Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014

Transkrypt

1 Rapor: Modele Maemayczne w Finansach 2014 Krzyszof Bisewski Pior Bochnia Kamila Domańska Pior Garbuliński Elżbiea Gawłowska Grzegorz Głowienko Barosz Głowinkowski Magdalena Hubicz Marcin Kania Paweł Marcinkowski Maria Pawłowska Parycja Pol Mikołaj Selmach Jakub Szmy Naalia Włodarczyk 8 lipca 2014

2 Spis reści I Opcje amerykańskie 3 1 Opymalne sopowanie w czasie ciagłym Wprowadzenie Przypomnienie definicji, wniosków i wierdzeń o procesach ciągłych Obwiednia Snella w czasie ciągłym Opymalne momeny sopu Rozkład Dooba-Meyera i ε-opymalne momeny sopowania Przypadek regularny Horyzon skończony Wycena opcji amerykańskich Model Sraegie dopuszczalne Opcje amerykańskie i obwiednia Snell a Własności funkcji ceny Problem opymalnego sopowania Horyzon skończony Horyzon nieskończony Własności ceny opcji amerykańskiej Wprowadzenie Założenia Wypukłość względem ceny insrumenu bazowego Czas zmienności Monooniczność względem volailiy Time-decay ceny opcji Ciągłość względem volailiy Wycena wieczysej amerykańskiej opcji pu Amerykańska wieczysa opcja pu Wycena w modelu Blacka-Scholesa Wycena w modelu CEV Nierówności wariacyjne Heurysyka Przypadek Amerykańskiej opcji pu w modelu Black a-scholes a Granica i premia wcześniejszego wykonania

3 7 Zagadnienie opymalnego zarzymania dla amerykańskiej opcji sprzedaży Wsęp Problem opymalnego zarzymania Wycena opcji Transformacja całkowa dla granicy sopowania II Uśmiech zmienności na rynku kursów waluowych 41 8 Wprowadzenie do konsrukcji uśmiechu zmienności na rynku wymiany walu Podsawowe pojęcia na rynku FX Konsrukcja uśmiechu zmienności Uproszczona meoda kwadraowa Kalibracja Meoda Vanna-Volga Założenia Koreka rynkowa. Moywacja Sabilność algorymu

4 Część I Opcje amerykańskie 3

5 Rozdział 1 Opymalne sopowanie w czasie ciagłym Marcin Kania, Krzyszof Bisewski Rozdział opracowany na podsawie "Damien Lamberon - Opimal sopping and American opions; Sepember 2009" 1.1 Wprowadzenie Będziemy zakładać, że mamy do czynienia z przesrzenią probabilisyczną (Ω, F, P) z zadaną filracją ciągłą F = (F ) 0 spełniającą zwykłe warunki, zn. 1. prawosronnie ciągłą zn. F = F + := s< F s. 2. zupełną zn. F 0 zawierającą zbiory miary zero. Powyższe dwie własności są przydane w czyso echniczny sposób m.in. przy definiowaniu momenu zarzymania odpowiadającego za pierwszą chwilę wejścia do pewnego zbioru owarego A (jakby A był domknięy, o moglibyśmy pominąć e założenia). Niech M będzie rodziną wszyskich momenów sopu ze względu na filrację F. Wprowadzamy oznaczenia: 1. M T = {τ M : P(τ [, T ]) = 1}. 2. M = {τ M : P(τ [, )) = 1}. 1.2 Przypomnienie definicji, wniosków i wierdzeń o procesach cia- głych Definicja Niech dana będzie przesrzeń probabilisyczna (Ω, F, P), przesrzeń mierzalna (E, ε) oraz dowolny zbiór T. Procesem sochasycznym o warościach w E określonym na T nazywamy rodzinę zmiennych losowych (X ) T przyjmujących warości w E. 4

6 Zazwyczaj przyjmuje się, że T o podzbiór R, zaś E = R lub E = R d i wówczas inerpreuje się jako czas. Proces sochasyczny w isocie można inerpreować jako funkcję dwóch zmiennych: ze względu na Ω jes o funkcja (zmienna) losowa przy usalonym, zaś przy usalonym ω Ω jes o funkcja deerminisyczna ze względu na czas (zw. rajekoria). Definicja Momenem zarzymania względem filracji (F ) T nazywamy zmienną losową τ o warościach w T { }, aką że T {τ } F. W przypadku procesów sochasycznych również mówi się o jednosajnej całkowalności. Definicja Mówimy, że rodzina zmiennych losowych (X i ) i I jes jednosajnie całkowalna, jeśli lim r sup E X i 1 { Xi >C} = 0. i I W szczególności korzysać będziemy z faków: Fak Rodzina zmiennych losowych (X i ) i I jes jednosajnie całkowalna wedy i ylko wedy, gdy zachodza równocześnie poniższe warunki: 1. sup i I E X i < ; 2. ε > 0 δ > 0 P(A) δ sup i I E X i 1 A ε. Powyższy fak posłuży do dowodu poniższego. Fak Rodzina uśrednień usalonej całkowalnej zmiennej losowej zn. rodzina zmiennych posaci E(X F i ), gdzie X spełnia E X <, zaś (F i ) i I o dowolna rodzina pod-σ-ciał filracji F. Dowód. Na mocy nierówności Jensena dla funkcji wypukłej mamy: a zaem dla C E X δ zachodzi E X i = E E(X F i ) E X, P( X i C) E X i C E X C δ. Pierwsza nierówność wynika z nierówności Kołmogorowa, a druga z poprzedniej linijki. Oczywiście { X i C} F i, zaem ponownie na mocy nierówności Jensena E( X i 1 { Xi >C}) = E( E(X F i ) 1 { Xi >C}) = E E( X i 1 { Xi >C} F i ) E E( X 1 { Xi >C} F i ) = E( X 1 { Xi >C}) E X P( X i C) ε. Będziemy porzebowali jeszcze jednego faku. Fak Jeśli rodzina zmiennych losowych (X n ) n=0 jes jednosajnie całkowalna oraz X n zbiega p.n. do zmiennej X, o dla każdego zdarzenia A zachodzi lim n EX n 1 A = EX1 A. 5

7 Twierdzenie (Ciagła wersja wierdzenia Dooba) Niech (X ) 0 będzie prawosronnie cia- głym maryngałem. Jeśli σ i τ sa ograniczonymi p.n. momenami sopu spełniajacymi σ τ p.n., o wówczas zmienne X σ i X τ sa całkowalne oraz zachodzi równość E(X τ F σ ) = X σ p.n. Dowód. Niech T będzie ograniczeniem na momeny sopu spełniającym σ τ T p.n.. Zdefiniujmy nasępujące momeny zarzymania: oraz τ n (ω) := σ n (ω) := { T k k+1 n dla τ(ω) (T n, T k n ], k = 0, 1,..., n2 T n dla τ(ω) T n { T k k+1 n dla σ(ω) (T n, T k n ], k = 0, 1,..., n2 T n dla σ(ω) T n Wówczas momeny sopu σ n i τ n są skończonymi, ograniczonymi przez T momenami sopu, przyjmującymi jedynie skończenie wiele warości. Zaem na mocy wierdzenia Dooba o sopowaniu w czasie dyskrenym zasosowanego dla maryngału (X n ) n i momenów sopowania σ n, τ n mamy E(X τn F σn ) = X σn p.n., E(X T F σn ) = X σn p.n. oraz E(X T F τn ) = X τn p.n.. Sąd wynika, że rodziny zmiennych losowych (X τn ) n=1 i (X σ n ) n=1 są jednakowo całkowalne - wynika o z wcześniej wspomnianego faku o jednosajnej całkowalności uśrednień całkowalnej zmiennej losowej. Wiemy, że τ n τ + oraz σ n σ + (daje się sprawdzić na paluszkach; zreszą, akie celowo braliśmy e momeny sopu) oraz wiemy, że X ma prawosronnie ciągłe rajekorie - w związku z ym, na mocy faku (zbieżność według prawdopodobieńswo i jednosajna całkowalność z dokładnością do p-ej poęgi modułu jes równoważna zbieżności w L p ), mamy zbieżność X τn i X σn do X τ i X σ p.n. i w L 1. Rozważmy A F σ F σn. Wówczas zachodzi na mocy faku przez wierdzeniem EX τ 1 A = lim n EX τn 1 A = lim n EX σn 1 A = EX σ 1 A, co dowodzi równości E(M τ F σ ) = M σ p.n. Twierdzenie (Twierdzenie Dooba dla jednosajnie całkowalnych maryngałów) Niech (X ) 0 będzie prawosronnie ciagłym, jednosajnie całkowalnym maryngałem. Wówczas eza wierdzenia Dooba (1.2.4) zachodzi dla dowolnych momenów sopu σ τ p.n. Twierdzenie Niech (X ) 0 będzie nieujemnym, prawosronnie ciagłym nadmaryngałem. Wówczas granica X := lim X isnieje z prawdopodobieńswem 1 oraz dla dowolnych momenów sopu spełniajacych σ τ p.n. zachodzi nierówność E(X τ F σ ) X σ p.n. Definicja Niech X = (X ) 0 i Y = (Y ) 0 będą procesami sochasycznymi określonymi na ej samej przesrzeni probabilisycznej. Powiemy, że: X jes modyfikacją (sochasycznie równoważny) Y, jeśli [0, ) P(X = Y ) = 1 6

