możliwości poniesienia sray przez inwesora, przy czym porfel opymalny o aki, że V (k) V () inf k K V () max, gdzie K jes klasą zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej. Jednak podanie rozwiązania ego problemu jes rudne, a czasami niemożliwe. Dlaego poszukuje się dolnego ograniczenia na względną zmianę warości porfela zależącego ylko od jego składu. Nasępnie proponuje się jako sraegię posępowania dobór obligacji w chwili = spośród dosępnych na rynku, ak aby dolne ograniczenie było maksymalne. W pionierskiej pracy, Fong i Vasiček (1984) założyli, że funkcja zaburzenia chwilowej erminowej sopy procenowej należy do klasy K F V = {k : dk() d λ, T }, gdzie λ jes dodanią liczbą. Dowiedli, że jeśli wykluczymy króką sprzedaż i czas rwania porfela obligacji jes równy momenowi spłay zobowiązania m (mówimy wedy o dopasowanym czasie rwania), o V (k) V () inf λm 2, k K V () 2 F V gdzie czas rwania jes zdefiniowany w wierdzeniu 1 oraz M 2 = ( m) 2 C (m) jes miarą rozrzuu. Konsekwencją powyższej nierówności, z punku widzenia inwesora, jes nasępujący problem opymalizacyjny: wybierz porfel z dopasowanym czasem rwania, kóry minimalizuje M 2. To podejście zosało poddane kryyce na przykład w pracy Bierwaga, Fooladiego i Robersa (1993), gdzie dowiedziono, że porfel zawierający obligacje wygasające w 7

9 Preliminaria chwili m jes lepiej uodporniny niż en z minimalną M 2. Nawalkha i Chambers (1996) badali zaburzenia należące do klasy K NCH = {k : k 1 k() k 2, T }, gdzie k 1, k 2 są liczbami rzeczywisymi i udowodnili, że V (k) V () inf k k K V () 3 M A, NCH gdzie M A = m C (m) i k 3 = max k 1 k 2. Sraegia dla inwesora polega na wyborze porfela, kóry minimalizuje M A. Balbás i Ibánez (1998) rozważyli klasę K BI = {k : k( 2 ) k( 1 ) λ, 1 < 2 T }, w kórej dla porfela z dopasowanym czasem rwania prawdziwa jes nierówność V (k) V () inf λñ, k K V () 2 BI gdzie Ñ = m C (m). Zauważmy, że Ñ = M A. Sraegia inwesowania o dobór porfela z dopasowanym czasem rwania, kóry minimalizuje Ñ. 8

10 Rozdział 1 Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela W ym rozdziale zamieszczono główne rezulay pracy Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (24a). Inwesor konsruując porfel ponosi ryzyko związane z reinwesowaniem dochodów z wypła uzyskanych przed chwilą m. Rozważmy aką syuację, że w chwili = nie ma wysarczającej ilości obligacji zerokuponowych m-lenich, by pokryć zobowiązanie w chwili m, naomias w chwili pierwszej wypłay z porfela jes o już możliwe. Zaem inwesor sprzedaje w chwili 1 porfel, a za orzymaną kwoę nabywa (m 1 )-lenie obligacje zerokuponowe. Załóżmy, że srukura erminowa sóp procenowych ulega addyywnemu zaburzeniu przed pierwszą wypłaą z porfela, choć analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla innych zachowań. Wówczas V (k) = m C exp( f(1, s)ds) = m C exp( (f(, s) + k(s))ds). Niech A będzie funkcjonałem, czyli odwzorowaniem działającym z przesrzeni liniowej ych wszyskich funkcji określonych na przedziale [, T ], nazwanych w pracy zaburzeniami srukury erminowej sóp procenowych, w zbiór liczb rzeczywisych i niech A mierzy przecięny poziom zaburzenia srukury erminowej sóp procenowych oraz posiada własność, że A() =. Zdefiniujmy klasę zaburzeń K(W, a) = {k; m (k(s) A(k))ds W (), T, A(k) a}, (1.1) gdzie a i W jes nieujemną, wypukłą funkcją, aką że W (m) =. Przyjmuje się, że =. 9

11 1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela W dowodach wszyskich wierdzeń pojawiających się w pracy korzysa się z nierówności Jensena (parz Durre, 1996). Fak 1. Niech f : (a, b) R, a < b, będzie dowolną funkcją wypukłą, X zmienną losową o warościach z przedziału (a, b), dla kórej isnieją EX i Ef(X). Wówczas zachodzi nierówność Ef(X) f(ex). Twierdzenie 1. Dolne oszacowanie zmiany warości porfela w chwili rozliczenia wynosi gdzie V (k) V () inf exp( a m D M W ) 1, (1.2) k K(W,a) V () D = C (m) jes czasem rwania Fishera-Weila, M W = C (m) W (). Dowód. Zauważmy, że V (k) V () V () = = m C (m) exp( k(s)ds) 1 C (m) exp(a(k)(m ) + m (k(s) A(k))ds) 1. Ponieważ wykluczono króką sprzedaż, więc ciąg C (m) 1,..., C (m) N jes rozkładem prawdopodobieńswa na przedziale [, T ]. Korzysając z nierówności Jensena orzymujemy V (k) V () V () exp(a(k) C (m) (m ) + = exp(a(k)(m D) Korzysając z definicji klasy K(W, a) C (m) m (k(s) A(k))ds) 1 C (m) (k(s) A(k))ds) 1. m V (k) V () inf exp( inf (A(k)(m D)) k K(W,a) V () k K(W,a) = exp( a m D M W ) 1. Z podanego oszacowania wynika sraegia inwesowania: C (m) W ()) 1 wybierz porfel, kóry minimalizuje a m D + M W. (1.3) Zauważmy, że M W jes miarą rozrzuu, ponieważ 1

12 1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela na mocy wypukłości W i z nierówności Jensena (przyjmując f = W ) M W = C (m) W () W ( C (m) ), jeśli W jes ściśle wypukła, o miara M W jes równa wedy i ylko wedy, gdy porfel składa się z obligacji zerokuponowych o erminie zapadalności w chwili m. Z (1.3) wynika, że im większa jes warość a, ym mniejsza powinna być różnica między m, a D nazywana luką czasu rwania. Jeśli naomias a =, wówczas podejście (1.3) jes równoważne sraegii: wybierz porfel, kóry minimalizuje M W. Przedyskuujemy eraz szczególne przypadki klasy K(W, a) zdefiniowanej wzorem (1.1): 1. Rozważmy klasę K a (w) = {k; k( 2 ) k( 1 ) w( 2 1 ), 1 2 T, k(m) a}, gdzie a, w = w() jes niemalejącą i nieujemną funkcją aką, że w() =. Zauważmy, że K a (w) zawiera również wszyskie równoległe zaburzenia przyjmujące warości nie większe niż a. Klasa K a (w) zawiera się w klasie K(W, a) przy A(k) = k(m) i W () = m w(s)ds. Z wierdzenia 1 orzymujemy oszacowanie V (k) V () inf k K V () a(w) exp( a m D m C (m) w(s)ds) 1 i sraegię dla inwesora zbuduj porfel, kóry minimalizuje a m D + m C (m) w(s)ds. Jeśli w = i uda się sworzyć porfel z czasem rwania równym momenowi pokrycia zobowiązania, o inf k Ka(w) V (k) V () V () i porfel jes idealnie uodporniony bez względu na charaker zmian srukury erminowej. Ciekawą funkcją jes w() = λ p dla λ > i dowolnego p (, 1 ), ponieważ realizacje procesu Browna są funkcjami ciągłymi w sensie Höldera z wykładnikiem 2 p 11

