Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu"

Transkrypt

1 Dariusz Zawisza Opymalne sraegie inwesycyjne wobec ryzyka modelu Praca dokorska Insyu Maemayki Wydział Maemayki i Informayki Uniwersye Jagielloński Promoor: dr hab. Armen Edigarian KRAKÓW 1

2 Spis reści Wsęp 3 Rozdział 1. Podsawowe faky, oznaczenia i sformułowanie zagadnienia Oznaczenia, definicje i podsawowe rezulay Sformułowanie zagadnienia i meoda rozwiązania Równania Hamilona Jacobiego Bellmana Isaaca i wierdzenia weryfikacyjne 17 Rozdział. Punk siodłowy dla użyeczności ypu HARA 5.1. Rozwiązanie dla γ 5.. Ograniczenia porfelowe Funkcja logarymiczna 3.4. Modyfikacje i rozszerzenia problemu 34 Rozdział 3. Użyeczność ypu CARA oraz problem Markowiza Preferencje ypu CARA Sraegie odporne w modelu Markowiza 41 Rozdział 4. Problem inwesycyjny z nieskończonym horyzonem czasowym Sformułowanie problemu i wierdzenia weryfikacyjne Rozwiązanie problemu dla użyeczności ypu HARA 5 Rozdział 5. Rozwiązania klasyczne wybranych nieliniowych równań cząskowych Podsawowe faky doyczące parabolicznych równań różniczkowych cząskowych Równania paraboliczne Równania elipyczne 58 Bibliografia 63

3 Wsęp Moywacja. Niepewność i losowość jes nieodłączną częścią oaczającej nas rzeczywisości. Pojawia się ona w układach fizycznych, bilogicznych, ale również i w ekonomiczno-finansowych. Decyden musi w opymalny sposób wpływać na aki układ, aby osiągnąć pożądany skuek. Teoria sochasycznego serowania jes odpowiednim narzędziem do rozwiązywania problemów decyzyjnych ego ypu. Taka syuacja doyczy również rynków inwesycyjnych. Zaczynając od prac Merona [3] wyszukane meody eorii sochasycznego serowania zosały rozwinięe w celu poszukiwania opymalnej sraegii inwesycyjnej. Wspomniana eoria wykorzysuje pojęcie funkcji użyeczności saysfakcji mierzącej sopień zadowolenia inwesora z posiadanego dobra. Inwesor buduje sochasyczny model rynku finansowego i w danym modelu wybiera sraegię inwesycyjną, kóra maksymalizuje oczekiwaną użyeczność przyszłej warości porfela. Bardziej precyzyjnie inwesor maksymalizuje funkcjonał X E P UX. Częso jednak pomijano milczeniem fak, że informacje doyczące modelu rynku finansowego mają charaker saysyczny. Paramery modelu są esymowane z danych hisorycznych, w związku z ym w decyzjach inwesycyjnych należy również uwzględnić ryzyko płynące z ich niedokładności. Zdarzały się bowiem w hisorii duże sray różnorodnych insyucji finansowych spowodowane właśnie złym doborem modelu. Jako pierwszy na porzebę odróżnienia ryzyka modelu niepewności od ryzyka związanego z konkrenym modelem probablisycznym, zwrócił uwagę Knigh [19]. Ellsberg [6] naomias dosraczył dowodów empirycznych powierdzających iż dokonując wyborów decydenci nie kierują się posacią wyłącznie jednego modelu probablisycznego. Wśród różnych pomysłów uwzględnienia ryzyka modelu w opymalizacji, największą popularność zdobyła meoda minimaksowa, nosząca również nazwę opymalizacji odpornej. Meoda a polega na wyznaczeniu rodziny miar probablisycznych Q, wyznaczających zakres popełnionego przy konsrukcji modelu błędu i posługując się kryerium najgorszego możliwego scenariusza dążeniu do maksymalizacji funkcjonału odpornego X inf Q Q EQ UX. Okazało się również, że można podać aksjomayczną definicję relacji X Y inf Q Q EQ UX inf Q Q EQ UY Gilboa i Schmeidler [1], w sposób analogiczny do aksjomaycznej definicji relacji X Y E Q UX E Q UY wprowadzonej przez Morgenserna i von Neumanna. 3

4 Niniesza praca jes poświęcona sraegiom minimaksowym. Badania prowadzone są w modelu sanowiącym uogólnienie modelu Blacka-Scholesa. Rynek finansowy jes wyznaczony przez proces dyfuzji, kórego współczynniki zależne są od obserwowalnego czynnika, kóry nie jes przedmioem obrou giełdowego. Model obejmuje w szczególności modele sochasycznej zmienności, modele krókoerminowej sopy procenowej oraz modele cen surowców energeycznych. 4 Przegląd lieraury. Pierwszy ważny krok w zagadnieniach doyczących poszukiwania opymalnej sraegii inwesycyjnej zosał wykonany przez Markowiza [1] w roku 195. Opymalnymi nazwał on e sraegie, dla kórych sopa zwrou z prorfela ma najmniejszą wariancję wśród ych o usalonej oczekiwnej sopie zwrou. Była o jednak opymalizacja sayczna, co oznacza, że porfel nie zmieniał się od począku inwesycji aż do jej końca. Przełomu dokonał Meron [3], [4], kóry sformułował zagadnienie dynamiczne, w kórym porfel może się zmieniać w każdym momencie rwania inwesycji. Według eorii zbudowanej przez niego sraegia opymalna o aka, kór maksymalizuje oczekiwaną użyeczność warości porfela. Wraz z pojawianiem się nowych modeli rynków finansowych, zagadnienia doyczące wyboru opymalnej sraegii inwesycyjnej sały się obiekem zaineresowania wielu maemayków. Bogay zbiór lieraury nie pozwala jednak wypisać wszyskich znaczących osiągnięć w ej dziedzinie. Tu zosaną przywołane ylko e, kóre miały wpływ na wygląd ej pracy. Dobry przewodnik po ych zagadnieniach sanowi książka Phama [9]. Rozwiązania problemów inwesycyjnych dla skończonego horyzonu czasowego, i w modelach analogicznych do modelu rozważanego w ej rozprawie, odnajdziemy w pracach Zariphopoulou [41], [4], Musiela i Zariphopoulou [5], Soikov i Zariphopoulou [35], Pham [3], naomias dla nieskończonego horyzonu inwesycyjnego w pracy Hernandeza i Fleminga [17]. Są o rozwiązania bazujące na eorii serowania sochasycznego. Należy zaznaczyć, że eoria serowania nie jes jedyną meodą rozwiązywania problemów opymalizacyjnych w finansach. Częso rozwiązania oprae są o zw. meodę dualną wykorzysującą ransformację Fenchela Legendre a i meody analizy wypukłej lub meodę oparą na eorii równań sochasycznych wsecznych ang. Backward Sochasic Differenial Equaions. Jednakże meody e, w przeciwieńswie do zagadnień serowania, skupiają sie głównie na wykazaniu isnienia opymalnej sraegii i nie zawsze dosarczają meod jej konsrukcji. Opymalizacja odporna pojawiła się w lieraurze poświęconej sraegiom inwesycyjnym na począku XXI w. W pracach Fölmer i Gundel [1], Gundel [14], Schied i Wu [3] różnorodne problemy inwesycyjne rozwiązywane były meodą dualną. Aby wypisać sraegię opymalną dla funkcji klasy HARA ang. hyperbolic absolue risk aversion, Hernandez i Schied [18] [31] oraz Schied [33] wykorzysują połączenie meod analizy wypukłej i eorii sochasycznego serowania. Maaramvura i Øksendal [], Øsendal i Sulem [8], [7] rozwiązują problemy inwesycyjne opare o procesy dyfuzyjno-skokowe wykorzysując eorię gier różniczkowych i równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca. Równanie HJBI wykorzysywane jes również w modelach przełącznikowych w pracy Siu [34]. Należy również wyróżnić pracę Talaya i Zhenga w kórej dowodzone jes, że funkcja