8 X i Y są nierozróżnialne, jeśli P( [0, ) X = Y ) = 1. Innymi słowy, własność nierozróżnialności oznacza równość na rajekoriach p.n. W szczególności ważna jes pewna klasa procesów, zw. procesów cadlag. Definicja Powiemy, że proces X = (X ) 0 jes cadlag, jeśli jego rajekorie są prawosronnie ciągłe p.n. oraz posiadają lewosronne granice p.n. Twierdzenie Niech (X ) 0 będzie całkowalnym nadmaryngałem względem filracji F. Jeśli przekszałcenie EX jes prawosronnie ciagłe, o wówczas proces (X ) posiada modyfikację cadlag będac a F-nadmaryngałem. Definicja Powiemy, że adapowalny, prawosronnie ciągły proces (X ) 0 jes: 1. regularny, jeśli dla każdego momenu zarzymania τ M proces X τ jes procesem całkowalnym oraz dla każdego niemalejącego ciągu momenów sopowania (τ n ) n N spełniającego lim n τ n = zachodzi lim n E(X τn ) = E(X τ ). 2. klasy D, jeśli rodzina (X τ ) τ M jes jednosajnie całkowalna. 1.3 Obwiednia Snella w czasie ciagłym Będziemy rozważać proces wypła Z = (Z ) [0, ),.j. proces adapowalny spełniający: 0 Z 0 E(sup 0 Z ) <. Uwaga Proces wypła Z jes klasy D. Isonie, dla każdego τ M zmajoryzowana przez całkowalna zmienna losowa sup 0 Z. zmienna X τ jes Twierdzenie (Twierdzenie Snella) Niech Z będzie procesem wypła. Zdefiniujmy U = (U ) 0, gdzie U = ess sup E(Z τ F ). τ M Wówczas 1. Proces U jes nadmaryngałem; 2. 0 E(U ) = sup τ M E(Z τ ); 3. Isnieje prawosronnie ciagła modyfikacja procesu U. Prawosronna modyfikację procesu U będziemy nazywać obwiednia Snella. W dowodzie wierdzenia Snella będziemy korzysać, z faku, że proces U posiada zw. własność kray Definicja (Własność kray) Powiemy, że rodzina zmiennych losowych (X i ) i I posiada własność kray, jeśli dla dowolnych i, j I isnieje k I, akie że X k X i X j p.n.. 7

9 Lema (o własności kray) Przy oznaczeniach jak wcześniej i przy usalonym 0 rodzina (E(Z τ F ), τ M ) posiada własność kray. Dowód. Niech τ 1, τ 2 M i niech X i = E(Z τi F ) dla i = 1, 2. Rozważmy momen sopu τ 3 zadany: τ 3 = τ 1 1 {X1 X 2 } + τ 2 1 {X1 <X 2 }. Wówczas oczywiście τ M oraz E(Z τ3 F ) E(Z τi F ) dla i = 1, 2. Fak (o isonym supremum) Niech (X i ) i I będzie nieujemna rodzina zmiennych losowych z własnościa kray. Wówczas E(ess sup i I X i ) = sup i I EX i oraz dla każdego B pod-σ-ciała F zachodzi E(ess sup i I X i B) = ess sup i I E(X i B) p.n.. Powyższe równości zachodza również, jeśli nieujemność zasapić przez założenie, że E(ess sup i I X i ) <. Dowód. (Twierdzenia Snella) Ad 1. Niech s 0. Na mocy faku o isonym supremum oraz lemau o własności kray orzymujemy E(U F s ) = E(ess sup τ M E(Z τ F ) F s ) = ess sup τ M E(E(Z τ F ) F s ) = ess sup τ M Korzysamy uaj z inkluzji M M s. E(Z τ F s ) ess sup τ M s E(Z τ F s ) = U s. Ad 2. Rozważmy 0. Wówczas E(U ) = E(ess sup τ M E(Z τ F )) = ess sup τ M E(E(Z τ F )) = ess sup τ M E(E(Z τ ) = sup τ M E(E(Z τ ). W pierwszej równości korzysamy z definicji procesu U. W drugiej korzysamy z lemau o isonym supremum. W rzeciej korzysamy z mierzalności Z τ względem F. W osaniej ponownie z lemau o isonym supremum. Ad 3. Wysarczy, że udowodnimy prawosronną ciągłość E(U ) (resza założeń wierdzenia o modyfikacji ciągłej jes spełniona). Rozważmy zaem ciąg nierosnących czasów ( n ) n N spełniający lim n n =. Wówczas, dla każdego n N, mamy E(U n ) = E(ess sup τ M n E(Z τ F n )) = sup τ M n E(Z τ F n ) = sup τ M n E(Z τ ) sup τ M E(Z τ ) = E(U ). Z drugiej srony dla dowolnego momenu sopu τ M rozważmy τ n = τ n. Należy on do M n oraz lim n Z τn = Z τ (na mocy prawosronnej ciągłości Z). (DLACZEGO?) mamy E(Z τ ) lim inf n E(Z τn ) lim inf n E(U n ). Ponieważ a nierówność jes prawdziwa dla dowolnego τ, o mamy E(U ) lim inf n E(U n ), skąd oczywiście lim n E(U n ) = U. Od eraz, dla uproszczenia noacji, jako U będziemy oznaczać obwiednię Snella procesu wypła Z, zn. U jes prawosronnie ciągłą modyfikacją procesu zdefiniowanego w wierdzeniu Uwaga Proces U jes klasy D. Isonie, mamy 0 U M p.n., gdzie M o jes jednosajnie całkowalny maryngał określony wzorem M = E(sup s 0 Z s F ). 8

10 Wniosek Obwiednia Snella U jes najmniejszym prawosronnie ciagłym maryngałem dominujacym proces wypła Z. Dowód. Rozważmy dowolny prawosronnie ciągły nadmaryngał V dominujący Z (Z V ). Wówczas na mocy wierdzenia (2.2) mamy τ M E(Z τ F ) E(V τ F ) V p.n.. Obkładając o isonym supremum po momenach sopu dosajemy po lewej sronie U, zaś isone supremum po momenach sopu nie wpływa na prawą sronę nierówności, skąd mamy U V p.n. Swierdzenie Obwiednia Snella spełnia lim U = lim Z p.n. Dowód. Z nierówności U Z orzymujemy lim sup Z lim U. Brakuje nam jeszcze szacowania w drugą sronę. Rozważmy więc dowolne s 0 oraz weźmy s. Wówczas dla każdego τ M zachodzi E(Z τ F ) E(sup Z u F ) u s zaem U E(sup u Z u F ) p.n. (obkładamy lewą i prawą sronę isonym supremum po τ M - lewa daje nam U, zaś prawa nie zmienia się). Zauważmy, że zmienna losowa sup u s Z ( u ) jes całkowalna oraz mierzalna względem σ-ciała F := σ 0 F, a zaem w granicy lim E(sup u s Z u F ) = sup u s Z u. Sąd lim n U sup u s Z u. Przechodząc z s orzymujemy lim n U lim sup Z, co kończy dowód. 1.4 Opymalne momeny sopu Teraz zajmiemy się zdefiniowaniem opymalnego momenu sopowania oraz wierdzenia charakeryzującego opymalne momeny sopu. Definicja Powiemy, że momen sopu (zarzymania) τ M 0 jes opymalny, jeśli E(Z τ = sup τ M 0 E(Z τ ). Twierdzenie (o charakeryzacji opymalnych momenów sopu) Momen zarzymania τ M 0 jes opymalny wedy i ylko wedy, gdy zachodz a równocześnie warunki: 1. U τ = Z τ p.n.; = U τ dla 0 T jes marynga- 2. zasopowany proces U τ zdefiniowany wzorem U τ łem. Dowód. Na mocy definicji opymalnego momenu sopowania, τ jes opymalny wedy i ylko wedy, gdy E(Z τ ) = E(U 0 ). Jednocześnie zauważmy, że na mocy U Z oraz wierdzenia zasosowanego do nadmaryngału U oraz momenów sopu σ 0, τ = τ orzymujemy E(Z τ ) E(U τ ) E(U 0 ). Zaem τ jes opymalny ww gdy E(Z τ ) = E(U τ ) = E(U 0 ). Równość E(Z τ ) = E(U 0 ) jes równoważna emu, że Z τ = U τ p.n. (wobec ego, że U Z). Kolejna równość, E(U τ ) = E(U 0 ), jes równoważna emu, że proces U τ jes maryngałem. Ławo o sprawdzić: jeśli U τ jes maryngałem, o E(U τ ) = E(U 0 ) dla każdego 0 na 9