13 1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela dla < p < 1 (parz np.: Durre, 1996, sr. 379). Prowadzi o do nasępującego 2 problemu n n minimalizuj a m q i D i + q i M i n przy warunkach q i P i = C, q i, i = 1, 2,..., n, gdzie q i oznacza ilość i-ej obligacji w porfelu, P i jes ceną rynkową i-ej obligacji w chwili =, C zdyskonowaną na chwilę warością zobowiązania L, D i = 1 L c (m) λ i i M i = (p+1)l m p+1 c (m) i, o czas rwania i miara rozrzuu, odpowiednio, i-ej obligacji. Ten przypadek jes szczegółowo rozważany w pracy Balbása i Ibáñeza (1998) z konkluzją, że najlepsze miary rozrzuu o akie, że p Kolejna klasa sanowi rozszerzenie klasy rozważanej przez Fonga i Vasička (1984). Niech A(k) := k(m) i niech KF V (a) = {k; (k(s) k(m))ds λ( 2 m)2, T, λ >, k(m) a}. m Zauważmy, że K F V (a) = K( λ 2 ( m)2, a). Z wierdzenia 1 mamy: V (k) V () inf exp( a m D λm 2 ) 1 k KF V (a) V () 2 oraz dla porfeli z dopasowanym czasem rwania V (k) V () inf exp( λm 2 ) 1. (1.4) k KF V (a) V () 2 Ponado klasa K F V rozważana przez Fonga i Vasička (1984) zawiera się w klasie KF V ( ). Isonie, dla dowolnego k K F V jeśli s m o k(s) k(m) = jeśli s < m o k(s) k(m) = Sąd dla dowolnego, m s m s m k ()d λ(s m), k ()d λ(s m). (k(s) k(m)) λ 2 ( m)2, k K F V ( ) = K( λ 2 ( m)2 ). Ponieważ exp x 1+x i K F V KF V ( ), więc nierówność (1.4) jes uogólnieniem nierówności Fonga i Vasička (1984). 12

14 1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela 3. Teraz podamy uogólnienie nierówności Balbása i Ibáñeza (1998). Niech A(k) = = 1 2 (inf T k() + sup T k()). Zdefiniujmy nasępującą klasę funkcji K BI = {k; m (k(s) A(k))ds λ m, T, λ > }. 2 Oczywiście K BI = K( λ 2 m, ). Pokażemy eraz, że klasa K BI rozważana przez Balbása i Ibáñeza (1998) zawiera się w klasie K BI. Dla dowolnego k K BI jeśli m o k() A(k) + λ 2 i m jeśli m o k() A(k) λ 2 i m Dla każdego T orzymujemy m k(s)ds A(k)(m ) λ ( m), 2 k(s)ds A(k)(m ) λ (m ). 2 k(s)ds A(k)(m ) λ m, 2 co dowodzi ezy, że K BI K BI. Z wierdzenia 1 orzymujemy nierówność prawdziwą dla porfeli, dla kórych czas rwania jes równy chwili spłay zobowiązania posaci V (k) V () inf exp( λ Ñ) 1. (1.5) k KBI V () 2 Z faku, że K BI K BI i exp x 1 + x, nierówność (1.5) jes uogólnieniem nierówności Balbása i Ibáñeza (1998). 4. Aby poprawić nierówność Nawalkhi i Chambersa (1996) należy zmodyfikować klasę (1.1) i rozważyć K NCH (W, a) = {k; m (k(s) A)ds W ()}, gdzie A jes dowolną liczbą rzeczywisą, W jes funkcją nieujemną i wypukłą aką, że W (m) =. W konsekwencji wierdzenie 1 ulega modyfikacji. Twierdzenie 2. V (k) V () inf exp(a(m D) M W ) 1, k K NCH (W,a) V () gdzie M W = C (m) W (). 13

15 1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela Dowód. Dowód jes analogiczny jak w wierdzeniu 1. Twierdzenie 2 implikuje sraegię inwesowania zminimalizuj A(D m) + M W. (1.6) Rozważmy eraz klasę K NCH(A, B) = {k; m (k(s) A)ds B m, T }, gdzie A = 1 2 (k 1 + k 2 ) i B = 1 2 (k 2 k 1 ) i k 1 < k 2. Zauważmy, że klasa K NCH K NCH(A, B) = K NCH(B m, ). Isonie, dla dowolnego k K NCH jeśli m o k() k 2 = A + B, czyli m (k(s) A)ds B( m), jeśli < m o k() k 1 = A B, czyli m (k(s) A)ds B(m ), co daje m (k(s) A)ds B m dla dowolnego. Z wierdzenia 2 orzymujemy zaem, że V (k) V () inf exp(a(m D) BM A ) 1, (1.7) k KNCH (A,B) V () gdzie M A = C (m) m. A ponado, ponieważ A(m ) B m max ( k 1, k 2 ) m dla wszyskich, więc gdzie k 3 V (k) V () inf exp( k k KNCH (A,B) V () 3 M A ) k 3 M A, = max ( k 1, k 2 ), co dowodzi, że nierówność (1.7) jes uogólnieniem nierówności Nawalkhi i Chambersa (1996). 14

16 Rozdział 2 Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Ten rozdział jes opary na wynikach opublikowanych w pracy Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (24b). Syuacja na rynku i scenariusz posępowania inwesora jes aki sam jak w rozdziale 1. Równoległe przesunięcia srukury erminowej zakładane w klasycznym modelu odgrywają w rzeczywisości znaczącą rolę (parz Ilmanen, 1992). Choć podejście Fonga i Vasička jes nowaorskie, ponieważ rozważyli oni zaburzenie jako dowolną funkcję z pewnej klasy, o zarówno niewielkie zmiany jak i duże równoległe przesunięcia srukury erminowej są ak samo prawdopodobne. Nawalkha i Chambers wykluczyli duże warości równoległych ruchów. Dlaego eż, aby wziąć pod uwagę wszyskie możliwe warości zaburzeń równoległych, ale z odpowiednimi wagami proponujemy sochasyczny model zachowań srukury erminowej sóp procenowych. Załóżmy, że k(s, ω) jes mierzalnym procesem sochasycznym na przesrzeni (Ω, F, P) i uśrednione zaburzenie (parz założenie (i) poniżej) jes zmienną losową o warości przecięnej µ oraz że funkcje zaburzeń odchylają się od swojej średniej warości o nie więcej niż sała λ z prawdopodobieńswem 1. 15

