Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014"

Transkrypt

1 Rapor: Modele Maemayczne w Finansach 2014 Krzyszof Bisewski Pior Bochnia Kamila Domańska Pior Garbuliński Elżbiea Gawłowska Grzegorz Głowienko Barosz Głowinkowski Magdalena Hubicz Marcin Kania Paweł Marcinkowski Maria Pawłowska Parycja Pol Mikołaj Selmach Jakub Szmy Naalia Włodarczyk 8 lipca 2014

2 Spis reści I Opcje amerykańskie 3 1 Opymalne sopowanie w czasie ciagłym Wprowadzenie Przypomnienie definicji, wniosków i wierdzeń o procesach ciągłych Obwiednia Snella w czasie ciągłym Opymalne momeny sopu Rozkład Dooba-Meyera i ε-opymalne momeny sopowania Przypadek regularny Horyzon skończony Wycena opcji amerykańskich Model Sraegie dopuszczalne Opcje amerykańskie i obwiednia Snell a Własności funkcji ceny Problem opymalnego sopowania Horyzon skończony Horyzon nieskończony Własności ceny opcji amerykańskiej Wprowadzenie Założenia Wypukłość względem ceny insrumenu bazowego Czas zmienności Monooniczność względem volailiy Time-decay ceny opcji Ciągłość względem volailiy Wycena wieczysej amerykańskiej opcji pu Amerykańska wieczysa opcja pu Wycena w modelu Blacka-Scholesa Wycena w modelu CEV Nierówności wariacyjne Heurysyka Przypadek Amerykańskiej opcji pu w modelu Black a-scholes a Granica i premia wcześniejszego wykonania

3 7 Zagadnienie opymalnego zarzymania dla amerykańskiej opcji sprzedaży Wsęp Problem opymalnego zarzymania Wycena opcji Transformacja całkowa dla granicy sopowania II Uśmiech zmienności na rynku kursów waluowych 41 8 Wprowadzenie do konsrukcji uśmiechu zmienności na rynku wymiany walu Podsawowe pojęcia na rynku FX Konsrukcja uśmiechu zmienności Uproszczona meoda kwadraowa Kalibracja Meoda Vanna-Volga Założenia Koreka rynkowa. Moywacja Sabilność algorymu

4 Część I Opcje amerykańskie 3

5 Rozdział 1 Opymalne sopowanie w czasie ciagłym Marcin Kania, Krzyszof Bisewski Rozdział opracowany na podsawie "Damien Lamberon - Opimal sopping and American opions; Sepember 2009" 1.1 Wprowadzenie Będziemy zakładać, że mamy do czynienia z przesrzenią probabilisyczną (Ω, F, P) z zadaną filracją ciągłą F = (F ) 0 spełniającą zwykłe warunki, zn. 1. prawosronnie ciągłą zn. F = F + := s< F s. 2. zupełną zn. F 0 zawierającą zbiory miary zero. Powyższe dwie własności są przydane w czyso echniczny sposób m.in. przy definiowaniu momenu zarzymania odpowiadającego za pierwszą chwilę wejścia do pewnego zbioru owarego A (jakby A był domknięy, o moglibyśmy pominąć e założenia). Niech M będzie rodziną wszyskich momenów sopu ze względu na filrację F. Wprowadzamy oznaczenia: 1. M T = {τ M : P(τ [, T ]) = 1}. 2. M = {τ M : P(τ [, )) = 1}. 1.2 Przypomnienie definicji, wniosków i wierdzeń o procesach cia- głych Definicja Niech dana będzie przesrzeń probabilisyczna (Ω, F, P), przesrzeń mierzalna (E, ε) oraz dowolny zbiór T. Procesem sochasycznym o warościach w E określonym na T nazywamy rodzinę zmiennych losowych (X ) T przyjmujących warości w E. 4

6 Zazwyczaj przyjmuje się, że T o podzbiór R, zaś E = R lub E = R d i wówczas inerpreuje się jako czas. Proces sochasyczny w isocie można inerpreować jako funkcję dwóch zmiennych: ze względu na Ω jes o funkcja (zmienna) losowa przy usalonym, zaś przy usalonym ω Ω jes o funkcja deerminisyczna ze względu na czas (zw. rajekoria). Definicja Momenem zarzymania względem filracji (F ) T nazywamy zmienną losową τ o warościach w T { }, aką że T {τ } F. W przypadku procesów sochasycznych również mówi się o jednosajnej całkowalności. Definicja Mówimy, że rodzina zmiennych losowych (X i ) i I jes jednosajnie całkowalna, jeśli lim r sup E X i 1 { Xi >C} = 0. i I W szczególności korzysać będziemy z faków: Fak Rodzina zmiennych losowych (X i ) i I jes jednosajnie całkowalna wedy i ylko wedy, gdy zachodza równocześnie poniższe warunki: 1. sup i I E X i < ; 2. ε > 0 δ > 0 P(A) δ sup i I E X i 1 A ε. Powyższy fak posłuży do dowodu poniższego. Fak Rodzina uśrednień usalonej całkowalnej zmiennej losowej zn. rodzina zmiennych posaci E(X F i ), gdzie X spełnia E X <, zaś (F i ) i I o dowolna rodzina pod-σ-ciał filracji F. Dowód. Na mocy nierówności Jensena dla funkcji wypukłej mamy: a zaem dla C E X δ zachodzi E X i = E E(X F i ) E X, P( X i C) E X i C E X C δ. Pierwsza nierówność wynika z nierówności Kołmogorowa, a druga z poprzedniej linijki. Oczywiście { X i C} F i, zaem ponownie na mocy nierówności Jensena E( X i 1 { Xi >C}) = E( E(X F i ) 1 { Xi >C}) = E E( X i 1 { Xi >C} F i ) E E( X 1 { Xi >C} F i ) = E( X 1 { Xi >C}) E X P( X i C) ε. Będziemy porzebowali jeszcze jednego faku. Fak Jeśli rodzina zmiennych losowych (X n ) n=0 jes jednosajnie całkowalna oraz X n zbiega p.n. do zmiennej X, o dla każdego zdarzenia A zachodzi lim n EX n 1 A = EX1 A. 5

7 Twierdzenie (Ciagła wersja wierdzenia Dooba) Niech (X ) 0 będzie prawosronnie cia- głym maryngałem. Jeśli σ i τ sa ograniczonymi p.n. momenami sopu spełniajacymi σ τ p.n., o wówczas zmienne X σ i X τ sa całkowalne oraz zachodzi równość E(X τ F σ ) = X σ p.n. Dowód. Niech T będzie ograniczeniem na momeny sopu spełniającym σ τ T p.n.. Zdefiniujmy nasępujące momeny zarzymania: oraz τ n (ω) := σ n (ω) := { T k k+1 n dla τ(ω) (T n, T k n ], k = 0, 1,..., n2 T n dla τ(ω) T n { T k k+1 n dla σ(ω) (T n, T k n ], k = 0, 1,..., n2 T n dla σ(ω) T n Wówczas momeny sopu σ n i τ n są skończonymi, ograniczonymi przez T momenami sopu, przyjmującymi jedynie skończenie wiele warości. Zaem na mocy wierdzenia Dooba o sopowaniu w czasie dyskrenym zasosowanego dla maryngału (X n ) n i momenów sopowania σ n, τ n mamy E(X τn F σn ) = X σn p.n., E(X T F σn ) = X σn p.n. oraz E(X T F τn ) = X τn p.n.. Sąd wynika, że rodziny zmiennych losowych (X τn ) n=1 i (X σ n ) n=1 są jednakowo całkowalne - wynika o z wcześniej wspomnianego faku o jednosajnej całkowalności uśrednień całkowalnej zmiennej losowej. Wiemy, że τ n τ + oraz σ n σ + (daje się sprawdzić na paluszkach; zreszą, akie celowo braliśmy e momeny sopu) oraz wiemy, że X ma prawosronnie ciągłe rajekorie - w związku z ym, na mocy faku (zbieżność według prawdopodobieńswo i jednosajna całkowalność z dokładnością do p-ej poęgi modułu jes równoważna zbieżności w L p ), mamy zbieżność X τn i X σn do X τ i X σ p.n. i w L 1. Rozważmy A F σ F σn. Wówczas zachodzi na mocy faku przez wierdzeniem EX τ 1 A = lim n EX τn 1 A = lim n EX σn 1 A = EX σ 1 A, co dowodzi równości E(M τ F σ ) = M σ p.n. Twierdzenie (Twierdzenie Dooba dla jednosajnie całkowalnych maryngałów) Niech (X ) 0 będzie prawosronnie ciagłym, jednosajnie całkowalnym maryngałem. Wówczas eza wierdzenia Dooba (1.2.4) zachodzi dla dowolnych momenów sopu σ τ p.n. Twierdzenie Niech (X ) 0 będzie nieujemnym, prawosronnie ciagłym nadmaryngałem. Wówczas granica X := lim X isnieje z prawdopodobieńswem 1 oraz dla dowolnych momenów sopu spełniajacych σ τ p.n. zachodzi nierówność E(X τ F σ ) X σ p.n. Definicja Niech X = (X ) 0 i Y = (Y ) 0 będą procesami sochasycznymi określonymi na ej samej przesrzeni probabilisycznej. Powiemy, że: X jes modyfikacją (sochasycznie równoważny) Y, jeśli [0, ) P(X = Y ) = 1 6