11 mocy wierdzenia Dooba o sopowaniu. Wiemy również, że U jes klasy D, więc rozważając granicę przy dosajemy E(U τ ) = E(U 0 ). Z drugiej srony, jeśli E(U τ ) = E(U 0 ), o sosując wierdzenie do U orzymujemy, że E(U τ ) = E(U 0 ) dla każdego 0, skąd wniosek, że U τ jes maryngałem. 1.5 Rozkład Dooba-Meyera i ε-opymalne momeny sopowania Twierdzenie (Rozkład Dooba-Meyera) Niech U = (U ) 0 będzie prawosronnie ciagłym nadmaryngałem klasy D. Isnieje wedy maryngał M = (M ) 0 oraz niemalejacy proces prognozowalny A = (A ) 0 aki, że A 0 = 0 oraz U = M A Procesy U oraz M sa jednosajnie całkowalne oraz wyznaczone jednoznacznie. Ponado, jeśli U jes procesem regularnym o proces A ma ciagłe rajekorie. Powyższy rozkład nadmaryngału U nazywa się rozkładem Dooba-Meyera Twierdzenie (o ε-opymalnych momenach zarzymania) Niech U będzie obwiednia Snella procesu wypła Z. Dla 0 oraz ε 0 definiujemy Wówczas: 1. D ε M 0 2. EU D ε = EU 3. E(Z D ε ) EU ε D ε = inf{s : Z s U s ε} W dowodzie wierdzenia pomoże nam nasępujący Lema Niech A będzie niemalejacym procesem z rozkładu Dooba-Meyera obwiedni Snella U. Wedy dla każdego 0 oraz ε 0, A D ε = A p.n. Ponado procesy (A D ε ) oraz A sa nierozróżnialne. Dowód. (lemau 1.5.3) Z wierdzenia Snella (1.3.2 punk 2) wiemy, że EU = sup τ M EZ τ. Niech (τ j ) j N będzie ciągiem momenów sopu τ j M wybijającym supremum, zn. akim, że lim j EZ τj = EU. Wedy EZ τj EU τj = EM τj EA τj = EM EA τj = EU E(A τj A ) gdzie pierwsza nierówność wynika z ego, że U dominuje Z prawie na pewno. Wynika sąd, że lim j E(U τj Z τj ) = 0 oraz lim j E(A τj A ) = 0. Każdy ciąg zbieżny w L 1 ma podciąg zbieżny p.n, a zaem można wybrać aki podciąg, że U τjk Z τjk 0 p.n., a z ego podciągu wybrać aki, że A τjkl A 0 p.n. Aby nie mnożyć indeksów dolnych, bez sray ogólności załóżmy, że (τ j ) od począku spełniał: lim U τ j Z τj = lim A τj A = 0 p.n. j j Skoro lim j U τj Z τj = 0, o D ε τ j dla dosaecznie dużych j, zaem A D ε A τj A, gdzie nierówność wynika z faku, że A jes niemalejący, a zbieżność z wcześniejszych usaleń. 10

12 Z drugiej srony, z definicji ε-opymalnego momenu sopu D ε, więc A D ε niemalejący, a zaem osaecznie A D ε = A. A, bo A jes Nierozróżnialność procesów (A D ε ) oraz A jes bezpośrednią konsekwencją prawosronnej ciągłości A oraz faku, że jes niemalejący. Dowód. (wierdzenia o ε-opymalnych momenach sopowania) Ad 1. Zauważmy, że D ε jes momenem pierwszych odwiedzin zbioru domknięego [0, ε] przez adapowalny, prawosronnie ciągły proces U Z, a skoro filracja spełnia zwykłe warunki, o sąd wynika już, że D ε jes momenem sopu. Ponado lim U = lim Z p.n., zaem D ε jes skończony prawie na pewno, skąd wynika eza. Ad 2. Wynika z definicji oraz prawosronnej ciągłości procesu U Z. Ad 3. Z lemau wynika, że EU D ε = EU, zaem z punku drugiego orzymujemy ezę. 1.6 Przypadek regularny Twierdzenie Załóżmy, że proces wypła Z jes regularny oraz U jes jego obwiednia Snella. Wprowadźmy momen sopu: τ 0 = inf{ 0 : U = Z } Wedy 1. Proces U jes regularny 2. Opymalny momen sopu isnieje ww, gdy P(τ 0 < ) = 1 3. τ 0 jes najmniejszym opymalnym momenem sopu Dowód. Ad 1. Należy wykazać, że dla każdego momenu zarzymania τ M proces U τ jes procesem całkowalnym oraz dla każdego niemalejącego ciągu momenów sopowania (τ n ) n N spełniającego lim n τ n = zachodzi lim n E(U τn ) = E(U τ ). Wiemy, że obwiednia Snella jes klasy D, więc w szczególności każdy elemen rodziny (U τ ) τ M 0 jes całkowalny, co dowodzi pierwszej części definicji. Pozosaje do wykazania druga część: Niech (τ n ) n N będzie dowolnym niemalejącym ciągiem momenów sopu akim, że lim n τ n = τ M 0. Z własności U jako nadmaryngału wnioskujemy, że EU τ n EU τ dla każdego n. przechodząc obusronnie do granicy n orzymujemy lim EU τ n n U τ (1.1) Pozosało wykazać nierówność (1.1) w drugą sronę. Dla Usalonego ε > 0, Dτ ε n = inf{s τ n : Z s U s ε} jes momenem sopu. Z nierozróżnialności procesów (A D ε ) oraz A (lema 1.5.3) orzymujemy (A D ε σ ) = A σ p.n. dla dowolnego momenu sopu σ M 0, a zaem w szczególności dla τ n orzymujemy EU D ε τn = EU τn. Z wierdzenia orzymujemy osaecznie EZ D ε τn EU D ε τn ε = EU τn ε. Ciąg momenów sopu (Dτ ε n ) n N jes niemalejący, zdominowany przez momen sopu Dτ ε, a zaem zbieżny. Niech τ = lim n Dτ ε n. Zachodzą nierówności τ τ Dτ ε. Ponado z regularno- 11

13 ści procesu Z orzymujemy EZ τ = lim n Z D ε τn, a zaem EU τ EU τ (1.2) = lim Z D n τn ε lim EU τ n n ε, gdzie (1.2) wynika z τ oraz monooniczności warości oczekiwanej U (U jes nadmaryngałem), a równość w (1.3) wynika z dominacji U nad Z. Przechodząc do granicy ε 0 orzymujemy co w połączeniu z nierównością (1.1) dowodzi regularności U. (1.3) U τ lim n EU τ n, (1.4) Ad 2. Z pierwszego warunku wierdzenia orzymujemy, że jeżeli τ M 0 jes opymalnym momenem sopu, o U τ = Z τ p.n., a więc w szczególności τ 0 τ < p.n. Załóżmy, że P(τ 0 < ) = 1. Niech (ε n ) n N będzie nierosnącym ciągiem liczb dodanich, zbieżnym do 0. Niech τn := D0 εn. Ciąg (τ n) n N jes niemalejący i zdominowany przez τ 0, a zaem zbieżny. Niech τ = lim n τn. Korzysając kolejno z drugiego i rzeciego punku wierdzenia orzymujemy: EU 0 = EU τ n EZ τ n + ε n, Przechodząc do granicy n i korzysając z regularności Z orzymujemy a zaem τ jes opymalny. EU 0 = EZ τ Ad 3. Zauważmy, że skoro τ zdefiniowany w Ad 2. jes opymalnym momenem sopu, o zachodzi punk pierwszy warunek wierdzenia 1.4.1, j. U τ = Z τ p.n., a więc τ 0 τ. Z poprzednich rozważań wynika, że τ jes zdominowany przez τ 0, zaem τ = τ 0, co dowodzi, że τ 0 jes opymalnym momenem sopu. Minimalność τ 0 jes oczywisą konsekwencją pierwszego warunku wierdzenia będzie opymal- Twierdzenie Załóżmy, że proces wypła Z jes regularny. Niech τ M 0 nym momenem sopu. Zdefiniujmy ponado: τ max = inf{ 0 : A > 0} Wedy: 1. P(τ τ max ) = 1, 2. σ = τ max 1 τmax< + τ 1 τmax= jes opymalny, 3. Jeżeli P(τ max < ) = 1, o τ max jes największym opymalnym momenem sopu. W dowodzie wierdzenia posłużymy się nasępującym lemaem. Lema Niech U będzie obwiednia Snella Dla 0 zdefiniujmy (być może nieskończony) momen sopu D 0 = inf{s : U s = Z s }. Niech A := lim n A n. Wedy procesy (A D 0 ) 0 oraz A sa nierozróżnialne. 12