17 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia 2.1 Sraegie ypu DD Załóżmy, że: (i) 1 T T k(s)ds jes zmienną losową z warością oczekiwaną µ. k(s)ds λ dla każdego, gdzie λ jes nieujemną liczbą rzeczy- (ii) k() 1 T wisą. T Rozważana przez nas klasa chwilowych erminowych sóp procenowych zawiera wszyskie równoległe przesunięcia, a z drugiej srony duże warości przecięnego zaburzenia są mało prawdopodobne, co wynika z reguły 3σ. Twierdzenie 3. Dolne ograniczenie na warość przecięną zmiany końcowej warości porfela przy założeniach (i) (ii) wyraża się wzorem gdzie G = m D jes luką czasu rwania, V (k) V () E exp(µg λm A ) 1, (2.1) V () D = C (m) jes czasem rwania Fishera-Weila dla porfela, M A = m C (m) jes miarą M-Absolue Nawalkhi i Chambersa. Dowód. Połóżmy δ = 1 T T k(s)ds. Przypomnijmy, że V (k) V () V () = = m C (m) exp( k(s)ds) 1 C (m) exp(δ(m ) + m (k(s) δ)ds) 1. (2.2) Z założenia (ii) wynika, że k(s) δ λ dla m, sąd m Jeśli > m, o k(s) δ λ. W konsekwencji m (k(s) δ)ds = (k(s) δ)ds λ(m ) dla m. (2.3) m (k(s) δ)ds λ( m) dla > m. (2.4) 16

18 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Z (2.3) i (2.4) mamy m (k(s) δ)ds λ m dla. (2.5) Ze wzorów (2.2) i (2.5) orzymujemy V (k) V () ( ) C (m) V () exp δ(m ) λ m 1. (2.6) Sosując nierówność Jensena i korzysając z założenia (i) mamy V (k) V () E ( ) C (m) V () E exp δ(m ) λ m 1 (2.7) ( ) C (m) exp (m )Eδ λ m 1 = ( ) C (m) exp (m )µ λ m 1. Zauważmy, że ciąg C (m) 1,..., C (m) N definiuje rozkład prawdopodobieńswa na przedziale [, T ] ponieważ C (m) i C (m) = 1. Sosując ponownie nierówność Jensena orzymujemy co kończy dowód. V (k) V () E exp(µg λm A ) 1, V () Jako wniosek z wierdzenia 3 orzymujemy nasępującą sraegię, kórą nazwiemy DD sraegią jako skró od angielskiego określenia Duraion-Dispersion: wybierz porfel, kóry maksymalizuje µg λm A. (2.8) Uwaga 1. Jeśli µ jes nieznanym paramerem, o inf µ E V (k) V () V () exp( λm A ) 1 przy warunku, że G =. Dlaego inwesor powinien budować swój porfel według sraegii minimalizacja M A przy ograniczeniu D = m. (2.9) W wielu eoreycznych rozważaniach zakłada się, że funkcja zaburzenia srukury erminowej sóp procenowych jes procesem gaussowskim. Jeśli badania empiryczne powierdzają ezę, że przecięne zaburzenie 1 k(s)ds ma rozkład normalny z warością oczekiwaną µ i wariancją σ 2, wówczas sraegię (2.8) można zmodyfikować T zasępując założenie (i), założeniem 17 T

19 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia T (i ) 1 k(s)ds jes zmienną losową o rozkładzie normalnym z warością oczekiwaną T µ i wariancją σ 2 (jeśli σ 2 =, o brak losowości). Zarówno warość oczekiwana jak i wariancja mogą zależeć od T. Twierdzenie 4. Jeżeli spełnione są założenia (i ) (ii), o gdzie V (k) V () E exp(µg + 1 V () 2 σ2 M 2 λm A ) 1 (2.1) M 2 = (m ) 2 C (m) jes miarą Fonga i Vasička, G i M A są zdefiniowane w wierdzeniu 1. Dowód. Analogiczne rozumowanie jak w dowodzie wierdzenia 3 daje nam nierówność (2.6). Na mocy założenia (i ) zmienna losowa δ ma rozkład normalny z warością oczekiwaną µ i wariancją σ 2 ak więc E exp(δa) = exp(µa+σ 2 a 2 /2) dla każdego a R. Uwzględniając en fak mamy V (k) V () E V () ( ) C (m) exp µ(m ) σ2 (m ) 2 λ m 1. Dalej dowód przebiega analogicznie jak dowód wierdzenia 3. Ponieważ C (m) C (m) i = 1, ciąg C (m) 1,..., C (m) N generuje rozkład prawdopodobieńswa na przedziale [, T ]. Sąd i z nierówności Jensena dosajemy, że co kończy dowód. V (k) V () E exp(µg + 1 V () 2 σ2 M 2 λm A ) 1, Jako wniosek z wierdzenia 4 orzymujemy zmodyfikowaną DD sraegię posępowania dla inwesora: wybierz porfel, kóry maksymalizuje µg σ2 M 2 λm A. (2.11) Uwaga 2. Jeśli µ jes nieznanym paramerem, o inwesor powinien wybrać porfel, kóry maksymalizuje 1 2 σ2 M 2 λm A przy ograniczeniu D = m. (2.12) 18

20 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Zauważmy, że jeśli σ = wówczas sraegia wyboru porfela polega na doborze jego składników ak, aby zminimalizować M A przy ograniczeniu D = m. Rozwiązaniem powyższego problemu jes porfel ypu bulle zn. porfel generujący srumienie pieniężne skupione wokół jednego punku w czasie, u nas m. Z drugiej srony, jeśli λ =, o mamy sraegię: wybierz porfel, kóry maksymalizuje M 2 przy ograniczeniu D = m. Wiadomo, że porfel ypu barbell, czyli generujący srumienie pieniężne skupione wokół dwu punków w czasie, skrajnie położonych w sosunku do m, ma maksymalną warość M 2 (Zaremba, 1998, Zaremba i Smoleński, 2a). Jednakże powyższy rezula różni się od wyniku Fonga i Vasička (1984) ponieważ oni proponują minimalizować M 2 przy warunku D = m. Naomias nasz wynik jes bliski wynikowi uzyskanemu w klasycznym podejściu do problemu uodpornienia wykorzysującym rozwinięcie w szereg Taylora końcowej warości porfela w punkcie m przy założeniu płaskiego przebiegu sóp procenowych i ich równoległych ruchów. 2.2 Model wielomianowy wolny od arbirażu W wierdzeniach 3 i 4 zakłada się, że nieznana funkcja zaburzenia jes rozwinięa w szereg przy czym brany jes pod uwagę pierwszy wyraz rozwinięcia, kóry mierzy średni poziom zaburzenia. Zakłada się, że jes on zmienną losową. Resza jes oszacowana przez sałą λ. Powsaje pyanie jak zmienia się rozwiązanie problemu uodpornienia, jeśli weźmiemy pod uwagę dalsze wyrazy z rozwinięcia w szereg funkcji zaburzenia sóp procenowych. Niech a 1 (),..., a d () będą znanymi funkcjami. Zdefiniujmy klasę zaburzeń: d S = {k; k() = δ i a i (), T, dla pewnych rzeczywisych δ 1,..., δ d } (2.13) (parz Rządkowski i Zaremba, 2). Szczególne przypadki klasy (2.13) rozważane w lieraurze, o: 19