8 X i Y są nierozróżnialne, jeśli P( [0, ) X = Y ) = 1. Innymi słowy, własność nierozróżnialności oznacza równość na rajekoriach p.n. W szczególności ważna jes pewna klasa procesów, zw. procesów cadlag. Definicja Powiemy, że proces X = (X ) 0 jes cadlag, jeśli jego rajekorie są prawosronnie ciągłe p.n. oraz posiadają lewosronne granice p.n. Twierdzenie Niech (X ) 0 będzie całkowalnym nadmaryngałem względem filracji F. Jeśli przekszałcenie EX jes prawosronnie ciagłe, o wówczas proces (X ) posiada modyfikację cadlag będac a F-nadmaryngałem. Definicja Powiemy, że adapowalny, prawosronnie ciągły proces (X ) 0 jes: 1. regularny, jeśli dla każdego momenu zarzymania τ M proces X τ jes procesem całkowalnym oraz dla każdego niemalejącego ciągu momenów sopowania (τ n ) n N spełniającego lim n τ n = zachodzi lim n E(X τn ) = E(X τ ). 2. klasy D, jeśli rodzina (X τ ) τ M jes jednosajnie całkowalna. 1.3 Obwiednia Snella w czasie ciagłym Będziemy rozważać proces wypła Z = (Z ) [0, ),.j. proces adapowalny spełniający: 0 Z 0 E(sup 0 Z ) <. Uwaga Proces wypła Z jes klasy D. Isonie, dla każdego τ M zmajoryzowana przez całkowalna zmienna losowa sup 0 Z. zmienna X τ jes Twierdzenie (Twierdzenie Snella) Niech Z będzie procesem wypła. Zdefiniujmy U = (U ) 0, gdzie U = ess sup E(Z τ F ). τ M Wówczas 1. Proces U jes nadmaryngałem; 2. 0 E(U ) = sup τ M E(Z τ ); 3. Isnieje prawosronnie ciagła modyfikacja procesu U. Prawosronna modyfikację procesu U będziemy nazywać obwiednia Snella. W dowodzie wierdzenia Snella będziemy korzysać, z faku, że proces U posiada zw. własność kray Definicja (Własność kray) Powiemy, że rodzina zmiennych losowych (X i ) i I posiada własność kray, jeśli dla dowolnych i, j I isnieje k I, akie że X k X i X j p.n.. 7

9 Lema (o własności kray) Przy oznaczeniach jak wcześniej i przy usalonym 0 rodzina (E(Z τ F ), τ M ) posiada własność kray. Dowód. Niech τ 1, τ 2 M i niech X i = E(Z τi F ) dla i = 1, 2. Rozważmy momen sopu τ 3 zadany: τ 3 = τ 1 1 {X1 X 2 } + τ 2 1 {X1 <X 2 }. Wówczas oczywiście τ M oraz E(Z τ3 F ) E(Z τi F ) dla i = 1, 2. Fak (o isonym supremum) Niech (X i ) i I będzie nieujemna rodzina zmiennych losowych z własnościa kray. Wówczas E(ess sup i I X i ) = sup i I EX i oraz dla każdego B pod-σ-ciała F zachodzi E(ess sup i I X i B) = ess sup i I E(X i B) p.n.. Powyższe równości zachodza również, jeśli nieujemność zasapić przez założenie, że E(ess sup i I X i ) <. Dowód. (Twierdzenia Snella) Ad 1. Niech s 0. Na mocy faku o isonym supremum oraz lemau o własności kray orzymujemy E(U F s ) = E(ess sup τ M E(Z τ F ) F s ) = ess sup τ M E(E(Z τ F ) F s ) = ess sup τ M Korzysamy uaj z inkluzji M M s. E(Z τ F s ) ess sup τ M s E(Z τ F s ) = U s. Ad 2. Rozważmy 0. Wówczas E(U ) = E(ess sup τ M E(Z τ F )) = ess sup τ M E(E(Z τ F )) = ess sup τ M E(E(Z τ ) = sup τ M E(E(Z τ ). W pierwszej równości korzysamy z definicji procesu U. W drugiej korzysamy z lemau o isonym supremum. W rzeciej korzysamy z mierzalności Z τ względem F. W osaniej ponownie z lemau o isonym supremum. Ad 3. Wysarczy, że udowodnimy prawosronną ciągłość E(U ) (resza założeń wierdzenia o modyfikacji ciągłej jes spełniona). Rozważmy zaem ciąg nierosnących czasów ( n ) n N spełniający lim n n =. Wówczas, dla każdego n N, mamy E(U n ) = E(ess sup τ M n E(Z τ F n )) = sup τ M n E(Z τ F n ) = sup τ M n E(Z τ ) sup τ M E(Z τ ) = E(U ). Z drugiej srony dla dowolnego momenu sopu τ M rozważmy τ n = τ n. Należy on do M n oraz lim n Z τn = Z τ (na mocy prawosronnej ciągłości Z). (DLACZEGO?) mamy E(Z τ ) lim inf n E(Z τn ) lim inf n E(U n ). Ponieważ a nierówność jes prawdziwa dla dowolnego τ, o mamy E(U ) lim inf n E(U n ), skąd oczywiście lim n E(U n ) = U. Od eraz, dla uproszczenia noacji, jako U będziemy oznaczać obwiednię Snella procesu wypła Z, zn. U jes prawosronnie ciągłą modyfikacją procesu zdefiniowanego w wierdzeniu Uwaga Proces U jes klasy D. Isonie, mamy 0 U M p.n., gdzie M o jes jednosajnie całkowalny maryngał określony wzorem M = E(sup s 0 Z s F ). 8

10 Wniosek Obwiednia Snella U jes najmniejszym prawosronnie ciagłym maryngałem dominujacym proces wypła Z. Dowód. Rozważmy dowolny prawosronnie ciągły nadmaryngał V dominujący Z (Z V ). Wówczas na mocy wierdzenia (2.2) mamy τ M E(Z τ F ) E(V τ F ) V p.n.. Obkładając o isonym supremum po momenach sopu dosajemy po lewej sronie U, zaś isone supremum po momenach sopu nie wpływa na prawą sronę nierówności, skąd mamy U V p.n. Swierdzenie Obwiednia Snella spełnia lim U = lim Z p.n. Dowód. Z nierówności U Z orzymujemy lim sup Z lim U. Brakuje nam jeszcze szacowania w drugą sronę. Rozważmy więc dowolne s 0 oraz weźmy s. Wówczas dla każdego τ M zachodzi E(Z τ F ) E(sup Z u F ) u s zaem U E(sup u Z u F ) p.n. (obkładamy lewą i prawą sronę isonym supremum po τ M - lewa daje nam U, zaś prawa nie zmienia się). Zauważmy, że zmienna losowa sup u s Z ( u ) jes całkowalna oraz mierzalna względem σ-ciała F := σ 0 F, a zaem w granicy lim E(sup u s Z u F ) = sup u s Z u. Sąd lim n U sup u s Z u. Przechodząc z s orzymujemy lim n U lim sup Z, co kończy dowód. 1.4 Opymalne momeny sopu Teraz zajmiemy się zdefiniowaniem opymalnego momenu sopowania oraz wierdzenia charakeryzującego opymalne momeny sopu. Definicja Powiemy, że momen sopu (zarzymania) τ M 0 jes opymalny, jeśli E(Z τ = sup τ M 0 E(Z τ ). Twierdzenie (o charakeryzacji opymalnych momenów sopu) Momen zarzymania τ M 0 jes opymalny wedy i ylko wedy, gdy zachodz a równocześnie warunki: 1. U τ = Z τ p.n.; = U τ dla 0 T jes marynga- 2. zasopowany proces U τ zdefiniowany wzorem U τ łem. Dowód. Na mocy definicji opymalnego momenu sopowania, τ jes opymalny wedy i ylko wedy, gdy E(Z τ ) = E(U 0 ). Jednocześnie zauważmy, że na mocy U Z oraz wierdzenia zasosowanego do nadmaryngału U oraz momenów sopu σ 0, τ = τ orzymujemy E(Z τ ) E(U τ ) E(U 0 ). Zaem τ jes opymalny ww gdy E(Z τ ) = E(U τ ) = E(U 0 ). Równość E(Z τ ) = E(U 0 ) jes równoważna emu, że Z τ = U τ p.n. (wobec ego, że U Z). Kolejna równość, E(U τ ) = E(U 0 ), jes równoważna emu, że proces U τ jes maryngałem. Ławo o sprawdzić: jeśli U τ jes maryngałem, o E(U τ ) = E(U 0 ) dla każdego 0 na 9