5 warości odpowiedniej gry różniczkowej dla modelu dyfuzyjnego jes rozwiązaniem lepkościowym równania HJBI. Rozwiązanie dla funkcji CARA consan absolue risk aversion zosało znalezione w pracy Zawiszy [43]. Nie powinno się zapominać również o pracach poświęconych wpływowi ryzyka modelu na wycenę insrumenów pochodnych. Waro przeczyać arykuł napisany przez Cona [5]. Praca a zawiera również bogaą bibliografię doyczącą ego zagadnienia. Niniejsza rozprawa również opiera się na eorii gier różniczkowych i równaniach HJBI. Nowością w sosunku do obecnego sanu lieraury są rozwiązania odpornej wersji problemu Markowiza oraz sformułowanie problemu minimaksowego dla nieskończonego horyzonu czasowego umożliwiającego przeprowadzenie dowodu wierdzenia weryfikacyjnego. Przeprowadzane są eż dowody wierdzeń o isnieniu i jednoznaczności gładkich rozwiązań semiliniowych równań cząskowych. Wykazano w en sposób, że możliwe jes osłabienie, zaproponowanych w wielu pracach, założeń doyczących współczynników modelu. Organizacja pracy. Rozprawa zosała podzielona na 5 rozdziałów. Pierwszy rozdział poświęcony zosał sformułowaniu zagadnienia. Opisana zosała również meoda rozwiązania wykorzysująca eorię sochasycznych gier różniczkowych. Sformułowane i udowodniona zosała odpowiednia wersja wierdzenia weryfikacyjnego wierdzenie 1.3. łączącego równanie Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca ze wspomnianą grą. Zagadnienie zosało sformułowane dość ogólnie ak, aby obejmowało możliwie szeroką klasę problemów inwesycyjnych. W kolejnych rozdziałach przedsawione są rozwiązania dla ypowych funkcji użyeczności. Nie powinniśmy jednak spodziewać się, że dla wybranej funkcji użyeczności problem może być rozwiązany w dużej ogólności. Dlaego w kolejnych rodziałach badane będą ylko e problemy, dla kórych rozwiązanie isnieje i można je wypisać korzysająć z rozwiązań równania cząskowego. W drugim rozdziale ogólne rezulay z rozdziału pierwszego zosały wykorzysane do zbadania problemów inwesycyjnych dla funkcji użyeczności klasy HARA Ux = x γ. Uzyskujemy między innymi rozwiązanie zob. wierdzenie.1. wypracowane innymi meodami w pracach Hernandeza i Schieda [18] i Schieda [33]. Opymalna sraegia opara jes o równanie cząskowe, kóre my dodakowo porafimy uprościć do równania Hamilona-Jacobiego-Bellmana sosując ransformacje wprowadzone do lieraury przez Zariphopoulou [41], [4]. Dla wygody oznaczeń w ym oraz nasepnych rozdziałach przedswiony jes rynek składający się z jednego ryzykownego akywu i kona bankowego. Uzyskane w rozdziale pierwszym wyniki umożliwiają rozszerzenie rozwiązania do przypadku rynku wielowymiarowego. Pierwsza część rozdziału rzeciego doyczy problemu zabezpieczenia insrumenu pochodnego oparego o czynnik, kórym nie można obracać na rynku. Są o wyniki zob w , kóre zosały opublikowane w czasopiśmie Applicaiones Mahemaicae Zawisza [43]. W drugiej części rozdziału rzeciego sformułowany zosaje problem odporny w oparciu o kryerium Markowiza. Według wiedzy auora wyniki u uzyskane zob. wierdzenie 3..4 nie pojawiły się wcześniej w lieraurze. Oba rozważane w ym rozdziale problemy rozparywane są łącznie, ponieważ w obu przypadkach dopuszczamy aby warość porfela inwesora przyjmowała warość ujemną, ponado zakładamy deerminisyczną posać sopy procenowej. 5

6 W rozdziale czwarym badana jes odporna wersja problemu inwesycyjnego z nieskończonym horyzonem inwesycyjnym; dowodzona jes odpowiednia posać wierdzenia weryfikacyjnego zob. wierdzenie 4.1.1, kóre nasępnie sosowane jes do użyeczności klasy HARA. Na rozdział piąy składają się dowody isnienia i jednoznaczności równań semiliniowych, kóre zosały wykorzysane w rozdziałach poprzedzających zob. w. 5..1, 5.. oraz W rezulaach ych pojawiają się słabsze założenia doyczące współczynników modelu niż cyowane w lieraurze rezulay pochodzące z książek Fleming i Rischel [8], Fleming i Soner [9]. W dowodach wykorzysywany jes wzór Feynmana-Kaca i meody analogiczne do ych zaproponowanych w pracy Becherer i Schweizer [1] dla równań reakcji dyfuzji. Podziękowania. Jesem wdzięczny mojemu promoorowi dr hab. Armenowi Edigarianowi za wsparcie udzielone podczas pisania niniejszej rozprawy. 6