14 Dowód. Weźmy nierosnący ciąg liczb dodanich, zbieżny do 0 ε n 0. Ciąg (D εn ) n N jes nierosnącym ciągiem momenów sopu zdominowanym przez D 0, a zaem zbieżny. Niech τ := lim n D εn. τ jes momenem sopu przyjmującym być może warość z dodanim prawdo- jes zdominowany przez D 0, o również podobieńswem. Skoro ciąg D εn τ D 0 (1.5) Z lemau wiemy, że A = A D εn p.n. dla n N oraz 0, zaem przechodząc z n do granicy w nieskończoności i korzysając z ciągłości procesu A (proces A jes ciągły na mocy wierdzenia Dooba-Meyera w przypadku rozkładu regularnego nadmaryngału U) orzymujemy A = A τ (1.6) Pozosało wykazać, że zachodzi nierówność τ D 0. Usalmy T >. Orzymujemy: EZ D εn ( T = E E ( E ( = E Z D εn (( 1 D εn T + Z T 1 D εn >T U D εn ε n ) U D εn 1 D εn ) T + Z T 1 D εn T 1 D εn T + Z T 1 D εn >T U D εn T (Z T U T ) 1 D εn >T >T ) ) ε n ) ε n, (1.7) gdzie (1.7) wynika z wierdzenia Ze zbieżności D εn T τ T oraz regularności procesów Z oraz U orzymujemy zbieżność warości oczekiwanych: lim n EZ D εn T = EZ τ T oraz lim n EU D εn T = EU τ T. Ponado lim n E (Z T U T ) 1 D εn >T = E (Z T U T ) 1 τ >T (1.8) na mocy wierdzenia Lebesgue a o zbieżności monoonicznej. Przechodząc z lewą i prawą sroną nierówności (1.8) do granicy n orzymujemy ( ) EZ τ T E U τ T (Z T U T ) 1 τ >T ( ) = E U τ 1 τ T Z T 1 τ >T, zaem EZ τ 1 τ T EU τ 1 τ T. Przechodząc z T do nieskończoności orzymujemy: ) ) E ((U τ U τ 1 τ < Korzysając z faku, że U Z p.n. orzymujemy, że Z τ = U τ p.n. na zbiorze {τ < }, sąd D 0 τ p.n. na zbiorze {τ < } oraz oczywisy sposób nierówność pozosaje prawdziwa na zbiorze {τ = }, co wobec nierówności 1.5 daje nam A = A D 0 p.n. Nierozróżnialność procesów dowodzimy ak samo, jak w lemacie Dowód. (wierdzenia 1.6.2) Ad 1. Jeśli τ jes opymalny, o 13

15 U τ = Z τ p.n EZ τ = EU 0 A zaem EU τ = EZ τ = EU 0, gdzie pierwsza równość jes bezpośrednią konsekwecją punku pierwszego. Z rozkładu Dooba-Meyera nadmaryngału U orzymujemy EU τ = EU 0 EM τ A τ = EM 0 A 0 A τ = A 0 (1.9) Gdzie 1.9 wynika z równości EM τ = EM 0 (zasosowanie wierdzenia do jednosajnie całkowalnego maryngału M oraz momenów sopu τ 1 0 oraz τ 2 = τ skończonych p.n.) Osaecznie A τ 0, bo A 0 = 0 oraz A 0. A zaem z definicji τ max wynika, że τ τ max p.n. Ad. 2. Aby wykazać, że momen sopu σ = τ max 1 τmax< + τ 1 τmax= jes opymalny posłużymy się wierdzeniem Na zbiorze {τ max = } zachodzi U σ = U τ (1.10) = Z τ (1.11) = Z σ, (1.12) gdzie (1.10) oraz (1.12) wynika z definicji momenu sopu σ, a (1.11) wynika z opymalności τ i pierwszego warunku wierdzenia Na zbiorze {τ max < } należy jeszcze wykazać, że proces U σ := U σ Wiemy, że A σ 0, a zaem z rozkładu D-M procesu U orzymujemy jes maryngałem. U σ = M σ A σ = M σ A zaem U σ jes maryngałem jako prawosronnie ciągły maryngał zarzymany w momencie σ. 1.7 Horyzon skończony W ym dziale będziemy zajmować się horyzonem skończonym. Zdefiniujmy U (T ) = ess sup τ M T E(Z τ F ) Widzimy, że jes o szczególny przypadek procesu U rozważanego wcześniej, a zaem wszelkie wierdzenia udowodnione wcześniej dla U dalej będą w mocy dla U (T ). Dzięki założeniu o horyzoncie skończonym możemy dodakowo w sosunkowo zgrabny sposób scharakeryzować obwiednię Snella. Mówi o ym nasępujące Twierdzenie Załóżmy, że proces wypła Z jes regularny. Niech (U ) [0,T ] będzie regularnym, prawosronnie ciagłym nadmaryngałem klasy D o rozkładzie Dooba-Meyera U = M A. Wedy proces U jes obwiednia Snella procesu wypła Z wedy i ylko wedy, gdy zachodza jednocześnie rzy warunki: 14

16 1. U Z 2. U T = Z T p.n. 3. dla każdego [0, T ], A = A τ, gdzie τ = inf{s : U s = Z s } Dowód. Warunek pierwszy uzyskamy kładąc τ w definicji procesu U T,.j. U (T ) = ess sup τ M T E(Z τ F ) E(Z τ F ) = E(Z F ) = EZ, gdzie osania równość wynika z mierzalności Z względem F. Warunek drugi jes oczywisy (jedynym momenem sopu należącym do M T T jes momen τ = T p.n.), a warunek rzeci wynika bezpośrednio z lemau Z warunku pierwszego orzymujemy, że U jes nadmaryngałem dominującym Z, a zaem z wniosku orzymujemy U U T. (1.13) Dzięki warunkowi drugiemu momen sopu τ jes dobrze określony, ograniczony z góry przez T. Sosując wierdzenie Dooba do maryngału M oraz ograniczonych momenów sopu σ, τ = τ orzymujemy E(M ) = E(M τ ). Korzysając kolejno z warunku rzeciego, definicji τ oraz punku drugiego wierdzenia Snella 1.3.2: E(U ) = E(U τ ) = E(Z τ ) EU (T ), (1.14) a zaem z nierówności (1.13) oraz (1.14) orzymujemy ezę. 15

17 Rozdział 2 Wycena opcji amerykańskich Elżbiea Gawłowska, Barosz Głowinkowski 2.1 Model Rozważamy rynek finansowy z d insrumenami ryzykownymi i jednym insrumenem nieobarczonym ryzykiem. Przez S 0 oznaczamy cenę jednoskową insrumenu bezryzykownego, a przez S i cenę i-ego insrumenu obarczonego ryzykiem w moemencie. W modelu rozważana jes przesrzeń probabilisyczna (Ω, F, F = (F ) 0, P). W modelu rozważany jes czas zadany przez [0, T ], naomias cenę insrumenu bezryzykownego wyznacza się przez ( ) S 0 = exp (τ s )ds, 0 gdzie (τ ) 0 T jes mierzalnym adapowalnym procesem czasu jednosajnie ograniczonym. τ opisuje w ym przypadku ciąłą sopę procenową zarzymaną w chwili. Zakładamy, że prawdziwe jes nasępujące równanie: ds i S i = µ i d + d j=1 σ ij ()db j, i = 1,..., d, (2.1) gdzie procesy (µ i ) 0 T oraz (σ ij ()) 0 T są również mierzalne, adapowalne i jednosajnie ograniczone. Zakładamy ponado, że i-y insrumen ryzykowny wypłaca w sposób ciągły dywidendę ze sopą δ, i gdzie (δ) i 0 T - proces mierzalny, adapowalny, jednosajnie ciągły. Ponado zakładamy, że dla każdego z przedziału [0, T ] macierz σ = (σ ij ()) 1 i,j d jes ) 0 T jes jednosajnie ograniczony. Proces θ = (θ ) 0 T zdefiniowany: θ = σ 1 µ (gdzie µ i = µi + δ i r dla i = 1,..., d) jes mierzalny, adapowalny i jednosajnie ograniczony. Usalmy: odwracalna oraz proces (σ 1 Dodakowo, dla 0 T niech: W = B + θ s ds. (2.2) 0 L = exp( θ s.db s 1 θ s 2 ds, (2.3)