11 mocy wierdzenia Dooba o sopowaniu. Wiemy również, że U jes klasy D, więc rozważając granicę przy dosajemy E(U τ ) = E(U 0 ). Z drugiej srony, jeśli E(U τ ) = E(U 0 ), o sosując wierdzenie do U orzymujemy, że E(U τ ) = E(U 0 ) dla każdego 0, skąd wniosek, że U τ jes maryngałem. 1.5 Rozkład Dooba-Meyera i ε-opymalne momeny sopowania Twierdzenie (Rozkład Dooba-Meyera) Niech U = (U ) 0 będzie prawosronnie ciagłym nadmaryngałem klasy D. Isnieje wedy maryngał M = (M ) 0 oraz niemalejacy proces prognozowalny A = (A ) 0 aki, że A 0 = 0 oraz U = M A Procesy U oraz M sa jednosajnie całkowalne oraz wyznaczone jednoznacznie. Ponado, jeśli U jes procesem regularnym o proces A ma ciagłe rajekorie. Powyższy rozkład nadmaryngału U nazywa się rozkładem Dooba-Meyera Twierdzenie (o ε-opymalnych momenach zarzymania) Niech U będzie obwiednia Snella procesu wypła Z. Dla 0 oraz ε 0 definiujemy Wówczas: 1. D ε M 0 2. EU D ε = EU 3. E(Z D ε ) EU ε D ε = inf{s : Z s U s ε} W dowodzie wierdzenia pomoże nam nasępujący Lema Niech A będzie niemalejacym procesem z rozkładu Dooba-Meyera obwiedni Snella U. Wedy dla każdego 0 oraz ε 0, A D ε = A p.n. Ponado procesy (A D ε ) oraz A sa nierozróżnialne. Dowód. (lemau 1.5.3) Z wierdzenia Snella (1.3.2 punk 2) wiemy, że EU = sup τ M EZ τ. Niech (τ j ) j N będzie ciągiem momenów sopu τ j M wybijającym supremum, zn. akim, że lim j EZ τj = EU. Wedy EZ τj EU τj = EM τj EA τj = EM EA τj = EU E(A τj A ) gdzie pierwsza nierówność wynika z ego, że U dominuje Z prawie na pewno. Wynika sąd, że lim j E(U τj Z τj ) = 0 oraz lim j E(A τj A ) = 0. Każdy ciąg zbieżny w L 1 ma podciąg zbieżny p.n, a zaem można wybrać aki podciąg, że U τjk Z τjk 0 p.n., a z ego podciągu wybrać aki, że A τjkl A 0 p.n. Aby nie mnożyć indeksów dolnych, bez sray ogólności załóżmy, że (τ j ) od począku spełniał: lim U τ j Z τj = lim A τj A = 0 p.n. j j Skoro lim j U τj Z τj = 0, o D ε τ j dla dosaecznie dużych j, zaem A D ε A τj A, gdzie nierówność wynika z faku, że A jes niemalejący, a zbieżność z wcześniejszych usaleń. 10

12 Z drugiej srony, z definicji ε-opymalnego momenu sopu D ε, więc A D ε niemalejący, a zaem osaecznie A D ε = A. A, bo A jes Nierozróżnialność procesów (A D ε ) oraz A jes bezpośrednią konsekwencją prawosronnej ciągłości A oraz faku, że jes niemalejący. Dowód. (wierdzenia o ε-opymalnych momenach sopowania) Ad 1. Zauważmy, że D ε jes momenem pierwszych odwiedzin zbioru domknięego [0, ε] przez adapowalny, prawosronnie ciągły proces U Z, a skoro filracja spełnia zwykłe warunki, o sąd wynika już, że D ε jes momenem sopu. Ponado lim U = lim Z p.n., zaem D ε jes skończony prawie na pewno, skąd wynika eza. Ad 2. Wynika z definicji oraz prawosronnej ciągłości procesu U Z. Ad 3. Z lemau wynika, że EU D ε = EU, zaem z punku drugiego orzymujemy ezę. 1.6 Przypadek regularny Twierdzenie Załóżmy, że proces wypła Z jes regularny oraz U jes jego obwiednia Snella. Wprowadźmy momen sopu: τ 0 = inf{ 0 : U = Z } Wedy 1. Proces U jes regularny 2. Opymalny momen sopu isnieje ww, gdy P(τ 0 < ) = 1 3. τ 0 jes najmniejszym opymalnym momenem sopu Dowód. Ad 1. Należy wykazać, że dla każdego momenu zarzymania τ M proces U τ jes procesem całkowalnym oraz dla każdego niemalejącego ciągu momenów sopowania (τ n ) n N spełniającego lim n τ n = zachodzi lim n E(U τn ) = E(U τ ). Wiemy, że obwiednia Snella jes klasy D, więc w szczególności każdy elemen rodziny (U τ ) τ M 0 jes całkowalny, co dowodzi pierwszej części definicji. Pozosaje do wykazania druga część: Niech (τ n ) n N będzie dowolnym niemalejącym ciągiem momenów sopu akim, że lim n τ n = τ M 0. Z własności U jako nadmaryngału wnioskujemy, że EU τ n EU τ dla każdego n. przechodząc obusronnie do granicy n orzymujemy lim EU τ n n U τ (1.1) Pozosało wykazać nierówność (1.1) w drugą sronę. Dla Usalonego ε > 0, Dτ ε n = inf{s τ n : Z s U s ε} jes momenem sopu. Z nierozróżnialności procesów (A D ε ) oraz A (lema 1.5.3) orzymujemy (A D ε σ ) = A σ p.n. dla dowolnego momenu sopu σ M 0, a zaem w szczególności dla τ n orzymujemy EU D ε τn = EU τn. Z wierdzenia orzymujemy osaecznie EZ D ε τn EU D ε τn ε = EU τn ε. Ciąg momenów sopu (Dτ ε n ) n N jes niemalejący, zdominowany przez momen sopu Dτ ε, a zaem zbieżny. Niech τ = lim n Dτ ε n. Zachodzą nierówności τ τ Dτ ε. Ponado z regularno- 11

13 ści procesu Z orzymujemy EZ τ = lim n Z D ε τn, a zaem EU τ EU τ (1.2) = lim Z D n τn ε lim EU τ n n ε, gdzie (1.2) wynika z τ oraz monooniczności warości oczekiwanej U (U jes nadmaryngałem), a równość w (1.3) wynika z dominacji U nad Z. Przechodząc do granicy ε 0 orzymujemy co w połączeniu z nierównością (1.1) dowodzi regularności U. (1.3) U τ lim n EU τ n, (1.4) Ad 2. Z pierwszego warunku wierdzenia orzymujemy, że jeżeli τ M 0 jes opymalnym momenem sopu, o U τ = Z τ p.n., a więc w szczególności τ 0 τ < p.n. Załóżmy, że P(τ 0 < ) = 1. Niech (ε n ) n N będzie nierosnącym ciągiem liczb dodanich, zbieżnym do 0. Niech τn := D0 εn. Ciąg (τ n) n N jes niemalejący i zdominowany przez τ 0, a zaem zbieżny. Niech τ = lim n τn. Korzysając kolejno z drugiego i rzeciego punku wierdzenia orzymujemy: EU 0 = EU τ n EZ τ n + ε n, Przechodząc do granicy n i korzysając z regularności Z orzymujemy a zaem τ jes opymalny. EU 0 = EZ τ Ad 3. Zauważmy, że skoro τ zdefiniowany w Ad 2. jes opymalnym momenem sopu, o zachodzi punk pierwszy warunek wierdzenia 1.4.1, j. U τ = Z τ p.n., a więc τ 0 τ. Z poprzednich rozważań wynika, że τ jes zdominowany przez τ 0, zaem τ = τ 0, co dowodzi, że τ 0 jes opymalnym momenem sopu. Minimalność τ 0 jes oczywisą konsekwencją pierwszego warunku wierdzenia będzie opymal- Twierdzenie Załóżmy, że proces wypła Z jes regularny. Niech τ M 0 nym momenem sopu. Zdefiniujmy ponado: τ max = inf{ 0 : A > 0} Wedy: 1. P(τ τ max ) = 1, 2. σ = τ max 1 τmax< + τ 1 τmax= jes opymalny, 3. Jeżeli P(τ max < ) = 1, o τ max jes największym opymalnym momenem sopu. W dowodzie wierdzenia posłużymy się nasępującym lemaem. Lema Niech U będzie obwiednia Snella Dla 0 zdefiniujmy (być może nieskończony) momen sopu D 0 = inf{s : U s = Z s }. Niech A := lim n A n. Wedy procesy (A D 0 ) 0 oraz A sa nierozróżnialne. 12

