Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych"

Transkrypt

1 Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22

2 Plan prezentacji 1 Ryzyko stopy procentowej 2 3 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa 4 5 Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 2/22

3 Solvency II aktywne zarządzanie ryzykiem wymogi kapitałowe modele wewnętrzne badania i zarządzania ryzykiem Ryzyko zakładów ubezpieczeń ryzyko stopy procentowej ryzyko spadku wartości akcji czy obligacji ryzyko wystąpienia szkód, których wielkość odbiega od założeń aktuariusza inne Immunizacja Uodpornienie portfela na zmiany stóp procentowych. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 3/22

4 Solvency II aktywne zarządzanie ryzykiem wymogi kapitałowe modele wewnętrzne badania i zarządzania ryzykiem Ryzyko zakładów ubezpieczeń ryzyko stopy procentowej ryzyko spadku wartości akcji czy obligacji ryzyko wystąpienia szkód, których wielkość odbiega od założeń aktuariusza inne Immunizacja Uodpornienie portfela na zmiany stóp procentowych. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 3/22

5 Solvency II aktywne zarządzanie ryzykiem wymogi kapitałowe modele wewnętrzne badania i zarządzania ryzykiem Ryzyko zakładów ubezpieczeń ryzyko stopy procentowej ryzyko spadku wartości akcji czy obligacji ryzyko wystąpienia szkód, których wielkość odbiega od założeń aktuariusza inne Immunizacja Uodpornienie portfela na zmiany stóp procentowych. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 3/22

6 Oznaczenia {A 1,..., A n } oraz {L 1,..., L n } oznaczają strumienie płatności odpowiednio z aktywów i zobowiązań, zapadających w chwilach 0 t 1 <... < t n, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy bazowej strukturze stóp procentowych (TSIR), s j,h, dla j = 1,..., n, oznacza wartość bieżącą nadwyżki S j = A j L j w chwili t = H przy bazowej TSIR, tzn. gdzie a j,h = A j v j v H s j,h = a j,h l j,h, oraz l j,h = L j v j v H, Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 4/22

7 Oznaczenia {A 1,..., A n } oraz {L 1,..., L n } oznaczają strumienie płatności odpowiednio z aktywów i zobowiązań, zapadających w chwilach 0 t 1 <... < t n, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy bazowej strukturze stóp procentowych (TSIR), s j,h, dla j = 1,..., n, oznacza wartość bieżącą nadwyżki S j = A j L j w chwili t = H przy bazowej TSIR, tzn. gdzie a j,h = A j v j v H s j,h = a j,h l j,h, oraz l j,h = L j v j v H, Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 4/22

8 Oznaczenia {A 1,..., A n } oraz {L 1,..., L n } oznaczają strumienie płatności odpowiednio z aktywów i zobowiązań, zapadających w chwilach 0 t 1 <... < t n, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy bazowej strukturze stóp procentowych (TSIR), s j,h, dla j = 1,..., n, oznacza wartość bieżącą nadwyżki S j = A j L j w chwili t = H przy bazowej TSIR, tzn. gdzie a j,h = A j v j v H s j,h = a j,h l j,h, oraz l j,h = L j v j v H, Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 4/22

9 Oznaczenia {A 1,..., A n } oraz {L 1,..., L n } oznaczają strumienie płatności odpowiednio z aktywów i zobowiązań, zapadających w chwilach 0 t 1 <... < t n, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy bazowej strukturze stóp procentowych (TSIR), s j,h, dla j = 1,..., n, oznacza wartość bieżącą nadwyżki S j = A j L j w chwili t = H przy bazowej TSIR, tzn. gdzie a j,h = A j v j v H s j,h = a j,h l j,h, oraz l j,h = L j v j v H, Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 4/22

10 Oznaczenia V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy TSIR: n V H = s j,h, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, v j s j,h = S j v, dla j = 1,..., n, oznacza bieżącą wartość nadwyżki S j H w chwili t = H przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy zaburzonych stopach procentowych, tj. V H = n s j,h. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 5/22