21 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia a) model wielomianowy d k() = δ i i 1, (2.14) (parz Chambers, Carleon i McEnally, 1988, Prisman i Shores, 1988, Crack i Nawalkha, 2), b) model wielokronych zaburzeń d k() = δ i I i (), (2.15) gdzie I i () = 1 dla [τ i 1, τ i ), i I i () = w przeciwnym razie oraz = τ < τ 1 <... < τ d = T (parz Reiano, 1991), c) model Khanga (parz Khang, 1979). Wprowadzimy eraz nasępującą klasę zaburzeń: i założymy, że k() = δ ln(1+α) α gdzie α R + (2.16) d S = {k; k() = δ i a i () + ɛ(), T } (2.17) (iii) (δ 1,..., δ d ) jes wekorem losowym o warości oczekiwanej (µ 1,..., µ d ). (iv) ɛ() λ dla wszyskich. Twierdzenie 5. Przy założeniach (iii)-(iv), orzymujemy że gdzie V (k) V () E V () d exp( µ i G i λm A ) 1 (2.18) G i = C (m) m a i (s)ds jes i-ą luką czasu rwania dla i = 1,..., d, 2

22 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia M A jes zdefiniowane w wierdzeniu 3. Dowód. Dowód przebiega analogicznie jak w wierdzeniu 3. Oczywiście V (k) V () V () = C (m) d m m ( d exp( δ j a j (s)ds + k(s) j=1 j=1 ) δ j a j (s) ds) 1. Z założenia (iv) V (k) V () V () C (m) d m exp( δ j a j (s)ds λ m ) 1. j=1 Sosując nierówność Jensena orzymujemy co kończy dowód. V (k) V () E d m C (m) V () E exp( δ j a j (s)ds λ m ) 1 j=1 d m C (m) exp(e δ j a j (s)ds λ m ) 1 j=1 d exp( µ i G i λm A ) 1, Twierdzenie analogiczne do wierdzenia 4 wymaga nasępującego założenia: (ii ) (δ 1,..., δ d ) jes wekorem losowym o rozkładzie normalnym z wekorem warości oczekiwanych (µ 1,..., µ d ) i macierzą kowariancji Σ = (σ ij ). Twierdzenie 6. Przy założeniach (iii ) (iv), mamy gdzie V (k) V () E V () d d exp( µ i G i + 1 σ 2 ij Mij 2 λm A ) 1, (2.19) i,j=1 G i = C (m) m a i (s)ds jes i-ą luką czasu rwania dla i = 1,..., d, M 2 ij = C (m) m M A jes zdefiniowane w wierdzeniu 3. a i (s)ds m a j (u)du jes zmodyfikowaną miarą Fonga i Vasička, 21

23 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Dowód. Dowód przebiega jak w wierdzeniu 5. Korzysa się z faku, że E exp(b 1 X b d X d ) = exp(µb T bσbt ) dla b = (b 1,..., b d ), jeśli (X 1,..., X d ) ma wielowymiarowy rozkład normalny z wekorem warości oczekiwanych µ = (µ 1,..., µ d ) i macierzą kowariancji Σ = (σ ij ). Twierdzenie 6 implikuje nasępującą sraegię inwesowania: wybierz porf el, kóry maksymalizuje d d µ i G i + 1 σ 2 ij Mij 2 λm A, (2.2) i,j=1 kóra jes uogólnieniem sraegii (2.11). Jes ona również ława do implemenacji, ponieważ prowadzi do liniowego problemu opymalizacyjnego przy liniowych ograniczeniach. Przykład 1. Weźmy pod uwagę model wielomianowy (2.14). Poważnym ograniczeniem ego modelu jes o, że jeśli d 1, o nie isnieje porfel bez krókiej sprzedaży, co wynika z faku, że wariancja zmiennej losowej jes nieujemna, a równa się ylko wedy, gdy rozkład prawdopodobieńswa jes skupiony w jednym punkcie. Naomias zauważmy, że rozwiązanie problemu (2.2) zawsze isnieje. W modelu wielomianowym, gdzie a i () = i 1 dla i = 1,..., d: G i = 1 i (mi D i ) dla i = 1,..., d, i D i = C (m) i jes zdefiniowane w wierdzeniu 5. Elemenarne przekszałcenia prowadzą do M 2 ij = 1 ij (mi+j m i D j m j D i + D i+j ) dla wszyskich i, j. Przyjmując µ 1 = µ 2 =... = µ d = w wierdzeniu 6 orzymujemy sraegię: wybierz porfel, kóry maksymalizuje 1 2 d i,j=1 σ ij M 2 ij λm A. Kładąc d = 1 dosajemy M 2 11 = m 2 2mD + D 2 = M 2 i sraegia sprowadza się do sraegii (2.11) z µ =. 22

24 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia 2.3 Badania empiryczne W ym podrozdziale esuje się empirycznie efekywność różnych sraegii posępując według scenariusza zaproponowanego w pracy Nawalkhi i Chambersa (1996). Zakładamy, że dosępnych jes 31 różnych obligacji wypłacającyh z dołu roczne kupony przy 7 okresach wygaśnięcia (1, 2, 3,..., 7) i 5 różnych sopach kuponów (6%, 8%, 1%, 12%, 14%) dla każdego okresu wygaśnięcia. Ceny obligacji są wyznaczane na podsawie danych doyczących zwroów obligacji zero kuponowych dosarczonych przez McCullocha i Kwona, a wcześniej już wykorzysywanych między innymi w pracach Nawalkhi i Chambersa (1996), Nawalkhi, Soo i Zhanga (23) oraz Chrisiansena (23). Zakłada się, że inwesor ma pokryć swoje zobowiązanie za 4 laa. 31 grudnia 1951 roku konsruuje się rzy porfele według: sraegii (2.8) rozwiązując problem maksymalizacji funkcji przy ograniczeniach µ( J n i p i I D i m) λ J n i p i I M A i (2.21) J n i p i = I, n i dla wszyskich i = 1, 2..., J, gdzie J=31 jes liczbą dosępnych obligacji, I jes począkową kwoą inwesycji, p i oznacza cenę i-ej obligacji, n i jes ilością i-ej obligacji w porfelu oraz D i, M A i są odpowiednio czasem rwania oraz miarą M-Absolue i-ej obligacji, sraegii M Absolue (Nawalkha i Chambers, 1996) minimalizując J n i p i I M A i (2.22) przy warunkch J n i p i = I, n i dla wszyskich i = 1, 2..., J, radycyjnej sraegii Fishera-Weila (Nawalkha i Chambers, 1996) minimalizując J (p i n i ) 2 (2.23) przy ograniczeniach J J n i p i I D i = m, n i p i = I. 23