14 Dowód. Weźmy nierosnący ciąg liczb dodanich, zbieżny do 0 ε n 0. Ciąg (D εn ) n N jes nierosnącym ciągiem momenów sopu zdominowanym przez D 0, a zaem zbieżny. Niech τ := lim n D εn. τ jes momenem sopu przyjmującym być może warość z dodanim prawdo- jes zdominowany przez D 0, o również podobieńswem. Skoro ciąg D εn τ D 0 (1.5) Z lemau wiemy, że A = A D εn p.n. dla n N oraz 0, zaem przechodząc z n do granicy w nieskończoności i korzysając z ciągłości procesu A (proces A jes ciągły na mocy wierdzenia Dooba-Meyera w przypadku rozkładu regularnego nadmaryngału U) orzymujemy A = A τ (1.6) Pozosało wykazać, że zachodzi nierówność τ D 0. Usalmy T >. Orzymujemy: EZ D εn ( T = E E ( E ( = E Z D εn (( 1 D εn T + Z T 1 D εn >T U D εn ε n ) U D εn 1 D εn ) T + Z T 1 D εn T 1 D εn T + Z T 1 D εn >T U D εn T (Z T U T ) 1 D εn >T >T ) ) ε n ) ε n, (1.7) gdzie (1.7) wynika z wierdzenia Ze zbieżności D εn T τ T oraz regularności procesów Z oraz U orzymujemy zbieżność warości oczekiwanych: lim n EZ D εn T = EZ τ T oraz lim n EU D εn T = EU τ T. Ponado lim n E (Z T U T ) 1 D εn >T = E (Z T U T ) 1 τ >T (1.8) na mocy wierdzenia Lebesgue a o zbieżności monoonicznej. Przechodząc z lewą i prawą sroną nierówności (1.8) do granicy n orzymujemy ( ) EZ τ T E U τ T (Z T U T ) 1 τ >T ( ) = E U τ 1 τ T Z T 1 τ >T, zaem EZ τ 1 τ T EU τ 1 τ T. Przechodząc z T do nieskończoności orzymujemy: ) ) E ((U τ U τ 1 τ < Korzysając z faku, że U Z p.n. orzymujemy, że Z τ = U τ p.n. na zbiorze {τ < }, sąd D 0 τ p.n. na zbiorze {τ < } oraz oczywisy sposób nierówność pozosaje prawdziwa na zbiorze {τ = }, co wobec nierówności 1.5 daje nam A = A D 0 p.n. Nierozróżnialność procesów dowodzimy ak samo, jak w lemacie Dowód. (wierdzenia 1.6.2) Ad 1. Jeśli τ jes opymalny, o 13

15 U τ = Z τ p.n EZ τ = EU 0 A zaem EU τ = EZ τ = EU 0, gdzie pierwsza równość jes bezpośrednią konsekwecją punku pierwszego. Z rozkładu Dooba-Meyera nadmaryngału U orzymujemy EU τ = EU 0 EM τ A τ = EM 0 A 0 A τ = A 0 (1.9) Gdzie 1.9 wynika z równości EM τ = EM 0 (zasosowanie wierdzenia do jednosajnie całkowalnego maryngału M oraz momenów sopu τ 1 0 oraz τ 2 = τ skończonych p.n.) Osaecznie A τ 0, bo A 0 = 0 oraz A 0. A zaem z definicji τ max wynika, że τ τ max p.n. Ad. 2. Aby wykazać, że momen sopu σ = τ max 1 τmax< + τ 1 τmax= jes opymalny posłużymy się wierdzeniem Na zbiorze {τ max = } zachodzi U σ = U τ (1.10) = Z τ (1.11) = Z σ, (1.12) gdzie (1.10) oraz (1.12) wynika z definicji momenu sopu σ, a (1.11) wynika z opymalności τ i pierwszego warunku wierdzenia Na zbiorze {τ max < } należy jeszcze wykazać, że proces U σ := U σ Wiemy, że A σ 0, a zaem z rozkładu D-M procesu U orzymujemy jes maryngałem. U σ = M σ A σ = M σ A zaem U σ jes maryngałem jako prawosronnie ciągły maryngał zarzymany w momencie σ. 1.7 Horyzon skończony W ym dziale będziemy zajmować się horyzonem skończonym. Zdefiniujmy U (T ) = ess sup τ M T E(Z τ F ) Widzimy, że jes o szczególny przypadek procesu U rozważanego wcześniej, a zaem wszelkie wierdzenia udowodnione wcześniej dla U dalej będą w mocy dla U (T ). Dzięki założeniu o horyzoncie skończonym możemy dodakowo w sosunkowo zgrabny sposób scharakeryzować obwiednię Snella. Mówi o ym nasępujące Twierdzenie Załóżmy, że proces wypła Z jes regularny. Niech (U ) [0,T ] będzie regularnym, prawosronnie ciagłym nadmaryngałem klasy D o rozkładzie Dooba-Meyera U = M A. Wedy proces U jes obwiednia Snella procesu wypła Z wedy i ylko wedy, gdy zachodza jednocześnie rzy warunki: 14

16 1. U Z 2. U T = Z T p.n. 3. dla każdego [0, T ], A = A τ, gdzie τ = inf{s : U s = Z s } Dowód. Warunek pierwszy uzyskamy kładąc τ w definicji procesu U T,.j. U (T ) = ess sup τ M T E(Z τ F ) E(Z τ F ) = E(Z F ) = EZ, gdzie osania równość wynika z mierzalności Z względem F. Warunek drugi jes oczywisy (jedynym momenem sopu należącym do M T T jes momen τ = T p.n.), a warunek rzeci wynika bezpośrednio z lemau Z warunku pierwszego orzymujemy, że U jes nadmaryngałem dominującym Z, a zaem z wniosku orzymujemy U U T. (1.13) Dzięki warunkowi drugiemu momen sopu τ jes dobrze określony, ograniczony z góry przez T. Sosując wierdzenie Dooba do maryngału M oraz ograniczonych momenów sopu σ, τ = τ orzymujemy E(M ) = E(M τ ). Korzysając kolejno z warunku rzeciego, definicji τ oraz punku drugiego wierdzenia Snella 1.3.2: E(U ) = E(U τ ) = E(Z τ ) EU (T ), (1.14) a zaem z nierówności (1.13) oraz (1.14) orzymujemy ezę. 15

17 Rozdział 2 Wycena opcji amerykańskich Elżbiea Gawłowska, Barosz Głowinkowski 2.1 Model Rozważamy rynek finansowy z d insrumenami ryzykownymi i jednym insrumenem nieobarczonym ryzykiem. Przez S 0 oznaczamy cenę jednoskową insrumenu bezryzykownego, a przez S i cenę i-ego insrumenu obarczonego ryzykiem w moemencie. W modelu rozważana jes przesrzeń probabilisyczna (Ω, F, F = (F ) 0, P). W modelu rozważany jes czas zadany przez [0, T ], naomias cenę insrumenu bezryzykownego wyznacza się przez ( ) S 0 = exp (τ s )ds, 0 gdzie (τ ) 0 T jes mierzalnym adapowalnym procesem czasu jednosajnie ograniczonym. τ opisuje w ym przypadku ciąłą sopę procenową zarzymaną w chwili. Zakładamy, że prawdziwe jes nasępujące równanie: ds i S i = µ i d + d j=1 σ ij ()db j, i = 1,..., d, (2.1) gdzie procesy (µ i ) 0 T oraz (σ ij ()) 0 T są również mierzalne, adapowalne i jednosajnie ograniczone. Zakładamy ponado, że i-y insrumen ryzykowny wypłaca w sposób ciągły dywidendę ze sopą δ, i gdzie (δ) i 0 T - proces mierzalny, adapowalny, jednosajnie ciągły. Ponado zakładamy, że dla każdego z przedziału [0, T ] macierz σ = (σ ij ()) 1 i,j d jes ) 0 T jes jednosajnie ograniczony. Proces θ = (θ ) 0 T zdefiniowany: θ = σ 1 µ (gdzie µ i = µi + δ i r dla i = 1,..., d) jes mierzalny, adapowalny i jednosajnie ograniczony. Usalmy: odwracalna oraz proces (σ 1 Dodakowo, dla 0 T niech: W = B + θ s ds. (2.2) 0 L = exp( θ s.db s 1 θ s 2 ds, (2.3)