11 Oznaczenia V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy TSIR: n V H = s j,h, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, v j s j,h = S j v, dla j = 1,..., n, oznacza bieżącą wartość nadwyżki S j H w chwili t = H przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy zaburzonych stopach procentowych, tj. V H = n s j,h. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 5/22

12 Oznaczenia V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy TSIR: n V H = s j,h, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, v j s j,h = S j v, dla j = 1,..., n, oznacza bieżącą wartość nadwyżki S j H w chwili t = H przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy zaburzonych stopach procentowych, tj. V H = n s j,h. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 5/22

13 Oznaczenia V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy TSIR: n V H = s j,h, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, v j s j,h = S j v, dla j = 1,..., n, oznacza bieżącą wartość nadwyżki S j H w chwili t = H przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy zaburzonych stopach procentowych, tj. V H = n s j,h. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 5/22

14 Oznaczenia V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy TSIR: n V H = s j,h, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, v j s j,h = S j v, dla j = 1,..., n, oznacza bieżącą wartość nadwyżki S j H w chwili t = H przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy zaburzonych stopach procentowych, tj. V H = n s j,h. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 5/22

15 Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

16 Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

17 Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

18 Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

19 Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

20 Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

21 Nierówności immunizacyjne Fong & Vasicek (1984) Nawalkha & Chambers (1996) Gajek, Ostaszewski & Zwiesler (2005) Uwaga Zauważmy, że n V H V H V H = s j,h f j,h, gdzie f j,h = v H v j v H v j 1 dla każdego j {1,..., n}. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 7/22

22 Nierówności immunizacyjne Fong & Vasicek (1984) Nawalkha & Chambers (1996) Gajek, Ostaszewski & Zwiesler (2005) Uwaga Zauważmy, że n V H V H V H = s j,h f j,h, gdzie f j,h = v H v j v H v j 1 dla każdego j {1,..., n}. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 7/22

23 Nierówności immunizacyjne Fong & Vasicek (1984) Nawalkha & Chambers (1996) Gajek, Ostaszewski & Zwiesler (2005) Uwaga Zauważmy, że n V H V H V H = s j,h f j,h, gdzie f j,h = v H v j v H v j 1 dla każdego j {1,..., n}. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 7/22

24 Nierówności immunizacyjne Fong & Vasicek (1984) Nawalkha & Chambers (1996) Gajek, Ostaszewski & Zwiesler (2005) Uwaga Zauważmy, że n V H V H V H = s j,h f j,h, gdzie f j,h = v H v j v H v j 1 dla każdego j {1,..., n}. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 7/22

25 Nierówności immunizacyjne Fong & Vasicek (1984) Nawalkha & Chambers (1996) Gajek, Ostaszewski & Zwiesler (2005) Uwaga Zauważmy, że n V H V H V H = s j,h f j,h, gdzie f j,h = v H v j v H v j 1 dla każdego j {1,..., n}. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 7/22

26 Twierdzenie (L.Gajek, E.K., 2013) Oznaczmy s H = (s 1,H,..., s n,h ) oraz f H = (f 1,H,..., f n,h ). Zachodzi nierówność: E V H 1 n EV H n Ef j,h L 2 (s H ) L 2 (f H ), (1) gdzie L 2 (y) = n E y j 1 n n Ey j dla y = (y 1,..., y n ). W dalszej części przyjmujemy H = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 8/22

27 Twierdzenie (L.Gajek, E.K., 2013) Oznaczmy s H = (s 1,H,..., s n,h ) oraz f H = (f 1,H,..., f n,h ). Zachodzi nierówność: E V H 1 n EV H n Ef j,h L 2 (s H ) L 2 (f H ), (1) gdzie L 2 (y) = n E y j 1 n n Ey j dla y = (y 1,..., y n ). W dalszej części przyjmujemy H = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 8/22

28 Model Mertona i 0, a, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest dana wzorem i (t) = i 0 + at + σw t. (2) Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych jest dana wzorem (2), to L 2 (f) = [ n exp( 2i 0t j at 2 j σ2 t 3 j ) v 2 j 1 n ( n ) ] 1 2 exp( i 0t j 1 2 at2 j σ2 t 3 2 j ) v j. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 9/22

