O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH

Transkrypt

1 O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE

2 Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych stopach procentowych. Założymy, mamy zadaną strukturę terminową stóp procentowych wyznacza się ją na podstawie rynkowych cen papierów dłużnych. Wybierzmy ciąg chwil czasu (konkretne daty): t 0, t 1,, t N, chwilę t 0 będziemy utożsamiać z początkiem inwestycji, a chwilę t N = T z końcem. W szczególnym przypadku ciąg będzie nieskończony. Przyjmiemy dodatkowo, że odstępy czasu pomiędzy wybranymi datami nie są jednakowe i będziemy je oznaczać symbolami: t i 1 = t i t i 1. Wprowadzamy konwencję, iż odstępy czasu będą wyrażane w latach, a wszystkie stopy będą nominalne - odniesione do roku. Stopy natychmiastowe, dotyczące inwestycji zaczynających się w chwili bieżącej t 0 i kończącej się w chwili przyszłej t i oznaczać będziemy symbolami: r 0i. Stopy terminowe związane z inwestycjami pomiędzy chwilami t i oraz t j (j > i) oznaczać będziemy symbolami: f ij. 2

3 Krzywa dochodowości r 0j r 0i r 01 t 0 t 1 t 2 t i t j t 3

4 Krzywa dochodowości W praktyce powyższa krzywa nazywa się normalną, jednak występują również inne kształty krzywych dochodowości: płaska i odwrócona. W pierwszym przypadku nominalna stopa inwestycji nie zależy od czasu jej trwania. Natomiast krzywa odwrócona charakteryzuje się tym, że im dłuższy okres inwestycji tym stopy nominalne są mniejsze. Taki typ krzywej dochodowości pojawia się na przykład w sytuacji, gdy występuje duża inflacja i bank centralny podejmuje działania mające na celu jej zmniejszenie. Jednak inwestorzy muszą wierzyć, że działania powiodą się. W dalszej części wykładu będziemy zakładali normalną lub płaską. Rozważmy różne schematy inwestycji, modelowo polegające na depozytach z różnymi terminami, przykłady z uwzględnieniem stóp procentowych pokazuje rysunek. 4

5 Krzywa dochodowości t 0 t 1 t 2 t i t j r 01 f 12 r 02 r 0i f ij r 0j 5

6 Krzywa dochodowości Stopy natychmiastowe są znane, gdyż są obserwowane w formie cen rynkowych instrumentów dłużnych. Problemem jest znajomość stóp terminowych, gdyż one wpływają na decyzje, czy inwestycja ma być jednorazowa, czy kilkuetapowa. Jedna z najbardziej skutecznych idei obowiązujących na rynkach finansowych będących w równowadze zasada braku arbitrażu, uzasadnia następujące równanie pomiędzy stopami natychmiastowymi i terminowymi: i k=1 1 + r 0i t k 1 j k=i f ij t k 1 = j k=1 1 + r 0j t k 1 6

7 Krzywa dochodowości Skąd otrzymujemy równanie pozwalające wyznaczyć stopy terminowe (najczęściej w sposób przybliżony): j j 1 + f ij t k 1 = k=1 i k=1 1 + r 0j t k r k=i+1 0i t k 1 W przypadku płaskiej krzywej dochodowości stopy terminowe i natychmiastowe są sobie równe. Przy wycenie obligacji kluczową rolę odgrywają stopy terminowe jednookresowe, wówczas równanie (2) pozwala wyznaczyć ich ścisłą wartość i jest ona równa: f i 1i = 1 t i 1 i k=1 1 + r 0i t k 1 i r 0i 1 t k 1 k=1 7

8 Załóżmy, że mamy do czynienia z papierem wartościowym, który w przyszłości, w chwilach t 1,, t N wypłacać będzie kwoty opisane strumieniami (wypłatami w skali rocznej) h i 1i odnoszącymi się do okresu t i 1. Wypłata następować będzie w chwilach t i czyli z dołu. Kwoty wypłat będą równe: h i 1i t i 1. Wycena następuje w chwili obecnej t 0. Jeżeli P M jest wartością nominalną instrumentu dłużnego, to wartość wewnętrzna, zdefiniowana jako bieżąca wartość przyszłych przepływów finansowych, jest równa: N h i 1i t i 1 P M P t0 T = + i N i=1 k=1 1 + r 0i t k 1 k=1 1 + r 0N t k 1 Oznaczenie wartości wewnętrznej P t0 T uwzględnia moment wyceny i datę wykupu obligacji, zatem jest to obligacja T t 0 terminowa. 8

9 Podane wyrażenie nie zawiera żadnych założeń upraszczających pojawiających się w literaturze. Interpretacja wymaga reinwestycji wypłacanych odsetek, co widać, gdy pomnożymy podane wyrażenie przez i=1 N 1 + r 0N t i 1 i skorzystamy z definicji stóp terminowych f ij. Wówczas poprzedni związek przyjmuje równoważną postać: N P t0 T i=1 Zatem, wartość wewnętrzna P t0 T N N 1 + r 0N t i 1 = h i 1i t i f i+1n t k 1 + P M i=1 k=i+1 jest kwotą, której przyszła wartość jest równa przyszłej wartości deponowanych odsetek h i 1i t i 1, przy stopach terminowych f i+1n nominalnej P M. i wartości 9