18 gdzie θ s.db s = d i=1 θsdb i s. i Proces (L ) 0 T jes maryngałem. Przez P pznaczamy miarę probabilisyczną, aką że: dp dp = L. Zgodnie z wierdzeniem Girsanowa, w mierze probabilisycznej P, proces (W ) 0 T jes sandardowym procesem Wienera z warościami w R d. Dla i = 1,..., d niech ( ) Ŝ i = exp (δs i r s )ds S, i 0 T. (2.4) 0 W mierze P, procesy (Ŝi ) 0 T są maryngałami. Waro zauważyć, że dŝi = d Ŝ i j=1 σ ij ()dw j oraz d Ŝ i = S0 i exp σ ij ()dw j 1 d σ 2 2 ij(s)ds. (2.5) j=1 Czynnik dyskonowy jes zdefiniowany poprzez: 0 j=1 β = 1 S 0 = e 0 rsds. Zdyskonowane ceny insrumenów ryzykownych w czasie są dane poprzez S i = β S i = e 0 rsds S i, i = 1,..., d. Waro zauważyć d S i S i d = σ ij ()dw j δi d. (2.6) j=1 2.2 Sraegie dopuszczalne Sraegia jes zdefiniowana jako mierzalny adapowany proces (H 0, H 1,..., H d ) 0 T, z warościami w R d+1, gdzie współrzędna H i reprezenuje ilość akywa i kóre jes w porfelu w czasie. Warość porfela w czasie związana z ą sraegią jes zdefiniowana w nasępujący sposób d V = H j Sj. j=0 Aby nałożyć na sraegie warunek samofinansowania, kóry oznacza, że nie isnieje zewnęrzne źródło bogacwa (inaczej: bogacwo jes w całości deerminowane przez dywidendy, zmiany cen akywa i konsumpcję), należy uwzględnić nasępujący warunek całkowalności: T 0 T Hs d H j 2 d < p.n. (2.7) j=1 Warunek samofinansowania może zosać eraz zapisany w nasępujący sposób: T V = V d T Hs 0 + Hs(dS j s j + δss j sds) j C (2.8) j=1 0 gdzie (C ) 0 T jes niemalejącym adapowanym ciągłym procesem z C 0 = 0, kóry reprezenuje skumulowaną konsumpcję aż do chwili. Równość 2.8 musi być inerpreowana jako nierozróżnialność dwóch procesów (i dlaego wynika z niej ciągłość V ). 17

19 Definicja Sraegia zdefiniowana poprzez mierzalny adapowany proces (H 0, H 1,..., H d ) 0 T jes dopuszczalna jeśli warunki 2.7 i 2.8 są spełnione oraz [0, T ], V 0 p.n. (2.9) Nasępujące swierdzenie pokazuje jak warunek samofinansowania może być wyrażony w zmiennych zdyskonowanych. Swierdzenie Niech (H 0, H 1,..., H d ) 0 T będzie mierzalnym adapowanym procesem z warościami w R d+1, spełniajacym 2.7. Warunek samofinansowania 2.8 jes spełniony wedy i ylko wedy gdy z prawdopodobieńswem 1. Ṽ = V 0 + d T j=1 0 Hs(d j S s j + δs j S sds) j 0 β s dc s (2.10) gdzie Ṽ = V /S 0 = β V jes zdyskonowana warościa porfela w chwili. Swierdzenie W mierze probabilisycznej P, zdyskonowna warość sraegii samofinansujacej się jes nadmaryngałem. 2.3 Opcje amerykańskie i obwiednia Snell a Opcję amerykańską z erminem zapadalności T charakeryzuje się przez ciągły proces adapowalny Z = (Z ) 0 T. W przypadku opcji call z ceną wykonania K mamy Z = (S 1 K) +. Dodakowo zakładamy, że E sup 0 T Z < inf. Definicja Sraegią zabezpieczającą dla opcji amerykańskiej przy wypłacie zadanej przez proces Z jes sraegia dopuszczalna o wypłacie V = (V ) 0 T, aka że V Z p.n. Możemy eraz sformułować nasępujące swierdzenie: Swierdzenie Rozważmy opcję amerykańska zadana przez nieujemny, ciagły proces adapowalny Z = (Z ) 0 T spełniajacy warunek E sup 0 T Z < inf. Niech Ũ będzie obwiedni a Snella procesu Z przy mierze P, gdzie Z = β Z, gdzie U jes procesem zadanym: U = S 0Ũ. Mamy: τ U = esssup τ E (Z τ exp( r s ds) F ), 0 T. (2.11) Dodakowo, jeśli V jes procesem warości pewnej sraegii zabezpieczajacej opcję amerykańska, o mamy prawie na pewno: V U dla z przedziału [0, T ]. Poniższe wierdzenie dosarcza nam informacji, że w rozważanym modelu, isnieje sraegia dopusczalna o warości V równa U. Sraegia a ma minimalną warość wśród sraegii zabezpieczających i może być wykorzysana do wyliczania sprawiedliwej ceny opcji. Twierdzenie Przy założeniach powyższego Swierdzenia, isnieje sraegia dopuszczalna o warości V, aka że V = U, gdzie U zadane ak jak w Swierdzeniu. Nasępujące swierdzenie pokazuje, że cena amerykańskiej opcji ypu call na akcję, kóra nie daje dywidendy, jes równa cenie europejskiej opcji ypu call, ak długo jak sopa procenowa jes nieujemna. 18

20 Swierdzenie Niech eraz r 0 i δ 1 = 0 dla każdego [0, T ]. Wedy, dla każdego K > 0, zachodzi dla [0, T ]: ( ) esssup τ T,T E e τ rsds (Sτ 1 K) + F = (e ) T r sds (ST 1 K) + F p.n. Zachodzi również analogiczny fak dla opcji ypu pu, jednakże przy dodakowym założeniu r 0. 19

21 Rozdział 3 Własności funkcji ceny Kamila Domańska Rozdział opracowany na podsawie pracy D. Lamberon: Opimal sopping and American opions, Ljubljana Summer School on Financial Mahemaics, pp. 3-8, 2009 oraz J. Szmy: Wybrane zagadnienia eorii opymalnego sopowania, Uniwersye Warszawski, 2013 Teoria opymalnego sopowania jes ściśle związana z problemami wyboru konkrenego momenu, w kórym należy przedsięwziąć jakieś działania, aby zmaksymalizować oczekiwany przychód lub zminimalizować oczekiwaną sraę. Ma ona zasosowanie w wielu gałęziach nauki: saysyce, ekonomii czy maemayce finansowej. Nam eoria opymalnego sopowania będzie porzebna do wyceny opcji amerykańskich. Zaczniemy od zarysu ej eorii w czasie dyskrenym. 3.1 Problem opymalnego sopowania Niech T {0, 1, 2,..., } będzie zbiorem, kóry możemy rakować jako zbiór czasów. Wyobraźmy sobie, że wykonujemy pewien eksperymen losowy, w kórym w kolejnych chwilach T obserwujemy pewien proces sochasyczny Y = (Y ) T, kórego wszyskie rozkłady skończenie wymiarowe są nam znane. W każdym momencie, możemy zasopować eksperymen, co jes równoważne z zachowaniem "wypłay" w wysokości Y. Decyzję podejmuje na podsawie doychczasowego przebiegu eksperymenu. Sąd momenem zarzymania nazywamy zmienna losową τ : Ω T aką, że {τ } F, gdzie (F ) T jes filracją, a proces (Y ) T jes adapowany do ej filracji. Wprowadźmy jeszcze szereg użyecznych oznaczeń. Niech M będzie rodziną momenów zarzymania, M N n := {τ M : P(τ [n, N]) = 1} oraz M n := {τ M : P(τ [n, )) = 1}. Tuaj rodzi się pyanie czy można zopymalizować wybór momenu sopu ak by orzymać najwyższą warość wypłay. Naszym celem będzie będzie zarzymanie eksperymenu w akiej chwili by średnia oczekiwana wypłaa była największa. Ściślej, jeżeli isnieje τ M 0, aki, że sup τ M0 EY τ = EY τ, o τ jes opymalnym momenem zarzymania. Jaką sraegię powinien przyjąć gracz by zmaksymalizować wypłaę? Odpowiedzią na o pyanie będzie podanie reguł pozwalających znajdować momeny opymalne. Możliwość nieisnienia opymalnej reguły zarzymania, ilusruje poniższy przykład: Przykład (Wszysko albo nic). 20

