z graniczną technologią
|
|
- Adrian Majewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią Sreszczenie: W zdecydowanej większości prac z eorii magisral rozparuje się sacjonarną gospodarkę ze sałą (niezmienna w czasie) echnologią. Bardzo nieliczne są próby wyjścia poza zaklęy krąg sacjonarności i prześledzenia zw. efeku magisrali w niesacjonarnej gospodarce eumanna-gale a ze zmienną echnologią. Zadanie o podjęo w arykule, w kórym zaprezenowano słabą i bardzo silną wersję wierdzenia o magisrali w niesacjonarnej gospodarce von eumanna z echnologią zbieżną do pewnej echnologii granicznej. Słowa kluczowe: niesacjonarny model von eumanna, echnologia graniczna, słabe i bardzo silne wierdzenie o magisrali. Klasyfikacja JEL: C. Wsęp Aczkolwiek największe zaineresowanie ekonomisów maemaycznych modelami von eumanna-gale a i zw. równowagą neumannowską przypada na drugą połowę XX wieku (por. obszerną bibliografię w pracy Panka [2]), do chwili obecnej raz po raz pojawiają się nowe, warościowe prace na en ema (zob. np. Khan i Piazza [2a, b], Khan i Zaslavski [2], Zaslavski [26]). Ich auorzy w zdecydowanej większości zajmują się różnymi warianami sacjonarnej gospodarki ze sałą (niezmienną w czasie) echnologią. Do bardzo nielicznych należą próby wyjścia poza zaklęy krąg sacjonarności i prześledzenia zw. efeku magisrali w niesacjonarnej gospodarce ypu von eumanna-gale a ze zmienną echnologią [Ganz 98; Joshi 997; Keeler 972]. Zadanie o podejmujemy w arykule. awiązując do pracy Panka [2] oraz pracy Panka i Runki [22] prezenujemy słabą i bardzo silną wersję wierdzenia o magisrali w niesacjonarnej gospodarce von eumanna z echnologią zbieżną do pewnej echnologii granicz-
2 5 nej. Rolę kryerium wzrosu gra warość (mierzonej w cenach równowagi von eumanna) produkcji wyworzonej w końcowym okresie usalonego horyzonu T = {,,, }. Obowiązują oznaczenia z pracy Panka [2].. Podsawowe założenia Zakładamy, że czas zmienia się skokowo, =,,,. Okres końcowy informuje o długości horyzonu T. W gospodarce zużywa się i/lub wywarza n owarów. Liczba n nie zmienia się w czasie, choć nie znaczy o, że w dowolnym okresie wszyskie owary muszą być zużywane i/lub wywarzane. aomias w każdym okresie możliwości wywórcze gospodarki deerminuje echnologia produkcji, uożsamiana z pewną liczbą m zw. bazowych procesów echnologicznych worzących wiersze neumannowskich macierzy nakładów (zużycia) a() a2()... a n () a2() a22()... a2n () A () = am() am2()... amn () i wyników (produkcji) b() b2()... b n () b2() b22()... b2 n () B () = bm() bm 2()... bmn () Liczba m bazowych procesów echnologicznych nie zmienia się w czasie. Wiersz aj () = ( aj(), aj2(),..., ajn ()) macierzy nazywamy wekorem nakładów (zużycia), a wiersz bj () = ( bj(), bj2(),..., bjn ()) macierzy wekorem wyników (produkcji), kórą można wyworzyć w okresie, sosując j-y bazowy proces echnologiczny z jednoskową inensywnością. Elemen aji () wskazuje na wielkość zużycia i-ego owaru w j-ym bazowym procesie echnologicznym (prowadzonym z jednoskową inensywnością) w okresie. Podobnie skalar bji () informuje o wielkości produkcji i-ego owaru w okresie w j-ym bazowym procesie echnologicznym (prowadzonym z jednoskową inensywnością). O neumannowskich macierzach nakładów i wyników zakładamy, że są określone dla =,, oraz
3 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 5 () lim A ( ) = A i każdy wiersz macierzy, A zawiera elemen dodani (w każdym bazowym procesie echnologicznym zużywany jes co najmniej jeden owar), lim B ( ) = Bi każda kolumna macierzy B ( ), B zawiera elemen dodani (każdy owar jes wywarzany w co najmniej jednym bazowym procesie echnologicznym); (2) wśród bazowych procesów echnologicznych ( aj(, bj( ), j =,..., m, są procesy posaci ( e k,) = ((,...,,...,),(,...,)), k =,..., n, (warunek dopuszczający możliwość marnorawswa nakładów i/lub mocy produkcyjnych). Ponieważ k lim A ( ) = A oraz lim B ( ) = B, więc akże graniczne macierze A, B zawierają wiersze posaci ( e,), k =,2,..., n. k Z warunku (2) wynika, że liczba bazowych procesów produkcyjnych jes większa od liczby owarów: m > n. O macierzach, mówimy, że opisują echnologię produkcji w gospodarce von eumanna w okresie, naomias o macierzach A, B że opisują echnologię graniczną w gospodarce von eumanna. Model jes liniowy w ym sensie, że jeżeli przez v oznaczymy nieujemny m-wymiarowy (wierszowy) wekor inensywności sosowania bazowych procesów echnologicznych w okresie, o w gospodarce z echnologią, z wekora nakładów m m x() = v) = v a () można orzymać wekor produkcji y() = v) = v b (). j= j j Podobnie w gospodarce z echnologią graniczną A, B