29 Model Mertona i 0, a, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest dana wzorem i (t) = i 0 + at + σw t. (2) Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych jest dana wzorem (2), to L 2 (f) = [ n exp( 2i 0t j at 2 j σ2 t 3 j ) v 2 j 1 n ( n ) ] 1 2 exp( i 0t j 1 2 at2 j σ2 t 3 2 j ) v j. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 9/22

30 Model Mertona i 0, a, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest dana wzorem i (t) = i 0 + at + σw t. (2) Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych jest dana wzorem (2), to L 2 (f) = [ n exp( 2i 0t j at 2 j σ2 t 3 j ) v 2 j 1 n ( n ) ] 1 2 exp( i 0t j 1 2 at2 j σ2 t 3 2 j ) v j. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 9/22

31 Model Vasicka a, b, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest silnym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego: di (t) = (a bi (t))dt + σdw t. Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych spełnia założenia modelu Vasicka, to ( L 2 (f) = 1 n ( n [ n exp 2n(0,t j )(i (0) a b ) 2 a b t j +2σ 2 t j 0 v 2 j exp ( n(0,t j )(i (0) a b ) a b t j + σ2 2 ) n 2 (u,t j )du tj )) 2 n 2 (u,t j )du 0 v j ] 1 2, gdzie n(u, t) := [1 exp ( b(t u))] /b. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 10/22

32 Model Vasicka a, b, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest silnym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego: di (t) = (a bi (t))dt + σdw t. Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych spełnia założenia modelu Vasicka, to ( L 2 (f) = 1 n ( n [ n exp 2n(0,t j )(i (0) a b ) 2 a b t j +2σ 2 t j 0 v 2 j exp ( n(0,t j )(i (0) a b ) a b t j + σ2 2 ) n 2 (u,t j )du tj )) 2 n 2 (u,t j )du 0 v j ] 1 2, gdzie n(u, t) := [1 exp ( b(t u))] /b. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 10/22

33 Model Vasicka a, b, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest silnym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego: di (t) = (a bi (t))dt + σdw t. Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych spełnia założenia modelu Vasicka, to ( L 2 (f) = 1 n ( n [ n exp 2n(0,t j )(i (0) a b ) 2 a b t j +2σ 2 t j 0 v 2 j exp ( n(0,t j )(i (0) a b ) a b t j + σ2 2 ) n 2 (u,t j )du tj )) 2 n 2 (u,t j )du 0 v j ] 1 2, gdzie n(u, t) := [1 exp ( b(t u))] /b. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 10/22

34 Model logarytmicznie normalny zaburzone stopy procentowe r 1,..., r n są niezależnymi zmiennymi losowymi, 1 + r k, k = 1,..., n, ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami skali i kształtu odpowiednio µ k i σ k. Jeżeli po zaburzeniach TSIR stopy procentowe spełniają założenia modelu logarytmicznie normalnego, to [ n L 2 (f) = 1 j v 2 k=1 exp ( 2(σk 2 µ k) ) j ( n 1 n 1 j v j k=1 exp ( 1 2 σ2 k µ k) ) ] Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 11/22

35 Model logarytmicznie normalny zaburzone stopy procentowe r 1,..., r n są niezależnymi zmiennymi losowymi, 1 + r k, k = 1,..., n, ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami skali i kształtu odpowiednio µ k i σ k. Jeżeli po zaburzeniach TSIR stopy procentowe spełniają założenia modelu logarytmicznie normalnego, to [ n L 2 (f) = 1 j v 2 k=1 exp ( 2(σk 2 µ k) ) j ( n 1 n 1 j v j k=1 exp ( 1 2 σ2 k µ k) ) ] Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 11/22