7 ROZDZIAł 1 Podsawowe faky, oznaczenia i sformułowanie zagadnienia 1.1. Oznaczenia, definicje i podsawowe rezulay Analiza sochasyczna. Rozprawa rozpoczyna się wprowadzeniem niezbędnych oznaczeń. Dokonany zosanie również przegląd rezulaów, kórych znajomość jes niezbędna do zrozumienia ej pracy. Pochodzą one głównie z książek Øksendala [6] oraz Phama [9]. Przez Ω, {F } T, F, P oznaczamy przesrzeń probablisyczną z filracją {F } T, gdzie T = [, T ] lub T = [, +, względnie T = [T, T ], T, T >. Pod pojęciem procesu sochasycznego X na T rozumiemy rodzinę wekorów losowych {X 1, X,..., X m T} o usalonym wymiarze m. Definicja Proces {X T} nazywany jes mierzalnym jeśli odwzorowanie Ω T ω, X ω jes F BT - mierzalne 1. Proces {X T} nazywany jes adapowanym do filracji {F } T, jeśli dla dowolnego T zmienna losowa X jes F - mierzalna. 3 Proces {X T} nazywany jes progresywnie mierzalnym względem filracji {F } T, jeśli dla dowolnego T T odwzorowanie Ω [, T ] ω, X ω jes F T B[, T ] - mierzalne. Jeśli η jes funkcją borelowsko mierzalną i proces X jes mierzalny adapowany / progresywnie mierzalny, o z faku iż złożenie funkcji mierzalnej i borelowsko mierzalnej jes mierzalne wynika, że proces ηx jes mierzalny adapowany / progresywnie mierzalny. Definicja Proces {X T} nazywamy {F } T - maryngałem jeśli jes on {F } T - adapowany, E X < dla T oraz EX F s = X s, P p.w, s. Definicja Proces {X T} nazywamy lokalnym {F } T -maryngałem jeśli jes {F } T - adapowany i isnieje niemalejący ciąg momenów sopu {τ n n = 1,,...} aki, że lim τ n = + oraz dla każdego n proces {X τn T} jes {F } T -maryngałem. n + Definicja W = {W 1, W,..., W n T T} nazywamy sandardowym procesem Wienera, gdy P W = = 1, prawie wszyskie rajekorie są ciągłe oraz przyrosy są 1 F BT oznacza σ-algebrę produkową F i zbiorów borelowskich Symbolem A T oznaczamy ranspozycję macierzy A 7

8 niezależne i sacjonarne o rozkładzie wielowymiarowym normalnym ze średnią i macierzą kowariancji równą si 3. {F W } T oznacza filrację generowaną przez proces Wienera i zbiory P - miary. Symbolem T n T σ s dw s = σsdw j s j j=1 oznaczamy całkę sochasyczną względem {F W } [,T ] progresywnie mierzalnego procesu σ = σ 1, σ,..., σ n akiego, że T P σ s ds < = 1. Definicję całki sochasycznej można odnaleźć między innymi w książce Øksendala [6]. Definicja Niech W = W 1, W,..., W n T będzie sandardowym procesem Wienera. Definiujemy proces Iô jako proces X = X 1, X,..., X m T o warościach w R m aki, że prawie na pewno X = X + o znaczy X i = X i + b s ds + b i sds + σ s dw s, T, n j=1 σ i,j s dw j s, T, gdzie X jes F W mierzalna, b = b 1,..., b m T, σ = σ 1,..., σ n = σ i,j 1 i m, 1 j n są progresywnie mierzalnymi procesami względem filracji {F W } [,T ] akimi, że T T P b s ds + σ s ds < = 1. Zapisuje się częso: dx = b d + σ dw. Definicja Jeśli X jes procesem Iô i π = π 1, π,..., π m jes procesem {F W } [,T ] progresywnie mierzalnym akim, że T T P π s b s ds + πsσ sds < = 1, o definiujemy całkę T π s dx s := T π s b s ds + π s σ s dw s. 8 3 I oznacza macierz idenyczości

9 Twierdzenie Wzór Iô. Jeśli X jes procesem Iô, i funkcja f jes klasy C,1 na zbiorze R m [, T ], o prawie na pewno, dla dowolnego [, T ] mamy f m fx, = fx, + X f s, sds + x X s, sb i sds i + 1 m i=1 n j=1, f x i x j X s, s n k=1 i=1 σs i,k σs j,k ds + m i=1 n j=1 f x i X s, sσ i,j s dw j s. Twierdzenie Twierdzenie Girsanowa, zob. Øksendal [6]. Jeśli {η = η 1, η,..., η n [, T ]} jes {F W } [,T ] progresywnie mierzalnym procesem sochasycznym i T E exp η s dw s 1 T η s ds = 1, o proces W η,j := W j η js ds, j = 1,,..., n jes procesem Wienera oraz {F W } [,T ] maryngałem względem miary określonej na F T i zadanej przez dq η T dp = exp η s dw s 1 T η s ds. Sam proces E η s dw s nazywamy eksponeną Doleans-Dade. := exp η s dw s 1 η s ds, [, T ] Uwaga Jeśli proces σ jes progresywnie mierzalny względem {F W T P σ s ds = 1, o nie musi być on adapowany względem {F W η } [,T ]. Mimo o całka T σ s dw η s. } [,T ] i jes dobrze zdefiniowana. Mianowicie analogicznie do całki wzgledem procesu Wienera wprowadza się całkę względem maryngału całkowalnego z kwadraem 4. Ponado proces { } σ s dws η [, T ] jes lokalnym Q η i {F W } [,T ] maryngałem. Co w szczególności oznacza, że isnieje niemalejący ciąg momenów sopu {τ n n = 1,,...} aki, że lim τ n = + oraz n + [9] τn E Qη θ s dws η =. 4 Definicja akiej całki i jej podsawowe własności zosała podana między innymi w książce Phama 9

10 1 Twierdzenie Kryerium Novikova, zob. Øksendal [6]. Jeśli 1 T E exp η s ds <, o T E exp η s dw s 1 T η s ds = 1. W pracy zosaną wykorzysane elemeny eorii sochasycznego serowania. Teoria a znajduje zasosowanie wszędzie am, gdzie należy dobrać odpowiednie paramery serowanie układu fizycznego aby pracował on w sposób pożądany. Ewolucję układu, gdy zosało wybrane serowanie π = {π s T } opisuje sochasyczne równanie różniczkowe { dx = bx,, π d + σx,, π dw, 1.1 X s = ξ. Rozwiązaniem silnym problemu 1.1 nazywamy {F W } [s,t ] - adapowany i prawie wszędzie ciągły proces X, dla kórego P- prawie na pewno X = ξ + s bx k, k, π k dk + s σx k, k, π k dw k, [s, T ]. Jeśli isnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu 1.1 o oznaczane jes ono jako X π ξ, s. Dla danego odwzorowania przyjmujemy, że F : C[, T ] R E Q x,sf X π := E Q F X π x, s, gdzie E Q oznacza warość oczekiwaną względem miary Q. Twierdzenie zob. Pham [9]. Niech isnieje sała L, że dla każdego [, T ], x, y R m bx,, π by,, π L x y, E σx,, π σy,, π L x y, T σ,, π + b,, π d <, Wedy dla wszyskich s [, T ] i dla każdej zmiennej losowej F s - mierzalnej, E ξ < isnieje jednoznaczne 5 i silne rozwiązanie problemu 1.1 na odcinku [s, T ]. Ponado E x,s sup X π < s T 5 Jeśli X i Y są dwoma rozwiązaniami o jednoznaczność oznacza, że P X = Y dla dowolnego [s, T ] = 1