z nakładów va orzymujemy wekor produkcji vb. O każdej parze ( x(), y() ) = ( v), v) ) z dowolnym wekorem v mówimy, że opisuje dopuszczalny proces produkcji w okresie w niesacjonarnej gospodarce von eumanna ze zmienną echnologią. aomias o parze ( x, y) = ( va, vb) mówimy, że opisuje dopuszczalny proces produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B. Zbiór Z ( ) = {( xy, ) x= va (, y = v ; ν } nazywamy neumannowską przesrzenią produkcyjną w okresie. Podobnie zbiór Z = {( x, y) x= = va, y = vb; ν } nazywamy graniczną neumannowską przesrzenią produkcyjną (generowaną przez graniczną echnologię A, B). ierudno zauważyć, że 2n przesrzeń produkcyjna Z () jes szczególnym sożkiem wielościennym w R + z wierzchołkiem w, kóry spełnia nasępujący warunek: j= j j ( xy, ) Z ( )& x' x ( x', y) Z ( ) ( x, y) Z( & y ' y ( xy, ') Z ( ) ()
4 52 Analogiczną własność ma akże graniczna przesrzeń produkcyjna Z. Sożek aki z pięcioma bazowymi procesami echnologicznymi przedsawia poniższy rysunek (ze względu na konieczność zawarcia całej ilusracji w przesrzeni R 3, na rysunku nakład jes reprezenowany przez wekor dwuelemenowy, x= ( x, x ), a wynik przez skalar y). y 2 (a 2 (, b 2 () (a 3 (, b 3 () x (a (, b () (a 4 (, b 4 () (a 5 (, b 5 () Rysunek. Przesrzeń produkcyjna von eumanna () Z spełniająca warunki (), (2) x 2
5 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 53 Zakładamy, że rozwój echnologii w gospodarce von eumanna zwiększa z czasem jej możliwości wywórcze, co w języku przesrzeni produkcyjnych Z( prowadzi do warunku: (3) Z ( ( ) Z ( ) Z) Technologiczna i ekonomiczna efekywność produkcji Weźmy dowolny m-wymiarowy wekor inensywności v (). Liczbę: α ( v) = max{ ααv v } (2) nazywamy wskaźnikiem echnologicznej efekywności procesu ( x(, y( ) = ( v, v ) Z( ( x(, y( ) = ( v, v ) Z(. Zasępując w (2) macierze, granicznymi macierzami A, B, orzymujemy definicję wskaźnika echnologicznej efekywności procesu ( x, y ) = ( va, vb) Z (w gospodarce z graniczną echnologią): α( v) = max{ ααva vb} Funkcje α (), v α () v są ciągłe i dodanio jednorodne na R + \ {} (dowód przebiega analogicznie jak dowód podobnych własności funkcji α ( x, y) w gospodarce Gale a ze sałą echnologią; zob. Panek [23], wierdzenie 5.2. Liczby: m (3) α = max α( v) v (4) nazywamy odpowiednio: opymalnym wskaźnikiem ( ) echnologicznej efekywności produkcji w gospodarce von eumanna w okresie (z echnologią, ), opymalnym wskaźnikiem ( ) echnologicznej efekywności produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B. Zapis v oznacza, że nieujemny wekor v ma co najmniej jedną współrzędną dodanią.
6 54 Twierdzenie. Przy założeniach () (3): (i) zadania (3), (4) mają rozwiązania v ( ), ν, j.: v () ( α ( v ( )) = v ( α( v ) (2i) ( α, α, + α). Dowód (i) Funkcja α () v jes dodanio jednorodna sopnia, więc zadanie: jes równoważne z zadaniem 2 : max α ( v) v v = (5) maksymalizacji ciągłej funkcji α () v na simpleksie (zbiorze zwarym) m m S+ () = v R+ vi = i, kóre ma rozwiązanie v (). Podobnie z ciągłości m funkcji α () v na simpleksie S + () wynika, że isnieje rozwiązanie v zadania: równoważne z rozwiązaniem zadania: (2i) W myśl (3) Z Z+ Z i, zważywszy na definicje przesrzeni produkcyjnych Z(, Z, mamy: 2 Tuaj i wszędzie dalej x = xi. i
7 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 55 α = max α( v) = = v max α ( v) = α max α ( v) = α, = +, + v v Wekory v (, v rozwiązania zadań (3), (4) nazywamy opymalnymi wekorami inensywności sosowania bazowych procesów, odpowiednio, w gospodarce von eumanna z echnologią A (), B () oraz w gospodarce z echnologią graniczną A, B. Podobnie o parach wekorów: ( x (), y ()) = ( va () (), vb () ()) ( x, y) = ( va, vb) mówimy, że opisują opymalne procesy produkcji, odpowiednio, w gospodarce von eumanna z echnologią, oraz w gospodarce von eumanna z echnologią graniczną A, B. Opymalne wekory inensywności v ( ), v oraz odpowiadające im opymalne procesy produkcji są określane z dokładnością do mnożenia przez sałą dodanią (z dokładnością do srukury). Zakładamy, że wśród opymalnych procesów produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B isnieje proces, w kórym wywarzane są wszyskie owary: (4) v ( α( v ) = α & vb > ) Własność ę nazywamy warunkiem regularności. 3. Ceny von eumanna w gospodarce z graniczną echnologią. Magisrala produkcyjna Oznaczmy przez p n-wymiarowy wekor (kolumnowy) cen owarów i weźmy dowolny wekor inensywności v. Liczbę: vbp β (, vp) = vap (am, gdzie jes określona) nazywamy wskaźnikiem ekonomicznej efekywności procesu ( x, y) = ( va, vb) w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią A, B.