36 Model logarytmicznie normalny zaburzone stopy procentowe r 1,..., r n są niezależnymi zmiennymi losowymi, 1 + r k, k = 1,..., n, ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami skali i kształtu odpowiednio µ k i σ k. Jeżeli po zaburzeniach TSIR stopy procentowe spełniają założenia modelu logarytmicznie normalnego, to [ n L 2 (f) = 1 j v 2 k=1 exp ( 2(σk 2 µ k) ) j ( n 1 n 1 j v j k=1 exp ( 1 2 σ2 k µ k) ) ] Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 11/22

37 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Będziemy rozważać ubezpieczenia terminowe. Oznaczenia t j = j 1 dla j {1,..., n + 1}, Π j 0, j = 1,..., n, oznacza składkę wpłacaną w momencie t j, jeżeli ubezpieczony żyje, Π n+1 = 0, B j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony umarł w okresie (t j 1, t j ], B 1 = 0, G j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony żyje, G 1 = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 12/22

38 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Będziemy rozważać ubezpieczenia terminowe. Oznaczenia t j = j 1 dla j {1,..., n + 1}, Π j 0, j = 1,..., n, oznacza składkę wpłacaną w momencie t j, jeżeli ubezpieczony żyje, Π n+1 = 0, B j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony umarł w okresie (t j 1, t j ], B 1 = 0, G j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony żyje, G 1 = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 12/22

39 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Będziemy rozważać ubezpieczenia terminowe. Oznaczenia t j = j 1 dla j {1,..., n + 1}, Π j 0, j = 1,..., n, oznacza składkę wpłacaną w momencie t j, jeżeli ubezpieczony żyje, Π n+1 = 0, B j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony umarł w okresie (t j 1, t j ], B 1 = 0, G j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony żyje, G 1 = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 12/22

40 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Będziemy rozważać ubezpieczenia terminowe. Oznaczenia t j = j 1 dla j {1,..., n + 1}, Π j 0, j = 1,..., n, oznacza składkę wpłacaną w momencie t j, jeżeli ubezpieczony żyje, Π n+1 = 0, B j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony umarł w okresie (t j 1, t j ], B 1 = 0, G j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony żyje, G 1 = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 12/22

41 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Będziemy rozważać ubezpieczenia terminowe. Oznaczenia t j = j 1 dla j {1,..., n + 1}, Π j 0, j = 1,..., n, oznacza składkę wpłacaną w momencie t j, jeżeli ubezpieczony żyje, Π n+1 = 0, B j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony umarł w okresie (t j 1, t j ], B 1 = 0, G j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony żyje, G 1 = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 12/22

42 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Oznaczenia x oznacza wiek osoby ubezpieczanej w chwili zawierania umowy, K oznacza liczbę pełnych lat życia pozostałych ubezpieczonemu, tp x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje t lat, tq x oznacza prawdopodobieństowo, że osoba w wieku x umrze w ciągu t lat. Nierówność immunizacyjna Załóżmy, że EV = 0. Wówczas zachodzi nierówność E V L 2 (s) L 2 (f). Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 13/22

43 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Oznaczenia x oznacza wiek osoby ubezpieczanej w chwili zawierania umowy, K oznacza liczbę pełnych lat życia pozostałych ubezpieczonemu, tp x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje t lat, tq x oznacza prawdopodobieństowo, że osoba w wieku x umrze w ciągu t lat. Nierówność immunizacyjna Załóżmy, że EV = 0. Wówczas zachodzi nierówność E V L 2 (s) L 2 (f). Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 13/22

44 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Oznaczenia x oznacza wiek osoby ubezpieczanej w chwili zawierania umowy, K oznacza liczbę pełnych lat życia pozostałych ubezpieczonemu, tp x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje t lat, tq x oznacza prawdopodobieństowo, że osoba w wieku x umrze w ciągu t lat. Nierówność immunizacyjna Załóżmy, że EV = 0. Wówczas zachodzi nierówność E V L 2 (s) L 2 (f). Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 13/22

45 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Oznaczenia x oznacza wiek osoby ubezpieczanej w chwili zawierania umowy, K oznacza liczbę pełnych lat życia pozostałych ubezpieczonemu, tp x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje t lat, tq x oznacza prawdopodobieństowo, że osoba w wieku x umrze w ciągu t lat. Nierówność immunizacyjna Załóżmy, że EV = 0. Wówczas zachodzi nierówność E V L 2 (s) L 2 (f). Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 13/22