18 gdzie θ s.db s = d i=1 θsdb i s. i Proces (L ) 0 T jes maryngałem. Przez P pznaczamy miarę probabilisyczną, aką że: dp dp = L. Zgodnie z wierdzeniem Girsanowa, w mierze probabilisycznej P, proces (W ) 0 T jes sandardowym procesem Wienera z warościami w R d. Dla i = 1,..., d niech ( ) Ŝ i = exp (δs i r s )ds S, i 0 T. (2.4) 0 W mierze P, procesy (Ŝi ) 0 T są maryngałami. Waro zauważyć, że dŝi = d Ŝ i j=1 σ ij ()dw j oraz d Ŝ i = S0 i exp σ ij ()dw j 1 d σ 2 2 ij(s)ds. (2.5) j=1 Czynnik dyskonowy jes zdefiniowany poprzez: 0 j=1 β = 1 S 0 = e 0 rsds. Zdyskonowane ceny insrumenów ryzykownych w czasie są dane poprzez S i = β S i = e 0 rsds S i, i = 1,..., d. Waro zauważyć d S i S i d = σ ij ()dw j δi d. (2.6) j=1 2.2 Sraegie dopuszczalne Sraegia jes zdefiniowana jako mierzalny adapowany proces (H 0, H 1,..., H d ) 0 T, z warościami w R d+1, gdzie współrzędna H i reprezenuje ilość akywa i kóre jes w porfelu w czasie. Warość porfela w czasie związana z ą sraegią jes zdefiniowana w nasępujący sposób d V = H j Sj. j=0 Aby nałożyć na sraegie warunek samofinansowania, kóry oznacza, że nie isnieje zewnęrzne źródło bogacwa (inaczej: bogacwo jes w całości deerminowane przez dywidendy, zmiany cen akywa i konsumpcję), należy uwzględnić nasępujący warunek całkowalności: T 0 T Hs d H j 2 d < p.n. (2.7) j=1 Warunek samofinansowania może zosać eraz zapisany w nasępujący sposób: T V = V d T Hs 0 + Hs(dS j s j + δss j sds) j C (2.8) j=1 0 gdzie (C ) 0 T jes niemalejącym adapowanym ciągłym procesem z C 0 = 0, kóry reprezenuje skumulowaną konsumpcję aż do chwili. Równość 2.8 musi być inerpreowana jako nierozróżnialność dwóch procesów (i dlaego wynika z niej ciągłość V ). 17

19 Definicja Sraegia zdefiniowana poprzez mierzalny adapowany proces (H 0, H 1,..., H d ) 0 T jes dopuszczalna jeśli warunki 2.7 i 2.8 są spełnione oraz [0, T ], V 0 p.n. (2.9) Nasępujące swierdzenie pokazuje jak warunek samofinansowania może być wyrażony w zmiennych zdyskonowanych. Swierdzenie Niech (H 0, H 1,..., H d ) 0 T będzie mierzalnym adapowanym procesem z warościami w R d+1, spełniajacym 2.7. Warunek samofinansowania 2.8 jes spełniony wedy i ylko wedy gdy z prawdopodobieńswem 1. Ṽ = V 0 + d T j=1 0 Hs(d j S s j + δs j S sds) j 0 β s dc s (2.10) gdzie Ṽ = V /S 0 = β V jes zdyskonowana warościa porfela w chwili. Swierdzenie W mierze probabilisycznej P, zdyskonowna warość sraegii samofinansujacej się jes nadmaryngałem. 2.3 Opcje amerykańskie i obwiednia Snell a Opcję amerykańską z erminem zapadalności T charakeryzuje się przez ciągły proces adapowalny Z = (Z ) 0 T. W przypadku opcji call z ceną wykonania K mamy Z = (S 1 K) +. Dodakowo zakładamy, że E sup 0 T Z < inf. Definicja Sraegią zabezpieczającą dla opcji amerykańskiej przy wypłacie zadanej przez proces Z jes sraegia dopuszczalna o wypłacie V = (V ) 0 T, aka że V Z p.n. Możemy eraz sformułować nasępujące swierdzenie: Swierdzenie Rozważmy opcję amerykańska zadana przez nieujemny, ciagły proces adapowalny Z = (Z ) 0 T spełniajacy warunek E sup 0 T Z < inf. Niech Ũ będzie obwiedni a Snella procesu Z przy mierze P, gdzie Z = β Z, gdzie U jes procesem zadanym: U = S 0Ũ. Mamy: τ U = esssup τ E (Z τ exp( r s ds) F ), 0 T. (2.11) Dodakowo, jeśli V jes procesem warości pewnej sraegii zabezpieczajacej opcję amerykańska, o mamy prawie na pewno: V U dla z przedziału [0, T ]. Poniższe wierdzenie dosarcza nam informacji, że w rozważanym modelu, isnieje sraegia dopusczalna o warości V równa U. Sraegia a ma minimalną warość wśród sraegii zabezpieczających i może być wykorzysana do wyliczania sprawiedliwej ceny opcji. Twierdzenie Przy założeniach powyższego Swierdzenia, isnieje sraegia dopuszczalna o warości V, aka że V = U, gdzie U zadane ak jak w Swierdzeniu. Nasępujące swierdzenie pokazuje, że cena amerykańskiej opcji ypu call na akcję, kóra nie daje dywidendy, jes równa cenie europejskiej opcji ypu call, ak długo jak sopa procenowa jes nieujemna. 18

20 Swierdzenie Niech eraz r 0 i δ 1 = 0 dla każdego [0, T ]. Wedy, dla każdego K > 0, zachodzi dla [0, T ]: ( ) esssup τ T,T E e τ rsds (Sτ 1 K) + F = (e ) T r sds (ST 1 K) + F p.n. Zachodzi również analogiczny fak dla opcji ypu pu, jednakże przy dodakowym założeniu r 0. 19

21 Rozdział 3 Własności funkcji ceny Kamila Domańska Rozdział opracowany na podsawie pracy D. Lamberon: Opimal sopping and American opions, Ljubljana Summer School on Financial Mahemaics, pp. 3-8, 2009 oraz J. Szmy: Wybrane zagadnienia eorii opymalnego sopowania, Uniwersye Warszawski, 2013 Teoria opymalnego sopowania jes ściśle związana z problemami wyboru konkrenego momenu, w kórym należy przedsięwziąć jakieś działania, aby zmaksymalizować oczekiwany przychód lub zminimalizować oczekiwaną sraę. Ma ona zasosowanie w wielu gałęziach nauki: saysyce, ekonomii czy maemayce finansowej. Nam eoria opymalnego sopowania będzie porzebna do wyceny opcji amerykańskich. Zaczniemy od zarysu ej eorii w czasie dyskrenym. 3.1 Problem opymalnego sopowania Niech T {0, 1, 2,..., } będzie zbiorem, kóry możemy rakować jako zbiór czasów. Wyobraźmy sobie, że wykonujemy pewien eksperymen losowy, w kórym w kolejnych chwilach T obserwujemy pewien proces sochasyczny Y = (Y ) T, kórego wszyskie rozkłady skończenie wymiarowe są nam znane. W każdym momencie, możemy zasopować eksperymen, co jes równoważne z zachowaniem "wypłay" w wysokości Y. Decyzję podejmuje na podsawie doychczasowego przebiegu eksperymenu. Sąd momenem zarzymania nazywamy zmienna losową τ : Ω T aką, że {τ } F, gdzie (F ) T jes filracją, a proces (Y ) T jes adapowany do ej filracji. Wprowadźmy jeszcze szereg użyecznych oznaczeń. Niech M będzie rodziną momenów zarzymania, M N n := {τ M : P(τ [n, N]) = 1} oraz M n := {τ M : P(τ [n, )) = 1}. Tuaj rodzi się pyanie czy można zopymalizować wybór momenu sopu ak by orzymać najwyższą warość wypłay. Naszym celem będzie będzie zarzymanie eksperymenu w akiej chwili by średnia oczekiwana wypłaa była największa. Ściślej, jeżeli isnieje τ M 0, aki, że sup τ M0 EY τ = EY τ, o τ jes opymalnym momenem zarzymania. Jaką sraegię powinien przyjąć gracz by zmaksymalizować wypłaę? Odpowiedzią na o pyanie będzie podanie reguł pozwalających znajdować momeny opymalne. Możliwość nieisnienia opymalnej reguły zarzymania, ilusruje poniższy przykład: Przykład (Wszysko albo nic). 20

22 Gracz z kapiałem począkowym w wysokości 1 rozpoczyna grę polegającą na wykonywaniu rzuów symeryczną moneą. Po każdym rzucie ma on możliwość: wycofania się z gry (ożsamego z zachowaniem doychczasowego kapiału przemnożonego przez 2 +1, gdzie jes liczbą wykonanych rzuów), albo grania dalej. Każdorazowe wyrzucenie orła oznacza podwojenie kapiału, wyrzucenie reszki - wyzerowanie kapiału. Model. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych akich, że P(X s = 1) = P (X s = 1) = 1 dla s {1, 2,..., }. 2 Przyjmujemy nauralną filrację procesu (X ). Jeżeli X i = 1 będzie oznaczało wyrzucenie orła, zaś X i = 1 wyrzucenie reszki w i-ym rzucie, o dla {1, 2,..., } zmienne losowe Y = (X s + 1), Y = 0 s=1 defniują ciąg wygranych zgodnie z zasadami gry. Zauważmy, że konynuacja wykonywania rzuów może przynieść niezerową wypłaę jedynie w momencie, kiedy wszyskie doychczasowe rzuy okazują się orłami. Wyrzucenie reszki powoduje, że do wygrania jes sale 0. Sąd, wyznaczając warość gry, możemy ograniczyć się do momenów sopu sałych p.n. Do każdej chwili s, w kórej gracz dysponuje niezerowym kapiałem musi być X 1 = 1,.., X s = 1. Kładąc τ s = s, orzymujemy v = sup τ EY τ = sup EY τs. s Ponado mamy EY s = 2s s + 1, zaem warość gry wynosi 2, ale nie isnieje opymalna reguła zarzymania. Co więcej, dla dowolnego s reguła τ s nie ylko nie jes opymalna, ale również nieopłacalna w ym sensie, że τ s+1 przynosi wyższą warość oczekiwaną nagrody. Isonie, E(Y s+1 Y s ) = (s + 1)2 s(s + 2) Y s > Y s. Położenie Y = 0 jes zgodne z zasadami gry, gdyż na mocy lemau Borela-Canellego z prawdopodobieńswem 1 w ciągu X 1, X 2,.., pojawi się nieskończenie wiele jedynek, więc ym bardziej lim Y = 0 p.n. Widzimy zaem, że w każdej chwili konynuowanie gry jes zasadne, podczas gdy "sraegia graniczna" okazuje się najgorszą z możliwych Horyzon skończony Rozważmy problem opymalnego sopowania procesu sochasycznego (Y ) T w horyzoncie czasowym skończonym. Usalmy N N. Zaem T = {0, 1, 2,..., N 1, N}. Szukając opymalnego momenu zarzymania, możemy zasosować meodę indukcji wsecznej, bowiem w N-ym kroku obserwujemy wypłaę w wysokości Y N, zaś w (N 1)-ym kroku jeseśmy w sanie zapewnić sobie max{y N 1, E(Y N F N 1 )} id. Rozważmy więc dodakowo N + 1 podproblemów opymalnego sopowania: vn N = sup EY τ dla n = 0, 1, 2,..., N. (3.1) τ MN Na przykład opymalny momen zarzymania dla podgry rozpoczynającej się w chwli N 1 o: { N 1 gdy E(YN F τ(ω) = N 1 )(ω) Y N 1 (ω) N gdy E(Y N F N 1 )(ω) > Y N 1 (ω) 21

23 Celowe zaem jes wprowadzenie momenów zarzymania τ N n = inf{n k N : U N k = Y k } oraz procesu (U N n, F n ) n N określonego wzorem: { U N N = Y N Un N = max{y n, E(Un+1 N F n)} dla n = N 1, N 2,..., 0. Twierdzenie (Snella). Rozważmy problem opymalnego sopowania (3.1) dla procesu wypła (Y n ) n N. Okazuje się, że wówczas, dla każdego n {0, 1, 2,..., N}: 1. U N n E(Y τ F n ) dla dowolnego τ M N n. 2. U N n = E(Y τ N n F n ). Co więcej, jeżeli n {0, 1, 2,..., N} jes usalone o τn N jes opymalnym momenem zarzymania dla problemu (3.1) oraz (Uk N) n k N jes najmniejszym nadmaryngałem dominujacycm (Y k ) n k N Horyzon nieskończony Chcielibyśmy eraz rozważyć problem opymalnego sopowania o horyzoncie nieskończonym zn. T = {0, 1, 2,..., }. Poczynione obserwacje dla horyzonu skończonego sugerują, że powinno zachodzić: Un N = sup τ M N n E(Y τ F n ). Jednak zauważmy, że powyższe supremum nie musi być zmienną losową, gdyż rodzina zmiennych losowych {E(Y τ F n ) : τ M N n } może być nieprzeliczalna. Okazuje się, że dodanie dodakowego założenia o procesie wypła (Y ) T doprowadzi nas do rozwiązania. Zaem również zakładać będziemy, że ciąg wypła (Y n ) n 0 jes aki, że E sup n Y n <. Rozważmy eraz: v n = sup τ M n EY τ dla n = 0, 1, 2,... (3.2) Zdefiniujemy obwiednię Snella (U n, F n ) n 0 procesu (Y n ) n 0 przez U n = ess sup τ Mn E(Y τ F n ) oraz momeny zarzymania τ n = inf{k n : U k = Y k }, gdzie n 0 oraz inf = +. Twierdzenie Rozważmy problem opymalnego sopowania (3.2) dla adapowanego ciagu wypła (Y n ) n 0 akiego, że E sup n Y n <. Wówczas U n = max{y n, E(U n+1 F n )} dla każdego n 0. Okazuje się, że jeżeli ponado τ n < p.n. dla każdego n 0 o 1. U n E(Y τ F n )} dla każdego τ M n. 2. U n = E(Y τn F n )}. Co więcej, dla usalonego n: 1. τ n jes opymalnym momenem zarzymania dla problemu (3.2). 22

24 2. Jeżeli τ M n jes opymalny dla problemu (3.2) o τ n τ p.n. 3. (U k ) k n jes najmniejszym maryngałem dominującym (Y k ) k n. 4. (U τ n k, F k ) k n jes maryngałem. 5. Jeżeli P(τ n = ) > 0, o nie isnieje opymalny momen zarzymania dla problemu (3.2). Twierdzenie Okazuje się również, że lim n U n = lim sup n Y n. Twierdzenie Jeżeli τ M n jes opymalnym momenem zarzymania zn. (EY τ = sup τn Mn EY τ ) o wówczas: 1. U τ = Y τ p.n. 2. (U τ k, F k ) k n jes maryngałem. 23

25 Rozdział 4 Własności ceny opcji amerykańskiej Magdalena Hubicz, Maria Pawłowska Rozdział opracowany na podsawie E. Eksrom "Properies of American Opion Prices" 4.1 Wprowadzenie Auor pracy, Erik Eksröm, dokonał analizy własności cen opcji amerykańskich w bardzo ogólnym ujęciu. Spowodowane jes o dużą zależnością zarówno ceny jak i zabezpieczania opcji od poprawności przyjęego modelu rynku akywa bazowego. Sąd eż główna idea pracy, by analizować własności cen opcji przy ogólnym zarysie możliwych modeli cen akcji. Zakładamy jedynie, by proces cen akcji był rozwiązaniem pewnego sochasycznego równania różniczkowego względem sandardowego ruchu Browna, a zmienność - deerminisyczną funkcją czasu i akualnej ceny akcji. Przy ych założeniach wiadomo, że cena opcji europejskiej z wypukłą funkcją wypłay jes wypukła względem ceny insrumenu bazowego oraz monoonicznie rosnąca względem deerminisycznej funkcji zmienności. Warunkiem koniecznym dla ych własności jes wypukłość funkcji wypłay. Okazuje się naomias, że dla opcji amerykańskich jes już inaczej. Główne wierdzenie omawianej pracy przedsawia warunek na funkcję wypłay, kóry jes wysarczający by zapewnić monooniczność ceny opcji amerykańskiej względem zmienności. Poza ym omawiane są eż: wypukłość względem ceny akcji dla wypukłej funkcji wypłay, wrażliwość ceny opcji na upływ czasu do wygaśnięcia, a akże ciągłość ceny względem volailiy. Niekóre własności są bezpośrednim wnioskiem z analogicznych własności opcji europejskich, inne wynikają z przedsawienia rozwiązania sochasycznego równania różniczkowego jako ruchu Browna ze zmienionym czasem. 4.2 Założenia Rozważamy model rynku z akywem bezryzykownym, obligacją, kórej cena rośnie deerminisycznie zgodnie ze wzorem: A = e r, oraz z skywem sprzedawanym na rynku, kórego cena w mierze wolnej od ryzyka spełnia: ds = rsd + α(s, )d B. 24

26 B jes sandardowym ruchem Browna w zupełnej przesrzeni probabilisycznej (Ω, F, F, P ), gdzie F = (F ) 0 T jes filracją generowaną przez B. Dla prosoy zakładamy, że bezryzykowna sopa zwrou r jes nieujemną sałą. Czas wykonania T (0, ) również jes sałą, a α - volailiy, jes funkcją deerminisyczną. Cena opcji amerykańskiej z ciągłą i nieujemną funkcją wypłay g jes równa: P (s, ) = sup E s, exp r(γ ) g(s γ ) γ F[,T ] 4.3 Wypukłość względem ceny insrumenu bazowego ) Definicja Funkcję α : [0, ) [0, ) R nazywamy lokalnie Holderowską( 1 2 względem pierwszej zmiennej na (0, ) (0, ) jeśli K > 0 C K. że [ ] jeśli x, y 1 K, K i K. α (x, ) α (y, ) C K x y Będziemy wyceniać opcje, więc nasz obszar zaineresowania ograniczymy do nieujemnych procesów cen insrumenu bazowego S, dla kórych 0 jes sanem absorbującym zn. jeśli dla pewnego S = 0 o proces juz zawsze będzie równy 0. Wprowadzimy eraz założenia, kóre będą nam owarzyszyć do końca ej cześći: ) Założenie α (x, ) jes mierzalna na [0, ) [0, ) i jes lokalnie Holderowska( 1 2 względem pierwszej zmiennej na (0, ) (0, ). Co więcej, α (0, ) = 0 dla wszyskich 0 i C-sała. że α (x, ) C (1 + x) 0 To założenie gwaranuje nam jednoznaczność po rajekoriach rozwiązania równania różniczkowego ds = rs d + α (S, ) d B S 0 = s (4.1) Założenie Funkcja wypłay g jes ciagła, nieujemna i spełnia [ ] E sup g (S ) 0 T dla dowolnego wyboru punku sarowego S 0 = s. < Cena opcji europejskiej zdefiniowana jako F (x, 0; α) := Eg (X T ) dla procesu X będącego rozwiązaniem dx = α (X, ) d B, X 0 = x (4.2) jes wypukła względem ceny insrumenu bazowego wedy i ylko wedy gdy funkcja wypłay jes wypukła. Wedy również cena a jes monooniczna względem volailiy, zn jeśli α 1 (x, ) α 2 (x, ) x, o F (x, 0; α 1 ) F (x, 0; α 2 ). 25

27 Jeśli cena insrumenu bazowego rośnie spełnia 4.1 a nie 4.2 o ławo zauważyć, że zdyskonowany proces X := e r S spełnia 4.2 z ( ) β (x, ) := e r α xe ( r), zamias ( z α. Zauważmy, ) że β spełnia wedy i ylko wedy gdy α je spełnia. Jeśli h (x) := e rt g e rt x o h jes wypukła (o ile g jes wypukła) i ) Ee rt g (S T ) = Ee rt g (e rt X T = Eh ((X T ), czyli własności ceny opcji europejskiej (wypukłość względem ceny insrumenu bazowego i monooniczność względem volailiy)zachodzą również gdy insrumen bazowy spełnia 4.1. Zarówno w dowodzie wypukłości jak i monooniczności będziemy korzysać z ego, że cenę opcji amerykańskiej możemy przedsawić jako granicę ciągu cen opcji bermudzkich, a e z kolei przejmuja własności od cen opcji europejskich. Opcja bermudzka jes podobna do opcji amerykańskiej z ą różnicą, że właściel opcji ma prawo ją zrealizować w pewnych, z góry określonych, momenach 0 = 0 < 1 < < M = T. Cena opcji bermudzkiej jes wyrażona wzorem: B (s, 0) := sup Ee rγ g (S γ ) γ F{ 0, 1,..., M } Możemy ją wyznaczyć korzysając z nasępującego algorymu: (1) Cena B (s, M ) w M = T o g (s) (2) Mając daną cenę B (, m ), cena w chwili m 1 o { } B (s, m 1 ) = max E s,m 1 e r(m m 1) B (S m, m ), g (s) Innymi słowy cena B (s, m 1 ) opcji bermudzkiej w = m 1 może być wyliczana indukcyjnie jako maximum z g (s) i ceny opcji europejskiej o momencie wygaśnięcia m i funkcji wypłay B (s, m ). Ponieważ ceny opcji europejskich są wypukłe względem ceny insrumenu bazowego gdy funkcja wypłay jes wypukła i ponieważ maximum dwóch funkcji wypukłych jes funkcją wypukłą, nasępujący lema jes naychmiasowym wnioskiem. Lema Jeśli g jes wypukła o cena opcji bermudzkiej B (s, ) jes wypukła względem insrumenu bazowego s dla każdego usalonego. W ej części orzymujemy wypukłość ceny opcji amerykańskiej względem ceny insrumenu bazowego rakując ją jako granicę cen opcji bermudzkich. Niech i niech A N := {0, T 2 N, 2T 2 N,..., T } B N (s, 0) = sup Ee rγ g (S γ ) γ FA N Lema Gdy momemny możliwej realizacji dla opcji bermudzkiej sa rozłożone coraz gęściej o cena opcji bermudzkiej zbiega do ceny opcji amerykańskiej: B N (s, 0) N P (s, 0) Biorąc pod uwagę i oraz fak, że punkowa granica ciągu zbieżnego funkcji wypukłych jes wypukła, możemy sformułować nasępujący wniosek. 26

28 Wniosek Poza i załóżmy, że funkcja wypłay g jes wypukła. Wóczas cena opcji amrykańskiej P (s, ) jes wypukła względem s. W podobny sposób pokazujemy monooniczność względem volailiy. Wniosek Niech g będzie wypukła funkcja wypłay i załóżmy, że α i, i = 1, 2 spełniaja zał 2.2 i α 1 (s, ) α 2 (s, ) s,. Wedy: P (s, 0; α 1 ) P (s, 0; α 2 ) Dowód. Zauważmy, że B N (s, 0; α 1 ) B N (s, 0; α 2 ). Wynika o z monooniczności względem volailiy dla ceny opcji europejskiej i faku, że cena opcji europejskiej jes rosnąca względem funkcji wypłay. Sąd: [P (s, 0; α 1 ) = lim N B N (s, 0; α 1 ) lim N B N (s, 0; α 2 ) = P (s, 0; α 2 ) 4.4 Czas zmienności Przedsawione poniżej podejście jes w całości opare na pracy Jansona i Tyska "Volailiy Time and Properies of Opion Prices". Definicja Niech X będzie rozwiązaniem równania dx = α(x, )d B z warunkiem począkowym X 0 = x 0, gdzie B jes ruchem Browna. Wówczas czasem zmienności τ() nazywamy kwadraową wariancję X, zn. τ() =< X, X > τ() = 0 α 2 (X u, u)du, 0 Wiadomo, że ciągły lokalny maryngał M można przedsawić jako M = B <M,M> dla pewnego ruchu Browna B (możliwe, że określonego na większej przesrzeni probabilisycznej). Twierdzenie Majac dany ruch Browna B z B 0 = x 0, isnieje jednoznaczne (co do nierozróżnialności) rozwiazanie τ równania τ() = 0 α 2 (B τ(u), u)du, 0 akie, że τ() jes czasem zarzymania względem filracji generowanej przez B, oraz X := B τ () jes rozwiazaniem dx = α(x, )d B, X 0 = x 0 dla pewnegeo ruchu Browna B. Dowód powyższego wierdzenia jes bardzo echniczny, dlaego chęnych do zapoznania się z nim odsyłamy do wspomnianej pracy Jansona i Tyska. Lema Niech α i, i = 1, 2,będa jak w założeniu oraz załóżmy, że α 1 (x, ) α 2 (x, ) x,.jeśli B jes ruchem Browna, a τ i sa czasem zarzymania spełniajacym wówczas τ 1 () τ 2 () 0. τ i () = 0 α 2 (B τi (u), u)du, 0 27