22 Gracz z kapiałem począkowym w wysokości 1 rozpoczyna grę polegającą na wykonywaniu rzuów symeryczną moneą. Po każdym rzucie ma on możliwość: wycofania się z gry (ożsamego z zachowaniem doychczasowego kapiału przemnożonego przez 2 +1, gdzie jes liczbą wykonanych rzuów), albo grania dalej. Każdorazowe wyrzucenie orła oznacza podwojenie kapiału, wyrzucenie reszki - wyzerowanie kapiału. Model. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych akich, że P(X s = 1) = P (X s = 1) = 1 dla s {1, 2,..., }. 2 Przyjmujemy nauralną filrację procesu (X ). Jeżeli X i = 1 będzie oznaczało wyrzucenie orła, zaś X i = 1 wyrzucenie reszki w i-ym rzucie, o dla {1, 2,..., } zmienne losowe Y = (X s + 1), Y = 0 s=1 defniują ciąg wygranych zgodnie z zasadami gry. Zauważmy, że konynuacja wykonywania rzuów może przynieść niezerową wypłaę jedynie w momencie, kiedy wszyskie doychczasowe rzuy okazują się orłami. Wyrzucenie reszki powoduje, że do wygrania jes sale 0. Sąd, wyznaczając warość gry, możemy ograniczyć się do momenów sopu sałych p.n. Do każdej chwili s, w kórej gracz dysponuje niezerowym kapiałem musi być X 1 = 1,.., X s = 1. Kładąc τ s = s, orzymujemy v = sup τ EY τ = sup EY τs. s Ponado mamy EY s = 2s s + 1, zaem warość gry wynosi 2, ale nie isnieje opymalna reguła zarzymania. Co więcej, dla dowolnego s reguła τ s nie ylko nie jes opymalna, ale również nieopłacalna w ym sensie, że τ s+1 przynosi wyższą warość oczekiwaną nagrody. Isonie, E(Y s+1 Y s ) = (s + 1)2 s(s + 2) Y s > Y s. Położenie Y = 0 jes zgodne z zasadami gry, gdyż na mocy lemau Borela-Canellego z prawdopodobieńswem 1 w ciągu X 1, X 2,.., pojawi się nieskończenie wiele jedynek, więc ym bardziej lim Y = 0 p.n. Widzimy zaem, że w każdej chwili konynuowanie gry jes zasadne, podczas gdy "sraegia graniczna" okazuje się najgorszą z możliwych Horyzon skończony Rozważmy problem opymalnego sopowania procesu sochasycznego (Y ) T w horyzoncie czasowym skończonym. Usalmy N N. Zaem T = {0, 1, 2,..., N 1, N}. Szukając opymalnego momenu zarzymania, możemy zasosować meodę indukcji wsecznej, bowiem w N-ym kroku obserwujemy wypłaę w wysokości Y N, zaś w (N 1)-ym kroku jeseśmy w sanie zapewnić sobie max{y N 1, E(Y N F N 1 )} id. Rozważmy więc dodakowo N + 1 podproblemów opymalnego sopowania: vn N = sup EY τ dla n = 0, 1, 2,..., N. (3.1) τ MN Na przykład opymalny momen zarzymania dla podgry rozpoczynającej się w chwli N 1 o: { N 1 gdy E(YN F τ(ω) = N 1 )(ω) Y N 1 (ω) N gdy E(Y N F N 1 )(ω) > Y N 1 (ω) 21

23 Celowe zaem jes wprowadzenie momenów zarzymania τ N n = inf{n k N : U N k = Y k } oraz procesu (U N n, F n ) n N określonego wzorem: { U N N = Y N Un N = max{y n, E(Un+1 N F n)} dla n = N 1, N 2,..., 0. Twierdzenie (Snella). Rozważmy problem opymalnego sopowania (3.1) dla procesu wypła (Y n ) n N. Okazuje się, że wówczas, dla każdego n {0, 1, 2,..., N}: 1. U N n E(Y τ F n ) dla dowolnego τ M N n. 2. U N n = E(Y τ N n F n ). Co więcej, jeżeli n {0, 1, 2,..., N} jes usalone o τn N jes opymalnym momenem zarzymania dla problemu (3.1) oraz (Uk N) n k N jes najmniejszym nadmaryngałem dominujacycm (Y k ) n k N Horyzon nieskończony Chcielibyśmy eraz rozważyć problem opymalnego sopowania o horyzoncie nieskończonym zn. T = {0, 1, 2,..., }. Poczynione obserwacje dla horyzonu skończonego sugerują, że powinno zachodzić: Un N = sup τ M N n E(Y τ F n ). Jednak zauważmy, że powyższe supremum nie musi być zmienną losową, gdyż rodzina zmiennych losowych {E(Y τ F n ) : τ M N n } może być nieprzeliczalna. Okazuje się, że dodanie dodakowego założenia o procesie wypła (Y ) T doprowadzi nas do rozwiązania. Zaem również zakładać będziemy, że ciąg wypła (Y n ) n 0 jes aki, że E sup n Y n <. Rozważmy eraz: v n = sup τ M n EY τ dla n = 0, 1, 2,... (3.2) Zdefiniujemy obwiednię Snella (U n, F n ) n 0 procesu (Y n ) n 0 przez U n = ess sup τ Mn E(Y τ F n ) oraz momeny zarzymania τ n = inf{k n : U k = Y k }, gdzie n 0 oraz inf = +. Twierdzenie Rozważmy problem opymalnego sopowania (3.2) dla adapowanego ciagu wypła (Y n ) n 0 akiego, że E sup n Y n <. Wówczas U n = max{y n, E(U n+1 F n )} dla każdego n 0. Okazuje się, że jeżeli ponado τ n < p.n. dla każdego n 0 o 1. U n E(Y τ F n )} dla każdego τ M n. 2. U n = E(Y τn F n )}. Co więcej, dla usalonego n: 1. τ n jes opymalnym momenem zarzymania dla problemu (3.2). 22

24 2. Jeżeli τ M n jes opymalny dla problemu (3.2) o τ n τ p.n. 3. (U k ) k n jes najmniejszym maryngałem dominującym (Y k ) k n. 4. (U τ n k, F k ) k n jes maryngałem. 5. Jeżeli P(τ n = ) > 0, o nie isnieje opymalny momen zarzymania dla problemu (3.2). Twierdzenie Okazuje się również, że lim n U n = lim sup n Y n. Twierdzenie Jeżeli τ M n jes opymalnym momenem zarzymania zn. (EY τ = sup τn Mn EY τ ) o wówczas: 1. U τ = Y τ p.n. 2. (U τ k, F k ) k n jes maryngałem. 23

25 Rozdział 4 Własności ceny opcji amerykańskiej Magdalena Hubicz, Maria Pawłowska Rozdział opracowany na podsawie E. Eksrom "Properies of American Opion Prices" 4.1 Wprowadzenie Auor pracy, Erik Eksröm, dokonał analizy własności cen opcji amerykańskich w bardzo ogólnym ujęciu. Spowodowane jes o dużą zależnością zarówno ceny jak i zabezpieczania opcji od poprawności przyjęego modelu rynku akywa bazowego. Sąd eż główna idea pracy, by analizować własności cen opcji przy ogólnym zarysie możliwych modeli cen akcji. Zakładamy jedynie, by proces cen akcji był rozwiązaniem pewnego sochasycznego równania różniczkowego względem sandardowego ruchu Browna, a zmienność - deerminisyczną funkcją czasu i akualnej ceny akcji. Przy ych założeniach wiadomo, że cena opcji europejskiej z wypukłą funkcją wypłay jes wypukła względem ceny insrumenu bazowego oraz monoonicznie rosnąca względem deerminisycznej funkcji zmienności. Warunkiem koniecznym dla ych własności jes wypukłość funkcji wypłay. Okazuje się naomias, że dla opcji amerykańskich jes już inaczej. Główne wierdzenie omawianej pracy przedsawia warunek na funkcję wypłay, kóry jes wysarczający by zapewnić monooniczność ceny opcji amerykańskiej względem zmienności. Poza ym omawiane są eż: wypukłość względem ceny akcji dla wypukłej funkcji wypłay, wrażliwość ceny opcji na upływ czasu do wygaśnięcia, a akże ciągłość ceny względem volailiy. Niekóre własności są bezpośrednim wnioskiem z analogicznych własności opcji europejskich, inne wynikają z przedsawienia rozwiązania sochasycznego równania różniczkowego jako ruchu Browna ze zmienionym czasem. 4.2 Założenia Rozważamy model rynku z akywem bezryzykownym, obligacją, kórej cena rośnie deerminisycznie zgodnie ze wzorem: A = e r, oraz z skywem sprzedawanym na rynku, kórego cena w mierze wolnej od ryzyka spełnia: ds = rsd + α(s, )d B. 24

26 B jes sandardowym ruchem Browna w zupełnej przesrzeni probabilisycznej (Ω, F, F, P ), gdzie F = (F ) 0 T jes filracją generowaną przez B. Dla prosoy zakładamy, że bezryzykowna sopa zwrou r jes nieujemną sałą. Czas wykonania T (0, ) również jes sałą, a α - volailiy, jes funkcją deerminisyczną. Cena opcji amerykańskiej z ciągłą i nieujemną funkcją wypłay g jes równa: P (s, ) = sup E s, exp r(γ ) g(s γ ) γ F[,T ] 4.3 Wypukłość względem ceny insrumenu bazowego ) Definicja Funkcję α : [0, ) [0, ) R nazywamy lokalnie Holderowską( 1 2 względem pierwszej zmiennej na (0, ) (0, ) jeśli K > 0 C K. że [ ] jeśli x, y 1 K, K i K. α (x, ) α (y, ) C K x y Będziemy wyceniać opcje, więc nasz obszar zaineresowania ograniczymy do nieujemnych procesów cen insrumenu bazowego S, dla kórych 0 jes sanem absorbującym zn. jeśli dla pewnego S = 0 o proces juz zawsze będzie równy 0. Wprowadzimy eraz założenia, kóre będą nam owarzyszyć do końca ej cześći: ) Założenie α (x, ) jes mierzalna na [0, ) [0, ) i jes lokalnie Holderowska( 1 2 względem pierwszej zmiennej na (0, ) (0, ). Co więcej, α (0, ) = 0 dla wszyskich 0 i C-sała. że α (x, ) C (1 + x) 0 To założenie gwaranuje nam jednoznaczność po rajekoriach rozwiązania równania różniczkowego ds = rs d + α (S, ) d B S 0 = s (4.1) Założenie Funkcja wypłay g jes ciagła, nieujemna i spełnia [ ] E sup g (S ) 0 T dla dowolnego wyboru punku sarowego S 0 = s. < Cena opcji europejskiej zdefiniowana jako F (x, 0; α) := Eg (X T ) dla procesu X będącego rozwiązaniem dx = α (X, ) d B, X 0 = x (4.2) jes wypukła względem ceny insrumenu bazowego wedy i ylko wedy gdy funkcja wypłay jes wypukła. Wedy również cena a jes monooniczna względem volailiy, zn jeśli α 1 (x, ) α 2 (x, ) x, o F (x, 0; α 1 ) F (x, 0; α 2 ). 25

27 Jeśli cena insrumenu bazowego rośnie spełnia 4.1 a nie 4.2 o ławo zauważyć, że zdyskonowany proces X := e r S spełnia 4.2 z ( ) β (x, ) := e r α xe ( r), zamias ( z α. Zauważmy, ) że β spełnia wedy i ylko wedy gdy α je spełnia. Jeśli h (x) := e rt g e rt x o h jes wypukła (o ile g jes wypukła) i ) Ee rt g (S T ) = Ee rt g (e rt X T = Eh ((X T ), czyli własności ceny opcji europejskiej (wypukłość względem ceny insrumenu bazowego i monooniczność względem volailiy)zachodzą również gdy insrumen bazowy spełnia 4.1. Zarówno w dowodzie wypukłości jak i monooniczności będziemy korzysać z ego, że cenę opcji amerykańskiej możemy przedsawić jako granicę ciągu cen opcji bermudzkich, a e z kolei przejmuja własności od cen opcji europejskich. Opcja bermudzka jes podobna do opcji amerykańskiej z ą różnicą, że właściel opcji ma prawo ją zrealizować w pewnych, z góry określonych, momenach 0 = 0 < 1 < < M = T. Cena opcji bermudzkiej jes wyrażona wzorem: B (s, 0) := sup Ee rγ g (S γ ) γ F{ 0, 1,..., M } Możemy ją wyznaczyć korzysając z nasępującego algorymu: (1) Cena B (s, M ) w M = T o g (s) (2) Mając daną cenę B (, m ), cena w chwili m 1 o { } B (s, m 1 ) = max E s,m 1 e r(m m 1) B (S m, m ), g (s) Innymi słowy cena B (s, m 1 ) opcji bermudzkiej w = m 1 może być wyliczana indukcyjnie jako maximum z g (s) i ceny opcji europejskiej o momencie wygaśnięcia m i funkcji wypłay B (s, m ). Ponieważ ceny opcji europejskich są wypukłe względem ceny insrumenu bazowego gdy funkcja wypłay jes wypukła i ponieważ maximum dwóch funkcji wypukłych jes funkcją wypukłą, nasępujący lema jes naychmiasowym wnioskiem. Lema Jeśli g jes wypukła o cena opcji bermudzkiej B (s, ) jes wypukła względem insrumenu bazowego s dla każdego usalonego. W ej części orzymujemy wypukłość ceny opcji amerykańskiej względem ceny insrumenu bazowego rakując ją jako granicę cen opcji bermudzkich. Niech i niech A N := {0, T 2 N, 2T 2 N,..., T } B N (s, 0) = sup Ee rγ g (S γ ) γ FA N Lema Gdy momemny możliwej realizacji dla opcji bermudzkiej sa rozłożone coraz gęściej o cena opcji bermudzkiej zbiega do ceny opcji amerykańskiej: B N (s, 0) N P (s, 0) Biorąc pod uwagę i oraz fak, że punkowa granica ciągu zbieżnego funkcji wypukłych jes wypukła, możemy sformułować nasępujący wniosek. 26

28 Wniosek Poza i załóżmy, że funkcja wypłay g jes wypukła. Wóczas cena opcji amrykańskiej P (s, ) jes wypukła względem s. W podobny sposób pokazujemy monooniczność względem volailiy. Wniosek Niech g będzie wypukła funkcja wypłay i załóżmy, że α i, i = 1, 2 spełniaja zał 2.2 i α 1 (s, ) α 2 (s, ) s,. Wedy: P (s, 0; α 1 ) P (s, 0; α 2 ) Dowód. Zauważmy, że B N (s, 0; α 1 ) B N (s, 0; α 2 ). Wynika o z monooniczności względem volailiy dla ceny opcji europejskiej i faku, że cena opcji europejskiej jes rosnąca względem funkcji wypłay. Sąd: [P (s, 0; α 1 ) = lim N B N (s, 0; α 1 ) lim N B N (s, 0; α 2 ) = P (s, 0; α 2 ) 4.4 Czas zmienności Przedsawione poniżej podejście jes w całości opare na pracy Jansona i Tyska "Volailiy Time and Properies of Opion Prices". Definicja Niech X będzie rozwiązaniem równania dx = α(x, )d B z warunkiem począkowym X 0 = x 0, gdzie B jes ruchem Browna. Wówczas czasem zmienności τ() nazywamy kwadraową wariancję X, zn. τ() =< X, X > τ() = 0 α 2 (X u, u)du, 0 Wiadomo, że ciągły lokalny maryngał M można przedsawić jako M = B <M,M> dla pewnego ruchu Browna B (możliwe, że określonego na większej przesrzeni probabilisycznej). Twierdzenie Majac dany ruch Browna B z B 0 = x 0, isnieje jednoznaczne (co do nierozróżnialności) rozwiazanie τ równania τ() = 0 α 2 (B τ(u), u)du, 0 akie, że τ() jes czasem zarzymania względem filracji generowanej przez B, oraz X := B τ () jes rozwiazaniem dx = α(x, )d B, X 0 = x 0 dla pewnegeo ruchu Browna B. Dowód powyższego wierdzenia jes bardzo echniczny, dlaego chęnych do zapoznania się z nim odsyłamy do wspomnianej pracy Jansona i Tyska. Lema Niech α i, i = 1, 2,będa jak w założeniu oraz załóżmy, że α 1 (x, ) α 2 (x, ) x,.jeśli B jes ruchem Browna, a τ i sa czasem zarzymania spełniajacym wówczas τ 1 () τ 2 () 0. τ i () = 0 α 2 (B τi (u), u)du, 0 27

29 Lema Niech α oraz α 1, α 2,..., spełniaja założenie jednosajnie, zn. z a sama sała C K oraz C. Załóżmy, że α n (x, ) α(x, ) wraz z n dla każdego x i. Jeśli B jes ruchem Browna z B 0 0, a τ, τ 1, τ 2... sa czasem zarzymania spełniajacym wówczas τ() = prawie na pewno wraz z n 0. 0 α 2 (B τ(u), u)du, τ n () = τ n () τ() Dalej będziemy korzysać z innej filracji. Niech 0 α 2 n(b τn(u), u)du G = (G ) 0 < oraz H = (H ) 0 < będą dopełnieniami filracji generowanych przez B oraz X, odpowiednio, gdzie B oraz X o procesy z wierdzenia Definiujemy τ 1 (), odwroność τ jako τ 1 () = inf{u; τ(u) > }, ze zwyczajowo przyjęym inf =. Wówczas τ 1 () jes H - czasem sopowania dla każdego. Co więcej skoro τ jes ciągłe, o τ(τ 1 ()) = τ( ). Lema Niech τ będzie czasem sopowania spełniajacym τ() = 0 α 2 (B τ(u), u)du, 0 dla pewnego ruchu Browna B. Wówczas H = G τ Dowód. Wiemy, że X := B τ() jes G τ() - mierzalny. Sąd Zaś dla zawierania w przeciwną sronę mamy G τ() H. G τ() = σ{b τ() u ; y 0} = σ{x τ 1 (u)} H ponieważ X τ 1 (u) jes H - mierzalne dla każdego u. Lema Niech τ będzie czasem sopowania spełniajacym τ() = 0 α 2 (B τ(u), u)du, 0 dla pewnego ruchu Browna B. Wówczas τ(γ) jes G - czasem sopowania dla każdego H - czasu sopowania γ. Odwronie, każdy G-czas sopowania ρ τ( ) można przedsawić jako ρ = τ(γ) dla pewnego H-czasu sopowania γ. Precyzujac, γ może być zdefiniowana przez γ := inf{u; τ(u) ρ}, czyli jako najmniejsza zmienna losowa spełniajaca ρ = τ(γ). Dowód. Pierwsza część dowodu wynika z {ω; τ(γ) s} = {ω; γ τ 1 (s)} H τ 1 (s) = G τ(τ 1 (s)) = G s τ( ) G s Dla drugiej części zdefiniujmy Wówczas τ(γ) = ρ, oraz γ := inf{u; τ(u) ρ}. {γ s} = {ρ τ(s)} G τ(s) = H s, co pokazuje, że γ jes (H s )-czasem zarzymania. 28