10 W praktyce używa się pojęcia stopy odsetkowej (kuponowej) zamiast strumienia odsetek, związek między tymi wielkościami jest bardzo prosty i wyraża się następująco: s i 1i = h i 1i P M Wyrażając wartość wewnętrzną poprzez stopy kuponowe można otrzymać wyrażenie postaci: P t0 T P M 1 = N i=1 si 1i f i 1i t i 1 i k=1 1 + r 0i t k 1 10

11 a stopy kuponowe W praktyce najczęściej spotyka się dwa rodzaje obligacji kuponowych o stałym i o zmiennym oprocentowaniu. W tym drugim przypadku kupon zależy od stóp terminowych, analiza konstrukcji różnych obligacji pokazuje, że uzasadnione jest przyjęcie następującej zależności: s i 1i = s + pf i 1i W szczególności otrzymujemy: s = 0, p = 0 obligacje zerokuponowe s > 0, p = 0 obligacje o stałym kuponie s > 0, p = 1 obligacje o kuponie addytywnym s = 0, p > 0 obligacje o kuponie multiplikatywnym Wszystkie tego typu obligacje występują na rynku finansowym, również w Polsce. 11

12 a stopy kuponowe Korzystając z przyjętej relacji pomiędzy stopą kuponową i stopami terminowymi otrzymamy następującą postać wartości wewnętrznej obligacji: N P t0 T t i = s + p 1 1 P i N M i=1 k=1 1 + r 0i t k 1 k=1 1 + r 0N t k 1 Związek ten w jawny sposób uzależnia wartość wewnętrzną od parametrów konstrukcyjnych obligacji. Rozważmy przypadek, gdy s = 0, wtedy w powyższym wzorze pozostaje drugi składnik, jeśli dodatkowo założymy, że p > 1, co często ma miejsce w praktyce. Wartość wewnętrzna ma wówczas postać: 12

13 anomalne ryzyko stopy procentowej P t0 T 1 1 = p 1 1 P N M k=1 1 + r 0N t k 1 Powszechnie wygłaszane stwierdzenie, że wartość wewnętrzna (cena) jest malejącą funkcja stóp procentowych okazuje się nie do końca prawdziwe. Łatwo zauważyć, że wyżej podana wartość wewnętrzna jest rosnącą funkcją stóp procentowych. Fakt ten wynika bezpośrednio stąd, że stopy kuponowe są funkcjami stóp procentowych (terminowych). Stwierdzenie mówiące o wartości wewnętrznej, jako o malejącej funkcji stóp procentowych, oparte jest na wyjściowym wzorze na wartość wewnętrzną, jednak ignoruje się wówczas fakt, że w rzeczywistości strumień odsetek jest funkcją stóp procentowych. P t0 T = N i=1 h i 1i t i 1 + i 1 + r 0i t k 1 k=1 N k=1 P M 1 + r 0N t k 1 13

14 anomalne ryzyko stopy procentowej Warto również zwrócić uwagę na to, że w rozważanym przypadku s = 0 wartość wewnętrzna zależy jedynie od stopy natychmiastowej związanej z terminem wykupu obligacji r 0N i to w postaci, która nie pozostawia wątpliwości dotyczących własności asymptotycznych (gdy p 1)). Wyjątkiem jest przypadek p = 1, wówczas mamy do czynienia z funkcją stałą. Jakościowo zależność P t0 T od stopy r 0N można przedstawić rysunkiem. 14

15 Wartość wewnętrzna anomalne ryzyko stopy procentowej pp M, p > 1 p = 1 pp M, p < 1 r 0N 15

16 anomalne ryzyko stopy procentowej Dodatkowo otrzymujemy oszacowania wartości wewnętrznych, a mianowicie: P t0 T < pp M gdy p > 1 P t0 T > pp M gdy p < 1 Takie oszacowania mają znaczenie praktyczne i wpływają na decyzje inwestorów w zależności od oczekiwań dotyczących zmian stóp procentowych (spadek lub wzrost). Jednak należy pamiętać, że stopy procentowe nigdy nie szybują do nieskończoności, dlatego podane oszacowania są znacznie przesadzone. Jednak monotoniczność wartości wewnętrznej wpływa na popyt i podaż na obligacje. 16

17 anomalne ryzyko stopy procentowej Na przykład: Jeśli p > 1 to oczekując wzrostu stóp procentowych inwestorzy będą generować popyt oczekując wzrostu ceny obligacji, tym samym będą sprzedawać obligacje z parametrem p < 1. Zachowanie inwestorów będzie odwrotne, gdy będą oczekiwać spadku stóp procentowych: będą sprzedawać obligacje z p > 1 i kupować z p < 1. Podobną analizę można przeprowadzić biorąc pod uwagę termin do wykupu. 17

18 Dziękuję za uwagę 18