Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu

Transkrypt

1 Dariusz Zawisza Opymalne sraegie inwesycyjne wobec ryzyka modelu Praca dokorska Insyu Maemayki Wydział Maemayki i Informayki Uniwersye Jagielloński Promoor: dr hab. Armen Edigarian KRAKÓW 1

2 Spis reści Wsęp 3 Rozdział 1. Podsawowe faky, oznaczenia i sformułowanie zagadnienia Oznaczenia, definicje i podsawowe rezulay Sformułowanie zagadnienia i meoda rozwiązania Równania Hamilona Jacobiego Bellmana Isaaca i wierdzenia weryfikacyjne 17 Rozdział. Punk siodłowy dla użyeczności ypu HARA 5.1. Rozwiązanie dla γ 5.. Ograniczenia porfelowe Funkcja logarymiczna 3.4. Modyfikacje i rozszerzenia problemu 34 Rozdział 3. Użyeczność ypu CARA oraz problem Markowiza Preferencje ypu CARA Sraegie odporne w modelu Markowiza 41 Rozdział 4. Problem inwesycyjny z nieskończonym horyzonem czasowym Sformułowanie problemu i wierdzenia weryfikacyjne Rozwiązanie problemu dla użyeczności ypu HARA 5 Rozdział 5. Rozwiązania klasyczne wybranych nieliniowych równań cząskowych Podsawowe faky doyczące parabolicznych równań różniczkowych cząskowych Równania paraboliczne Równania elipyczne 58 Bibliografia 63

3 Wsęp Moywacja. Niepewność i losowość jes nieodłączną częścią oaczającej nas rzeczywisości. Pojawia się ona w układach fizycznych, bilogicznych, ale również i w ekonomiczno-finansowych. Decyden musi w opymalny sposób wpływać na aki układ, aby osiągnąć pożądany skuek. Teoria sochasycznego serowania jes odpowiednim narzędziem do rozwiązywania problemów decyzyjnych ego ypu. Taka syuacja doyczy również rynków inwesycyjnych. Zaczynając od prac Merona [3] wyszukane meody eorii sochasycznego serowania zosały rozwinięe w celu poszukiwania opymalnej sraegii inwesycyjnej. Wspomniana eoria wykorzysuje pojęcie funkcji użyeczności saysfakcji mierzącej sopień zadowolenia inwesora z posiadanego dobra. Inwesor buduje sochasyczny model rynku finansowego i w danym modelu wybiera sraegię inwesycyjną, kóra maksymalizuje oczekiwaną użyeczność przyszłej warości porfela. Bardziej precyzyjnie inwesor maksymalizuje funkcjonał X E P UX. Częso jednak pomijano milczeniem fak, że informacje doyczące modelu rynku finansowego mają charaker saysyczny. Paramery modelu są esymowane z danych hisorycznych, w związku z ym w decyzjach inwesycyjnych należy również uwzględnić ryzyko płynące z ich niedokładności. Zdarzały się bowiem w hisorii duże sray różnorodnych insyucji finansowych spowodowane właśnie złym doborem modelu. Jako pierwszy na porzebę odróżnienia ryzyka modelu niepewności od ryzyka związanego z konkrenym modelem probablisycznym, zwrócił uwagę Knigh [19]. Ellsberg [6] naomias dosraczył dowodów empirycznych powierdzających iż dokonując wyborów decydenci nie kierują się posacią wyłącznie jednego modelu probablisycznego. Wśród różnych pomysłów uwzględnienia ryzyka modelu w opymalizacji, największą popularność zdobyła meoda minimaksowa, nosząca również nazwę opymalizacji odpornej. Meoda a polega na wyznaczeniu rodziny miar probablisycznych Q, wyznaczających zakres popełnionego przy konsrukcji modelu błędu i posługując się kryerium najgorszego możliwego scenariusza dążeniu do maksymalizacji funkcjonału odpornego X inf Q Q EQ UX. Okazało się również, że można podać aksjomayczną definicję relacji X Y inf Q Q EQ UX inf Q Q EQ UY Gilboa i Schmeidler [1], w sposób analogiczny do aksjomaycznej definicji relacji X Y E Q UX E Q UY wprowadzonej przez Morgenserna i von Neumanna. 3

4 Niniesza praca jes poświęcona sraegiom minimaksowym. Badania prowadzone są w modelu sanowiącym uogólnienie modelu Blacka-Scholesa. Rynek finansowy jes wyznaczony przez proces dyfuzji, kórego współczynniki zależne są od obserwowalnego czynnika, kóry nie jes przedmioem obrou giełdowego. Model obejmuje w szczególności modele sochasycznej zmienności, modele krókoerminowej sopy procenowej oraz modele cen surowców energeycznych. 4 Przegląd lieraury. Pierwszy ważny krok w zagadnieniach doyczących poszukiwania opymalnej sraegii inwesycyjnej zosał wykonany przez Markowiza [1] w roku 195. Opymalnymi nazwał on e sraegie, dla kórych sopa zwrou z prorfela ma najmniejszą wariancję wśród ych o usalonej oczekiwnej sopie zwrou. Była o jednak opymalizacja sayczna, co oznacza, że porfel nie zmieniał się od począku inwesycji aż do jej końca. Przełomu dokonał Meron [3], [4], kóry sformułował zagadnienie dynamiczne, w kórym porfel może się zmieniać w każdym momencie rwania inwesycji. Według eorii zbudowanej przez niego sraegia opymalna o aka, kór maksymalizuje oczekiwaną użyeczność warości porfela. Wraz z pojawianiem się nowych modeli rynków finansowych, zagadnienia doyczące wyboru opymalnej sraegii inwesycyjnej sały się obiekem zaineresowania wielu maemayków. Bogay zbiór lieraury nie pozwala jednak wypisać wszyskich znaczących osiągnięć w ej dziedzinie. Tu zosaną przywołane ylko e, kóre miały wpływ na wygląd ej pracy. Dobry przewodnik po ych zagadnieniach sanowi książka Phama [9]. Rozwiązania problemów inwesycyjnych dla skończonego horyzonu czasowego, i w modelach analogicznych do modelu rozważanego w ej rozprawie, odnajdziemy w pracach Zariphopoulou [41], [4], Musiela i Zariphopoulou [5], Soikov i Zariphopoulou [35], Pham [3], naomias dla nieskończonego horyzonu inwesycyjnego w pracy Hernandeza i Fleminga [17]. Są o rozwiązania bazujące na eorii serowania sochasycznego. Należy zaznaczyć, że eoria serowania nie jes jedyną meodą rozwiązywania problemów opymalizacyjnych w finansach. Częso rozwiązania oprae są o zw. meodę dualną wykorzysującą ransformację Fenchela Legendre a i meody analizy wypukłej lub meodę oparą na eorii równań sochasycznych wsecznych ang. Backward Sochasic Differenial Equaions. Jednakże meody e, w przeciwieńswie do zagadnień serowania, skupiają sie głównie na wykazaniu isnienia opymalnej sraegii i nie zawsze dosarczają meod jej konsrukcji. Opymalizacja odporna pojawiła się w lieraurze poświęconej sraegiom inwesycyjnym na począku XXI w. W pracach Fölmer i Gundel [1], Gundel [14], Schied i Wu [3] różnorodne problemy inwesycyjne rozwiązywane były meodą dualną. Aby wypisać sraegię opymalną dla funkcji klasy HARA ang. hyperbolic absolue risk aversion, Hernandez i Schied [18] [31] oraz Schied [33] wykorzysują połączenie meod analizy wypukłej i eorii sochasycznego serowania. Maaramvura i Øksendal [], Øsendal i Sulem [8], [7] rozwiązują problemy inwesycyjne opare o procesy dyfuzyjno-skokowe wykorzysując eorię gier różniczkowych i równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca. Równanie HJBI wykorzysywane jes również w modelach przełącznikowych w pracy Siu [34]. Należy również wyróżnić pracę Talaya i Zhenga w kórej dowodzone jes, że funkcja

5 warości odpowiedniej gry różniczkowej dla modelu dyfuzyjnego jes rozwiązaniem lepkościowym równania HJBI. Rozwiązanie dla funkcji CARA consan absolue risk aversion zosało znalezione w pracy Zawiszy [43]. Nie powinno się zapominać również o pracach poświęconych wpływowi ryzyka modelu na wycenę insrumenów pochodnych. Waro przeczyać arykuł napisany przez Cona [5]. Praca a zawiera również bogaą bibliografię doyczącą ego zagadnienia. Niniejsza rozprawa również opiera się na eorii gier różniczkowych i równaniach HJBI. Nowością w sosunku do obecnego sanu lieraury są rozwiązania odpornej wersji problemu Markowiza oraz sformułowanie problemu minimaksowego dla nieskończonego horyzonu czasowego umożliwiającego przeprowadzenie dowodu wierdzenia weryfikacyjnego. Przeprowadzane są eż dowody wierdzeń o isnieniu i jednoznaczności gładkich rozwiązań semiliniowych równań cząskowych. Wykazano w en sposób, że możliwe jes osłabienie, zaproponowanych w wielu pracach, założeń doyczących współczynników modelu. Organizacja pracy. Rozprawa zosała podzielona na 5 rozdziałów. Pierwszy rozdział poświęcony zosał sformułowaniu zagadnienia. Opisana zosała również meoda rozwiązania wykorzysująca eorię sochasycznych gier różniczkowych. Sformułowane i udowodniona zosała odpowiednia wersja wierdzenia weryfikacyjnego wierdzenie 1.3. łączącego równanie Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca ze wspomnianą grą. Zagadnienie zosało sformułowane dość ogólnie ak, aby obejmowało możliwie szeroką klasę problemów inwesycyjnych. W kolejnych rozdziałach przedsawione są rozwiązania dla ypowych funkcji użyeczności. Nie powinniśmy jednak spodziewać się, że dla wybranej funkcji użyeczności problem może być rozwiązany w dużej ogólności. Dlaego w kolejnych rodziałach badane będą ylko e problemy, dla kórych rozwiązanie isnieje i można je wypisać korzysająć z rozwiązań równania cząskowego. W drugim rozdziale ogólne rezulay z rozdziału pierwszego zosały wykorzysane do zbadania problemów inwesycyjnych dla funkcji użyeczności klasy HARA Ux = x γ. Uzyskujemy między innymi rozwiązanie zob. wierdzenie.1. wypracowane innymi meodami w pracach Hernandeza i Schieda [18] i Schieda [33]. Opymalna sraegia opara jes o równanie cząskowe, kóre my dodakowo porafimy uprościć do równania Hamilona-Jacobiego-Bellmana sosując ransformacje wprowadzone do lieraury przez Zariphopoulou [41], [4]. Dla wygody oznaczeń w ym oraz nasepnych rozdziałach przedswiony jes rynek składający się z jednego ryzykownego akywu i kona bankowego. Uzyskane w rozdziale pierwszym wyniki umożliwiają rozszerzenie rozwiązania do przypadku rynku wielowymiarowego. Pierwsza część rozdziału rzeciego doyczy problemu zabezpieczenia insrumenu pochodnego oparego o czynnik, kórym nie można obracać na rynku. Są o wyniki zob w , kóre zosały opublikowane w czasopiśmie Applicaiones Mahemaicae Zawisza [43]. W drugiej części rozdziału rzeciego sformułowany zosaje problem odporny w oparciu o kryerium Markowiza. Według wiedzy auora wyniki u uzyskane zob. wierdzenie 3..4 nie pojawiły się wcześniej w lieraurze. Oba rozważane w ym rozdziale problemy rozparywane są łącznie, ponieważ w obu przypadkach dopuszczamy aby warość porfela inwesora przyjmowała warość ujemną, ponado zakładamy deerminisyczną posać sopy procenowej. 5

6 W rozdziale czwarym badana jes odporna wersja problemu inwesycyjnego z nieskończonym horyzonem inwesycyjnym; dowodzona jes odpowiednia posać wierdzenia weryfikacyjnego zob. wierdzenie 4.1.1, kóre nasępnie sosowane jes do użyeczności klasy HARA. Na rozdział piąy składają się dowody isnienia i jednoznaczności równań semiliniowych, kóre zosały wykorzysane w rozdziałach poprzedzających zob. w. 5..1, 5.. oraz W rezulaach ych pojawiają się słabsze założenia doyczące współczynników modelu niż cyowane w lieraurze rezulay pochodzące z książek Fleming i Rischel [8], Fleming i Soner [9]. W dowodach wykorzysywany jes wzór Feynmana-Kaca i meody analogiczne do ych zaproponowanych w pracy Becherer i Schweizer [1] dla równań reakcji dyfuzji. Podziękowania. Jesem wdzięczny mojemu promoorowi dr hab. Armenowi Edigarianowi za wsparcie udzielone podczas pisania niniejszej rozprawy. 6

7 ROZDZIAł 1 Podsawowe faky, oznaczenia i sformułowanie zagadnienia 1.1. Oznaczenia, definicje i podsawowe rezulay Analiza sochasyczna. Rozprawa rozpoczyna się wprowadzeniem niezbędnych oznaczeń. Dokonany zosanie również przegląd rezulaów, kórych znajomość jes niezbędna do zrozumienia ej pracy. Pochodzą one głównie z książek Øksendala [6] oraz Phama [9]. Przez Ω, {F } T, F, P oznaczamy przesrzeń probablisyczną z filracją {F } T, gdzie T = [, T ] lub T = [, +, względnie T = [T, T ], T, T >. Pod pojęciem procesu sochasycznego X na T rozumiemy rodzinę wekorów losowych {X 1, X,..., X m T} o usalonym wymiarze m. Definicja Proces {X T} nazywany jes mierzalnym jeśli odwzorowanie Ω T ω, X ω jes F BT - mierzalne 1. Proces {X T} nazywany jes adapowanym do filracji {F } T, jeśli dla dowolnego T zmienna losowa X jes F - mierzalna. 3 Proces {X T} nazywany jes progresywnie mierzalnym względem filracji {F } T, jeśli dla dowolnego T T odwzorowanie Ω [, T ] ω, X ω jes F T B[, T ] - mierzalne. Jeśli η jes funkcją borelowsko mierzalną i proces X jes mierzalny adapowany / progresywnie mierzalny, o z faku iż złożenie funkcji mierzalnej i borelowsko mierzalnej jes mierzalne wynika, że proces ηx jes mierzalny adapowany / progresywnie mierzalny. Definicja Proces {X T} nazywamy {F } T - maryngałem jeśli jes on {F } T - adapowany, E X < dla T oraz EX F s = X s, P p.w, s. Definicja Proces {X T} nazywamy lokalnym {F } T -maryngałem jeśli jes {F } T - adapowany i isnieje niemalejący ciąg momenów sopu {τ n n = 1,,...} aki, że lim τ n = + oraz dla każdego n proces {X τn T} jes {F } T -maryngałem. n + Definicja W = {W 1, W,..., W n T T} nazywamy sandardowym procesem Wienera, gdy P W = = 1, prawie wszyskie rajekorie są ciągłe oraz przyrosy są 1 F BT oznacza σ-algebrę produkową F i zbiorów borelowskich Symbolem A T oznaczamy ranspozycję macierzy A 7

8 niezależne i sacjonarne o rozkładzie wielowymiarowym normalnym ze średnią i macierzą kowariancji równą si 3. {F W } T oznacza filrację generowaną przez proces Wienera i zbiory P - miary. Symbolem T n T σ s dw s = σsdw j s j j=1 oznaczamy całkę sochasyczną względem {F W } [,T ] progresywnie mierzalnego procesu σ = σ 1, σ,..., σ n akiego, że T P σ s ds < = 1. Definicję całki sochasycznej można odnaleźć między innymi w książce Øksendala [6]. Definicja Niech W = W 1, W,..., W n T będzie sandardowym procesem Wienera. Definiujemy proces Iô jako proces X = X 1, X,..., X m T o warościach w R m aki, że prawie na pewno X = X + o znaczy X i = X i + b s ds + b i sds + σ s dw s, T, n j=1 σ i,j s dw j s, T, gdzie X jes F W mierzalna, b = b 1,..., b m T, σ = σ 1,..., σ n = σ i,j 1 i m, 1 j n są progresywnie mierzalnymi procesami względem filracji {F W } [,T ] akimi, że T T P b s ds + σ s ds < = 1. Zapisuje się częso: dx = b d + σ dw. Definicja Jeśli X jes procesem Iô i π = π 1, π,..., π m jes procesem {F W } [,T ] progresywnie mierzalnym akim, że T T P π s b s ds + πsσ sds < = 1, o definiujemy całkę T π s dx s := T π s b s ds + π s σ s dw s. 8 3 I oznacza macierz idenyczości

9 Twierdzenie Wzór Iô. Jeśli X jes procesem Iô, i funkcja f jes klasy C,1 na zbiorze R m [, T ], o prawie na pewno, dla dowolnego [, T ] mamy f m fx, = fx, + X f s, sds + x X s, sb i sds i + 1 m i=1 n j=1, f x i x j X s, s n k=1 i=1 σs i,k σs j,k ds + m i=1 n j=1 f x i X s, sσ i,j s dw j s. Twierdzenie Twierdzenie Girsanowa, zob. Øksendal [6]. Jeśli {η = η 1, η,..., η n [, T ]} jes {F W } [,T ] progresywnie mierzalnym procesem sochasycznym i T E exp η s dw s 1 T η s ds = 1, o proces W η,j := W j η js ds, j = 1,,..., n jes procesem Wienera oraz {F W } [,T ] maryngałem względem miary określonej na F T i zadanej przez dq η T dp = exp η s dw s 1 T η s ds. Sam proces E η s dw s nazywamy eksponeną Doleans-Dade. := exp η s dw s 1 η s ds, [, T ] Uwaga Jeśli proces σ jes progresywnie mierzalny względem {F W T P σ s ds = 1, o nie musi być on adapowany względem {F W η } [,T ]. Mimo o całka T σ s dw η s. } [,T ] i jes dobrze zdefiniowana. Mianowicie analogicznie do całki wzgledem procesu Wienera wprowadza się całkę względem maryngału całkowalnego z kwadraem 4. Ponado proces { } σ s dws η [, T ] jes lokalnym Q η i {F W } [,T ] maryngałem. Co w szczególności oznacza, że isnieje niemalejący ciąg momenów sopu {τ n n = 1,,...} aki, że lim τ n = + oraz n + [9] τn E Qη θ s dws η =. 4 Definicja akiej całki i jej podsawowe własności zosała podana między innymi w książce Phama 9

10 1 Twierdzenie Kryerium Novikova, zob. Øksendal [6]. Jeśli 1 T E exp η s ds <, o T E exp η s dw s 1 T η s ds = 1. W pracy zosaną wykorzysane elemeny eorii sochasycznego serowania. Teoria a znajduje zasosowanie wszędzie am, gdzie należy dobrać odpowiednie paramery serowanie układu fizycznego aby pracował on w sposób pożądany. Ewolucję układu, gdy zosało wybrane serowanie π = {π s T } opisuje sochasyczne równanie różniczkowe { dx = bx,, π d + σx,, π dw, 1.1 X s = ξ. Rozwiązaniem silnym problemu 1.1 nazywamy {F W } [s,t ] - adapowany i prawie wszędzie ciągły proces X, dla kórego P- prawie na pewno X = ξ + s bx k, k, π k dk + s σx k, k, π k dw k, [s, T ]. Jeśli isnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu 1.1 o oznaczane jes ono jako X π ξ, s. Dla danego odwzorowania przyjmujemy, że F : C[, T ] R E Q x,sf X π := E Q F X π x, s, gdzie E Q oznacza warość oczekiwaną względem miary Q. Twierdzenie zob. Pham [9]. Niech isnieje sała L, że dla każdego [, T ], x, y R m bx,, π by,, π L x y, E σx,, π σy,, π L x y, T σ,, π + b,, π d <, Wedy dla wszyskich s [, T ] i dla każdej zmiennej losowej F s - mierzalnej, E ξ < isnieje jednoznaczne 5 i silne rozwiązanie problemu 1.1 na odcinku [s, T ]. Ponado E x,s sup X π < s T 5 Jeśli X i Y są dwoma rozwiązaniami o jednoznaczność oznacza, że P X = Y dla dowolnego [s, T ] = 1

11 11 oraz gdzie K T jes sałą zależną wyłącznie od T. E sup X π x, s X π y, s K T x y, s T Twierdzenie Własność Markowa, zob Øksendal [6]. Niech dane będzie równanie dx = bx d + σx dw, gdzie funkcje b i σ spełniają warunek Lipschiza. Wedy dla dowolnej ograniczonej funkcji borelowskiej f i,h E x, fx+h F W ω = EXx,ωfX h, P- p. w. 1. Szczególne znaczenie w maemayce finansowej mają równania liniowe: { dx = b X d + σ X dw, X s = x. Procesy b oraz σ wysępujące w równaniu 1. nazywamy odpowiednio dryfem i zmiennością. Swierdzenie Jeśli b oraz σ są procesami {F W } [,T ] progresywnie mierzalnymi i T T P b d + σ d < = 1, o równanie 1. posiada jednoznaczne rozwiązanie: X = x exp b s 1 σ s ds + σ s dw s. Z wierdzenia wynika ponado, nasępujące Swierdzenie Jeśli procesy b i σ są ograniczone i Z jes rozwiązaniem sochasycznego równania różniczkowego wedy dla dowolnych z, R [, T ]. dz = b Z d + σ Z dw, E z, sup Z s < s T Twierdzenie o mierzalnym wyborze. Niech U R n będzie zbiorem borelowskim, naomias Γ R k zbiorem zwarym. Dana jes również ciągła funkcja f : U Γ R. Zagadnienie mierzalnego wyboru polega na wykazaniu, że isnieje borelowsko mierzalna funkcja η : U Γ aka, że η y arg min fy, η. Rezulay ego ypu są wykorzysywane w eorii serowania η Γ do konsrukcji rozwiązań opymalnych. Częso cyowanym w lieraurze wynikiem jes wierdzenie udowodnione w książce Fleminga i Rischela [8] dodaek B. Niesey w wielu

12 przypadkach bywa ono niewysarczające. Według niego odpowiednia funkcja borelowska owszem isnieje, ale warunek η y arg min fy, η jes spełniony ylko z dokładnością η Γ do zbioru miary Lebesgue a. Do wykazania użyecznego dla nas wierdzenia wykorzysany zosanie dosyć sary rezula wywodzący się jeszcze od Kuraowskiego i Ryll-Nardzewskiego, a kórego wypowiedź można odnaleźć w pracy Wagnera [39] wierdzenie 3.1. Wynika z niego, że do isnienia η wysarczy, aby spełnione były nasępujące warunki: Γ jes przesrzenią polską, dla wszyskich y U zbiór arg min fy, η jes zbiorem domknięym. η Γ dla wszyskich zbiorów owarych V Γ zbiór jes zbiorem borelowskim. {y U arg min fy, η V } η Γ Twierdzenie Jeżeli funkcja Hy := min fy, η jes ciągła, o isnieje funkcja η Γ borelowsko mierzalna η aka, że η y arg min fy, η. η Γ Dowód. Sprawdzamy warunki podane powyżej. arg min fy, η jes zbiorem domknięym, ponieważ f jes funkcją ciągłą. η Γ Wybierzmy dowolny oway zbiór V Γ. Niech {K n n = 1,,...} będzie ciągiem domknięych wsępujących zbiorów wypełniających V. Wedy {y U arg min fy, η V } = {y U arg min fy, η K n } η Γ η Γ n=1 Pokażemy, że dla dowolnego zbioru domknięego K zbiór W := {y U arg min fy, η K } η Γ jes zbiorem domknięym. Niech {y n n = 1,,...} W zbieżny do ȳ U. Isnieje ciąg {η y n n = 1,,...} aki, że η y n arg min fy, η K. Ponieważ Γ zwary o można wybrać podciąg η Γ {η y nk k = 1,,...} zbieżny do η K. Mamy 1 Hȳ = Zaem ȳ W i W jes domknięy w U. lim Hy n k = lim fy n k, η y nk = fȳ, η k + k Sformułowanie zagadnienia i meoda rozwiązania Model. Praca opara jes na modelu rynku finansowego, kóry jes nauralnym uogólnieniem modelu Blacka-Scholesa. Składa się on z m + 1 akywów finansowych {B T } i {S = S 1, S,..., S m T } oraz czynnika, kóry nie jes przedmioem obrou giełdowego {Y T }. B inerpreujemy jako kono bankowe, naomias S o akywa

13 obarczone ryzykiem np. akcje giełdowe. Zakładamy, że procesy, kóre zosały wprowadzone powyżej są silnymi rozwiązaniami układu sochasycznych równań różniczkowych: db = ry B d, 1.3 ds i = Sb i i Y d + Sσ i i, Y dw 1, i = 1,,... m, dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw, gdzie W = W 1, W T jes sandardowym procesem Wienera względem danej miary probablisycznej P na Ω, F, przyjmującym warości w R n R. ρ = ρ 1, ρ,..., ρ n jes współczynnikiem korelacji ρ := 1 ρ. Zakładamy, że współczynniki r : R [, +, g : R R,, a : R R, b = b 1,..., b m T, b i : R R, i = 1... m, σ = σ i,j i,j, σ i,j : R R, i = 1... m, j = 1... n 13 są funkcjami ciągłymi akimi, że isnieje jednoznaczne silne rozwiązanie układu 1.3. Dodakowo zakładamy, że macierz σyσ T y jes ściśle dodanio określona dla każdego y R. Założenie o niezależności współczynników od czasu jes wyłącznie dla wygody noacji i może zosać w niekórych przypadkach opuszczone. Model 1.3 obejmuje między innymi modele sochasycznej zmienności dla m=1 oraz modele krókoerminowej sopy procenowej. Zadaniem procesu Y jes częso modelowanie ryzyka niefinansowego np. dla ceny surowców energeycznych isone znaczenie będzie miała emperaura powierza. Oczywiście w wielu prakycznych zagadnieniach w modelu należy uwzględnić więcej niż jeden czynnik. I w wielu przypadkach dowodzone w pracy rezulay można rozszerzyć do modelu wieloczynnikowego. Problem jednak swarzają równania cząskowe, na kórych opare są sraegie opymalne. Powrócimy do ego zagadnienia w rozdziale drugim Ryzyko modelu. W ypowych czyso prakycznych problemach, wiedza na ema modelu 1.3 jes ylko wiedzą saysyczną, bowiem jego paramery są esymowane z danych hisorycznych. Dlaego podejmując decyzje inwesycyjne należy wziąć również pod uwagę ryzyko związane z niedoszacowaniem modelu. Różne są jednak definicje ryzyka modelu. W niniejszej pracy przyjmiemy, że znana jes przesrzeń zdarzeń elemenarnych Ω, F, naomias dana miara probablisyczna P niedokładnie oddaje zachowanie rynku. Wiadomo ylko yle, że rzeczywise prawdopodobieńswo należy do pewnego zbioru miar Q. Podążając za pracą Hernándeza i Schieda [18] oraz Schieda [33] rozważamy nasępującą rodzinę miar probablisycznych: Q := { Q P dq dp = E } η 1 dw 1 + η dw, η 1, η M, T gdzie E oznacza eksponenę Doleans-Dade a M oznacza zbiór progresywnie mierzalnych procesów η = η 1, η = η 1 1, η 1,..., η n 1, η o warościach w usalonym, zwarym i wypukłym zbiorze Γ R n R. Miarę wyznaczoną przez proces η M oznaczana jes

14 jako Q η. Z kryerium Novikova wierdzenie wynika, że rodzina Q jes dobrze zdefiniowana. Zgodnie z wierdzeniem Girsanowa wierdzenie dynamika procesu S może być zapisana w posaci ds i = S i b i Y + σ i, Y η 1 d + S i σ i, Y dw 1η, i = 1,,..., m, gdzie { W 1jη = W 1j W η = W η sds ηj 1sds, j = 1,,..., n, jes procesem Wienera względem miary Q η. Tak sformułowana niedokładność modelu może być zaem posrzegana jako ryzyko związane z niedoszacowaniem współczynnika dryfu b. Pominięcie niedokładności związanej z paramerem zmienności σ można wyłumaczyć ym, że błąd esymacji zmienności jes dużo mnejszy od błędu esymacji dryfu. Gdy proces η 1 zosanie dobrany ak, że ds i = S i ry d + S i σ i, Y dw 1η, i = 1,,..., m, o powiemy, że Q η jes miarą maryngałową 6. Miary ego ypu są używane do wyceny insrumenów pochodnych np. opcji Sraegia inwesycyjna i jej dynamika. Definicja {F W } T progresywnie mierzalny proces π = π, π = π, π 1,..., π m nazywamy sraegią finansową. Warością porfela bogacwem inwesora nazywamy proces 1.4 X = π + π π m. Proces π i o warość kapiału zainwesowanego w insrumeny i-ego ypu π o ilość pieniędzy włożona na kono bankowe / pożyczona z banku. Wśród wszyskich sraegii będziemy zaineresowani ylko akimi, kóre dopuszczają wyłącznie kapiał będący wynikiem działalności inwesycyjnej z poprzednich okresów. Dopuścimy również możliwość konsumowania części kapiału, dołączając do zdefiniowanej już sraegii proces progresywnie mierzalny c. Wprowadzimy nasępującą definicję: Definicja 1... Sraegię finansową π, c nazywamy samofinansującą, jeśli warość porfela spełnia 14 dx = π db + π1 ds 1 B S πm S m ds m c d. Jeśli π, c jes samofinansująca, o zgodnie z rachunkiem macierzowo wekorowym zapisujemy dx = π ry d + π by d + π σy dw 1 c d. 6 Tu maryngałem/lokalnym maryngałem jes proces S B

15 15 Dodakowo można wykorzysać równość 1.4 orzymując nasępujący problem: 1.5 { dx = ry X d + π by 1rY d + π σy dw 1 c d, X s = x, gdzie 1 := 1, 1,..., 1 T. Proces π = π 1,..., π m inerpreujemy jako część kapiału zainwesowanego w akywa obarczone ryzykiem S. Naomias proces c wyznacza inensywność konsumpcji. x jes kapiałem począkowym inwesora. Uwaga. Gdy dany jes proces progresywnie mierzalny π, c i X - jednoznaczne rozwiązanie równania 1.5 o saregię samofinansującą π, c orzymujemy wyznaczając π z równania X = π + π π m. Dla większości jednak problemów rozważanych w pracy należy założyć, że dopuszczalne sraegie są ściśle dodanie. W akich syuacjach wygodnie jes przyjąć, że dynamika porfela dana jes przez równanie liniowe 1.6 { dx = ry X + π by 1rY X d + π σy X dw 1 c X d, X s = x. W ym przypadku π będzie inerpreowane jako udział w porfelu ryzykownego akywa S, c naomias oznacza sopę konsumpcji. Dodakowo niech dana będzie ciągła funkcja β. Wprowadzamy zmienną losową βy T, kórą inerpreujemy jako wypłaę dla insrumenu pochodnego oparego o czynnik Y. Inwesor sprzedawca insrumenu w swoich decyzjach inwesycyjnych będzie chciał ograniczyć ryzyko niefinansowe związane z ym insrumenem. Tego ypu insrumeny sały się popularne między innymi na rynkach surowców energeycznych. Gdy nie jes uwzględnione ryzyko modelu zn. wyjściowa miara probablisyczna jes uznawana za dobry opis zachowania rynku, o według dominującej w lieraurze meodologii racjonalny inwesor wybiera opymalne sraegie inwesycyjne ak, aby maksymalizować oczekiwaną saysfakcję z przyszłej warości porfela. Do oceny saysfakcji sopnia awersji do ryzyka inwesor wykorzysuje funkcję użyeczności. Funkcją użyeczności nazywamy funkcję rosnącą, wklęsłą, dwukronie różniczkowalną w sposób ciągły. Najczęściej wysępujące w lieraurze funkcje użyeczności o: funkcja HARA funkcja CARA Ux = { x γ γ, gdy γ < 1 i γ, ln x, gdy γ = ; Ux = 1 1 γ e γx, γ >. Dodakowo w pracy rozważamy również funkcję Ux = x D, D R.

16 Nie jes o funkcja użyeczności, jednak jej znaczenie prakyczne jes częso dużo większe. Zakładamy, że dziedzina funkcji U jes przedziałem owarym i jes oznaczana symbolem DomU. Definicja Serowanie lub sraegia inwesycyjna π, c = {π, c, s T } jes dopuszczalne na przedziale [s, T ] i sanu począkowego x, y, π, c A s x, y, jeśli spełnia nasępujące warunki: 1 π, c jes progresywnie mierzalny względem filracji {F W } [s,t ], π, c przyjmuje warości w K I iloczynie karezjańskim podzbioru wypukłego R m oraz przedziału liczbowego I, 3 isnieje jednoznaczne rozwiązanie równania 1.6 względnie 1.5 akie, że prawie wszyskie rajekorie procesów c oraz X π,c x, y, s i zmienna losowa X π,c T x, y, s βy T y, s przyjmują warości w zbiorze DomU. Typowym problemem inwesycyjnym, najczęściej poruszanym zarówno w lieraurze, jak i ej pracy, jes przypadek K I = R m, +. Oznacza o, że dopuszczamy aby inwesor mógł zajmować dowolną pozycję na rynku, w szczególności aby mógł sosować króką sprzedaż Porfel opymalny i sraegie minimaksowe. Inwesor nie uwzględniający ryzyka modelu, znając usaloną i daną dokładnie miarę Q, pragnie osiągnąć największy możliwy sopień zadowolenia z konsumpcji c oraz końcowego kapiału X π,c T βy T. T > oznacza horyzon inwesycyjny. Ściślej ujmując inwesor dąży do ego aby gdzie maksymalizować J π,c,q x, y, ze względu na π, c A x, y, 1.7 J π,c,q x, y, := E Q x,y, T U c s Xs π,c ds + U X π,c T βy T. Zagadnienie przedsawione powyżej nazywane będzie w dalszej części pracy problemem klasycznym. Ponieważ isnieje niepewność związana z zaproponowanym modelem, o opymalne sraegie inwesycyjne powinny uwzględniać, oprócz ryzyka rynkowego, akże ryzyko modelu. W związku z ym opymalnymi nazwiemy e sraegie, kóre spełniają kryerium najgorszego możliwego scenariusza. Bardziej precyzyjnie, zakładamy, że celem inwesora jes maksymalizacja inf J π,c,q x, y, ze względu na π, c A x, y. Q Q Problem zosanie w pracy porakowany jako gra sochasyczna o sumie zero pomiędzy rynkiem i inwesorem. Celem będzie odnalezienie akiego punku siodłowego π, c, Q A x, y Q, dla kórego J π,c,q x, y, J π,c,q x, y, J π,c,q x, y,. W kolejnych rozdziałach pokażemy jak wykorzysać eorię równań różniczkowych cząskowych do rozwiązania wybranych ważnych problemów inwesycyjnch. Równania, 16

17 kóre zosaną wykorzysane noszą nazwę równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca lub Bellmana-Isaaca i są analogonami równań Hamilona-Jacobiego-Bellmana wysępującymi w eorii serowania sochasycznego. Zasosowanie ej eorii pozwoli na odnalezienie punku siodłowego w posaci Markowa. Oznacza o, że punk siodłowy zosanie wyznaczony przez rójkę funkcji borelowsko mierzalnych π x, y,, c x, y,, η x, y,. Wedy, dla usalonego punku sarowego x, y, s, opymalną sraegię inwesycyjną ze zbioru A s x, y orzymujemy ze wzorów: 1.8 π = π X π,c, Y,, c = c X π,c, Y,, gdzie para procesów {X π,c, Y s T } jes rozwiązaniem problemu dx = ry X d + π X, Y, by 1rY X d + π X, Y,, X σy dw 1 c X, Y, X d, 1.9 dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw, X s = x, Y s = y. Naomias miara Q dana jes przez dq dp = E η1x π,c, Y, dw 1 + ηx π,c, Y, dw s Jeśli dla każdego punku sarowego x, y, isnieje jednoznaczne rozwiązanie problemu 1.9 i sraegia π, c dana przez 1.8 jes dopuszczalna, o rójkę borelowsko mierzalnych funkcji π x, y,, c x, y,, η x, y, przyjmujących warości w K I Γ nazwiemy dopuszczalnym serowaniem Markowa. Funkcja 1.7 zosała zdefiniowana ogólnie ak, aby obejmowała jak najwięcej problemów inwesycyjnych. Nie należy jednak spodziewać się, że dla wybranej funkcji użyeczności rozwiązania wszyskich problemów, obejmujących zarówno proces konsumpcji oraz insrumen pochodny, będzie można odnaleźć. W kolejnych rozdziałach zajmujemy się ylko akimi zagadnieniami, kóre akie rozwiązania posiadają.. T Równania Hamilona Jacobiego Bellmana Isaaca i wierdzenia weryfikacyjne Tuaj zosaną przedsawione najbardziej ogólne rezulay doyczące związku posawionego problemu inwesycyjnego z odpowiednim równaniem HJBI i częściowe rozwiązanie posawionego problemu Twierdzenie weryfikacyjne. Przez L oznaczamy operaor 1.1 L π,c,η V x, y, = V + 1 a yv yy + 1 π σyσt yπ T x V xx + ayπσyρ T xv xy + ayρη 1 + ρη V y + gyv y + πby 1ry + σyη 1 xv x + ryxv x cxv x.

18 Uwaga Operaor 1.1 jes ściśle związany z dynamiką porfela 1.6po zasosowaniu ransformacji Girsanowa z miarą Q η. Jeżeli problem wymaga wykorzysania dynamiki 1.5 zn. dopuszczamy aby warość porfela przyjmowała warość, o w definicji operaora należy zamienić wyrażenie xπ na π. Związek pomiędzy grami różniczkowymi a równaniami Isaaca wypowiemy radycyjnie w posaci wierdzenia weryfikacyjnego. Jes o przeformułowany i mocniejszy rezula od ego pochodzącego z pracy Maarmwura i Øksendal []. Twierdzenie Niech U będzie funkcją przyjmującą warości nieujemne. Niech będzie dana nieujemna funkcja V C,,1 DomU R [, T C DomU R [, T ] i dopuszczalne serowania Markowa π x, y,, c x, y,, η x, y, akie, że L π x,y,,c x,y,,η V x, y, + Uc x, y, x, L π,c,η x,y, V x, y, + Ucx, L π x,y,,c x,y,,η x,y, V x, y, + Uc x, y, x =, V x, y, T = U x βy dla wszyskich η Γ, π, c K I, x, y, DomU R [, T. Ponado 1.15 E Q x,y, V X π,c s, Y s, s < sup s T dla każdego x, y, R [, T ], Q Q. Wedy dla π, c A x, y, Q Q i J π,c,q x, y, V x, y, J π,c,q x, y, V x, y, = J π,c,q x, y,. Dowód. Usalmy x, y, DomU R [, T. Wybierzmy dowolne η M i rozważmy układ równań różniczkowych dx =ry X d + π X, Y, by 1rY X d π X, Y,, X σy dw 1 c X, Y, X d, dy = gy d + ay ρdw 1 + ρdw. Zapiszmy Q η -dynamikę układu Sosując ransformację Girsanowa wierdzenie mamy dx =ry X d + π by 1rY + σy η 1 X d π σy X dw 1η c X d, dy = gy + ay ρη 1 + ρη d + ay ρdw 1η + ρdw η, gdzie π = π X, Y,, c = c X, Y, i W 1η danym przez { dw 1jη = dw 1j η j 1d, j = 1,,..., n, dw η = dw η d. 18, W η T jes Q η - procesem Wienera

19 19 Jeśli zasosujemy wzór Iô do układu 1.17 i funkcji V, o orzymamy 7 E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n = V x, y, + E Qη x,y, T ε T ε n L π s,ηs V X s, Y s, sds + E Qη x,y, T ε T ε n M ε s dw η s, gdzie Tn, ε n = 1,,..., Tn ε + jes lokalizującym ciągiem momenów sopu 8 akim, że Wykorzysując 1.11 mamy E Qη x,y, T ε T ε n M ε s dw η s =. E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n V x, y, E Qη x,y, T ε T ε n Uc X d. Ponieważ zachodzi 1.15, możemy zasosować wierdzenie o zbieżnościach zmajoryzowanych. Przechodząc do granicy n +, ε i korzysając z 1.14 orzymujemy V x, y, J π,c,q x, y,. Jeśli zasąpimy η przez η i użyjemy 1.13, o V x, y, = J π,q x, y,. Nasępnie wybieramy dowolne π, c A x, y i sosujemy wzór Iô do układu { dx = ry X d + π by 1rY + σy η1x d + π σy X dw 1η c X d, dy = gy + ay ρη1 + η ρd + ay ρdw 1η + ρdw η. Powarzając meodę zaprezenowaną powyżej i używając 1.1 dosajemy E Qη x,y,v X T ε T ε n, Y T ε T ε n, T ε T ε n V x, y, E Qη x,y, Korzysając z lemau Faou mamy V x, y, J π,c,q x, y,. T ε T ε n Uc X d. Uwaga Zamias zakładać, że funkcja użyeczności U i funkcja V są nieujemne można założyć alernaywnie, że warunek 1.15 przujmuje posać: E Q x,y, sup V Xs π,c, Y s, s <, s T T E Q x,y, Uc k Xs π,c dk < 7 Ponieważ funkcja V nie jes różniczkowalna na całym DomU R [, T ], o wzór Iô sosowany jes na DomU R [, T ε] 8 Należy zapoznać się z uwagą 1.1.9

20 dla wszyskich x, y, DomU R [, T ], π, c A x, y, Q Q. Założona nieujemność U oraz V niezbędna była ylko do skorzysania z lemau Faou. Z wprowadzonych u założeń skorzysamy między innymi dla funkcji Ux = ln x i Ux = e γx. Uwaga Zbiór dopuszczalnych sraegii A s x, y w wierdzeniu weryfikacyjnym można zasąpić dowolnym jego podzbiorem. Uwaga. Należy zwrócić uwagę, że zachodzą jeżeli spełnione są nasępujące dwa równania Hamilona-Jacobiego-Bellmana-Isaaca: max max π K c I min η Γ Lπ,η V x, y, + Ucx =, min η Γ max π K max c I Lπ,η V x, y, + Ucx =, V x, y, T = Ux βy Twierdzenie o minimaksie. W ypowych problemach inwesycyjnych np. gdy K = R m analizę problemu wygodnie jes zacząć od zbadania równania 1.19 i wskazania jego rozwiązania. Aby wykazać, że jes o również rozwiązanie równania 1.18 porzebne są rezulay będące jednocześnie wersją wierdzenia o minimaksie. Będziemy mogli powoływać sie na klasyczne wierdzenie udowodnione przez Fana [7]. Twierdzenie Fan [7]. Niech X będzie zwarą przesrzenią Hausdorffa, Y naomias dowolnym zbiorem niekoniecznie wyposażonym w opologię. Niech f będzie funkcją o warościach rzeczywisych określoną na X Y. Jeśli f jes wypukła na X oraz wklęsła na Y o min sup η X π Y fπ, η = sup π Y min fπ, η. η X Dowód powyższego rezulau korzysa z klasycznego wierdzenia wywodzącego się od von Neumanna. W przypadku gdy K = R m możliwe jes przeprowadzenie dowodu niezależnego. Pokazuje o poniższe swierdzenie. Swierdzenie Jeżeli A jes macierzą symeryczną i ściśle dodanio określoną, b, b, c R n, a <, c R, o min η Γ max π R aπaπt + πbη 1 + b + cη 1 + cη = max π R m min η Γ aπaπt + πbη 1 + b + cη = aπ Aπ T + π bη 1 + b + cη 1 + cη, gdzie η bη1 arg min a b T A 1 bη1 b η 1,η Γ a a bη1 + b T A 1 bη 1 + a b + cη 1 + cη, π T = A 1 bη 1 b. a