8 56 iech v będzie opymalnym wekorem inensywności w gospodarce von eumanna z echnologią graniczną (dla kórego α( v ) = α ). Definicja. Ceny p, przy kórych: β = β( v, p) = max β ( v, p) v maxα ( v) = α( v) = α = v (6) nazywamy cenami von eumanna (w gospodarce z graniczną echnologią). Jeżeli spełnione są warunki () (4), o ceny von eumanna isnieją i są określone z dokładnością do srukury (dowód przebiega podobnie jak dowód isnienia cen von eumanna w gospodarce ze sałą echnologią; zob. Panek [2], α v, p } spełniającej warunek (6) mówimy, że charakeryzuje gospodarkę z graniczną echnologią w równowadze von eumanna. Z (6) wynika, że: wierdzenie 2. O rójce {, czyli: vbp v β(, vp) = α vap v ( vbp α vap ) (7) i jedynie dla v = v zachodzi równość: vbp α vap = (8) W gospodarce z echnologią graniczną w równowadze von eumanna dochodzi zaem do zrównania ekonomicznej efekywności produkcji z efekywnością echnologiczną i jes o najwyższa efekywność jaką w ogóle może osiągnąć niesacjonarna gospodarka spełniająca warunki () (4). Warunek 7 jes równoważny z warunkiem 3 : ( xy, ) Z( p, y α p, x ) (7 ) 3 Tuaj i wszędzie dalej x, y = xy i i (iloczyn skalarny wekorów x, y). i
9 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 57 gdzie: Z = {( x, y) x= va, y = vb; ν } a warunek (8) z warunkiem: p, y α p, x = dla x = va, y = vb. W celu uproszczenia dalszych wywodów będziemy zakładać, że: (5) Ceny von eumanna p są dodanie 4. ierudno zauważyć, że przy ym założeniu opymalny wekor inensywności v spełnia warunek: α va = vb (9) Isonie, z definicji opymalnego współczynnika α i opymalnego wekora inensywności v mamy: α va v B () (zob. wierdzenie (i) ). Załóżmy, że po pewnej, np. i-ej, współrzędnej w () mamy osrą nierówność: Wówczas orzymujemy: α ( va) < ( vb) i i α vap < vbp (gdyż p >, zgodnie z (5)), co przeczy (8). Opymalnemu wekorowi inensywności v w gospodarce z graniczną echnologią odpowiada opymalny wekor nakładów x = va oraz wyników (produkcji) y = vb i zgodnie z (9): s = x x va α va vb = = = = y va α va vb y 4 Założenie o znacznie upraszcza dowody wierdzeń o magisrali (w arykule wierdzenia 3 i 4), choć nie jes konieczne.