11 11 oraz gdzie K T jes sałą zależną wyłącznie od T. E sup X π x, s X π y, s K T x y, s T Twierdzenie Własność Markowa, zob Øksendal [6]. Niech dane będzie równanie dx = bx d + σx dw, gdzie funkcje b i σ spełniają warunek Lipschiza. Wedy dla dowolnej ograniczonej funkcji borelowskiej f i,h E x, fx+h F W ω = EXx,ωfX h, P- p. w. 1. Szczególne znaczenie w maemayce finansowej mają równania liniowe: { dx = b X d + σ X dw, X s = x. Procesy b oraz σ wysępujące w równaniu 1. nazywamy odpowiednio dryfem i zmiennością. Swierdzenie Jeśli b oraz σ są procesami {F W } [,T ] progresywnie mierzalnymi i T T P b d + σ d < = 1, o równanie 1. posiada jednoznaczne rozwiązanie: X = x exp b s 1 σ s ds + σ s dw s. Z wierdzenia wynika ponado, nasępujące Swierdzenie Jeśli procesy b i σ są ograniczone i Z jes rozwiązaniem sochasycznego równania różniczkowego wedy dla dowolnych z, R [, T ]. dz = b Z d + σ Z dw, E z, sup Z s < s T Twierdzenie o mierzalnym wyborze. Niech U R n będzie zbiorem borelowskim, naomias Γ R k zbiorem zwarym. Dana jes również ciągła funkcja f : U Γ R. Zagadnienie mierzalnego wyboru polega na wykazaniu, że isnieje borelowsko mierzalna funkcja η : U Γ aka, że η y arg min fy, η. Rezulay ego ypu są wykorzysywane w eorii serowania η Γ do konsrukcji rozwiązań opymalnych. Częso cyowanym w lieraurze wynikiem jes wierdzenie udowodnione w książce Fleminga i Rischela [8] dodaek B. Niesey w wielu

12 przypadkach bywa ono niewysarczające. Według niego odpowiednia funkcja borelowska owszem isnieje, ale warunek η y arg min fy, η jes spełniony ylko z dokładnością η Γ do zbioru miary Lebesgue a. Do wykazania użyecznego dla nas wierdzenia wykorzysany zosanie dosyć sary rezula wywodzący się jeszcze od Kuraowskiego i Ryll-Nardzewskiego, a kórego wypowiedź można odnaleźć w pracy Wagnera [39] wierdzenie 3.1. Wynika z niego, że do isnienia η wysarczy, aby spełnione były nasępujące warunki: Γ jes przesrzenią polską, dla wszyskich y U zbiór arg min fy, η jes zbiorem domknięym. η Γ dla wszyskich zbiorów owarych V Γ zbiór jes zbiorem borelowskim. {y U arg min fy, η V } η Γ Twierdzenie Jeżeli funkcja Hy := min fy, η jes ciągła, o isnieje funkcja η Γ borelowsko mierzalna η aka, że η y arg min fy, η. η Γ Dowód. Sprawdzamy warunki podane powyżej. arg min fy, η jes zbiorem domknięym, ponieważ f jes funkcją ciągłą. η Γ Wybierzmy dowolny oway zbiór V Γ. Niech {K n n = 1,,...} będzie ciągiem domknięych wsępujących zbiorów wypełniających V. Wedy {y U arg min fy, η V } = {y U arg min fy, η K n } η Γ η Γ n=1 Pokażemy, że dla dowolnego zbioru domknięego K zbiór W := {y U arg min fy, η K } η Γ jes zbiorem domknięym. Niech {y n n = 1,,...} W zbieżny do ȳ U. Isnieje ciąg {η y n n = 1,,...} aki, że η y n arg min fy, η K. Ponieważ Γ zwary o można wybrać podciąg η Γ {η y nk k = 1,,...} zbieżny do η K. Mamy 1 Hȳ = Zaem ȳ W i W jes domknięy w U. lim Hy n k = lim fy n k, η y nk = fȳ, η k + k Sformułowanie zagadnienia i meoda rozwiązania Model. Praca opara jes na modelu rynku finansowego, kóry jes nauralnym uogólnieniem modelu Blacka-Scholesa. Składa się on z m + 1 akywów finansowych {B T } i {S = S 1, S,..., S m T } oraz czynnika, kóry nie jes przedmioem obrou giełdowego {Y T }. B inerpreujemy jako kono bankowe, naomias S o akywa

13 obarczone ryzykiem np. akcje giełdowe. Zakładamy, że procesy, kóre zosały wprowadzone powyżej są silnymi rozwiązaniami układu sochasycznych równań różniczkowych: db = ry B d, 1.3 ds i = Sb i i Y d + Sσ i i, Y dw 1, i = 1,,... m, dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw, gdzie W = W 1, W T jes sandardowym procesem Wienera względem danej miary probablisycznej P na Ω, F, przyjmującym warości w R n R. ρ = ρ 1, ρ,..., ρ n jes współczynnikiem korelacji ρ := 1 ρ. Zakładamy, że współczynniki r : R [, +, g : R R,, a : R R, b = b 1,..., b m T, b i : R R, i = 1... m, σ = σ i,j i,j, σ i,j : R R, i = 1... m, j = 1... n 13 są funkcjami ciągłymi akimi, że isnieje jednoznaczne silne rozwiązanie układu 1.3. Dodakowo zakładamy, że macierz σyσ T y jes ściśle dodanio określona dla każdego y R. Założenie o niezależności współczynników od czasu jes wyłącznie dla wygody noacji i może zosać w niekórych przypadkach opuszczone. Model 1.3 obejmuje między innymi modele sochasycznej zmienności dla m=1 oraz modele krókoerminowej sopy procenowej. Zadaniem procesu Y jes częso modelowanie ryzyka niefinansowego np. dla ceny surowców energeycznych isone znaczenie będzie miała emperaura powierza. Oczywiście w wielu prakycznych zagadnieniach w modelu należy uwzględnić więcej niż jeden czynnik. I w wielu przypadkach dowodzone w pracy rezulay można rozszerzyć do modelu wieloczynnikowego. Problem jednak swarzają równania cząskowe, na kórych opare są sraegie opymalne. Powrócimy do ego zagadnienia w rozdziale drugim Ryzyko modelu. W ypowych czyso prakycznych problemach, wiedza na ema modelu 1.3 jes ylko wiedzą saysyczną, bowiem jego paramery są esymowane z danych hisorycznych. Dlaego podejmując decyzje inwesycyjne należy wziąć również pod uwagę ryzyko związane z niedoszacowaniem modelu. Różne są jednak definicje ryzyka modelu. W niniejszej pracy przyjmiemy, że znana jes przesrzeń zdarzeń elemenarnych Ω, F, naomias dana miara probablisyczna P niedokładnie oddaje zachowanie rynku. Wiadomo ylko yle, że rzeczywise prawdopodobieńswo należy do pewnego zbioru miar Q. Podążając za pracą Hernándeza i Schieda [18] oraz Schieda [33] rozważamy nasępującą rodzinę miar probablisycznych: Q := { Q P dq dp = E } η 1 dw 1 + η dw, η 1, η M, T gdzie E oznacza eksponenę Doleans-Dade a M oznacza zbiór progresywnie mierzalnych procesów η = η 1, η = η 1 1, η 1,..., η n 1, η o warościach w usalonym, zwarym i wypukłym zbiorze Γ R n R. Miarę wyznaczoną przez proces η M oznaczana jes

14 jako Q η. Z kryerium Novikova wierdzenie wynika, że rodzina Q jes dobrze zdefiniowana. Zgodnie z wierdzeniem Girsanowa wierdzenie dynamika procesu S może być zapisana w posaci ds i = S i b i Y + σ i, Y η 1 d + S i σ i, Y dw 1η, i = 1,,..., m, gdzie { W 1jη = W 1j W η = W η sds ηj 1sds, j = 1,,..., n, jes procesem Wienera względem miary Q η. Tak sformułowana niedokładność modelu może być zaem posrzegana jako ryzyko związane z niedoszacowaniem współczynnika dryfu b. Pominięcie niedokładności związanej z paramerem zmienności σ można wyłumaczyć ym, że błąd esymacji zmienności jes dużo mnejszy od błędu esymacji dryfu. Gdy proces η 1 zosanie dobrany ak, że ds i = S i ry d + S i σ i, Y dw 1η, i = 1,,..., m, o powiemy, że Q η jes miarą maryngałową 6. Miary ego ypu są używane do wyceny insrumenów pochodnych np. opcji Sraegia inwesycyjna i jej dynamika. Definicja {F W } T progresywnie mierzalny proces π = π, π = π, π 1,..., π m nazywamy sraegią finansową. Warością porfela bogacwem inwesora nazywamy proces 1.4 X = π + π π m. Proces π i o warość kapiału zainwesowanego w insrumeny i-ego ypu π o ilość pieniędzy włożona na kono bankowe / pożyczona z banku. Wśród wszyskich sraegii będziemy zaineresowani ylko akimi, kóre dopuszczają wyłącznie kapiał będący wynikiem działalności inwesycyjnej z poprzednich okresów. Dopuścimy również możliwość konsumowania części kapiału, dołączając do zdefiniowanej już sraegii proces progresywnie mierzalny c. Wprowadzimy nasępującą definicję: Definicja 1... Sraegię finansową π, c nazywamy samofinansującą, jeśli warość porfela spełnia 14 dx = π db + π1 ds 1 B S πm S m ds m c d. Jeśli π, c jes samofinansująca, o zgodnie z rachunkiem macierzowo wekorowym zapisujemy dx = π ry d + π by d + π σy dw 1 c d. 6 Tu maryngałem/lokalnym maryngałem jes proces S B

15 15 Dodakowo można wykorzysać równość 1.4 orzymując nasępujący problem: 1.5 { dx = ry X d + π by 1rY d + π σy dw 1 c d, X s = x, gdzie 1 := 1, 1,..., 1 T. Proces π = π 1,..., π m inerpreujemy jako część kapiału zainwesowanego w akywa obarczone ryzykiem S. Naomias proces c wyznacza inensywność konsumpcji. x jes kapiałem począkowym inwesora. Uwaga. Gdy dany jes proces progresywnie mierzalny π, c i X - jednoznaczne rozwiązanie równania 1.5 o saregię samofinansującą π, c orzymujemy wyznaczając π z równania X = π + π π m. Dla większości jednak problemów rozważanych w pracy należy założyć, że dopuszczalne sraegie są ściśle dodanie. W akich syuacjach wygodnie jes przyjąć, że dynamika porfela dana jes przez równanie liniowe 1.6 { dx = ry X + π by 1rY X d + π σy X dw 1 c X d, X s = x. W ym przypadku π będzie inerpreowane jako udział w porfelu ryzykownego akywa S, c naomias oznacza sopę konsumpcji. Dodakowo niech dana będzie ciągła funkcja β. Wprowadzamy zmienną losową βy T, kórą inerpreujemy jako wypłaę dla insrumenu pochodnego oparego o czynnik Y. Inwesor sprzedawca insrumenu w swoich decyzjach inwesycyjnych będzie chciał ograniczyć ryzyko niefinansowe związane z ym insrumenem. Tego ypu insrumeny sały się popularne między innymi na rynkach surowców energeycznych. Gdy nie jes uwzględnione ryzyko modelu zn. wyjściowa miara probablisyczna jes uznawana za dobry opis zachowania rynku, o według dominującej w lieraurze meodologii racjonalny inwesor wybiera opymalne sraegie inwesycyjne ak, aby maksymalizować oczekiwaną saysfakcję z przyszłej warości porfela. Do oceny saysfakcji sopnia awersji do ryzyka inwesor wykorzysuje funkcję użyeczności. Funkcją użyeczności nazywamy funkcję rosnącą, wklęsłą, dwukronie różniczkowalną w sposób ciągły. Najczęściej wysępujące w lieraurze funkcje użyeczności o: funkcja HARA funkcja CARA Ux = { x γ γ, gdy γ < 1 i γ, ln x, gdy γ = ; Ux = 1 1 γ e γx, γ >. Dodakowo w pracy rozważamy również funkcję Ux = x D, D R.