46 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Oznaczenia x oznacza wiek osoby ubezpieczanej w chwili zawierania umowy, K oznacza liczbę pełnych lat życia pozostałych ubezpieczonemu, tp x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje t lat, tq x oznacza prawdopodobieństowo, że osoba w wieku x umrze w ciągu t lat. Nierówność immunizacyjna Załóżmy, że EV = 0. Wówczas zachodzi nierówność E V L 2 (s) L 2 (f). Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 13/22

47 Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Twierdzenie Dla produktu ze strumieniem składek {Π j } oraz strumieniami świadczeń {B j } oraz {G j } zachodzi wzór L 2 (s) = n+1 ( (Π j G j ) 2 vj 2 j 1 p x + Bj 2v j 2 j 2 p x q x+j 2 ). (3) Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 14/22

48 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Twierdzenie L 2 (s) = n+1 ( (Π j G j ) 2 vj 2 j 1 p x + Bj 2v j 2 j 2 p x q x+j 2 ). Dowód. Zauważmy, że dla każdego j = 1,..., n + 1 mamy s j = (Π j v j G j v j ) 1l(j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 1l(j 1 = K + 1) Esj 2 = (Π j v j G j v j ) 2 P (j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 2 P (j 1 = K + 1) = (Π j v j G j v j ) 2 j 1 p x + ( B j v j ) 2 j 2 p x q x+j 2. Po zastosowaniu powyższych obliczeń do wzoru L 2 (s) = otrzymujemy tezę. n+1 Es2 j Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 15/22

49 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Twierdzenie L 2 (s) = n+1 ( (Π j G j ) 2 vj 2 j 1 p x + Bj 2v j 2 j 2 p x q x+j 2 ). Dowód. Zauważmy, że dla każdego j = 1,..., n + 1 mamy s j = (Π j v j G j v j ) 1l(j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 1l(j 1 = K + 1) Esj 2 = (Π j v j G j v j ) 2 P (j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 2 P (j 1 = K + 1) = (Π j v j G j v j ) 2 j 1 p x + ( B j v j ) 2 j 2 p x q x+j 2. Po zastosowaniu powyższych obliczeń do wzoru L 2 (s) = otrzymujemy tezę. n+1 Es2 j Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 15/22

50 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Twierdzenie L 2 (s) = n+1 ( (Π j G j ) 2 vj 2 j 1 p x + Bj 2v j 2 j 2 p x q x+j 2 ). Dowód. Zauważmy, że dla każdego j = 1,..., n + 1 mamy s j = (Π j v j G j v j ) 1l(j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 1l(j 1 = K + 1) Esj 2 = (Π j v j G j v j ) 2 P (j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 2 P (j 1 = K + 1) = (Π j v j G j v j ) 2 j 1 p x + ( B j v j ) 2 j 2 p x q x+j 2. Po zastosowaniu powyższych obliczeń do wzoru L 2 (s) = otrzymujemy tezę. n+1 Es2 j Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 15/22

51 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci ubezpieczonego, jeżeli umrze on w okresie objętym umową. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {G j }. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 16/22

52 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci ubezpieczonego, jeżeli umrze on w okresie objętym umową. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {G j }. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 16/22

53 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci ubezpieczonego, jeżeli umrze on w okresie objętym umową. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {G j }. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 16/22

54 Ubezpieczenie na dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku n, o ile ubezpieczony przeżył n lat. Wniosek L 2 n (s) = Π 2 j v j 2 j 1 p x + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {B j } oraz strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 17/22

55 Ubezpieczenie na dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku n, o ile ubezpieczony przeżył n lat. Wniosek L 2 n (s) = Π 2 j v j 2 j 1 p x + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {B j } oraz strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 17/22

56 Ubezpieczenie na dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku n, o ile ubezpieczony przeżył n lat. Wniosek L 2 n (s) = Π 2 j v j 2 j 1 p x + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {B j } oraz strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 17/22

57 Ubezpieczenie na życie i dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu n lat objętych umową, lub na koniec roku n, jeżeli ubezpieczony przeżyje ten okres. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1 + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru na L 2 (s) ze strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 18/22

58 Ubezpieczenie na życie i dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu n lat objętych umową, lub na koniec roku n, jeżeli ubezpieczony przeżyje ten okres. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1 + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru na L 2 (s) ze strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 18/22

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:

Bardziej szczegółowo

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci 1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli

Bardziej szczegółowo

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut Warszawa, 6

Bardziej szczegółowo

LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.

LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Koisja Egzainacyjna dla Aktuariuszy LV Egzain dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część II Mateatyka ubezpieczeń życiowych Iię i nazwisko osoby egzainowanej:... Czas egzainu: 100 inut Warszawa, 13 grudnia

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski

Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................

Bardziej szczegółowo

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń Ŝyciowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 21 maja 2015 r. Poz. 700 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 23 kwietnia 2015 r. w sprawie egzaminu aktuarialnego Na podstawie art. 166 ust.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Opis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD GOLDEN edition

Opis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD GOLDEN edition Opis produktu Ubezpieczenie na życie i dożycie NORD GOLDEN edition to grupowe ubezpieczenie ze składką w PLN, płatną jednorazowo, w którym ochrony ubezpieczeniowej udziela MetLife Towarzystwo Ubezpieczeń

Bardziej szczegółowo

Karta Produktu. Ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ

Karta Produktu. Ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ Klient: Jan Kowalski Karta Produktu Ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ Ubezpieczyciel: Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie ABC S.A. Agent ubezpieczeniowy: Zbigniew Nowak Karta

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko Jajuga Krzysztof, Jajuga Teresa SPIS TREŚCI Przedmowa Wprowadzenie - badania w zakresie inwestycji i finansów Literatura Rozdział 1. Rynki i instrumenty finansowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Karta Produktu. zgodna z Rekomendacją PIU. dla ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ

Karta Produktu. zgodna z Rekomendacją PIU. dla ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ Karta Produktu zgodna z Rekomendacją PIU dla ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ Ubezpieczony Klient: Jan Kowalski Ubezpieczyciel: Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie ABC S.A.

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Karta informacyjna lokaty strukturyzowanej

Karta informacyjna lokaty strukturyzowanej Karta informacyjna lokaty strukturyzowanej Lokata strukturyzowana WIGwam w pigułce: Strategia pozwalająca zyskać na wzroście indeksu WIG20 Okres inwestycji 1 rok Brak podatku od zysków kapitałowych Partycypacja

Bardziej szczegółowo

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2 II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014 Zadanie 2 1/ Analizowane są dwie spółki Alfa i Gamma. Spółka Alfa finansuje swoją działalność nie korzystając z długu, natomiast spółka Gamma finansuje

Bardziej szczegółowo

Ryzyko stopy procentowej

Ryzyko stopy procentowej Ryzyko stopy procentowej Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 37 1. Ryzyko inwestowania w obligacje inwestycja w obligacje jest obarczona ryzykiem trzy podstawowe rodzaje ryzyka związane z inwestowaniem

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Karta Produktu dla ubezpieczenia na życie i dożycie z Ubezpieczeniowym Funduszem Kapitałowym Nowa Czysta Energia Zysku

Karta Produktu dla ubezpieczenia na życie i dożycie z Ubezpieczeniowym Funduszem Kapitałowym Nowa Czysta Energia Zysku Niniejszy dokument stanowi przykład Karty Produktu przygotowanej w związku z VI subskrypcją ubezpieczenia na życie i dożycie z UFK Nowa Czysta Energia Zysku, uwzględniający kwotę w wysokości 10 tys. zł.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

KURS DORADCY FINANSOWEGO

KURS DORADCY FINANSOWEGO KURS DORADCY FINANSOWEGO Przykładowy program szkolenia I. Wprowadzenie do planowania finansowego 1. Rola doradcy finansowego Definicja i cechy doradcy finansowego Oczekiwania klienta Obszary umiejętności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

lokata ze strukturą Czarne Złoto

lokata ze strukturą Czarne Złoto lokata ze strukturą Czarne Złoto Lokata ze strukturą Czarne Złoto jest produktem łączonym. Składa się z lokaty promocyjnej i produktu strukturyzowanego Czarne Złoto inwestycji w formie ubezpieczenia na

Bardziej szczegółowo

Wytyczne dotyczące metody opartej na ocenie ze względu na pierwotne ryzyko

Wytyczne dotyczące metody opartej na ocenie ze względu na pierwotne ryzyko EIOPA-BoS-14/171 PL Wytyczne dotyczące metody opartej na ocenie ze względu na pierwotne ryzyko EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1-60327 Frankfurt Germany - Tel. + 49 69-951119-20; Fax. + 49 69-951119-19;

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Co powinna zawierać obligacja?

Co powinna zawierać obligacja? OBLIGACJE Obligacja Jest papierem wartościowym typu wierzytelnościowego, czyli jedna strona, zwana emitentem, stwierdza, że jest dłużnikiem drugiej strony (zwanej obligatariuszem) i zobowiązuje się wobec

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Wytyczne dotyczące metody opartej na ocenie ze względu na pierwotne ryzyko

Wytyczne dotyczące metody opartej na ocenie ze względu na pierwotne ryzyko EIOPA-BoS-14/171 PL Wytyczne dotyczące metody opartej na ocenie ze względu na pierwotne ryzyko EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1-60327 Frankfurt Germany - Tel. + 49 69-951119-20; Fax. + 49 69-951119-19;

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 30 grudnia 2015 r. Poz. 2321 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 23 grudnia 2015 r.

Warszawa, dnia 30 grudnia 2015 r. Poz. 2321 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 23 grudnia 2015 r. DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 30 grudnia 2015 r. Poz. 2321 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 23 grudnia 2015 r. w sprawie szczegółowego sposobu obliczania podstawowego

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW1) z dnia 23 maja 2011 r. w sprawie rocznych i półrocznych sprawozdań ubezpieczeniowego funduszu kapitałowego

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW1) z dnia 23 maja 2011 r. w sprawie rocznych i półrocznych sprawozdań ubezpieczeniowego funduszu kapitałowego Dziennik Ustaw Nr 115 6974 Elektronicznie podpisany przez Jaroslaw Deminet Data: 2011.06.07 14:45:36 +02'00' Poz. 666 666 w. rcl.go v.p l ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW1) z dnia 23 maja 2011 r. w sprawie

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku

Bardziej szczegółowo

PION NADZORU UBEZPIECZENIOWO-EMERYTALNEGO DEPARTAMENT MONITOROWANIA RYZYK

PION NADZORU UBEZPIECZENIOWO-EMERYTALNEGO DEPARTAMENT MONITOROWANIA RYZYK METODYKA PRZEPROWADZANIA TESTÓW STRESU W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ I W ZAKŁADACH REASEKURACJI ZA 2010 ROK URZĄD KOMISJI NADZORU FINANSOWEGO WARSZAWA, LUTY 2011 PION NADZORU UBEZPIECZENIOWO-EMERYTALNEGO DEPARTAMENT

Bardziej szczegółowo

Autor: Agata Świderska

Autor: Agata Świderska Autor: Agata Świderska Optymalizacja wielokryterialna polega na znalezieniu optymalnego rozwiązania, które jest akceptowalne z punktu widzenia każdego kryterium Kryterium optymalizacyjne jest podstawowym

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Ubezpieczenia życiowe Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: Wykład i seminarium Matematyka Poziom kwalifikacji:

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19 Spis treści Ze świata biznesu............................................................ 13 Przedmowa do wydania polskiego.............................................. 15 Wstęp.......................................................................

Bardziej szczegółowo

Perspektywy wejścia na rynki zagraniczne - odejście od schematu współpracy z ubezpieczycielem. Program Rozwoju Eksportu.

Perspektywy wejścia na rynki zagraniczne - odejście od schematu współpracy z ubezpieczycielem. Program Rozwoju Eksportu. Perspektywy wejścia na rynki zagraniczne - odejście od schematu współpracy z ubezpieczycielem Program Rozwoju Eksportu. Współpraca z ubezpieczycielem profilaktyka i niwelowanie strat tradycyjna rola ubezpieczyciela

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Jak działa ubezpieczenie na życie z ubezpieczeniowymi funduszami kapitałowymi?

Jak działa ubezpieczenie na życie z ubezpieczeniowymi funduszami kapitałowymi? Indywidualne ubezpieczenie na życie z ubezpieczeniowymi funduszami kapitałowymi Złoty Środek Pytania i odpowiedzi Jak działa ubezpieczenie na życie z ubezpieczeniowymi funduszami kapitałowymi? Umowa ubezpieczenia

Bardziej szczegółowo

(w zł) Okres poprzedni Okres bieżący I. Aktywa 0,00 1 712,82 1. Lokaty 0,00 1 463,37 2. Środki pieniężne 0,00 0,00

(w zł) Okres poprzedni Okres bieżący I. Aktywa 0,00 1 712,82 1. Lokaty 0,00 1 463,37 2. Środki pieniężne 0,00 0,00 I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU (w zł) Okres poprzedni Okres bieżący I. Aktywa 0,00 1 712,82 1. Lokaty 0,00 1 463,37 2. Środki pieniężne 0,00 0,00 3. Aktywa za zezwoleniem organu nadzoru, zgodnie z art.

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ GODZIWA W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ W ŚWIETLE NADCHODZĄCYCH ZMIAN

WARTOŚĆ GODZIWA W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ W ŚWIETLE NADCHODZĄCYCH ZMIAN Ewa Spigarska Uniwersytet Gdański WARTOŚĆ GODZIWA W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ W ŚWIETLE NADCHODZĄCYCH ZMIAN Wprowadzenie Jednym z głównych obszarów nadzoru nad działalnością ubezpieczeniową jest sprawozdawczość

Bardziej szczegółowo

I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU w zł Okres poprzedni okres bieżący 31.12.2013 31.12.2014 I Aktywa. 1 027 436,74 918 272,53 1.

I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU w zł Okres poprzedni okres bieżący 31.12.2013 31.12.2014 I Aktywa. 1 027 436,74 918 272,53 1. I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU w zł Okres poprzedni okres bieżący 31.12013 I Aktywa 1. Lokaty Środki pieniężne Aktywa za zezwoleniem organu nadzoru, zgodnie z art. 154 ust.9 ustawy z dnia 22 maja 2003r.

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ

WYKŁAD 2. Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ WYKŁAD 2 Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ 1. Istota, pojęcie i podstawy tworzenia rezerw Rezerwy w rachunkowości to potencjalne

Bardziej szczegółowo

Listopad 2011. Nowa Perspektywa II subskrypcja produktu

Listopad 2011. Nowa Perspektywa II subskrypcja produktu Listopad 2011 Nowa Perspektywa II subskrypcja produktu Nowa Perspektywa - charakterystyka produktu Ubezpieczenie z elementami inwestycji Nowa Perspektywa to ubezpieczenia na życie i dożycie z Ubezpieczeniowym

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.10.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

Matematyka finansowa 04.10.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Komisa Egzaminacyna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowane:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU w zł Okres poprzedni okres bieżący 31.12.2013 31.12.2014 I Aktywa. 373 795,60 3 007 469,18 1.

I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU w zł Okres poprzedni okres bieżący 31.12.2013 31.12.2014 I Aktywa. 373 795,60 3 007 469,18 1. I. WARTOŚĆ AKTYWÓW NETTO FUNDUSZU w zł Okres poprzedni okres bieżący 312013 I Aktywa Lokaty Środki pieniężne Aktywa za zezwoleniem organu nadzoru, zgodnie z art. 154 ust.9 ustawy z dnia 22 maja 2003r.

Bardziej szczegółowo