10 58 j. srukura nakładów i wyników w opymalnym procesie ( x, y) = ( va, vb) jes idenyczna. Definicja 2. O wekorze s mówimy, że charakeryzuje opymalną srukurę produkcji w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią. Promień (półprosą) = { λs λ > } nazywamy magisralą produkcyjną w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią. 4. Wzros iech v( będzie wekorem inensywności, z jaką w okresie w niesacjonarnej gospodarce von eumanna sosowane są bazowe procesy echnologiczne. Gospodarka jes zamknięa w ym sensie, że źródłem nakładów w okresie nasępnym x ( + ) = v( + ) + ) może być ylko produkcja wyworzona w okresie poprzednim y ( = v( : v( + ) + ) v ( =,,, v ( =,,, () Oznaczmy przez v inensywność, z jaką bazowe procesy echnologiczne są sosowane w począkowym okresie = : v = v (2) Definicja 3. Rozwiązanie ( v ( ) = układu () (2) nazywamy ( v, ) dopuszczalną rajekorią inensywności (sosowania bazowych procesów echnologicznych) w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Ciągi ( x ( ) =, ( y ( ) =, gdzie: x ( = v(, y ( = v(
11 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 59 nazywamy odpowiednio (, x ) dopuszczalną rajekorią nakładów (z począ- y ) dopuszczalną rajekorią produkcji kowym wekorem x = v ) ) oraz ( (z począkowym wekorem y = v ) ). O rójce ciągów ( v (, x(, y( ) = mówimy, że opisuje dopuszczalny proces wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Twierdzenia o magisrali prezenowane w ym arykule wymagają, aby isniał co najmniej jeden proces dopuszczalny ( v~ (, ~ x(, ~ y ( ) = umożliwiający dojście gospodarki w pewnym okresie do magisrali. Warunek en oznacza, że: (6) Isnieje aka ( v, że: ) dopuszczalna rajekoria inensywności α ( v ~ ( ) = α ( v~ ( =, Mówi o ym nasępujące wierdzenie. Twierdzenie 2. Jeżeli zachodzi warunek (6) oraz > o isnieje aki ( v, ) dopuszczalny proces wzrosu ( v ( ), x ( ), y ( )) = oraz aka liczba σ >, że dla =, +,..., : α ( v( ) = α (3) x ( ) = v ( ) A ( ) = α x ( ) = α σs (4) y () = vb () () = α y ( ) = α σs + (5) Dowód. Z założenia mamy aką ( v, ) dopuszczalną rajekorię inensywności ( v~ ( ) =, że α ( v ~ ( )) = α, czyli: oraz ~ ( ) α ) ~ v ( ) ) v iech ~ a v ( ) = ), ~ b v ( ) = ). Wówczas: ( a, b) Z( ) = {( x, y) x = v ), y = v ); ν } α a b
12 6 Sąd oraz z własności () przesrzeni produkcyjnych Z ( wynika, że ( a, α a) Z( ), czyli: v' ( ) ( αv'() A () = αv () A () = v'() B () ) Przyjmijmy oznaczenia 5 : a ' = v' ( ) ), b ' = v' ( ) ). Wówczas: ( a', b') Z( ) oraz α a' b' (6) = Uwórzmy nasępujący ciąg ( ξ ( ) : = ( ) = a' = v' ( ) ), ξ ( + ) = α a',..., ξ ( ) = α a' ξ ( ) Z (6), (3) oraz ego, że przesrzenie produkcyjne Z(, Z są sożkami wielościennymi w R 2 + z wierzchołkiem w wynika, że: n ( ξ ( ), ξ ( + )) Z( ) Z ( ξ ( + ), ( ξ + 2)) Z( ) Z( + ) Z (7) ξ ( ), ξ ( )) Z ) Z( ) Z ( + ( Z własności () przesrzeni Z( ) oraz definicji ciągu ( ξ ( ) orzymujemy: = ( ξ ( ), ( ξ +)) = ( v' ( ) ), v' ( ) )) = ( a', α a' ) Z własnoaści () przesrzeni Z( +) oraz (7) wynika, że: v' ( + ) ( ξ ( + ), ( + 2)) = v' ( + ) + ), v' ( + ) + ) = ( α ', a α a' ) Rozumując analogicznie, dalej swierdzamy, że dla =, +,..., : v '( ( ξ (, ( +)) ξ ( ) = + ( v = ( α a', α a') ) ξ = ( '(, v' ( ) 5 Ponieważ v'() A () = v () A (), zaem de faco a' = a.
13 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 6 Zgodnie z aką konsrukcją ciągu ( v'( ) = : v' ( ) ) = ~ v ( ) ) = a ' ~ v ( ) ) v' ( + ) + ) = a' α = v' ( ) ) v ( ) ) = α a' = v ( ) ) ' ' Uwórzmy ciąg ( v ( ) = ze sklejenia ( v, ) dopuszczalnej rajekorii inensywności ( v~ ( ) = i wyżej zbudowanego ciągu ( v'( ) = : Tak zbudowany ciąg jes v, ) dopuszczalną rajekorią inensywności spełniającą dla =, +,..., warunek (3). Jednocześnie z inkluzji: ( v(, v( ) = ( + ( α a', α a' ) Z( Z, =, +,..., wynika, że: ( x, y) = ( a', α a' ) Z (gdyż Z jes sożkiem z wierzchołkiem w ) oraz: ( x = a' = va, y = α a' = vb) & α( v = α v ) Wekor v jes opymalnym wekorem inensywności w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią, x = a' = va jes opymalnym wekorem nakładów, a y = vb ( = α a' ) opymalnym wekorem produkcji w akiej gospodarce oraz: x x = y y = s Z definicji magisrali = { λ s λ > } wynika, że σ > ( a' = σ s). Definiując rajekorię nakładów x ( = v( oraz produkcji y ( = v( orzymujemy żądany proces spełniający dla =, +,..., warunki (4), (5).
14 62 W celu zapewnienia jednoznaczności magisrali będziemy zakładać, że: vbp (7) v x = va y = vb β ( v, p) = < α vap W myśl ego warunku ekonomiczna efekywność jakiegokolwiek procesu (x, y) = = (va, vb) poza magisralą jes niższa od opymalnej. Twierdzenie 3. Jeżeli w gospodarce von eumanna z graniczną echnologią spełniony jes warunek (7), o: v ( x, y) = ( va, vb) ε > δ ε > vbp β ( v, p) = α δε vap x x s x ε y y s x ε Z dowodem ego wierdzenia można zapoznać się np. w pracy Panek [2], wierdzenie 3. awiązując do ej pracy, rozparzymy nasępujące zadanie maksymalizacji warości produkcji (mierzonej w cenach von eumanna) wyworzonej w niesacjonarnej gospodarce w osanim okresie horyzonu T =,,..., } : { max v ( ) ) p v( + ) + ) v ( =,,, v ( =,,, v() = v (8) (9) (wekor v usalony) Definicja 4. Rozwiązanie ( v ( ) = zadania (8) (9) nazywamy ( v,, p ) opymalną rajekorią inensywności w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Ciągi ( x ( ) =, ( y ( ) =, gdzie ( ) ( ) ( ) x = v A, y ( = v (, nazywamy (odpowiednio): ( x,, p ) opymalną rajekorią nakładów (z począkowym wekorem nakładów x = v ) ) oraz ( y,, p ) opymalną rajek- orią produkcji (z począkowym wekorem produkcji y = v ) ). O rójce cią-
15 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 63 gów ( v (, x (, y ( ) = mówimy, że opisuje opymalny proces wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Twierdzenie 4. ( Słabe wierdzenie o magisrali). Jeżeli niesacjonarna gospodarka von eumanna spełnia warunki () (7), o ε >, isnieje aka liczba nauralna k ε, że liczba okresów, w kórych zachodzi kórykolwiek z warunków: x ( x ( s y ( ε, s ε y ( (2) nie przekracza k ε. Liczba k ε nie zależy od długości horyzonu. Dowód. iech ( v ( ) = będzie v,, p ) opymalną rajekorią inensywności (rozwiązaniem zadania (8) (9)). Ponieważ: więc zgodnie z (7): ( ( x (, y ( ) = ( v (, v ( ) Z( Z ) ) czyli: oraz: p, y ( α p, x ( (2) v ( p α v ( p =,,, v ( + ) + ) v ( =,,, (zgodnie z (9)), czyli: v v ( + ) + ) p α ( p =,,, (22) Oznaczmy przez L ε zbiór ych okresów T, w kórych zachodzi kórykolwiek z warunków (2). iech l ε będzie liczbą elemenów zbioru L ε. Wobec (3): v' (( x ( ( ) = ( v ( A ( ), v () B ()) = ( vavb ', ' ))
16 64 Wedy, zgodnie z wierdzeniem 3: ( α δε ) v ( p Z (22), (23) orzymujemy: v ( p dla Lε (23) lε l ( ( α δ ε ε ) v ) ) p α Zgodnie z (6) i wierdzeniem 2 isnieje aki (, wzrosu ( v (, x(, y( ) = i aki okres <, że: σ + x( = v( = α y( = v( = α dla pewnej liczby σ > i =, +,...,. Wówczas: ( v ) p (24) x s σs + ( ) dopuszczalny proces v ) ) p v ) ) p = α σ p, s > (25) v ) ) p α v ( ) ) p ), docho- Łącząc (24), (25) (oraz pamięając, że dzimy do nierówności: ( + < α σ p, s v ( ) ) p α v ) lε α ( α ( ) δ ε ) kóra pozwala na oszacowanie górnego ograniczenia liczby l ε : l lε δ ε ) ε p α ( α lε v ) p lε lnα ln A ln( α δ ε = B ) α v ) p gdzie A =. W charakerze liczby k ε wysarczy wziąć najmniejszą σ p, s liczbę nauralną większą od min {,B}. Zgodnie z powyższym wierdzeniem, opymalne procesy wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna prawie zawsze 6, niezależnie od długości 6 To znaczy, zawsze poza pewną skończoną liczbą okresów.
17 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 65 horyzonu T = {,,, } przebiegają w dowolnie bliskim ooczeniu magisrali produkcyjnej, kórą wyznacza graniczna echnologia A, B. Tempo wzrosu produkcji na magisrali jes najwyższym empem możliwym do osiągnięcia przez gospodarkę. iewielkim wysiłkiem można orzymać eraz zw. bardzo silną wersję wierdzenia o magisrali w niesacjonarnej gospodarce von eumanna. Twierdzenie 5. ( Bardzo silne wierdzenie o magisrali). Jeżeli niesacjonarna gospodarka von eumanna spełnia warunki () (5), (7) i opymalny proces wzrosu ( v (, x (, y ( ) =, w pewnym okresie < dochodzi do magisrali, zn. α ( v ( ) = α, o: ( x ( = v ( oraz y ( = v ( ) Dowód. Weźmy opymalny proces wzrosu ( v (, x (, y ( ) =. Trajekoria ( v ( = jes rozwiązaniem zadania (8) (9) oraz x ( ) = v ( ) A (, y ( = v (. Z założenia proces en w okresie < prowadzi do magisrali, zaem zgodnie z wierdzeniem 2 isnieje aka liczba σ > oraz aki dopuszczalny proces wzrosu ( v (, x(, y( ) = z rajekorią inensywności: v (, dla =,,..., v () = v'(, dla =, +,..., że: dla =,,...,, oraz: dla =, +,...,. Wówczas: x ( = x ( = v y ( = y ( = v ( ( + x( = v' ( = α σ s y( = v' ( = α σ s ( v ) ) p x ) ) p = α σ p, s > ( + (27)
18 66 Z drugiej srony, posępując analogicznie jak przy dowodzie wierdzenia 4 z (22) (pamięając, że v ) ) p α v ) p ), orzymujemy: ( ( ) ( v ) ) p α v ( ) ) p α v ( ) ) p + + α v ( ) ) p = α σ p, s 2 (28) Załóżmy, że w pewnym okresie τ > x ( τ ) = v ( τ ) τ ), zn.: ε > x ( τ ) x ( s ε y ( y ( τ ) s ε i zgodnie z wierdzeniem 3: δ ε > (( v ( τ + ) τ + ) p v ( τ ) τ ) p ( α δε ) v ( τ) τ) p)) (29) co łącznie z (28) prowadzi do nierówności: ( ( ε v ) ) p α α δ ) σ p, s (3) Z (27), (3) orzymujemy warunek: ( δε α α ) σ p, s + α σ p, s z kórego wynika, że δ ε. Orzymana sprzeczność kończy dowód wierdzenia. Twierdzenie głosi, że wejście opymalnego procesu wzrosu na magisralę w niesacjonarnej gospodarce von eumanna (z echnologią zbieżną do pewnej echnologii granicznej) jes bezpowrone. Uwaga. Jeżeli począkowy wekor inensywności v w zadaniu (8) (9) (w opymalnym procesie wzrosu) jes dodani, wedy obydwa wierdzenia o magisrali są prawdziwe akże bez warunku (6). Uwaga 2. Obydwa wierdzenia pozosają prawdziwe, jeżeli kryerium (8) maksymalizacji warości produkcji mierzonej w cenach von eumanna w osanim okresie horyzonu T zasąpimy kryerium maksymalizacji dowolnej społecznej
19 iesacjonarny model von eumanna z graniczną echnologią 67 funkcji użyeczności u ( y ( ) = g ( p, y( ) ), gdzie g jes monoonicznie rosnącą, ciągłą funkcją z R do R oraz y ( ) = v ) ). + + ( Uwaga 3. Wydaje się, że własności podobne do sformułowanych w wierdzeniach 4, 5 mają akże opymalne procesy wzrosu w niesacjonarnej gospodarce von eumanna z kryerium maksymalizacji łącznej warości produkcji (mierzonej w cenach von eumanna) wyworzonej w całym horyzoncie T = {,,..., } (a nie ylko w jego końcowym okresie). Wymaga o jednak dalszych badań. Bibliografia Ganz, D.T., 98, A Srong Turnpike Theorem for a onsaionary von eumann-gale Producion Model, Economerica, vol. 48, no. 7. Joshi, S., 997, Turnpike Theorems in onconvex onsaionary Environmens, In. Econ. Rev., vol. 38, no.. Keeler, E.B., 972, A Twised Turnpike, In. Econ.Rev., vol. 3, no.. Khan, M.A., Piazza, A., 2a, An Overview of Turnpike Theory: Towards he Discouned Deerminisic Case, Adv. Mah. Econ., vol. 4. Khan, M.A., Piazza, A., 2b, The Economics of Foresry and a Se-valued Turnpike of he Classical Type, onlinear Analysis, vol. 74. Khan, M.A., Zaslavski, A.J., 2, On Two Classical Turnpike Resuls for he Robinson- -Solow-Srinivasan Model, Asv. Mah. Econ., vol. 3. Panek, E., 23, Ekonomia maemayczna, Wydawnicwo AEP, Poznań. Panek, E., 2, O pewnej wersji słabego wierdzenia o magisrali w modelu von eumanna, Przegląd Saysyczny,. 58, nr 2. Panek, E., Runka, H.J., 22, Dwa wierdzenia o magisrali w modelu von eumanna, Przegląd Saysyczny,. 59, nr 2. Zaslavski, A.J., 26, Turnpike Properies in he Calculus of Variaions and Opimal Conrol, Springer, ew York. on-saionary von eumann model wih limi echnology Absrac: The vas majoriy of papers on he urnpike heory consider a saionary economy wih consan echnology (over ime). There are only few aemps o go beyond he vicious circle of saionariy and o race he so called urnpike effec in a non-saionary eumann-gale economy wih unsable echnology. This aricle underakes his ask. In
20 68 he paper weak and very srong versions of he urnpike heorem in a non-saionary von eumann economy are presened, wih he echnology converging o a cerain echnology limi. Key words: non-saionary von eumann model, limi echnology, weak and very srong urnpike heorem.
EMIL PANEK, HENRYK J. RUNKA DWA TWIERDZENIA O MAGISTRALI W MODELU VON NEUMANNA 1. WSTĘP
PRZEGLĄD STATYSTYCZY R. LIX ZESZYT 2 2012 EMIL PAEK, HERYK J. RUKA DWA TWIERDZEIA O MAGISTRALI W MODELU VO EUMAA 1. WSTĘP W pracy [5] przedstawiono prosty dowód słabego twierdzenia o magistrali w modelu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoPrzez system Walrasa w ekonomii matematycznej rozumiemy zazwyczaj układ równań różniczkowych dynamiki cen w n-produktowej gospodarce
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVIII ZESZYT 3-4 011 EMIL PANEK SYSTEM WALRASA I ZAPASY 1. WSTĘP Przez sysem Walrasa w ekonomii maemaycznej rozumiemy zazwyczaj układ równań różniczkowych dynamiki cen w n-produkowej
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoZAKRZYWIONA MAGISTRALA W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A. CZĘŚĆ I
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXII ZESZYT 2 2015 EMIL PANEK 1 ZAKRZYWIONA MAGISTRALA W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A. CZĘŚĆ I 1. WSTĘP W teorii magistral mimo upływu czasu do nielicznych należą prace poświęcone
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoEMIL PANEK SŁABY I BARDZO SILNY EFEKT MAGISTRALI W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LX ZESZYT 3 213 EIL PANEK SŁABY I BARDZO SILNY EFEKT AGISTRALI W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ J. von Neumann zaproponował liniow model gospodarki (model
Bardziej szczegółowoZAKRZYWIONA MAGISTRALA W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A. CZĘŚĆ II
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXII ZESZYT 4 2015 EMIL PANEK 1 ZAKRZYWIONA MAGISTRALA W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A. CZĘŚĆ II 1. WSTĘP Obrazem geometrycznym zakrzywionej magistrali w niestacjonarnej gospodarce
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoDyskretny proces Markowa
Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoMetody badania wpływu zmian kursu walutowego na wskaźnik inflacji
Agnieszka Przybylska-Mazur * Meody badania wpływu zmian kursu waluowego na wskaźnik inflacji Wsęp Do oceny łącznego efeku przenoszenia zmian czynników zewnęrznych, akich jak zmiany cen zewnęrznych (szoki
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Bardziej szczegółowoPostęp techniczny. Model lidera-naśladowcy. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Posęp echniczny. Model lidera-naśladowcy Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Założenia Rozparujemy dwa kraje; kraj 1 jes bardziej zaawansowany echnologicznie (lider); kraj 2 jes mniej zaawansowany i nie worzy
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoMIARA I ODWZOROWANIE RYZYKA FORWARD NA RYNKU SKOŃCZONYM
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-8611 Nr 295 2016 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Kolegium Analiz Ekonomicznych Kaedra Maemayki i Ekonomii Maemaycznej
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI
METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Sefan Grzesiak * WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH STRESZCZENIE W arykule podjęo problem
Bardziej szczegółowoEwa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 7 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna
Bardziej szczegółowoDynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowo4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoO PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE
MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoElżbieta Szulc Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Modelowanie zależności między przestrzennoczasowymi procesami ekonomicznymi
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyk Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 71 320 3201
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowoBEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:
1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,
Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje
Bardziej szczegółowodr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowospecyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression).
4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej
CHEMI KWTOW CHEMI KWTOW Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:
Bardziej szczegółowoKURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych
Bardziej szczegółowoAnaliza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1
Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH
Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoO pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE
O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji)
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoNAPRAWY GWARANCYJNE I POGWARANCYJNE CIĄGNIKÓW ROLNICZYCH JAKO POTRANSAKCYJNE ELEMENTY LOGISTYCZNEJ OBSŁUGI KLIENTA
Inżynieria Rolnicza 2(100)/2008 NAPRAWY GWARANCYJNE I POGWARANCYJNE CIĄGNIKÓW ROLNICZYCH JAKO POTRANSAKCYJNE ELEMENTY LOGISTYCZNEJ OBSŁUGI KLIENTA Sławomir Juściński Kaedra Energeyki i Pojazdów Uniwersye
Bardziej szczegółowolicencjat Pytania teoretyczne:
Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie
Bardziej szczegółowoAnaliza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**
Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie
Bardziej szczegółowoGr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE
Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoKONTROLA JAKOŚCI ŻELIWA AUSTENITYCZNEGO METODĄ ATD
50/ Archives of Foundry, Year 001, Volume 1, 1 (/) Archiwum Odlewnicwa, Rok 001, Rocznik 1, Nr 1 (/) PAN Kaowice PL ISSN 164-5308 KONTROLA JAKOŚCI ŻLIWA AUSTNITYCZNGO MTODĄ ATD R. WŁADYSIAK 1 Kaedra Sysemów
Bardziej szczegółowoWitold Orzeszko Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zadane przez zaburzenia generatorów C 0 półgrup operatorów
1 Równania różniczkowe zadane przez zaburzenia generaorów C półgrup operaorów 1.1 C półgrupy - informacje wsępne Definicja 1.1 Niec E będzie przesrzenią Banaca. Rodziną operaorów liniowyc ograniczonyc
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB X - ELECTRE TRI
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB X - ELECTRE TRI 1. Meoda ELECTRE TRI ELECTRE TRI (skró od ang. riage) meoda wspomagająca rozwiązywanie problemów wielokryerialnego sorowania - bardzo podobna
Bardziej szczegółowoStała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego
252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału
Bardziej szczegółowoZałożenia metodyczne optymalizacji ekonomicznego wieku rębności drzewostanów Prof. dr hab. Stanisław Zając Dr inż. Emilia Wysocka-Fijorek
Założenia meodyczne opymalizacji ekonomicznego wieku rębności drzewosanów Prof. dr hab. Sanisław Zając Dr inż. Emilia Wysocka-Fijorek Plan 1. Wsęp 2. Podsawy eoreyczne opymalizacji ekonomicznego wieku
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoŹRÓDŁA FLUKTUACJI REALNEGO EFEKTYWNEGO KURSU EUR/ PLN
METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/, 0, sr. 389 398 ŹRÓDŁA FLUKTUACJI REALNEGO EFEKTYWNEGO KURSU EUR/ PLN Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków Gospodarczych
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoBadanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1
adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoPrzemysław Klęsk. Słowa kluczowe: analiza składowych głównych, rozmaitości algebraiczne
Przemysław Klęsk O ALGORYTMIE PRINCIPAL MANIFOLDS OPARTYM NA PCA SŁUŻACYM DO ZNAJDOWANIA DZIEDZIN JAKO ROZMAITOŚCI ALGEBRAICZNYCH NA PODSTAWIE ZBIORU DANYCH, PROPOZYCJA MIAR JAKOŚCI ROZMAITOŚCI Sreszczenie
Bardziej szczegółowo2. Wprowadzenie. Obiekt
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Insyu Elekroenergeyki, Zakład Elekrowni i Gospodarki Elekroenergeycznej Bezpieczeńswo elekroenergeyczne i niezawodność zasilania laoraorium opracował: prof. dr ha. inż. Józef Paska,
Bardziej szczegółowoPOWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE
Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe
Bardziej szczegółowoWskazówki projektowe do obliczania nośności i maksymalnego zanurzenia statku rybackiego na wstępnym etapie projektowania
CEPOWSKI omasz 1 Wskazówki projekowe do obliczania nośności i maksymalnego zanurzenia saku rybackiego na wsępnym eapie projekowania WSĘP Celem podjęych badań było opracowanie wskazówek projekowych do wyznaczania
Bardziej szczegółowoZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO
ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO Sreszczenie Michał Barnicki Poliechnika Śląska, Wydział Oranizacji i Zarządzania Monika Odlanicka-Poczobu Poliechnika Śląska, Wydział
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE TERMINU REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘĆ BUDOWLANYCH METODĄ CCPM NA PODSTAWIE MULTIPLIKATYWNEGO MODELU CZASU TRWANIA CZYNNOŚCI
Dane bibliograficzne o arykule: hp://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje Mieczysław POŁOŃSKI 1 OBLICZANIE TERMIN REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘĆ BDOWLANYCH METODĄ CCPM NA PODSTAWIE MLTIPLIKATYWNEGO
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE TESTU OSTERBERGA DO STATYCZNYCH OBCIĄŻEŃ PRÓBNYCH PALI
Prof. dr hab.inż. Zygmun MEYER Poliechnika zczecińska, Kaedra Geoechniki Dr inż. Mariusz KOWALÓW, adres e-mail m.kowalow@gco-consul.com Geoechnical Consuling Office zczecin WYKORZYAIE EU OERERGA DO AYCZYCH
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH
Pior KISIELEWSKI, Łukasz SOBOTA ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH W arykule przedsawiono zasosowanie eorii masowej obsługi do analizy i modelowania wybranych sysemów
Bardziej szczegółowoZarządzanie Projektami. Wykład 3 Techniki sieciowe (część 1)
Zarządzanie Projekami Wykład 3 Techniki sieciowe (część ) Przedsięwzięcie wieloczynnościowe Przedsięwzięcie wieloczynnościowe skończona liczba wzajemnie ze sobą powiązanych czynności (eapów). Powiązania
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339
Bardziej szczegółowoPOMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów
Bardziej szczegółowoEFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE
Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji
Bardziej szczegółowoWPŁYW PODATNOŚCI GŁÓWKI SZYNY NA ROZKŁAD PRZEMIESZCZEŃ WZDŁUŻNYCH PRZY HAMOWANIU POCIĄGU 1
A R C H I W U M I N S T Y T U T U I N Ż Y N I E R I I L Ą D O W E J Nr 5 ARCHIVES OF INSTITUTE OF CIVIL ENGINEERING 017 WPŁYW PODATNOŚCI GŁÓWKI SZYNY NA ROZKŁAD PRZEMIESZCZEŃ WZDŁUŻNYCH PRZY HAMOWANIU
Bardziej szczegółowoIMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD
Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoEfekty agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA
Joanna Górka * Efeky agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA Wsęp Wprowadzenie losowego parameru do modelu auoregresyjnego zwiększa możliwości aplikacyjne ego modelu, gdyż pozwala
Bardziej szczegółowo