29 Lema Niech α oraz α 1, α 2,..., spełniaja założenie jednosajnie, zn. z a sama sała C K oraz C. Załóżmy, że α n (x, ) α(x, ) wraz z n dla każdego x i. Jeśli B jes ruchem Browna z B 0 0, a τ, τ 1, τ 2... sa czasem zarzymania spełniajacym wówczas τ() = prawie na pewno wraz z n 0. 0 α 2 (B τ(u), u)du, τ n () = τ n () τ() Dalej będziemy korzysać z innej filracji. Niech 0 α 2 n(b τn(u), u)du G = (G ) 0 < oraz H = (H ) 0 < będą dopełnieniami filracji generowanych przez B oraz X, odpowiednio, gdzie B oraz X o procesy z wierdzenia Definiujemy τ 1 (), odwroność τ jako τ 1 () = inf{u; τ(u) > }, ze zwyczajowo przyjęym inf =. Wówczas τ 1 () jes H - czasem sopowania dla każdego. Co więcej skoro τ jes ciągłe, o τ(τ 1 ()) = τ( ). Lema Niech τ będzie czasem sopowania spełniajacym τ() = 0 α 2 (B τ(u), u)du, 0 dla pewnego ruchu Browna B. Wówczas H = G τ Dowód. Wiemy, że X := B τ() jes G τ() - mierzalny. Sąd Zaś dla zawierania w przeciwną sronę mamy G τ() H. G τ() = σ{b τ() u ; y 0} = σ{x τ 1 (u)} H ponieważ X τ 1 (u) jes H - mierzalne dla każdego u. Lema Niech τ będzie czasem sopowania spełniajacym τ() = 0 α 2 (B τ(u), u)du, 0 dla pewnego ruchu Browna B. Wówczas τ(γ) jes G - czasem sopowania dla każdego H - czasu sopowania γ. Odwronie, każdy G-czas sopowania ρ τ( ) można przedsawić jako ρ = τ(γ) dla pewnego H-czasu sopowania γ. Precyzujac, γ może być zdefiniowana przez γ := inf{u; τ(u) ρ}, czyli jako najmniejsza zmienna losowa spełniajaca ρ = τ(γ). Dowód. Pierwsza część dowodu wynika z {ω; τ(γ) s} = {ω; γ τ 1 (s)} H τ 1 (s) = G τ(τ 1 (s)) = G s τ( ) G s Dla drugiej części zdefiniujmy Wówczas τ(γ) = ρ, oraz γ := inf{u; τ(u) ρ}. {γ s} = {ρ τ(s)} G τ(s) = H s, co pokazuje, że γ jes (H s )-czasem zarzymania. 28

30 4.5 Monooniczność względem volailiy We wzorze Blacka-Scholesa cena opcji europejskiej jes rosnąca względem volailiy. Bardziej ogólnie, jeśli cena insrumenu bazowego zachowuje się zgodnie z 4.1 i funkcja wypłay w chwili T opcji europejskiej jes wypukłą funkcją S T wedy cena w chwili 0 jes rosnąca względem deerminisycznej funkcji volailiy α. Co więcej, wypukła funkcja wypłay jes niezbędna, żeby zachodziła monooniczność. W przypadku opcji amerykańskiej syuacja się zmienia. Jak zosało pokazane w 4.3 wypukła funkcja wypłay gwaranuje monooniczność względem α ale nie jes już jedynym warunkiem gwaranującym monooniczność względem volailiy. Twierdzenie Załóżmy, że α i, i = 1, 2 spełniaja oraz zachodzi jeden z warunków: albo sopa procenowa r = 0 albo funkcja wypłay g spełnia Wedy P ( 0, s; α 1 ) P ( 0, s; α 2 ). 4.6 Time-decay ceny opcji α 1 (s, ) α 2 (s, ) s 0 0 T (4.3) g(as) ag(s) a 1 s (4.4) Własność Time-decay możemy łumaczyć jako wrażliwość warości opcji na wpływ czasu do wygaśnięcia. Jak wiadomo cena opcji amerykańskiej jes rosnącą funkcją czasu T (zwiększa się wówczas zbiór możliwych momenów wykonania). Zarówno w modelu Blacka-Scholesa jak i modelu z volailiy niezależną od czasu σ = σ(s) obserwujemy moonooniczność względem warości T. Dla modelu zależnego od czasu nie jes już ak proso (w ogólności NIE jes o prawda). Zdefiniujmy { 0 jeśli 0 T0 σ() := σ jeśli T 0 T gdzie 0 T 0 T oraz σ > 0 oraz S zdefiniowane wzorem ds = rsd + σ()sd B, S 0 = s. Niech P (s, ) będzię ceną amerykańskiej opcji Pu. Wówczas: P (K, 0) = e rt 0 P (Ke rt 0, T 0 ) < P (Ke rt 0, T 0 ) P (K, T 0 ). Twierdzenie Załóżmy, że r = 0 lub funkcja wypłay g, aka, że P (s, ; α) jes monooniczna względem α (czyli g - wypukła, albo g(as) ag(s) a 1, s). Wówczas dla dowolnego T 0 [0, T ] P (s, 0) e rt 0 P (se rt 0, T 0 ). Dowód. Mając dane α(s, ) zdefiniujmy α 0 (s, ) := { 0 jeśli 0 T0 α(s, ) jeśli T 0 T. 29

31 Zwróćmy uwagę, że jeśli S spełnia ds = rsd + α 0 (S, )d B, S 0 = s, o S rośnie deerminisycznie w przedziale [0, T 0 ]. Wynika sąd, że P (s, 0; α 0 ) e rt 0 P (se rt 0, T 0 ; α 0 ). Korzysając zaś z monooniczności względem volailiy orzymujemy P (s, 0; α) P (s, 0; α 0 ) e rt 0 P (se rt 0, T 0 ; α 0 ) = e rt 0 P (se rt 0, T 0 ; α) Waro zauważyć, że dla r = 0 mamy ime-decay (P (s, 0; α) P (s, T 0 ; α)). 4.7 Ciagłość względem volailiy Przy dowodzie ciągłości względem volailiy zakładać będziemy, że α i α 1, α 2,... spełniają warunki założenia 4.3.1, jednosajnie, czyli z ymi samymi sałymi C K oraz C, a akże, że α n zbiega do α punkowo wraz z n. Dodakowo skorzysamy z poniższego lemau: Lema Niech f, f n : [0, T 0 ] R będa rosnacymi, ciagłymi funkcjami spełniajacymi f(0) = f n (0) = 0. Co więcej zakładamy, że f jes ściśle rosnaca, a f n zbiega punkowo do f. Dla danego punku [0, T 0 ) zdefiniujmy Wówczas n wraz z n. n := inf{u [0, T 0 ] : f n (u) = f()}. Dowód. Dla = 0 nie ma czego dowodzić. Niech (0, T 0 ) oraz weźmy 0 < ɛ < min{t 0, }. Ponieważ f jes ściśle rosnąca, o isnieje δ > 0 aka, że f( + ɛ) f() > δ oraz f() f( ɛ) > δ. Biorąc n wysarczjąco duże by f n ( ± ɛ) f( ± ɛ) < δ orzymujemy nierówność f n ( ɛ) < f() < f n ( + ɛ) co pociąga za sobą nierówność ɛ < n < + ɛ. Ponieważ ɛ było wybrane arbiralnie, lema jes udowodniony. Twierdzenie Załóżmy, że α i α 1, α 2,... spełniaja warunki założenia jednosajnie, g(x) C 1 (1 + x) k dla pewnych C 1 > 0, k > 0 oraz α n (s, ) α(s, ) wraz z n dla każdego s i. Co więcej, załóżmy, że α(x, ) > 0 x > 0. Wówczas lim inf n P (s, 0; α n) P (s, 0; α). Twierdzenie Niech α, α n i g będa jak w wierdzeniu Dodakowo załóżmy, że α jes akie, że X nigdy nie osiaga 0 oraz g jes Holderowsko(p) - ciagłe dla pewnego p > 0. Wówczas lim n P (s, 0; α n ) = P (s, 0; α) 30