25 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Rozwiązania problemów (2.21), (2.22) i (2.23) zosały wyznaczone przy użyciu Microsof Excel 2 Solver. Oczywiście nie można dać jednoznacznej odpowiedzi, kóra ze sraegii jes najlepsza ponieważ przeanalizowany scenariusz jes jednym z wielu. Naomias widać, że implemenacja sraegii (2.8) przez inwesora jes możliwa. Na podsawie przeprowadzonych badań widać, że sraegia (2.8) nie jes obojęna na paramery rynku µ, λ. Ponieważ zmienność sóp procenowych jes inna w laach 5 i 6 od zmienności w laach 7 i 8 ak więc podzielono orzymane wyniki na 2 grupy: i (parz Tabela 3.1 i 3.2). Przyjmując, jako kryerium opymalności warość bezwzględną sumy różnic oraz sumę ujemnych odchyłek pomiędzy warościami orzymanymi sosując sraegie (2.21), (2.22) i (2.23), a warością idealnego porfela widać, że sraegia (2.8) jes lepsza niż sraegia (2.23) i gorsza od (2.22). Jednak w prakyce inwesor, jeśli ma więcej pieniędzy niż wynosi jego zobowiązanie, o nadwyżkę umieszcza w banku, w przeciwnym razie musi pożyczyć pieniądze, aby spłacić swój dług. Dlaego proponuje się nowe kryerium oceny sraegii (2.21), (2.22) i (2.23) polegające na analizie sanu kona bankowego, na kóry wpłacane są nadwyżki bądź, z kórego pożyczane są pieniądze. Przyjmuje się okresy rozliczeniowe od roku 1955 do roku T, gdzie T = 1962, 197, 1978, 1986 (parz wykresy 1-4). Zakłada się, że sopa procenowa oszczędności i jes w granicach od % do 8% na przedziale [1955, T ], a sopa pożyczki jes równa i + 3%. Ten przykład pokazuje, że sraegia (2.22) jes zdecydowanie lepsza niż sraegia (2.23) oraz czasami lepsza od sraegii (2.21). Jednakże przy obliczaniu sanu kona użyo eoreycznych warości sóp procenowych. Zaem powsaje pyanie jak zmienią się wnioski, jeśli użyjemy realnych sóp (podanych przez McCullocha i Kwona). Rozważono, więc kono ze sanem począkowym z końca roku 1955 (parz Tabela 3.1). Nasępnie, jeśli a wielkość jes dodania, o jes kapializowana czynnikiem 1 + i, a jeśli jes ujemna, o 1 + i + 3%, gdzie i jes roczną sopą procenową podaną przez McCullocha i Kwona w chwili. Ta zakumulowana warość jes dodawana do odchylenia warości porfela na koniec roku 1956 (parz Tabela 3.1). Procedura jes powarzana do końca roku Rezulay są przedsawione na wykresie 5. W rakcie badań empirycznych zauważono, że poddając akim samym kryeriom oceny sraegię (2.11) rezulay są bardzo bliskie do orzymanych dla (2.8). 24

26 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Tablica 2.1: Odchylenia Realnych Warości od Warości Idealnych w Laach w Alernaywnych Sraegiach Okres Cel Sra. (4.23) Sra. (4.22) Sra. (4.21) , Suma odchyleń warości bezwględnych Suma ujemnych odchyleń

27 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Tablica 2.2: Odchylenia Realnych Warości od Warości Idealnych w laach w Alernaywnych Sraegiach Okres Cel Sra. (4.23) Sra. (4.22) Sra. (4.21) , Suma odchyleń warości bezwględnych Suma ujemnych odchyleń

28 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia San kona bankowego, na kóre wpłacane są zyski lub z kórego pożyczane są pieniądze posępując według różnych sraegii inwesowania w zależności od sopy procenowej Wykres 1. Okres ,4,2 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,2 -,4 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21) 27

29 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia,25 Wykres 2. Okres ,15,5 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,5 -,15 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21),3 Wykres 3. Okres ,1 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,1 -,3 -,5 -,7 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21) 28

30 2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia,1 Wykres 4. Okres ,5 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,5 -,1 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21),12 Wykres 5. Okres ,1,8,6,4,2 -, ,4 -,6 -,8 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21) 29

31 Rozdział 3 Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Wyniki prezenowane w ym rozdziale opublikowano w pracy Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (25a). Choć znaczna część lieraury jes poświęcona obligacjom pozbawionych ryzyka niewykupienia, na rynku pojawia się coraz większa ilość obligacji obarczonych ych ryzykiem (ang. defaulable). Dopasowanie klasycznego modelu uodpornienia porfela zawierającego obligacje uwzględniające ryzyko niedorzymania warunków przez emiena (ang. defaul risk) sało się celem szeregu prac. Bierwag i Kaufman (1988) zdefiniowali czas rwania dla obligacji z ryzykiem niewykupienia zakładając przy ym płaską srukurę erminową. Fooladi, Robers i Skinner (1997) wyprowadzili ogólny wzór na dopasowany czas rwania w modelu Jonkhara srukury erminowej (Jonkhar, 1979). Jacoby (23), Jacoby i Robers (23) uogólnili wcześniejsze wyniki podając model wyceny korporacyjnych obligacji kuponowych. Jednak, żadna z prac nie rozważa zmiany warości porfela z obligacjami obarczonymi ryzykiem niewykupienia. Dlaego nasze zaineresowanie objęło en kierunek badań. Wprowadźmy oznaczenia wykorzysywane w dalszej części rozdziału: p i oznacza prawdopodobieńswo warunkowe przerwania okresu dla i-ego emiena pod warunkiem, że przeżył on 1 okresów, c i jes kwoą, jaką uzyskamy z i-ej obligacji w chwili, jeśli jej emien przeżyje okres ; zakładamy, że c i, c (m) i = c i exp( m f(, u)du) jes kwoą liczoną na chwilę m, jaką uzyskamy z i-ej 3

32 3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia obligacji w chwili, jeśli emien przeżyje okres, F i (s()) wyraża wysokość kwoy, jaką i-y emien wypłaci w chwili + s w przypadku, gdy w chwili nie pokrył on swoich zobowiązań; s() jes opóźnieniem czasowym akim, że + s() T, F (m) i (s()) = F i (s()) exp( m +s() f(, u)du) wyraża wielkość kwoy liczonej na chwilę m, jaką i-y emien wypłaci w chwili + s, jeśli w chwili nie pokrył on swoich zobowiązań, k(, s) := s [f( s, u) f(, u)]du, gdzie a b = min(a, b). Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy, że każda kwoa uzyskiwana z porfela w chwili < m jes reinwesowana w obligacje zerokuponowe wygasające w chwili m. Zakładamy ponado, że zmiany srukury erminowej są niezależne od ryzyka niedorzymania warunków przez emiena (Fooladi, Robers i Skinner, 1997, Jacoby, 23, Jacoby i Robers, 23b). Wówczas warość przecięna i-ej obligacji w chwili m równa się V i (k) = E m [c i exp( + F i (s()) exp( = E m f( m, u)du)p i +s() f(( + s()) m, u)du)(1 p i )] τ< [c (m) i exp(k(, m))p i + F (m) i (s()) exp(k( + s(), m))(1 p i )] p iτ τ< (parz Fooladi, Robers i Skinner, 1997), wzór (1)), gdzie τ<1 p iτ p iτ (3.1) := 1 oraz suma wzięa jes po wszyskich warościach τ ze zbioru {1, 2,..., 1}. W szczególności dla k(, m) =, czyli gdy nie ma zaburzenia srukury erminowej V i () = [c (m) i p i + F (m) i (s())(1 p i )] p iτ τ< dla każdego. Oznaczmy przez q = (q 1,..., q n ) porfel inwesora złożony z q i obligacji. W chwili m mamy pokryć zobowiązanie sprzedając porfel obligacji, z kórego przecięnie uzyskujemy warość n q i V i (k) przy zaburzeniu k. Będziemy ak dobierać skład porfela, aby dolne oszacowanie 1 inf k K L n q i V i (k) 31