30 4.5 Monooniczność względem volailiy We wzorze Blacka-Scholesa cena opcji europejskiej jes rosnąca względem volailiy. Bardziej ogólnie, jeśli cena insrumenu bazowego zachowuje się zgodnie z 4.1 i funkcja wypłay w chwili T opcji europejskiej jes wypukłą funkcją S T wedy cena w chwili 0 jes rosnąca względem deerminisycznej funkcji volailiy α. Co więcej, wypukła funkcja wypłay jes niezbędna, żeby zachodziła monooniczność. W przypadku opcji amerykańskiej syuacja się zmienia. Jak zosało pokazane w 4.3 wypukła funkcja wypłay gwaranuje monooniczność względem α ale nie jes już jedynym warunkiem gwaranującym monooniczność względem volailiy. Twierdzenie Załóżmy, że α i, i = 1, 2 spełniaja oraz zachodzi jeden z warunków: albo sopa procenowa r = 0 albo funkcja wypłay g spełnia Wedy P ( 0, s; α 1 ) P ( 0, s; α 2 ). 4.6 Time-decay ceny opcji α 1 (s, ) α 2 (s, ) s 0 0 T (4.3) g(as) ag(s) a 1 s (4.4) Własność Time-decay możemy łumaczyć jako wrażliwość warości opcji na wpływ czasu do wygaśnięcia. Jak wiadomo cena opcji amerykańskiej jes rosnącą funkcją czasu T (zwiększa się wówczas zbiór możliwych momenów wykonania). Zarówno w modelu Blacka-Scholesa jak i modelu z volailiy niezależną od czasu σ = σ(s) obserwujemy moonooniczność względem warości T. Dla modelu zależnego od czasu nie jes już ak proso (w ogólności NIE jes o prawda). Zdefiniujmy { 0 jeśli 0 T0 σ() := σ jeśli T 0 T gdzie 0 T 0 T oraz σ > 0 oraz S zdefiniowane wzorem ds = rsd + σ()sd B, S 0 = s. Niech P (s, ) będzię ceną amerykańskiej opcji Pu. Wówczas: P (K, 0) = e rt 0 P (Ke rt 0, T 0 ) < P (Ke rt 0, T 0 ) P (K, T 0 ). Twierdzenie Załóżmy, że r = 0 lub funkcja wypłay g, aka, że P (s, ; α) jes monooniczna względem α (czyli g - wypukła, albo g(as) ag(s) a 1, s). Wówczas dla dowolnego T 0 [0, T ] P (s, 0) e rt 0 P (se rt 0, T 0 ). Dowód. Mając dane α(s, ) zdefiniujmy α 0 (s, ) := { 0 jeśli 0 T0 α(s, ) jeśli T 0 T. 29

31 Zwróćmy uwagę, że jeśli S spełnia ds = rsd + α 0 (S, )d B, S 0 = s, o S rośnie deerminisycznie w przedziale [0, T 0 ]. Wynika sąd, że P (s, 0; α 0 ) e rt 0 P (se rt 0, T 0 ; α 0 ). Korzysając zaś z monooniczności względem volailiy orzymujemy P (s, 0; α) P (s, 0; α 0 ) e rt 0 P (se rt 0, T 0 ; α 0 ) = e rt 0 P (se rt 0, T 0 ; α) Waro zauważyć, że dla r = 0 mamy ime-decay (P (s, 0; α) P (s, T 0 ; α)). 4.7 Ciagłość względem volailiy Przy dowodzie ciągłości względem volailiy zakładać będziemy, że α i α 1, α 2,... spełniają warunki założenia 4.3.1, jednosajnie, czyli z ymi samymi sałymi C K oraz C, a akże, że α n zbiega do α punkowo wraz z n. Dodakowo skorzysamy z poniższego lemau: Lema Niech f, f n : [0, T 0 ] R będa rosnacymi, ciagłymi funkcjami spełniajacymi f(0) = f n (0) = 0. Co więcej zakładamy, że f jes ściśle rosnaca, a f n zbiega punkowo do f. Dla danego punku [0, T 0 ) zdefiniujmy Wówczas n wraz z n. n := inf{u [0, T 0 ] : f n (u) = f()}. Dowód. Dla = 0 nie ma czego dowodzić. Niech (0, T 0 ) oraz weźmy 0 < ɛ < min{t 0, }. Ponieważ f jes ściśle rosnąca, o isnieje δ > 0 aka, że f( + ɛ) f() > δ oraz f() f( ɛ) > δ. Biorąc n wysarczjąco duże by f n ( ± ɛ) f( ± ɛ) < δ orzymujemy nierówność f n ( ɛ) < f() < f n ( + ɛ) co pociąga za sobą nierówność ɛ < n < + ɛ. Ponieważ ɛ było wybrane arbiralnie, lema jes udowodniony. Twierdzenie Załóżmy, że α i α 1, α 2,... spełniaja warunki założenia jednosajnie, g(x) C 1 (1 + x) k dla pewnych C 1 > 0, k > 0 oraz α n (s, ) α(s, ) wraz z n dla każdego s i. Co więcej, załóżmy, że α(x, ) > 0 x > 0. Wówczas lim inf n P (s, 0; α n) P (s, 0; α). Twierdzenie Niech α, α n i g będa jak w wierdzeniu Dodakowo załóżmy, że α jes akie, że X nigdy nie osiaga 0 oraz g jes Holderowsko(p) - ciagłe dla pewnego p > 0. Wówczas lim n P (s, 0; α n ) = P (s, 0; α) 30

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Europejska opcja kupna akcji calloption

Europejska opcja kupna akcji calloption Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI

DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Silniki cieplne i rekurencje

Silniki cieplne i rekurencje 6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1 Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa WYCENA OPCJI EUROPEJSKIEJ I AMERYKAŃSKIEJ W MODELACH DWUMIANOWYCH I TRÓJMIANOWYCH COXA-ROSSA-RUBINSTEINA I JARROWA-RUDDA Joanna Karska W modelach dyskretnych wyceny opcji losowość wyrażana jest poprzez

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa dariusz.sanko@gmail.com lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo

Bardziej szczegółowo

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb) Swap (IRS) i FRA Przykład. Sandardowy swap procenowy Dealer proponuje nasępujące sałe sopy dla sandardowej "plain vanilla" procenowej ransakcji swap. ermin wygaśnięcia Sopa dla obligacji skarbowych Marża

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami

Bardziej szczegółowo

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Maksyminowe strategie immunizacji portfela Alina Kondraiuk-Janyska Maksyminowe sraegie immunizacji porfela rozprawa dokorska Promoor: dr hab. Leszek Zaremba Kaedra Meod Ilościowych Wyższa Szkoła Zarządzania- The Polish Open Universiy Wydział Fizyki

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Wprowadzenie Jednym z aspeków współczesnej ekonomii jes zarządzanie ryzykiem związanym

Bardziej szczegółowo

Finanse. cov. * i. 1. Premia za ryzyko. 2. Wskaźnik Treynora. 3. Wskaźnik Jensena

Finanse. cov. * i. 1. Premia za ryzyko. 2. Wskaźnik Treynora. 3. Wskaźnik Jensena Finanse 1. Premia za ryzyko PR r m r f. Wskaźnik Treynora T r r f 3. Wskaźnik Jensena r [ rf ( rm rf ] 4. Porfel o minimalnej wariancji (ile procen danej spółki powinno znaleźć się w porfelu w a w cov,

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI

Bardziej szczegółowo

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń Sanisław Garska 1 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny Użyeczność bezpośredniej likwidacji szkód (LS) dla klienów zakładów ubezpieczeń Sreszczenie Wprowadzeniu bezpośredniej likwidacji szkód jako produku

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu

Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu Dariusz Zawisza Opymalne sraegie inwesycyjne wobec ryzyka modelu Praca dokorska Insyu Maemayki Wydział Maemayki i Informayki Uniwersye Jagielloński Promoor: dr hab. Armen Edigarian KRAKÓW 1 Spis reści

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Lista 3

Zarządzanie ryzykiem. Lista 3 Zaządzanie yzykiem Lisa 3 1. Oszacowano nasępujący ozkład pawdopodobieńswa dla sóp zwou z akcji A i B (Tabela 1). W chwili obecnej Akcja A ma waość ynkową 70, a akcja B 50 zł. Ile wynosi pięciopocenowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo