Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu"

Transkrypt

1 Dariusz Zawisza Opymalne sraegie inwesycyjne wobec ryzyka modelu Praca dokorska Insyu Maemayki Wydział Maemayki i Informayki Uniwersye Jagielloński Promoor: dr hab. Armen Edigarian KRAKÓW 1

2 Spis reści Wsęp 3 Rozdział 1. Podsawowe faky, oznaczenia i sformułowanie zagadnienia Oznaczenia, definicje i podsawowe rezulay Sformułowanie zagadnienia i meoda rozwiązania Równania Hamilona Jacobiego Bellmana Isaaca i wierdzenia weryfikacyjne 17 Rozdział. Punk siodłowy dla użyeczności ypu HARA 5.1. Rozwiązanie dla γ 5.. Ograniczenia porfelowe Funkcja logarymiczna 3.4. Modyfikacje i rozszerzenia problemu 34 Rozdział 3. Użyeczność ypu CARA oraz problem Markowiza Preferencje ypu CARA Sraegie odporne w modelu Markowiza 41 Rozdział 4. Problem inwesycyjny z nieskończonym horyzonem czasowym Sformułowanie problemu i wierdzenia weryfikacyjne Rozwiązanie problemu dla użyeczności ypu HARA 5 Rozdział 5. Rozwiązania klasyczne wybranych nieliniowych równań cząskowych Podsawowe faky doyczące parabolicznych równań różniczkowych cząskowych Równania paraboliczne Równania elipyczne 58 Bibliografia 63

3 Wsęp Moywacja. Niepewność i losowość jes nieodłączną częścią oaczającej nas rzeczywisości. Pojawia się ona w układach fizycznych, bilogicznych, ale również i w ekonomiczno-finansowych. Decyden musi w opymalny sposób wpływać na aki układ, aby osiągnąć pożądany skuek. Teoria sochasycznego serowania jes odpowiednim narzędziem do rozwiązywania problemów decyzyjnych ego ypu. Taka syuacja doyczy również rynków inwesycyjnych. Zaczynając od prac Merona [3] wyszukane meody eorii sochasycznego serowania zosały rozwinięe w celu poszukiwania opymalnej sraegii inwesycyjnej. Wspomniana eoria wykorzysuje pojęcie funkcji użyeczności saysfakcji mierzącej sopień zadowolenia inwesora z posiadanego dobra. Inwesor buduje sochasyczny model rynku finansowego i w danym modelu wybiera sraegię inwesycyjną, kóra maksymalizuje oczekiwaną użyeczność przyszłej warości porfela. Bardziej precyzyjnie inwesor maksymalizuje funkcjonał X E P UX. Częso jednak pomijano milczeniem fak, że informacje doyczące modelu rynku finansowego mają charaker saysyczny. Paramery modelu są esymowane z danych hisorycznych, w związku z ym w decyzjach inwesycyjnych należy również uwzględnić ryzyko płynące z ich niedokładności. Zdarzały się bowiem w hisorii duże sray różnorodnych insyucji finansowych spowodowane właśnie złym doborem modelu. Jako pierwszy na porzebę odróżnienia ryzyka modelu niepewności od ryzyka związanego z konkrenym modelem probablisycznym, zwrócił uwagę Knigh [19]. Ellsberg [6] naomias dosraczył dowodów empirycznych powierdzających iż dokonując wyborów decydenci nie kierują się posacią wyłącznie jednego modelu probablisycznego. Wśród różnych pomysłów uwzględnienia ryzyka modelu w opymalizacji, największą popularność zdobyła meoda minimaksowa, nosząca również nazwę opymalizacji odpornej. Meoda a polega na wyznaczeniu rodziny miar probablisycznych Q, wyznaczających zakres popełnionego przy konsrukcji modelu błędu i posługując się kryerium najgorszego możliwego scenariusza dążeniu do maksymalizacji funkcjonału odpornego X inf Q Q EQ UX. Okazało się również, że można podać aksjomayczną definicję relacji X Y inf Q Q EQ UX inf Q Q EQ UY Gilboa i Schmeidler [1], w sposób analogiczny do aksjomaycznej definicji relacji X Y E Q UX E Q UY wprowadzonej przez Morgenserna i von Neumanna. 3

4 Niniesza praca jes poświęcona sraegiom minimaksowym. Badania prowadzone są w modelu sanowiącym uogólnienie modelu Blacka-Scholesa. Rynek finansowy jes wyznaczony przez proces dyfuzji, kórego współczynniki zależne są od obserwowalnego czynnika, kóry nie jes przedmioem obrou giełdowego. Model obejmuje w szczególności modele sochasycznej zmienności, modele krókoerminowej sopy procenowej oraz modele cen surowców energeycznych. 4 Przegląd lieraury. Pierwszy ważny krok w zagadnieniach doyczących poszukiwania opymalnej sraegii inwesycyjnej zosał wykonany przez Markowiza [1] w roku 195. Opymalnymi nazwał on e sraegie, dla kórych sopa zwrou z prorfela ma najmniejszą wariancję wśród ych o usalonej oczekiwnej sopie zwrou. Była o jednak opymalizacja sayczna, co oznacza, że porfel nie zmieniał się od począku inwesycji aż do jej końca. Przełomu dokonał Meron [3], [4], kóry sformułował zagadnienie dynamiczne, w kórym porfel może się zmieniać w każdym momencie rwania inwesycji. Według eorii zbudowanej przez niego sraegia opymalna o aka, kór maksymalizuje oczekiwaną użyeczność warości porfela. Wraz z pojawianiem się nowych modeli rynków finansowych, zagadnienia doyczące wyboru opymalnej sraegii inwesycyjnej sały się obiekem zaineresowania wielu maemayków. Bogay zbiór lieraury nie pozwala jednak wypisać wszyskich znaczących osiągnięć w ej dziedzinie. Tu zosaną przywołane ylko e, kóre miały wpływ na wygląd ej pracy. Dobry przewodnik po ych zagadnieniach sanowi książka Phama [9]. Rozwiązania problemów inwesycyjnych dla skończonego horyzonu czasowego, i w modelach analogicznych do modelu rozważanego w ej rozprawie, odnajdziemy w pracach Zariphopoulou [41], [4], Musiela i Zariphopoulou [5], Soikov i Zariphopoulou [35], Pham [3], naomias dla nieskończonego horyzonu inwesycyjnego w pracy Hernandeza i Fleminga [17]. Są o rozwiązania bazujące na eorii serowania sochasycznego. Należy zaznaczyć, że eoria serowania nie jes jedyną meodą rozwiązywania problemów opymalizacyjnych w finansach. Częso rozwiązania oprae są o zw. meodę dualną wykorzysującą ransformację Fenchela Legendre a i meody analizy wypukłej lub meodę oparą na eorii równań sochasycznych wsecznych ang. Backward Sochasic Differenial Equaions. Jednakże meody e, w przeciwieńswie do zagadnień serowania, skupiają sie głównie na wykazaniu isnienia opymalnej sraegii i nie zawsze dosarczają meod jej konsrukcji. Opymalizacja odporna pojawiła się w lieraurze poświęconej sraegiom inwesycyjnym na począku XXI w. W pracach Fölmer i Gundel [1], Gundel [14], Schied i Wu [3] różnorodne problemy inwesycyjne rozwiązywane były meodą dualną. Aby wypisać sraegię opymalną dla funkcji klasy HARA ang. hyperbolic absolue risk aversion, Hernandez i Schied [18] [31] oraz Schied [33] wykorzysują połączenie meod analizy wypukłej i eorii sochasycznego serowania. Maaramvura i Øksendal [], Øsendal i Sulem [8], [7] rozwiązują problemy inwesycyjne opare o procesy dyfuzyjno-skokowe wykorzysując eorię gier różniczkowych i równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca. Równanie HJBI wykorzysywane jes również w modelach przełącznikowych w pracy Siu [34]. Należy również wyróżnić pracę Talaya i Zhenga w kórej dowodzone jes, że funkcja

5 warości odpowiedniej gry różniczkowej dla modelu dyfuzyjnego jes rozwiązaniem lepkościowym równania HJBI. Rozwiązanie dla funkcji CARA consan absolue risk aversion zosało znalezione w pracy Zawiszy [43]. Nie powinno się zapominać również o pracach poświęconych wpływowi ryzyka modelu na wycenę insrumenów pochodnych. Waro przeczyać arykuł napisany przez Cona [5]. Praca a zawiera również bogaą bibliografię doyczącą ego zagadnienia. Niniejsza rozprawa również opiera się na eorii gier różniczkowych i równaniach HJBI. Nowością w sosunku do obecnego sanu lieraury są rozwiązania odpornej wersji problemu Markowiza oraz sformułowanie problemu minimaksowego dla nieskończonego horyzonu czasowego umożliwiającego przeprowadzenie dowodu wierdzenia weryfikacyjnego. Przeprowadzane są eż dowody wierdzeń o isnieniu i jednoznaczności gładkich rozwiązań semiliniowych równań cząskowych. Wykazano w en sposób, że możliwe jes osłabienie, zaproponowanych w wielu pracach, założeń doyczących współczynników modelu. Organizacja pracy. Rozprawa zosała podzielona na 5 rozdziałów. Pierwszy rozdział poświęcony zosał sformułowaniu zagadnienia. Opisana zosała również meoda rozwiązania wykorzysująca eorię sochasycznych gier różniczkowych. Sformułowane i udowodniona zosała odpowiednia wersja wierdzenia weryfikacyjnego wierdzenie 1.3. łączącego równanie Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca ze wspomnianą grą. Zagadnienie zosało sformułowane dość ogólnie ak, aby obejmowało możliwie szeroką klasę problemów inwesycyjnych. W kolejnych rozdziałach przedsawione są rozwiązania dla ypowych funkcji użyeczności. Nie powinniśmy jednak spodziewać się, że dla wybranej funkcji użyeczności problem może być rozwiązany w dużej ogólności. Dlaego w kolejnych rodziałach badane będą ylko e problemy, dla kórych rozwiązanie isnieje i można je wypisać korzysająć z rozwiązań równania cząskowego. W drugim rozdziale ogólne rezulay z rozdziału pierwszego zosały wykorzysane do zbadania problemów inwesycyjnych dla funkcji użyeczności klasy HARA Ux = x γ. Uzyskujemy między innymi rozwiązanie zob. wierdzenie.1. wypracowane innymi meodami w pracach Hernandeza i Schieda [18] i Schieda [33]. Opymalna sraegia opara jes o równanie cząskowe, kóre my dodakowo porafimy uprościć do równania Hamilona-Jacobiego-Bellmana sosując ransformacje wprowadzone do lieraury przez Zariphopoulou [41], [4]. Dla wygody oznaczeń w ym oraz nasepnych rozdziałach przedswiony jes rynek składający się z jednego ryzykownego akywu i kona bankowego. Uzyskane w rozdziale pierwszym wyniki umożliwiają rozszerzenie rozwiązania do przypadku rynku wielowymiarowego. Pierwsza część rozdziału rzeciego doyczy problemu zabezpieczenia insrumenu pochodnego oparego o czynnik, kórym nie można obracać na rynku. Są o wyniki zob w , kóre zosały opublikowane w czasopiśmie Applicaiones Mahemaicae Zawisza [43]. W drugiej części rozdziału rzeciego sformułowany zosaje problem odporny w oparciu o kryerium Markowiza. Według wiedzy auora wyniki u uzyskane zob. wierdzenie 3..4 nie pojawiły się wcześniej w lieraurze. Oba rozważane w ym rozdziale problemy rozparywane są łącznie, ponieważ w obu przypadkach dopuszczamy aby warość porfela inwesora przyjmowała warość ujemną, ponado zakładamy deerminisyczną posać sopy procenowej. 5

6 W rozdziale czwarym badana jes odporna wersja problemu inwesycyjnego z nieskończonym horyzonem inwesycyjnym; dowodzona jes odpowiednia posać wierdzenia weryfikacyjnego zob. wierdzenie 4.1.1, kóre nasępnie sosowane jes do użyeczności klasy HARA. Na rozdział piąy składają się dowody isnienia i jednoznaczności równań semiliniowych, kóre zosały wykorzysane w rozdziałach poprzedzających zob. w. 5..1, 5.. oraz W rezulaach ych pojawiają się słabsze założenia doyczące współczynników modelu niż cyowane w lieraurze rezulay pochodzące z książek Fleming i Rischel [8], Fleming i Soner [9]. W dowodach wykorzysywany jes wzór Feynmana-Kaca i meody analogiczne do ych zaproponowanych w pracy Becherer i Schweizer [1] dla równań reakcji dyfuzji. Podziękowania. Jesem wdzięczny mojemu promoorowi dr hab. Armenowi Edigarianowi za wsparcie udzielone podczas pisania niniejszej rozprawy. 6

7 ROZDZIAł 1 Podsawowe faky, oznaczenia i sformułowanie zagadnienia 1.1. Oznaczenia, definicje i podsawowe rezulay Analiza sochasyczna. Rozprawa rozpoczyna się wprowadzeniem niezbędnych oznaczeń. Dokonany zosanie również przegląd rezulaów, kórych znajomość jes niezbędna do zrozumienia ej pracy. Pochodzą one głównie z książek Øksendala [6] oraz Phama [9]. Przez Ω, {F } T, F, P oznaczamy przesrzeń probablisyczną z filracją {F } T, gdzie T = [, T ] lub T = [, +, względnie T = [T, T ], T, T >. Pod pojęciem procesu sochasycznego X na T rozumiemy rodzinę wekorów losowych {X 1, X,..., X m T} o usalonym wymiarze m. Definicja Proces {X T} nazywany jes mierzalnym jeśli odwzorowanie Ω T ω, X ω jes F BT - mierzalne 1. Proces {X T} nazywany jes adapowanym do filracji {F } T, jeśli dla dowolnego T zmienna losowa X jes F - mierzalna. 3 Proces {X T} nazywany jes progresywnie mierzalnym względem filracji {F } T, jeśli dla dowolnego T T odwzorowanie Ω [, T ] ω, X ω jes F T B[, T ] - mierzalne. Jeśli η jes funkcją borelowsko mierzalną i proces X jes mierzalny adapowany / progresywnie mierzalny, o z faku iż złożenie funkcji mierzalnej i borelowsko mierzalnej jes mierzalne wynika, że proces ηx jes mierzalny adapowany / progresywnie mierzalny. Definicja Proces {X T} nazywamy {F } T - maryngałem jeśli jes on {F } T - adapowany, E X < dla T oraz EX F s = X s, P p.w, s. Definicja Proces {X T} nazywamy lokalnym {F } T -maryngałem jeśli jes {F } T - adapowany i isnieje niemalejący ciąg momenów sopu {τ n n = 1,,...} aki, że lim τ n = + oraz dla każdego n proces {X τn T} jes {F } T -maryngałem. n + Definicja W = {W 1, W,..., W n T T} nazywamy sandardowym procesem Wienera, gdy P W = = 1, prawie wszyskie rajekorie są ciągłe oraz przyrosy są 1 F BT oznacza σ-algebrę produkową F i zbiorów borelowskich Symbolem A T oznaczamy ranspozycję macierzy A 7

8 niezależne i sacjonarne o rozkładzie wielowymiarowym normalnym ze średnią i macierzą kowariancji równą si 3. {F W } T oznacza filrację generowaną przez proces Wienera i zbiory P - miary. Symbolem T n T σ s dw s = σsdw j s j j=1 oznaczamy całkę sochasyczną względem {F W } [,T ] progresywnie mierzalnego procesu σ = σ 1, σ,..., σ n akiego, że T P σ s ds < = 1. Definicję całki sochasycznej można odnaleźć między innymi w książce Øksendala [6]. Definicja Niech W = W 1, W,..., W n T będzie sandardowym procesem Wienera. Definiujemy proces Iô jako proces X = X 1, X,..., X m T o warościach w R m aki, że prawie na pewno X = X + o znaczy X i = X i + b s ds + b i sds + σ s dw s, T, n j=1 σ i,j s dw j s, T, gdzie X jes F W mierzalna, b = b 1,..., b m T, σ = σ 1,..., σ n = σ i,j 1 i m, 1 j n są progresywnie mierzalnymi procesami względem filracji {F W } [,T ] akimi, że T T P b s ds + σ s ds < = 1. Zapisuje się częso: dx = b d + σ dw. Definicja Jeśli X jes procesem Iô i π = π 1, π,..., π m jes procesem {F W } [,T ] progresywnie mierzalnym akim, że T T P π s b s ds + πsσ sds < = 1, o definiujemy całkę T π s dx s := T π s b s ds + π s σ s dw s. 8 3 I oznacza macierz idenyczości

9 Twierdzenie Wzór Iô. Jeśli X jes procesem Iô, i funkcja f jes klasy C,1 na zbiorze R m [, T ], o prawie na pewno, dla dowolnego [, T ] mamy f m fx, = fx, + X f s, sds + x X s, sb i sds i + 1 m i=1 n j=1, f x i x j X s, s n k=1 i=1 σs i,k σs j,k ds + m i=1 n j=1 f x i X s, sσ i,j s dw j s. Twierdzenie Twierdzenie Girsanowa, zob. Øksendal [6]. Jeśli {η = η 1, η,..., η n [, T ]} jes {F W } [,T ] progresywnie mierzalnym procesem sochasycznym i T E exp η s dw s 1 T η s ds = 1, o proces W η,j := W j η js ds, j = 1,,..., n jes procesem Wienera oraz {F W } [,T ] maryngałem względem miary określonej na F T i zadanej przez dq η T dp = exp η s dw s 1 T η s ds. Sam proces E η s dw s nazywamy eksponeną Doleans-Dade. := exp η s dw s 1 η s ds, [, T ] Uwaga Jeśli proces σ jes progresywnie mierzalny względem {F W T P σ s ds = 1, o nie musi być on adapowany względem {F W η } [,T ]. Mimo o całka T σ s dw η s. } [,T ] i jes dobrze zdefiniowana. Mianowicie analogicznie do całki wzgledem procesu Wienera wprowadza się całkę względem maryngału całkowalnego z kwadraem 4. Ponado proces { } σ s dws η [, T ] jes lokalnym Q η i {F W } [,T ] maryngałem. Co w szczególności oznacza, że isnieje niemalejący ciąg momenów sopu {τ n n = 1,,...} aki, że lim τ n = + oraz n + [9] τn E Qη θ s dws η =. 4 Definicja akiej całki i jej podsawowe własności zosała podana między innymi w książce Phama 9

10 1 Twierdzenie Kryerium Novikova, zob. Øksendal [6]. Jeśli 1 T E exp η s ds <, o T E exp η s dw s 1 T η s ds = 1. W pracy zosaną wykorzysane elemeny eorii sochasycznego serowania. Teoria a znajduje zasosowanie wszędzie am, gdzie należy dobrać odpowiednie paramery serowanie układu fizycznego aby pracował on w sposób pożądany. Ewolucję układu, gdy zosało wybrane serowanie π = {π s T } opisuje sochasyczne równanie różniczkowe { dx = bx,, π d + σx,, π dw, 1.1 X s = ξ. Rozwiązaniem silnym problemu 1.1 nazywamy {F W } [s,t ] - adapowany i prawie wszędzie ciągły proces X, dla kórego P- prawie na pewno X = ξ + s bx k, k, π k dk + s σx k, k, π k dw k, [s, T ]. Jeśli isnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu 1.1 o oznaczane jes ono jako X π ξ, s. Dla danego odwzorowania przyjmujemy, że F : C[, T ] R E Q x,sf X π := E Q F X π x, s, gdzie E Q oznacza warość oczekiwaną względem miary Q. Twierdzenie zob. Pham [9]. Niech isnieje sała L, że dla każdego [, T ], x, y R m bx,, π by,, π L x y, E σx,, π σy,, π L x y, T σ,, π + b,, π d <, Wedy dla wszyskich s [, T ] i dla każdej zmiennej losowej F s - mierzalnej, E ξ < isnieje jednoznaczne 5 i silne rozwiązanie problemu 1.1 na odcinku [s, T ]. Ponado E x,s sup X π < s T 5 Jeśli X i Y są dwoma rozwiązaniami o jednoznaczność oznacza, że P X = Y dla dowolnego [s, T ] = 1

11 11 oraz gdzie K T jes sałą zależną wyłącznie od T. E sup X π x, s X π y, s K T x y, s T Twierdzenie Własność Markowa, zob Øksendal [6]. Niech dane będzie równanie dx = bx d + σx dw, gdzie funkcje b i σ spełniają warunek Lipschiza. Wedy dla dowolnej ograniczonej funkcji borelowskiej f i,h E x, fx+h F W ω = EXx,ωfX h, P- p. w. 1. Szczególne znaczenie w maemayce finansowej mają równania liniowe: { dx = b X d + σ X dw, X s = x. Procesy b oraz σ wysępujące w równaniu 1. nazywamy odpowiednio dryfem i zmiennością. Swierdzenie Jeśli b oraz σ są procesami {F W } [,T ] progresywnie mierzalnymi i T T P b d + σ d < = 1, o równanie 1. posiada jednoznaczne rozwiązanie: X = x exp b s 1 σ s ds + σ s dw s. Z wierdzenia wynika ponado, nasępujące Swierdzenie Jeśli procesy b i σ są ograniczone i Z jes rozwiązaniem sochasycznego równania różniczkowego wedy dla dowolnych z, R [, T ]. dz = b Z d + σ Z dw, E z, sup Z s < s T Twierdzenie o mierzalnym wyborze. Niech U R n będzie zbiorem borelowskim, naomias Γ R k zbiorem zwarym. Dana jes również ciągła funkcja f : U Γ R. Zagadnienie mierzalnego wyboru polega na wykazaniu, że isnieje borelowsko mierzalna funkcja η : U Γ aka, że η y arg min fy, η. Rezulay ego ypu są wykorzysywane w eorii serowania η Γ do konsrukcji rozwiązań opymalnych. Częso cyowanym w lieraurze wynikiem jes wierdzenie udowodnione w książce Fleminga i Rischela [8] dodaek B. Niesey w wielu

12 przypadkach bywa ono niewysarczające. Według niego odpowiednia funkcja borelowska owszem isnieje, ale warunek η y arg min fy, η jes spełniony ylko z dokładnością η Γ do zbioru miary Lebesgue a. Do wykazania użyecznego dla nas wierdzenia wykorzysany zosanie dosyć sary rezula wywodzący się jeszcze od Kuraowskiego i Ryll-Nardzewskiego, a kórego wypowiedź można odnaleźć w pracy Wagnera [39] wierdzenie 3.1. Wynika z niego, że do isnienia η wysarczy, aby spełnione były nasępujące warunki: Γ jes przesrzenią polską, dla wszyskich y U zbiór arg min fy, η jes zbiorem domknięym. η Γ dla wszyskich zbiorów owarych V Γ zbiór jes zbiorem borelowskim. {y U arg min fy, η V } η Γ Twierdzenie Jeżeli funkcja Hy := min fy, η jes ciągła, o isnieje funkcja η Γ borelowsko mierzalna η aka, że η y arg min fy, η. η Γ Dowód. Sprawdzamy warunki podane powyżej. arg min fy, η jes zbiorem domknięym, ponieważ f jes funkcją ciągłą. η Γ Wybierzmy dowolny oway zbiór V Γ. Niech {K n n = 1,,...} będzie ciągiem domknięych wsępujących zbiorów wypełniających V. Wedy {y U arg min fy, η V } = {y U arg min fy, η K n } η Γ η Γ n=1 Pokażemy, że dla dowolnego zbioru domknięego K zbiór W := {y U arg min fy, η K } η Γ jes zbiorem domknięym. Niech {y n n = 1,,...} W zbieżny do ȳ U. Isnieje ciąg {η y n n = 1,,...} aki, że η y n arg min fy, η K. Ponieważ Γ zwary o można wybrać podciąg η Γ {η y nk k = 1,,...} zbieżny do η K. Mamy 1 Hȳ = Zaem ȳ W i W jes domknięy w U. lim Hy n k = lim fy n k, η y nk = fȳ, η k + k Sformułowanie zagadnienia i meoda rozwiązania Model. Praca opara jes na modelu rynku finansowego, kóry jes nauralnym uogólnieniem modelu Blacka-Scholesa. Składa się on z m + 1 akywów finansowych {B T } i {S = S 1, S,..., S m T } oraz czynnika, kóry nie jes przedmioem obrou giełdowego {Y T }. B inerpreujemy jako kono bankowe, naomias S o akywa

13 obarczone ryzykiem np. akcje giełdowe. Zakładamy, że procesy, kóre zosały wprowadzone powyżej są silnymi rozwiązaniami układu sochasycznych równań różniczkowych: db = ry B d, 1.3 ds i = Sb i i Y d + Sσ i i, Y dw 1, i = 1,,... m, dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw, gdzie W = W 1, W T jes sandardowym procesem Wienera względem danej miary probablisycznej P na Ω, F, przyjmującym warości w R n R. ρ = ρ 1, ρ,..., ρ n jes współczynnikiem korelacji ρ := 1 ρ. Zakładamy, że współczynniki r : R [, +, g : R R,, a : R R, b = b 1,..., b m T, b i : R R, i = 1... m, σ = σ i,j i,j, σ i,j : R R, i = 1... m, j = 1... n 13 są funkcjami ciągłymi akimi, że isnieje jednoznaczne silne rozwiązanie układu 1.3. Dodakowo zakładamy, że macierz σyσ T y jes ściśle dodanio określona dla każdego y R. Założenie o niezależności współczynników od czasu jes wyłącznie dla wygody noacji i może zosać w niekórych przypadkach opuszczone. Model 1.3 obejmuje między innymi modele sochasycznej zmienności dla m=1 oraz modele krókoerminowej sopy procenowej. Zadaniem procesu Y jes częso modelowanie ryzyka niefinansowego np. dla ceny surowców energeycznych isone znaczenie będzie miała emperaura powierza. Oczywiście w wielu prakycznych zagadnieniach w modelu należy uwzględnić więcej niż jeden czynnik. I w wielu przypadkach dowodzone w pracy rezulay można rozszerzyć do modelu wieloczynnikowego. Problem jednak swarzają równania cząskowe, na kórych opare są sraegie opymalne. Powrócimy do ego zagadnienia w rozdziale drugim Ryzyko modelu. W ypowych czyso prakycznych problemach, wiedza na ema modelu 1.3 jes ylko wiedzą saysyczną, bowiem jego paramery są esymowane z danych hisorycznych. Dlaego podejmując decyzje inwesycyjne należy wziąć również pod uwagę ryzyko związane z niedoszacowaniem modelu. Różne są jednak definicje ryzyka modelu. W niniejszej pracy przyjmiemy, że znana jes przesrzeń zdarzeń elemenarnych Ω, F, naomias dana miara probablisyczna P niedokładnie oddaje zachowanie rynku. Wiadomo ylko yle, że rzeczywise prawdopodobieńswo należy do pewnego zbioru miar Q. Podążając za pracą Hernándeza i Schieda [18] oraz Schieda [33] rozważamy nasępującą rodzinę miar probablisycznych: Q := { Q P dq dp = E } η 1 dw 1 + η dw, η 1, η M, T gdzie E oznacza eksponenę Doleans-Dade a M oznacza zbiór progresywnie mierzalnych procesów η = η 1, η = η 1 1, η 1,..., η n 1, η o warościach w usalonym, zwarym i wypukłym zbiorze Γ R n R. Miarę wyznaczoną przez proces η M oznaczana jes

14 jako Q η. Z kryerium Novikova wierdzenie wynika, że rodzina Q jes dobrze zdefiniowana. Zgodnie z wierdzeniem Girsanowa wierdzenie dynamika procesu S może być zapisana w posaci ds i = S i b i Y + σ i, Y η 1 d + S i σ i, Y dw 1η, i = 1,,..., m, gdzie { W 1jη = W 1j W η = W η sds ηj 1sds, j = 1,,..., n, jes procesem Wienera względem miary Q η. Tak sformułowana niedokładność modelu może być zaem posrzegana jako ryzyko związane z niedoszacowaniem współczynnika dryfu b. Pominięcie niedokładności związanej z paramerem zmienności σ można wyłumaczyć ym, że błąd esymacji zmienności jes dużo mnejszy od błędu esymacji dryfu. Gdy proces η 1 zosanie dobrany ak, że ds i = S i ry d + S i σ i, Y dw 1η, i = 1,,..., m, o powiemy, że Q η jes miarą maryngałową 6. Miary ego ypu są używane do wyceny insrumenów pochodnych np. opcji Sraegia inwesycyjna i jej dynamika. Definicja {F W } T progresywnie mierzalny proces π = π, π = π, π 1,..., π m nazywamy sraegią finansową. Warością porfela bogacwem inwesora nazywamy proces 1.4 X = π + π π m. Proces π i o warość kapiału zainwesowanego w insrumeny i-ego ypu π o ilość pieniędzy włożona na kono bankowe / pożyczona z banku. Wśród wszyskich sraegii będziemy zaineresowani ylko akimi, kóre dopuszczają wyłącznie kapiał będący wynikiem działalności inwesycyjnej z poprzednich okresów. Dopuścimy również możliwość konsumowania części kapiału, dołączając do zdefiniowanej już sraegii proces progresywnie mierzalny c. Wprowadzimy nasępującą definicję: Definicja 1... Sraegię finansową π, c nazywamy samofinansującą, jeśli warość porfela spełnia 14 dx = π db + π1 ds 1 B S πm S m ds m c d. Jeśli π, c jes samofinansująca, o zgodnie z rachunkiem macierzowo wekorowym zapisujemy dx = π ry d + π by d + π σy dw 1 c d. 6 Tu maryngałem/lokalnym maryngałem jes proces S B

15 15 Dodakowo można wykorzysać równość 1.4 orzymując nasępujący problem: 1.5 { dx = ry X d + π by 1rY d + π σy dw 1 c d, X s = x, gdzie 1 := 1, 1,..., 1 T. Proces π = π 1,..., π m inerpreujemy jako część kapiału zainwesowanego w akywa obarczone ryzykiem S. Naomias proces c wyznacza inensywność konsumpcji. x jes kapiałem począkowym inwesora. Uwaga. Gdy dany jes proces progresywnie mierzalny π, c i X - jednoznaczne rozwiązanie równania 1.5 o saregię samofinansującą π, c orzymujemy wyznaczając π z równania X = π + π π m. Dla większości jednak problemów rozważanych w pracy należy założyć, że dopuszczalne sraegie są ściśle dodanie. W akich syuacjach wygodnie jes przyjąć, że dynamika porfela dana jes przez równanie liniowe 1.6 { dx = ry X + π by 1rY X d + π σy X dw 1 c X d, X s = x. W ym przypadku π będzie inerpreowane jako udział w porfelu ryzykownego akywa S, c naomias oznacza sopę konsumpcji. Dodakowo niech dana będzie ciągła funkcja β. Wprowadzamy zmienną losową βy T, kórą inerpreujemy jako wypłaę dla insrumenu pochodnego oparego o czynnik Y. Inwesor sprzedawca insrumenu w swoich decyzjach inwesycyjnych będzie chciał ograniczyć ryzyko niefinansowe związane z ym insrumenem. Tego ypu insrumeny sały się popularne między innymi na rynkach surowców energeycznych. Gdy nie jes uwzględnione ryzyko modelu zn. wyjściowa miara probablisyczna jes uznawana za dobry opis zachowania rynku, o według dominującej w lieraurze meodologii racjonalny inwesor wybiera opymalne sraegie inwesycyjne ak, aby maksymalizować oczekiwaną saysfakcję z przyszłej warości porfela. Do oceny saysfakcji sopnia awersji do ryzyka inwesor wykorzysuje funkcję użyeczności. Funkcją użyeczności nazywamy funkcję rosnącą, wklęsłą, dwukronie różniczkowalną w sposób ciągły. Najczęściej wysępujące w lieraurze funkcje użyeczności o: funkcja HARA funkcja CARA Ux = { x γ γ, gdy γ < 1 i γ, ln x, gdy γ = ; Ux = 1 1 γ e γx, γ >. Dodakowo w pracy rozważamy również funkcję Ux = x D, D R.

16 Nie jes o funkcja użyeczności, jednak jej znaczenie prakyczne jes częso dużo większe. Zakładamy, że dziedzina funkcji U jes przedziałem owarym i jes oznaczana symbolem DomU. Definicja Serowanie lub sraegia inwesycyjna π, c = {π, c, s T } jes dopuszczalne na przedziale [s, T ] i sanu począkowego x, y, π, c A s x, y, jeśli spełnia nasępujące warunki: 1 π, c jes progresywnie mierzalny względem filracji {F W } [s,t ], π, c przyjmuje warości w K I iloczynie karezjańskim podzbioru wypukłego R m oraz przedziału liczbowego I, 3 isnieje jednoznaczne rozwiązanie równania 1.6 względnie 1.5 akie, że prawie wszyskie rajekorie procesów c oraz X π,c x, y, s i zmienna losowa X π,c T x, y, s βy T y, s przyjmują warości w zbiorze DomU. Typowym problemem inwesycyjnym, najczęściej poruszanym zarówno w lieraurze, jak i ej pracy, jes przypadek K I = R m, +. Oznacza o, że dopuszczamy aby inwesor mógł zajmować dowolną pozycję na rynku, w szczególności aby mógł sosować króką sprzedaż Porfel opymalny i sraegie minimaksowe. Inwesor nie uwzględniający ryzyka modelu, znając usaloną i daną dokładnie miarę Q, pragnie osiągnąć największy możliwy sopień zadowolenia z konsumpcji c oraz końcowego kapiału X π,c T βy T. T > oznacza horyzon inwesycyjny. Ściślej ujmując inwesor dąży do ego aby gdzie maksymalizować J π,c,q x, y, ze względu na π, c A x, y, 1.7 J π,c,q x, y, := E Q x,y, T U c s Xs π,c ds + U X π,c T βy T. Zagadnienie przedsawione powyżej nazywane będzie w dalszej części pracy problemem klasycznym. Ponieważ isnieje niepewność związana z zaproponowanym modelem, o opymalne sraegie inwesycyjne powinny uwzględniać, oprócz ryzyka rynkowego, akże ryzyko modelu. W związku z ym opymalnymi nazwiemy e sraegie, kóre spełniają kryerium najgorszego możliwego scenariusza. Bardziej precyzyjnie, zakładamy, że celem inwesora jes maksymalizacja inf J π,c,q x, y, ze względu na π, c A x, y. Q Q Problem zosanie w pracy porakowany jako gra sochasyczna o sumie zero pomiędzy rynkiem i inwesorem. Celem będzie odnalezienie akiego punku siodłowego π, c, Q A x, y Q, dla kórego J π,c,q x, y, J π,c,q x, y, J π,c,q x, y,. W kolejnych rozdziałach pokażemy jak wykorzysać eorię równań różniczkowych cząskowych do rozwiązania wybranych ważnych problemów inwesycyjnch. Równania, 16

17 kóre zosaną wykorzysane noszą nazwę równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca lub Bellmana-Isaaca i są analogonami równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana wysępującymi w eorii serowania sochasycznego. Zasosowanie ej eorii pozwoli na odnalezienie punku siodłowego w posaci Markowa. Oznacza o, że punk siodłowy zosanie wyznaczony przez rójkę funkcji borelowsko mierzalnych π x, y,, c x, y,, η x, y,. Wedy, dla usalonego punku sarowego x, y, s, opymalną sraegię inwesycyjną ze zbioru A s x, y orzymujemy ze wzorów: 1.8 π = π X π,c, Y,, c = c X π,c, Y,, gdzie para procesów {X π,c, Y s T } jes rozwiązaniem problemu dx = ry X d + π X, Y, by 1rY X d + π X, Y,, X σy dw 1 c X, Y, X d, 1.9 dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw, X s = x, Y s = y. Naomias miara Q dana jes przez dq dp = E η1x π,c, Y, dw 1 + ηx π,c, Y, dw s Jeśli dla każdego punku sarowego x, y, isnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu 1.9 i sraegia π, c dana przez 1.8 jes dopuszczalna, o rójkę borelowsko mierzalnych funkcji π x, y,, c x, y,, η x, y, przyjmujących warości w K I Γ nazwiemy dopuszczalnym serowaniem Markowa. Funkcja 1.7 zosała zdefiniowana ogólnie ak, aby obejmowała jak najwięcej problemów inwesycyjnych. Nie należy jednak spodziewać się, że dla wybranej funkcji użyeczności rozwiązania wszyskich problemów, obejmujących zarówno proces konsumpcji oraz insrumen pochodny, będzie można odnaleźć. W kolejnych rozdziałach zajmujemy się ylko akimi zagadnieniami, kóre akie rozwiązania posiadają.. T Równania Hamilona Jacobiego Bellmana Isaaca i wierdzenia weryfikacyjne Tuaj zosaną przedsawione najbardziej ogólne rezulay doyczące związku posawionego problemu inwesycyjnego z odpowiednim równaniem HJBI i częściowe rozwiązanie posawionego problemu Twierdzenie weryfikacyjne. Przez L oznaczamy operaor 1.1 L π,c,η V x, y, = V + 1 a yv yy + 1 π σyσt yπ T x V xx + ayπσyρ T xv xy + ayρη 1 + ρη V y + gyv y + πby 1ry + σyη 1 xv x + ryxv x cxv x.

18 Uwaga Operaor 1.1 jes ściśle związany z dynamiką porfela 1.6po zasosowaniu ransformacji Girsanowa z miarą Q η. Jeżeli problem wymaga wykorzysania dynamiki 1.5 zn. dopuszczamy aby warość porfela przyjmowała warość, o w definicji operaora należy zamienić wyrażenie xπ na π. Związek pomiędzy grami różniczkowymi a równaniami Isaaca wypowiemy radycyjnie w posaci wierdzenia weryfikacyjnego. Jes o przeformułowany i mocniejszy rezula od ego pochodzącego z pracy Maarmwura i Øksendal []. Twierdzenie Niech U będzie funkcją przyjmującą warości nieujemne. Niech będzie dana nieujemna funkcja V C,,1 DomU R [, T C DomU R [, T ] i dopuszczalne serowania Markowa π x, y,, c x, y,, η x, y, akie, że L π x,y,,c x,y,,η V x, y, + Uc x, y, x, L π,c,η x,y, V x, y, + Ucx, L π x,y,,c x,y,,η x,y, V x, y, + Uc x, y, x =, V x, y, T = U x βy dla wszyskich η Γ, π, c K I, x, y, DomU R [, T. Ponado 1.15 E Q x,y, V X π,c s, Y s, s < sup s T dla każdego x, y, R [, T ], Q Q. Wedy dla π, c A x, y, Q Q i J π,c,q x, y, V x, y, J π,c,q x, y, V x, y, = J π,c,q x, y,. Dowód. Usalmy x, y, DomU R [, T. Wybierzmy dowolne η M i rozważmy układ równań różniczkowych dx =ry X d + π X, Y, by 1rY X d π X, Y,, X σy dw 1 c X, Y, X d, dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw. Zapiszmy Q η -dynamikę układu Sosując ransformację Girsanowa wierdzenie mamy dx =ry X d + π by 1rY + σy η 1 X d π σy X dw 1η c X d, dy = gy + ay ρη 1 + ρη d + ay ρdw 1η + ρdw η, gdzie π = π X, Y,, c = c X, Y, i W 1η danym przez { dw 1jη = dw 1j η j 1d, j = 1,,..., n, dw η = dw η d. 18, W η T jes Q η - procesem Wienera

19 19 Jeśli zasosujemy wzór Iô do układu 1.17 i funkcji V, o orzymamy 7 E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n = V x, y, + E Qη x,y, T ε T ε n L π s,ηs V X s, Y s, sds + E Qη x,y, T ε T ε n M ε s dw η s, gdzie Tn, ε n = 1,,..., Tn ε + jes lokalizującym ciągiem momenów sopu 8 akim, że Wykorzysując 1.11 mamy E Qη x,y, T ε T ε n M ε s dw η s =. E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n V x, y, E Qη x,y, T ε T ε n Uc X d. Ponieważ zachodzi 1.15, możemy zasosować wierdzenie o zbieżnościach zmajoryzowanych. Przechodząc do granicy n +, ε i korzysając z 1.14 orzymujemy V x, y, J π,c,q x, y,. Jeśli zasąpimy η przez η i użyjemy 1.13, o V x, y, = J π,q x, y,. Nasępnie wybieramy dowolne π, c A x, y i sosujemy wzór Iô do układu { dx = ry X d + π by 1rY + σy η1x d + π σy X dw 1η c X d, dy = gy + ay ρη1 + η ρd + ay ρdw 1η + ρdw η. Powarzając meodę zaprezenowaną powyżej i używając 1.1 dosajemy E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n V x, y, E Qη x,y, Korzysając z lemau Faou mamy V x, y, J π,c,q x, y,. T ε T ε n Uc X d. Uwaga Zamias zakładać, że funkcja użyeczności U i funkcja V są nieujemne można założyć alernaywnie, że warunek 1.15 przujmuje posać: E Q x,y, sup V Xs π,c, Y s, s <, s T T E Q x,y, Uc k Xs π,c dk < 7 Ponieważ funkcja V nie jes różniczkowalna na całym DomU R [, T ], o wzór Iô sosowany jes na DomU R [, T ε] 8 Należy zapoznać się z uwagą 1.1.9

20 dla wszyskich x, y, DomU R [, T ], π, c A x, y, Q Q. Założona nieujemność U oraz V niezbędna była ylko do skorzysania z lemau Faou. Z wprowadzonych u założeń skorzysamy między innymi dla funkcji Ux = ln x i Ux = e γx. Uwaga Zbiór dopuszczalnych sraegii A s x, y w wierdzeniu weryfikacyjnym można zasąpić dowolnym jego podzbiorem. Uwaga. Należy zwrócić uwagę, że zachodzą jeżeli spełnione są nasępujące dwa równania Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca: max max π K c I min η Γ Lπ,η V x, y, + Ucx =, min η Γ max π K max c I Lπ,η V x, y, + Ucx =, V x, y, T = Ux βy Twierdzenie o minimaksie. W ypowych problemach inwesycyjnych np. gdy K = R m analizę problemu wygodnie jes zacząć od zbadania równania 1.19 i wskazania jego rozwiązania. Aby wykazać, że jes o również rozwiązanie równania 1.18 porzebne są rezulay będące jednocześnie wersją wierdzenia o minimaksie. Będziemy mogli powoływać sie na klasyczne wierdzenie udowodnione przez Fana [7]. Twierdzenie Fan [7]. Niech X będzie zwarą przesrzenią Hausdorffa, Y naomias dowolnym zbiorem niekoniecznie wyposażonym w opologię. Niech f będzie funkcją o warościach rzeczywisych określoną na X Y. Jeśli f jes wypukła na X oraz wklęsła na Y o min sup η X π Y fπ, η = sup π Y min fπ, η. η X Dowód powyższego rezulau korzysa z klasycznego wierdzenia wywodzącego się od von Neumanna. W przypadku gdy K = R m możliwe jes przeprowadzenie dowodu niezależnego. Pokazuje o poniższe swierdzenie. Swierdzenie Jeżeli A jes macierzą symeryczną i ściśle dodanio określoną, b, b, c R n, a <, c R, o min η Γ max π R aπaπt + πbη 1 + b + cη 1 + cη = max π R m min η Γ aπaπt + πbη 1 + b + cη = aπ Aπ T + π bη 1 + b + cη 1 + cη, gdzie η bη1 arg min a b T A 1 bη1 b η 1,η Γ a a bη1 + b T A 1 bη 1 + a b + cη 1 + cη, π T = A 1 bη 1 b. a

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

Silniki cieplne i rekurencje

Silniki cieplne i rekurencje 6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

Europejska opcja kupna akcji calloption

Europejska opcja kupna akcji calloption Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała

Bardziej szczegółowo

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014

Raport: Modele Matematyczne w Finansach 2014 Rapor: Modele Maemayczne w Finansach 2014 Krzyszof Bisewski Pior Bochnia Kamila Domańska Pior Garbuliński Elżbiea Gawłowska Grzegorz Głowienko Barosz Głowinkowski Magdalena Hubicz Marcin Kania Paweł Marcinkowski

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Maksyminowe strategie immunizacji portfela Alina Kondraiuk-Janyska Maksyminowe sraegie immunizacji porfela rozprawa dokorska Promoor: dr hab. Leszek Zaremba Kaedra Meod Ilościowych Wyższa Szkoła Zarządzania- The Polish Open Universiy Wydział Fizyki

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa dariusz.sanko@gmail.com lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar. EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1 Bogdan Ludwiczak Wprowadzenie Ocena płynności wybranymi meodami szacowania osadu W ubiegłym roku zaszły znaczące zmiany doyczące pomiaru i zarządzania ryzykiem bankowym. Są one konsekwencją nowowprowadzonych

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR

OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach OPTYMALIZACJA PORTFELA IWESTYCYJEGO ZE WZGLĘDU A MIIMALY POZIOM TOLERACJI DLA USTALOEGO VaR Wprowadzenie W osanich laach bardzo popularną miarą ryzyka sała

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1 Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy

Bardziej szczegółowo

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny

Bardziej szczegółowo

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele: 1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE 2 hp://www.oucome-seo.pl/excel2.xls DODATEK SOLVER WERSJE EXCELA 5.0, 95, 97, 2000, 2002/XP i 2003. 3 Dodaek Solver jes dosępny w menu Narzędzia. Jeżeli Solver nie jes dosępny

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM

PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM PROGNOZOWANIE W ZARZĄDZANIU PRZEDSIĘBIORSTWEM prof. dr hab. Paweł Dimann 1 Znaczenie prognoz w zarządzaniu firmą Zarządzanie firmą jes nieusannym procesem podejmowania decyzji, kóry może być zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Estymacja stopy NAIRU dla Polski *

Estymacja stopy NAIRU dla Polski * Michał Owerczuk * Pior Śpiewanowski Esymacja sopy NAIRU dla Polski * * Sudenci, Szkoła Główna Handlowa, Sudenckie Koło Naukowe Ekonomii Teoreycznej przy kaedrze Ekonomii I. Auorzy będą bardzo wdzięczni

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI

WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,

Bardziej szczegółowo

Jacek Kwiatkowski Magdalena Osińska. Procesy zawierające stochastyczne pierwiastki jednostkowe identyfikacja i zastosowanie.

Jacek Kwiatkowski Magdalena Osińska. Procesy zawierające stochastyczne pierwiastki jednostkowe identyfikacja i zastosowanie. DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska Uniwersye Mikołaja Kopernika Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski jednoskowe idenyfikacja i zasosowanie.. Wsęp Większość lieraury

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII KRZYSZTOF JAJUGA Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII. Modele makroekonomiczne a modele sóp procenowych wprowadzenie Nie do podważenia

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: mgr inż. ŻANETA PRUSKA DODATEK SOLVER 2 Sprawdzić czy w zakładce Dane znajduję się Solver 1. Kliknij przycisk Microsof Office, a nasępnie kliknij przycisk Opcje

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym

Bardziej szczegółowo

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki

Bardziej szczegółowo

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE

WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Wprowadzenie Jednym z aspeków współczesnej ekonomii jes zarządzanie ryzykiem związanym

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów:

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję

Bardziej szczegółowo

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27

1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27 3 Spis reści Spis reści... 3 Użye oznaczenia... 7 Wsęp i założenia pracy... 9 1. Akualny san wiedzy medycznej i echnicznej związanej zagadnieniami analizy decyzyjnej w chorobach górnego odcinka przewodu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Modelowanie stóp procentowych a narzędzia ekonometrii finansowej

Krzysztof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Modelowanie stóp procentowych a narzędzia ekonometrii finansowej DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

Modele Markov-Functional przegląd wybranych własności i zastosowanie do wyceny wybranych instrumentów pochodnych

Modele Markov-Functional przegląd wybranych własności i zastosowanie do wyceny wybranych instrumentów pochodnych Uniwersye Warszawski Wydział Maemayki, Informayki i Mechaniki Rober Pysiak Nr albumu: 234577 Modele Markov-Funcional przegląd wybranych własności i zasosowanie do wyceny wybranych insrumenów pochodnych

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 87 Transpor 01 Jarosław Poznański Danua Żebrak Poliechnika Warszawska, Wydział Transporu ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH

ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH Pior KISIELEWSKI, Łukasz SOBOTA ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH W arykule przedsawiono zasosowanie eorii masowej obsługi do analizy i modelowania wybranych sysemów

Bardziej szczegółowo

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

Bardziej szczegółowo