33 3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia było jak największe, gdzie K = {k : k(, s) = s [f( s, u) f(, u)]du, s, } jes klasą zaburzeń, L = n q i V i () jes zobowiązaniem płanym w chwili m. Zakładamy eraz, że srukura erminowych sóp procenowych {f(, s), s } jes polem losowym (Kimmel, 22) spełniającym nasępujące założenie: (iv) Dla dowolnego m sup s f(, s) f(, s) δ() λ, gdzie {δ(), } jes procesem sochasycznym o średniej µ(), a λ < jes usaloną liczbą. Posać procesu δ zależy od wiedzy i preferencji inwesora. My proponujemy, aby δ() = 1 T T (f(, s) f(, s))ds, co oznacza, że δ() jes średnią warością zaburzenia na przedziale [, T ]. Wobec powyższych założeń wprowadzimy eraz zmodyfikowaną definicję czasu rwania porfela. Definicja 1. Zmodyfikowanym czasem rwania porfela obligacji q = (q 1, q 2,..., q n ) dososowanym do ryzyka ich niewykupienia nazywamy wielkość D(q) = n q i [µ( m)c (m) i p i + ( + s())µ(( + s()) m)f (m) i (s())(1 p i )] τ< p iτ = n q i [µ( m)c (m) i p i + µ(( + s()) m)f (m) i (s())(1 p i )]. τ< p iτ (3.2) Zauważmy, że jeśli przyjmiemy, że µ() jes funkcją sałą, o ponieważ n D(q) = 1 q L i [c (m) i p i + ( + s())f (m) i (s())(1 p i )] p iτ, τ< n n L = q i V i () = q i [c (m) i p i + F (m) i (s())(1 p i )] p iτ. τ< W przypadku, gdy p i = 1, F (m) i = dla wszyskich i,, czyli gdy porfel składa się ylko z obligacji wolnych od ryzyka niewykupienia wówczas jes czasem rwania Fishera-Weila. n D(q) = 1 q L i c (m) i 32

34 3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Definicja 2. Zmodyfikowaną miarą M-Absolue porfela obligacji q = (q 1, q 2,..., q n ) dososowaną do ryzyka ich niewykupienia nazywamy liczbę n M(q) = 1 q L i [ m c (m) i p i + m s() F (m) i (s())(1 p i )] p iτ. (3.3) τ< Jeśli w porfelu są ylko obligacje bez ryzyka niewykupienia, o (3.3) ma posać n M(q) = 1 q L i m c (m) i. Jes o definicja miary M-Absolue wprowadzonej przez Nawalkhę i Chambersa (1996). Twierdzenie 7. Przy założeniu (iv) spełniona jes nasępująca nierówność gdzie 1 inf k K L n q i V i (k) exp( λm(q) + (m D(q)) Lµ ), (3.4) L K = {k : k(, s) = s (f( s, u) f(, u))du, s, }, D(q), M(q) są zdefiniowane odpowiednio w (3.2) i (3.3), L µ = n q i [µ( m)c (m) i p i + µ(( + s()) m)f (m) i (s())(1 p i )] τ< p iτ. Dowód. Połóżmy gdzie L = n C (, q) = s C 1 (, q) = s n q i c (m) i p i p iτ, L 1 = τ< n q i L c (m) i p i τ< p iτ, q i L 1 F (m) i (s())(1 p i ) p iτ, τ< n q i F (m) i (s())(1 p i ) τ< p iτ. Oczywiście n L + L 1 = q i V i () = L. Ponieważ wykluczono króką sprzedaż, więc dla dowolnego q = (q 1, q 2,..., q n ) funkcje C (, q) oraz C 1 (, q) są dysrybuanami pewnych miar prawdopodobieńswa na przedziale [, T ]. Sąd i ze wzoru (3.1) orzymujemy 1 L n T T q i V i (k) = E exp(k(, m))dc (, q) L + E exp(k( + s(), m))dc L 1 (, q) L 1. L (3.5) 33

35 3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia F Z założenia (iv) wynika, że f(, s) f(, s) δ() λ dla dowolnego m oraz s. Zaem k(, m) δ()(m ) = m (f(, s) f(, s) δ())ds λ(m ) dla m. (3.6) Ponado f(m, s) f(, s) δ(m) λ dla s m. Sąd dla > m k(, m) δ(m)(m ) = m = (f(m, s) f(, s) δ(m))ds m (f(m, s) f(, s) δ(m))ds λ( m) dla m. (3.7) Podsumowując, ze wzorów (3.6) i (3.7) oraz z nierówności Jensena wynika, że T E exp(k(, m))dc (, q) T E exp (δ( m)(m ) λ m ) dc (, q) ( T T ) E exp δ( m)(m )dc (, q) λ m dc (, q) ( T T ) exp Eδ( m)(m )dc (, q) λ m dc (, q) (3.8) Analogicznie ( T T E exp(k( + s(), m))dc 1 (, q) exp Eδ(( + s()) m)(m s())dc 1 (, q) ) T λ m s() dc 1 (, q) (3.9) Z (3.5), (3.8) i (3.9) mamy 1 L n q i V i (k) L L exp ( T ) T µ( m)(m )dc (, q) λ m dc (, q) ( T + L 1 exp µ(( + s()) m)(m s())dc L 1 (, q) ) T λ m s() dc 1 (, q). 34

36 3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Ponieważ L + L 1 = L, więc z nierówności Jensena mamy 1 L ( n T q i V i (k) exp T + T λ Korzysając z (3.2) i (3.3) dosajemy 1 inf k K L co kończy dowód. µ( m)(m )dc (, q) L L µ(( + s()) m)(m s())dc 1 (, q) L 1 L m dc (, q) L L λ T ( n T q i V i (k) exp λm(q) + (m D(q))( ) T + µ(( + s()) m)dc 1 (, q) L 1 ), L m s() dc 1 (, q) L 1 L µ( m)dc (, q) L L Sraegia uodpornienia porfela polega na wyborze akiego wekora q = (q 1, q 2,..., q n ) spośród dopuszczalnych i spełniających ograniczenie budżeowe L = i q i V i (), kóry maksymalizuje prawą sronę nierówności (3.4). Rozważmy eraz przypadki szczególne: 1. Załóżmy, że µ() := µ w założeniu (iv). Wówczas 1 inf k K L n q i V i (k) exp( λm(q) + (m D(q))µ), gdzie D(q) i M(q) dane są, odpowiednio, wzorami (3.2) i (3.3). W ym przypadku, sraegia uodpornienia polega na n maksymalizacji (m D(q))µ λm(q) przy warunku L = q i V i (). (3.1) 2. Jeśli µ() µ jes nieznane, o wówczas uodpornienie porfela polega na n minimalizacji M(q) przy warunkach D(q) = m, L = q i V i (). (3.11) W ym przypadku opymalny porfel minimalizuje miarę M-Absolue w klasie wszyskich porfeli z dopasowanym czasem rwania, kóre mają zadaną warość oczekiwaną L w chwili m. Jeśli ponado λ :=, o należy przyjąć D(q) = m co implikuje fak, że porfel jes idealnie uodporniony ze względu na warość oczekiwaną wypłay. 35 ).

37 3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Uważna analiza dowodu wykazuje, że założenie (iv) można zasąpić nasępującym słabszym założeniem (iv ) y(, m) y (, m) + δ() λ dla dowolnego m oraz y(m, ) y (m, ) + δ(m) + λ dla > m, gdzie y(, s) = 1 s F (, s)ds dla, s oraz y (, m) = F (, s)ds. Oczywiście y(, s) jes sopą zwrou do erminu wykupu (yield 1 s m m o mauriy) na przedziale (, s), a y (, s) jes sopa zwrou do erminu wykupu obliczą przy założeniu, że nie zmieni się srukura erminowa sóp procenowych. Przykład 2. Rozważmy syuację, w kórej inwesor ma zobowiązanie w wysokości 1,,$ w chwili m = 2. Aby spłacić swój dług w chwili = chce kupić obligacje. Dla uproszczenia załóżmy, że na rynku są dosępne obligacje roczne bez ryzyka i 3- lenie obarczone ryzykiem niewykupienia, roczne sopy kuponowe wynoszą, odpowiednio, 1% i 6%, warość nominalna jes aka sama i wynosi 1$. Ponado zakładamy, że odseki wypłacone przed chwilą m są reinwesowane w roczne ogołocone obligacje (srippedbonds, srips). Przewiduje się, że ryzyko niedorzymania warunków przez emiena 3-lenich obligacji w drugim roku wynosi, 1, przy czym emien zobowiązuje się wypłacić należne kupony w wysokości 8$ z każdej obligacji w chwili = 4. Inwesor chce skonsruować ak swój porfel, aby w chwili = 2 uzyskać z niego największą z najmniejszych przecięnych warości. Wekor q = (q 1, q 2 ) oznacza liczbę zakupionych jednosek obligacji w chwili =. Niech srukura erminowa będzie płaska, sopa zwrou do erminu wykupu wynosi 4% i µ() = µ =, 2%, a λ = 3%. Ławo sprawdzić, że dla rocznej obligacji V 1 () = 1144 i dla 3-leniej V 2 () = , D(q) = 1144q q 2 1 6, M(q) = 1144q 1+183q Wówczas zgodnie ze sraegią (3.1), porfel q = ( , ) jes opymalny. Jeśli paramer µ jes nieznany, o sosując sraegię (3.11) inwesor powinien zakupić porfel q = (398.88, ). s 36

38 Rozdział 4 Różne kryeria wyboru porfela obligacji Ten rozdział powsał na podsawie publikacji Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (25b). W modelu 3-okresowym poszukuje się jawnych rozwiązań problemu uodpornienia porfela proponując różne kryeria opymalności. Rozważmy model, w kórym w chwili = można kupić dowolną liczbę rocznych i rzylenich obligacji zerokuponowych ypu def aulable i noncallable. Oznaczmy przez a 1, a 3 kwoy wydane na zakup obligacji, odpowiednio, rocznych i rzylenich w chwili =, f(, s) chwilową sopę erminową w chwili =, f(1, s) chwilową sopę erminową w chwili = 1, k i = i+1 i (f(1, s) f(, s))ds, gdzie i = 1, 2 zaburzenie chwilowej sopy procenowej A 1 = a 1 exp 2 f(, s)ds, A 3 = a 3 exp 2 f(, s)ds - warości a 1, a 3 na chwilę 2. Oczywiście gdzie L jes zobowiązaniem inwesora lub równoważnie A 1 + A 3 = L, (4.1) a 1 + a 3 = L exp( 37 2 f(, s)ds).

39 4. Różne kryeria wyboru porfela obligacji Warość porfela sprzedanego w chwili = 2 zależy od sraegii reinwesowania przyjęej w chwili = 1, ponieważ srukura erminowa sóp procenowych ciągle się zmienia. Rozważmy nasępujący sposób posępowania w = 1. Zakładamy, że inwesor w chwili = 1 sprzedaje swój porfel i całą kwoę reinwesuje w roczne obligacje zerokuponowe. Wówczas w chwili = 2 orzyma kwoę V (k) = = [a 1 exp( = A 1 exp( f(, s)ds) + a 3 exp( f(, s)ds (f(1, s) f(, s))ds) + A 3 exp( f(1, s)ds)] exp( f(1, s)ds) 1 (f(1, s) f(, s))ds) = A 1 e k 1 + A + 3 k 2. (4.2) W klasycznej eorii uodpornienia zakłada się, że zaburzenia srukury erminowej są płaskie o znaczy f(1, s) = f(, s) + ɛ dla dowolnego s, gdzie ɛ jes dowolną liczbą rzeczywisą. Wówczas warość porfela w chwili = 2 wynosi V (k) = A 1 e ɛ + A 3 e ɛ i porfel jes idealnie uodporniony na zmianę sóp procenowych, jeśli V (k) ɛ =, czyli gdy A 1 = A 3. Jes o sraegia, w kórej czas rwania porfela obligacji liczony w chwili = jes równy 2 a liczony w = 1 wynosi 1. Jednak założenie o płaskim przebiegu zaburzeń srukury erminowej prowadzi do możliwości arbirażu, co jes sprzeczne zarówno ze współczesną eorią finansów jak i z danymi empirycznymi. Przyjmiemy zaem, że zaburzenia k 1, k 2 mogą być różne. Pojawia się jednak problem jak je modelować. Jes wiele możliwych modeli i ylko badanie empiryczne mogą rozsrzygnąć, kóry jes bliższy rzeczywisości. Poniżej podamy kilka modeli zaburzeń sóp procenowych wraz z różnymi kryeriami opymalnego wyboru porfela. 4.1 Kryerium maksyminowe Informacja o k 1 i k 2 sprowadza się do usalenia podzbiorów, w kórych zaburzenia mogą się znaleźć. Na przykład załóżmy, że k 1 ɛ 1, k 2 ɛ 2. Wówczas maksyminowe kryerium wyboru polega na rozwiązaniu prosego problemu opymalizacyjnego: max A i W szczególności min k 1,k 2 V (k) = max A i (A 1 e ɛ 1 + A 3 e ɛ 2 ) = max A 1 L (A 1(e ɛ 1 e ɛ 2 ) + Le ɛ 2 ). (4.3) 38

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl

Bardziej szczegółowo

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb) Swap (IRS) i FRA Przykład. Sandardowy swap procenowy Dealer proponuje nasępujące sałe sopy dla sandardowej "plain vanilla" procenowej ransakcji swap. ermin wygaśnięcia Sopa dla obligacji skarbowych Marża

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

Europejska opcja kupna akcji calloption

Europejska opcja kupna akcji calloption Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele: 1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII KRZYSZTOF JAJUGA Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII. Modele makroekonomiczne a modele sóp procenowych wprowadzenie Nie do podważenia

Bardziej szczegółowo

Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014

Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014 Rapor: Modele Maemayczne w Finansach 2014 Krzyszof Bisewski Pior Bochnia Kamila Domańska Pior Garbuliński Elżbiea Gawłowska Grzegorz Głowienko Barosz Głowinkowski Magdalena Hubicz Marcin Kania Paweł Marcinkowski

Bardziej szczegółowo

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI

Bardziej szczegółowo

Ryzyko stopy procentowej

Ryzyko stopy procentowej Ryzyko stopy procentowej Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 37 1. Ryzyko inwestowania w obligacje inwestycja w obligacje jest obarczona ryzykiem trzy podstawowe rodzaje ryzyka związane z inwestowaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa dariusz.sanko@gmail.com lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo

Bardziej szczegółowo

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów

Bardziej szczegółowo

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń Sanisław Garska 1 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny Użyeczność bezpośredniej likwidacji szkód (LS) dla klienów zakładów ubezpieczeń Sreszczenie Wprowadzeniu bezpośredniej likwidacji szkód jako produku

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa stóp procentowych po kryzysie 2007 roku. praca zespołowa

Struktura terminowa stóp procentowych po kryzysie 2007 roku. praca zespołowa Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku praca zespołowa 17 września 2012 Spis reści I Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku 3 1 Opis rynku finansowego po kryzysie 4 1.1

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme)

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme) PROGRAM PRIORYTETOWY Tyuł programu: Sysem zielonych inwesycji (GIS Green Invesmen Scheme) Część 6) SOWA Energooszczędne oświelenie uliczne. 1. Cel programu Ograniczenie lub uniknięcie emisji dwulenku węgla

Bardziej szczegółowo

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1 Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy

Bardziej szczegółowo

Analiza rynku projekt

Analiza rynku projekt Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO Sreszczenie Michał Barnicki Poliechnika Śląska, Wydział Oranizacji i Zarządzania Monika Odlanicka-Poczobu Poliechnika Śląska, Wydział

Bardziej szczegółowo

KONTRAKTY FUTURES STOPY PROCENTOWEJ

KONTRAKTY FUTURES STOPY PROCENTOWEJ KONTRAKTY FUTURES STOPY PROCENTOWEJ Zasosowanie z perspekywy radera Dominik Łogin 18 październik 2013 Agenda I. Fuures obligacyjne Podsawy konsrukcji Porównanie międzynarodowe Baza Cash-Fuures Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r. Maemayka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r. 1.. Dany jes wiek całkowiy x. Nasępujące prawdopodobieńswa przeżycia: g= 2p x + 1/3, h= 2p x + 1/ 2, j= 2p x + 3/4 obliczono sosując inerpolację zakładającą,

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu

Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu Dariusz Zawisza Opymalne sraegie inwesycyjne wobec ryzyka modelu Praca dokorska Insyu Maemayki Wydział Maemayki i Informayki Uniwersye Jagielloński Promoor: dr hab. Armen Edigarian KRAKÓW 1 Spis reści

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181 A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr (01) 161 181 Pierwsza wersja złożona 9 marca 01 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 15 grudnia 01 080-0339 Anna Michałek

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM prof. dr hab. Paweł Dimann 1 Znaczenie prognoz w zarządzaniu firmą Zarządzanie firmą jes nieusannym procesem podejmowania decyzji, kóry może być zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX

MODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX Krzyszof Ćwikliński Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Zarządzania, Informayki i Finansów Kaedra Ekonomerii krzyszof.cwiklinski@ue.wroc.pl Daniel Papla Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział

Bardziej szczegółowo

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO 11

MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO 11 MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO Kaowice 20 Komie Redakcyjny Tadeusz Trzaskalik (redakor

Bardziej szczegółowo

O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji)

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR

Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR Zerowe sopy procenowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR 111 seminarium BRE-CASE Warszaw awa, 25 lisopada 21 Plan Wprowadzenie Hipoezy I, II, III i IV Próba (zgrubnej)

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Redakor

Bardziej szczegółowo

Wyniki inwestycyjne funduszy hedge. Czynniki wpływające na ich interpretację

Wyniki inwestycyjne funduszy hedge. Czynniki wpływające na ich interpretację Bank i Kredy 4 (6), 0, 854 www.bankikredy.nbp.pl www.bankandcredi.nbp.pl Wyniki inwesycyjne funduszy hedge. Czynniki wpływające na ich inerpreację Kaarzyna Perez* Nadesłany: 7 kwienia 0 r. Zaakceowany:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013 MAŁGORZATA BOŁTUĆ Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY RYNKIEM SWAPÓW KREDYTOWYCH

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOWEGO

REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOWEGO REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOEGO przyjęy uchwałą nr 10/60/98 Rady Nadzorczej Krajowego Depozyu Papierów arościowych S.A. z dnia 28 września 1998 r., zawierdzony decyzją Komisji Papierów arościowych i

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Ocena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych

Ocena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych Bank i Kredy 455, 04, 467 490 Ocena wpływu zmian poziomu rezerw waluowych na premię za ryzyko kredyowe Polski wykorzysanie meody roszczeń warunkowych Michał Konopczak* Nadesłany: 5 kwienia 04 r. Zaakcepowany:

Bardziej szczegółowo

1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)

1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) Egzamin na Doradcę Inwestycyjnego II etap 11.2015 Zadanie 1 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/ podaj

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

Bardziej szczegółowo

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27 3 Spis reści Spis reści... 3 Użye oznaczenia... 7 Wsęp i założenia pracy... 9 1. Akualny san wiedzy medycznej i echnicznej związanej zagadnieniami analizy decyzyjnej w chorobach górnego odcinka przewodu

Bardziej szczegółowo

Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób

Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób 243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji

Bardziej szczegółowo

Co powinna zawierać obligacja?

Co powinna zawierać obligacja? OBLIGACJE Obligacja Jest papierem wartościowym typu wierzytelnościowego, czyli jedna strona, zwana emitentem, stwierdza, że jest dłużnikiem drugiej strony (zwanej obligatariuszem) i zobowiązuje się wobec

Bardziej szczegółowo

Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczytaj koniecznie!

Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczytaj koniecznie! Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczyaj koniecznie! Jeseś osobą prowadzącą pozarolniczą działalność, jeśli: prowadzisz pozarolniczą działalność gospodarczą na podsawie przepisów

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Wprowadzenie Jednym z aspeków współczesnej ekonomii jes zarządzanie ryzykiem związanym

Bardziej szczegółowo

Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu

Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu Poliechnika Wrocławska Insyu Konsrukcji i Eksploaacji Maszyn Zakład Logisyki i Sysemów Transporowych Rozprawa dokorska Model logisycznego wsparcia sysemu eksploaacji środków ransporu Rapor serii: PRE nr

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Reakcja banków centralnych na kryzys

Reakcja banków centralnych na kryzys Reakcja banków cenralnych na kryzys Andrzej Rzońca Warszawa, 18 lisopada 2011 r. Plan Podsawowa lekcja z kryzysu dla poliyki pieniężnej Jak wyglądała reakcja poliyki pieniężnej na kryzys? Dlaczego reakcja

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARTWOWYCH Zagadnienia wyrzymałościowe w przypadku maeriałów kompozyowych, a mówiąc ściślej włóknisych kompozyów warswowych (np. laminay zbrojone włóknami) należy rozparywać na

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie

Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA W WARSZAWIE STUDIUM DYPLOMOWE KIERUNEK: Meody Ilościowe i Sysemy Informacyjne Michał Rubaszek Nr alb. 5346 Arbiraż cenowy na przykładzie Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Redakor

Bardziej szczegółowo