16 Nie jes o funkcja użyeczności, jednak jej znaczenie prakyczne jes częso dużo większe. Zakładamy, że dziedzina funkcji U jes przedziałem owarym i jes oznaczana symbolem DomU. Definicja Serowanie lub sraegia inwesycyjna π, c = {π, c, s T } jes dopuszczalne na przedziale [s, T ] i sanu począkowego x, y, π, c A s x, y, jeśli spełnia nasępujące warunki: 1 π, c jes progresywnie mierzalny względem filracji {F W } [s,t ], π, c przyjmuje warości w K I iloczynie karezjańskim podzbioru wypukłego R m oraz przedziału liczbowego I, 3 isnieje jednoznaczne rozwiązanie równania 1.6 względnie 1.5 akie, że prawie wszyskie rajekorie procesów c oraz X π,c x, y, s i zmienna losowa X π,c T x, y, s βy T y, s przyjmują warości w zbiorze DomU. Typowym problemem inwesycyjnym, najczęściej poruszanym zarówno w lieraurze, jak i ej pracy, jes przypadek K I = R m, +. Oznacza o, że dopuszczamy aby inwesor mógł zajmować dowolną pozycję na rynku, w szczególności aby mógł sosować króką sprzedaż Porfel opymalny i sraegie minimaksowe. Inwesor nie uwzględniający ryzyka modelu, znając usaloną i daną dokładnie miarę Q, pragnie osiągnąć największy możliwy sopień zadowolenia z konsumpcji c oraz końcowego kapiału X π,c T βy T. T > oznacza horyzon inwesycyjny. Ściślej ujmując inwesor dąży do ego aby gdzie maksymalizować J π,c,q x, y, ze względu na π, c A x, y, 1.7 J π,c,q x, y, := E Q x,y, T U c s Xs π,c ds + U X π,c T βy T. Zagadnienie przedsawione powyżej nazywane będzie w dalszej części pracy problemem klasycznym. Ponieważ isnieje niepewność związana z zaproponowanym modelem, o opymalne sraegie inwesycyjne powinny uwzględniać, oprócz ryzyka rynkowego, akże ryzyko modelu. W związku z ym opymalnymi nazwiemy e sraegie, kóre spełniają kryerium najgorszego możliwego scenariusza. Bardziej precyzyjnie, zakładamy, że celem inwesora jes maksymalizacja inf J π,c,q x, y, ze względu na π, c A x, y. Q Q Problem zosanie w pracy porakowany jako gra sochasyczna o sumie zero pomiędzy rynkiem i inwesorem. Celem będzie odnalezienie akiego punku siodłowego π, c, Q A x, y Q, dla kórego J π,c,q x, y, J π,c,q x, y, J π,c,q x, y,. W kolejnych rozdziałach pokażemy jak wykorzysać eorię równań różniczkowych cząskowych do rozwiązania wybranych ważnych problemów inwesycyjnch. Równania, 16

17 kóre zosaną wykorzysane noszą nazwę równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca lub Bellmana-Isaaca i są analogonami równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana wysępującymi w eorii serowania sochasycznego. Zasosowanie ej eorii pozwoli na odnalezienie punku siodłowego w posaci Markowa. Oznacza o, że punk siodłowy zosanie wyznaczony przez rójkę funkcji borelowsko mierzalnych π x, y,, c x, y,, η x, y,. Wedy, dla usalonego punku sarowego x, y, s, opymalną sraegię inwesycyjną ze zbioru A s x, y orzymujemy ze wzorów: 1.8 π = π X π,c, Y,, c = c X π,c, Y,, gdzie para procesów {X π,c, Y s T } jes rozwiązaniem problemu dx = ry X d + π X, Y, by 1rY X d + π X, Y,, X σy dw 1 c X, Y, X d, 1.9 dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw, X s = x, Y s = y. Naomias miara Q dana jes przez dq dp = E η1x π,c, Y, dw 1 + ηx π,c, Y, dw s Jeśli dla każdego punku sarowego x, y, isnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu 1.9 i sraegia π, c dana przez 1.8 jes dopuszczalna, o rójkę borelowsko mierzalnych funkcji π x, y,, c x, y,, η x, y, przyjmujących warości w K I Γ nazwiemy dopuszczalnym serowaniem Markowa. Funkcja 1.7 zosała zdefiniowana ogólnie ak, aby obejmowała jak najwięcej problemów inwesycyjnych. Nie należy jednak spodziewać się, że dla wybranej funkcji użyeczności rozwiązania wszyskich problemów, obejmujących zarówno proces konsumpcji oraz insrumen pochodny, będzie można odnaleźć. W kolejnych rozdziałach zajmujemy się ylko akimi zagadnieniami, kóre akie rozwiązania posiadają.. T Równania Hamilona Jacobiego Bellmana Isaaca i wierdzenia weryfikacyjne Tuaj zosaną przedsawione najbardziej ogólne rezulay doyczące związku posawionego problemu inwesycyjnego z odpowiednim równaniem HJBI i częściowe rozwiązanie posawionego problemu Twierdzenie weryfikacyjne. Przez L oznaczamy operaor 1.1 L π,c,η V x, y, = V + 1 a yv yy + 1 π σyσt yπ T x V xx + ayπσyρ T xv xy + ayρη 1 + ρη V y + gyv y + πby 1ry + σyη 1 xv x + ryxv x cxv x.

18 Uwaga Operaor 1.1 jes ściśle związany z dynamiką porfela 1.6po zasosowaniu ransformacji Girsanowa z miarą Q η. Jeżeli problem wymaga wykorzysania dynamiki 1.5 zn. dopuszczamy aby warość porfela przyjmowała warość, o w definicji operaora należy zamienić wyrażenie xπ na π. Związek pomiędzy grami różniczkowymi a równaniami Isaaca wypowiemy radycyjnie w posaci wierdzenia weryfikacyjnego. Jes o przeformułowany i mocniejszy rezula od ego pochodzącego z pracy Maarmwura i Øksendal []. Twierdzenie Niech U będzie funkcją przyjmującą warości nieujemne. Niech będzie dana nieujemna funkcja V C,,1 DomU R [, T C DomU R [, T ] i dopuszczalne serowania Markowa π x, y,, c x, y,, η x, y, akie, że L π x,y,,c x,y,,η V x, y, + Uc x, y, x, L π,c,η x,y, V x, y, + Ucx, L π x,y,,c x,y,,η x,y, V x, y, + Uc x, y, x =, V x, y, T = U x βy dla wszyskich η Γ, π, c K I, x, y, DomU R [, T. Ponado 1.15 E Q x,y, V X π,c s, Y s, s < sup s T dla każdego x, y, R [, T ], Q Q. Wedy dla π, c A x, y, Q Q i J π,c,q x, y, V x, y, J π,c,q x, y, V x, y, = J π,c,q x, y,. Dowód. Usalmy x, y, DomU R [, T. Wybierzmy dowolne η M i rozważmy układ równań różniczkowych dx =ry X d + π X, Y, by 1rY X d π X, Y,, X σy dw 1 c X, Y, X d, dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw. Zapiszmy Q η -dynamikę układu Sosując ransformację Girsanowa wierdzenie mamy dx =ry X d + π by 1rY + σy η 1 X d π σy X dw 1η c X d, dy = gy + ay ρη 1 + ρη d + ay ρdw 1η + ρdw η, gdzie π = π X, Y,, c = c X, Y, i W 1η danym przez { dw 1jη = dw 1j η j 1d, j = 1,,..., n, dw η = dw η d. 18, W η T jes Q η - procesem Wienera

19 19 Jeśli zasosujemy wzór Iô do układu 1.17 i funkcji V, o orzymamy 7 E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n = V x, y, + E Qη x,y, T ε T ε n L π s,ηs V X s, Y s, sds + E Qη x,y, T ε T ε n M ε s dw η s, gdzie Tn, ε n = 1,,..., Tn ε + jes lokalizującym ciągiem momenów sopu 8 akim, że Wykorzysując 1.11 mamy E Qη x,y, T ε T ε n M ε s dw η s =. E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n V x, y, E Qη x,y, T ε T ε n Uc X d. Ponieważ zachodzi 1.15, możemy zasosować wierdzenie o zbieżnościach zmajoryzowanych. Przechodząc do granicy n +, ε i korzysając z 1.14 orzymujemy V x, y, J π,c,q x, y,. Jeśli zasąpimy η przez η i użyjemy 1.13, o V x, y, = J π,q x, y,. Nasępnie wybieramy dowolne π, c A x, y i sosujemy wzór Iô do układu { dx = ry X d + π by 1rY + σy η1x d + π σy X dw 1η c X d, dy = gy + ay ρη1 + η ρd + ay ρdw 1η + ρdw η. Powarzając meodę zaprezenowaną powyżej i używając 1.1 dosajemy E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n V x, y, E Qη x,y, Korzysając z lemau Faou mamy V x, y, J π,c,q x, y,. T ε T ε n Uc X d. Uwaga Zamias zakładać, że funkcja użyeczności U i funkcja V są nieujemne można założyć alernaywnie, że warunek 1.15 przujmuje posać: E Q x,y, sup V Xs π,c, Y s, s <, s T T E Q x,y, Uc k Xs π,c dk < 7 Ponieważ funkcja V nie jes różniczkowalna na całym DomU R [, T ], o wzór Iô sosowany jes na DomU R [, T ε] 8 Należy zapoznać się z uwagą 1.1.9

20 dla wszyskich x, y, DomU R [, T ], π, c A x, y, Q Q. Założona nieujemność U oraz V niezbędna była ylko do skorzysania z lemau Faou. Z wprowadzonych u założeń skorzysamy między innymi dla funkcji Ux = ln x i Ux = e γx. Uwaga Zbiór dopuszczalnych sraegii A s x, y w wierdzeniu weryfikacyjnym można zasąpić dowolnym jego podzbiorem. Uwaga. Należy zwrócić uwagę, że zachodzą jeżeli spełnione są nasępujące dwa równania Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca: max max π K c I min η Γ Lπ,η V x, y, + Ucx =, min η Γ max π K max c I Lπ,η V x, y, + Ucx =, V x, y, T = Ux βy Twierdzenie o minimaksie. W ypowych problemach inwesycyjnych np. gdy K = R m analizę problemu wygodnie jes zacząć od zbadania równania 1.19 i wskazania jego rozwiązania. Aby wykazać, że jes o również rozwiązanie równania 1.18 porzebne są rezulay będące jednocześnie wersją wierdzenia o minimaksie. Będziemy mogli powoływać sie na klasyczne wierdzenie udowodnione przez Fana [7]. Twierdzenie Fan [7]. Niech X będzie zwarą przesrzenią Hausdorffa, Y naomias dowolnym zbiorem niekoniecznie wyposażonym w opologię. Niech f będzie funkcją o warościach rzeczywisych określoną na X Y. Jeśli f jes wypukła na X oraz wklęsła na Y o min sup η X π Y fπ, η = sup π Y min fπ, η. η X Dowód powyższego rezulau korzysa z klasycznego wierdzenia wywodzącego się od von Neumanna. W przypadku gdy K = R m możliwe jes przeprowadzenie dowodu niezależnego. Pokazuje o poniższe swierdzenie. Swierdzenie Jeżeli A jes macierzą symeryczną i ściśle dodanio określoną, b, b, c R n, a <, c R, o min η Γ max π R aπaπt + πbη 1 + b + cη 1 + cη = max π R m min η Γ aπaπt + πbη 1 + b + cη = aπ Aπ T + π bη 1 + b + cη 1 + cη, gdzie η bη1 arg min a b T A 1 bη1 b η 1,η Γ a a bη1 + b T A 1 bη 1 + a b + cη 1 + cη, π T = A 1 bη 1 b. a

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH

Bardziej szczegółowo

Europejska opcja kupna akcji calloption

Europejska opcja kupna akcji calloption Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014

Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014 Rapor: Modele Maemayczne w Finansach 2014 Krzyszof Bisewski Pior Bochnia Kamila Domańska Pior Garbuliński Elżbiea Gawłowska Grzegorz Głowienko Barosz Głowinkowski Magdalena Hubicz Marcin Kania Paweł Marcinkowski

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną

Bardziej szczegółowo

Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Maksyminowe strategie immunizacji portfela Alina Kondraiuk-Janyska Maksyminowe sraegie immunizacji porfela rozprawa dokorska Promoor: dr hab. Leszek Zaremba Kaedra Meod Ilościowych Wyższa Szkoła Zarządzania- The Polish Open Universiy Wydział Fizyki

Bardziej szczegółowo

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa dariusz.sanko@gmail.com lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe

Bardziej szczegółowo

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI

Bardziej szczegółowo

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1 Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny

Bardziej szczegółowo

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

Estymacja stopy NAIRU dla Polski *

Estymacja stopy NAIRU dla Polski * Michał Owerczuk * Pior Śpiewanowski Esymacja sopy NAIRU dla Polski * * Sudenci, Szkoła Główna Handlowa, Sudenckie Koło Naukowe Ekonomii Teoreycznej przy kaedrze Ekonomii I. Auorzy będą bardzo wdzięczni

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM prof. dr hab. Paweł Dimann 1 Znaczenie prognoz w zarządzaniu firmą Zarządzanie firmą jes nieusannym procesem podejmowania decyzji, kóry może być zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele: 1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów:

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII KRZYSZTOF JAJUGA Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII. Modele makroekonomiczne a modele sóp procenowych wprowadzenie Nie do podważenia

Bardziej szczegółowo

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Wprowadzenie Jednym z aspeków współczesnej ekonomii jes zarządzanie ryzykiem związanym

Bardziej szczegółowo

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27 3 Spis reści Spis reści... 3 Użye oznaczenia... 7 Wsęp i założenia pracy... 9 1. Akualny san wiedzy medycznej i echnicznej związanej zagadnieniami analizy decyzyjnej w chorobach górnego odcinka przewodu

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Anna Krauze Uniwersye Warmińsko-Mazurski

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 87 Transpor 01 Jarosław Poznański Danua Żebrak Poliechnika Warszawska, Wydział Transporu ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO Sreszczenie Michał Barnicki Poliechnika Śląska, Wydział Oranizacji i Zarządzania Monika Odlanicka-Poczobu Poliechnika Śląska, Wydział

Bardziej szczegółowo

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Redakor

Bardziej szczegółowo

Obszary zainteresowań (ang. area of interest - AOI) jako metoda analizy wyników badania eye tracking

Obszary zainteresowań (ang. area of interest - AOI) jako metoda analizy wyników badania eye tracking Inerfejs użykownika - Kansei w prakyce 2009 107 Obszary zaineresowań (ang. area of ineres - AOI) jako meoda analizy wyników badania eye racking Pior Jardanowski, Agencja e-biznes Symeria Ul. Wyspiańskiego

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność

Bardziej szczegółowo

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych Meody analizy i prognozowania szeregów czasowych Wsęp 1. Modele szeregów czasowych 2. Modele ARMA i procedura Boxa-Jenkinsa 3. Modele rendów deerminisycznych i sochasycznych 4. Meody dekompozycji szeregów

Bardziej szczegółowo

Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie

Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA W WARSZAWIE STUDIUM DYPLOMOWE KIERUNEK: Meody Ilościowe i Sysemy Informacyjne Michał Rubaszek Nr alb. 5346 Arbiraż cenowy na przykładzie Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa stóp procentowych po kryzysie 2007 roku. praca zespołowa

Struktura terminowa stóp procentowych po kryzysie 2007 roku. praca zespołowa Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku praca zespołowa 17 września 2012 Spis reści I Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku 3 1 Opis rynku finansowego po kryzysie 4 1.1

Bardziej szczegółowo

Czy prowadzona polityka pieniężna jest skuteczna? Jaki ma wpływ na procesy

Czy prowadzona polityka pieniężna jest skuteczna? Jaki ma wpływ na procesy Dobromił Serwa Reakcje rynków finansowych na szoki w poliyce pieniężnej.. Wsęp Czy prowadzona poliyka pieniężna jes skueczna? Jaki ma wpływ na procesy ekonomiczne zachodzące w kraju? Czy jes ona równie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Ocena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych

Ocena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych Bank i Kredy 455, 04, 467 490 Ocena wpływu zmian poziomu rezerw waluowych na premię za ryzyko kredyowe Polski wykorzysanie meody roszczeń warunkowych Michał Konopczak* Nadesłany: 5 kwienia 04 r. Zaakcepowany:

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób

Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób 243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji

Bardziej szczegółowo

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA LINIA DŁUGA Z Z, τ e u u Z L l Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TECHNIKA CYFOWA SPIS TEŚCI. Definicja linii dłuiej... 3. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

SOE PL 2009 Model DSGE

SOE PL 2009 Model DSGE Zeszy nr 25 SOE PL 29 Model DSGE Warszawa, 2 r. , SOE PL 29 Konak: B Bohdan.Klos@mail.nbp.pl T ( 48 22) 653 5 87 B Grzegorz.Grabek@mail.nbp.pl T ( 48 22) 585 4 8 B Grzegorz.Koloch@mail.nbp.pl T ( 48 22)

Bardziej szczegółowo

O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH

O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 26 Krzyszof Heberlein Uniwersye Szczeciński O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STRESZCZENIE W arykule

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181 A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr (01) 161 181 Pierwsza wersja złożona 9 marca 01 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 15 grudnia 01 080-0339 Anna Michałek

Bardziej szczegółowo

Analiza rynku projekt

Analiza rynku projekt Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes

Bardziej szczegółowo

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO PROBLEY NIEONWENCJONALNYCH ŁADÓW ŁOŻYSOWYCH Łódź, 4 maja 999 r. Jadwiga Janowska, Waldemar Oleksiuk Insyu ikromechaniki i Fooniki, Poliechnika Warszawska ETROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTE BADAWCZEGO SŁOWA LCZOWE:

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE FUNKCJI KOPULI W MODELOWNIU INDEKSÓW GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE FUNKCJI KOPULI W MODELOWNIU INDEKSÓW GIEŁDOWYCH ZASTOSOWANIE FUNKCJI KOPULI W MODELOWNIU INDEKSÓW GIEŁDOWYCH Jacek Leśkow, Jusyna Mokrzycka, Kamil Krawiec 1 Sreszczenie Współczesne zarządzanie ryzykiem finansowanym opiera się na analizie zwroów szeregów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNY POMIAR EFEKTYWNOŚCI FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH OTWARTYCH ZA POMOCĄ EAM (I)

STATYSTYCZNY POMIAR EFEKTYWNOŚCI FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH OTWARTYCH ZA POMOCĄ EAM (I) STATYSTYCZNY POMIAR EFEKTYWNOŚCI FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH OTWARTYCH ZA POMOCĄ EAM (I) dr Jacek, M. Kowalski Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu jakowalski@op.pl Absrak Jes o pierwsza część, drugiego z cyklu

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu OeconomiA copernicana 2011 Nr 4 Małgorzaa Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu TESTOWANIE PRZYCZYNOWOŚCI W WARIANCJI MIĘDZY WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO 11

MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO 11 MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH MODELOWANIE PREFERENCJI A RYZYKO Kaowice 20 Komie Redakcyjny Tadeusz Trzaskalik (redakor

Bardziej szczegółowo

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń

Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń Sanisław Garska 1 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny Użyeczność bezpośredniej likwidacji szkód (LS) dla klienów zakładów ubezpieczeń Sreszczenie Wprowadzeniu bezpośredniej likwidacji szkód jako produku

Bardziej szczegółowo

O EFEKTACH ZASTOSOWANIA PEWNEJ METODY WYZNACZANIA PROGNOZ JAKOŚCIOWYCH ZMIAN CEN AKCJI W WARUNKACH KRYZYSU FINANSOWEGO 2008 ROKU

O EFEKTACH ZASTOSOWANIA PEWNEJ METODY WYZNACZANIA PROGNOZ JAKOŚCIOWYCH ZMIAN CEN AKCJI W WARUNKACH KRYZYSU FINANSOWEGO 2008 ROKU Arykuł opublikowany w: Rynki kapiałowe a koniunkura gospodarcza, red. A. Szablewski, R. Wójcikowski, Wydawnicwo Poliechniki Łódzkiej, Łódź 009, s. 95-07 Doroa Wiśniewska Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana. Adam Waszkowski Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

OeconomiA copernicana. Adam Waszkowski Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie OeconomiA copernicana 2012 Nr 3 ISSN 2083-1277 Adam Waszkowski Szkoła Główna Gospodarswa Wiejskiego w Warszawie MECHANIZM TRANSMISJI IMPULSÓW POLITYKI MONETARNEJ DLA POLSKIEJ GOSPODARKI Klasyfikacja JEL:

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARTWOWYCH Zagadnienia wyrzymałościowe w przypadku maeriałów kompozyowych, a mówiąc ściślej włóknisych kompozyów warswowych (np. laminay zbrojone włóknami) należy rozparywać na

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 12 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ

ROZDZIAŁ 12 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ Kaarzyna Szarzec ROZDZIAŁ 2 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ. Uwagi wsępne Program nowej ekonomii klasycznej, w kórej nazwie podkreślone są jej związki z ekonomią klasyczną i

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo