Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

Transkrypt

1 Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć rozwiązania do wszyskich 6 przykładów z [4] oraz wielu innych. Maemaycznie ujmując, uogólniony problem opymalnej alokacji zasobów (o nim bowiem mowa) formułuje się nasępująco () max r ( d ) gdy T () = = T = g ( d ) w. Aby wyjaśnić co oznaczają funkcje r d ) oraz g d ), odwołajmy się na chwilę do ( ( przykładu 7 z [4]. W ym przypadku problem polega na alokacji d sprzedawców produku D do T regionów znając zarówno koszy g ( d ) wysłania d sprzedawców do regionu, jak i wielkość sprzedaży r d ) jaką oni am uzyskają z zamiarem T ( maksymalizacji łącznej sprzedaży r ( d ), przy spełnieniu ograniczeń budżeowych posaci (). = Rozdział rozpoczniemy od przypomnienia sformułowania klasycznego (najprosszego) problemu opymalnej alokacji zasobów gdy () redukuje się do nierówności (*) = = T d w ; sformułowania klasycznego problemu alokacji można znaleźć np. w [, rozdz. 4.4], [, rozdz. 0.4] oraz [4], gdzie zosało ono rozwiązane przy użyciu programu oblicze- * Cezary S. Zaremba ukończył sudia licencjackie w WSZ-POU oraz magiserskie z Informayki w Universiy College London ** Leszek S. Zaremba jes profesorem w WSZ-POU

2 niowego Problem. Waro u od razu zaznaczyć że we wszyskich zagadnieniach alokacji zasobów, łącznie z zagadnieniem klasycznym, funkcje r (d) wysępujące w () kórych sumę maksymalizujemy są zupełnie dowolne, naomias ograniczenia (jeśli je przyjmujemy) doyczą jedynie funkcji g d ), kóre we wzmiankowanym ( powyżej przykładzie 7 z [4] reprezenowały koszy wysłania regionu. d sprzedawców do Klasyczny problem alokacji zasobów jes jednak zby mało ogólny aby za pomocą niego móc rozwiązać większość zagadnień decyzyjnych w firmie. W szczególności, nie obejmuje on przykładu pod yułem Przeprowadzka z Białegosoku do Warszawy od kórego rozpoczynamy rozdział oraz wzmiankowanego powyżej przykładu Sprzedawcy produku D. Aby rozwiązać e przykłady (i wiele innych) wysarczy umieć rozwiązać zagadnienie opymalnej alokacji zasobów posaci: () max r ( d ) gdy T = (*) c d w. T = Jak ławo widać, problem en redukuje się do klasycznego zagadnienia alokacji zaso- bów gdy wszyskie paramery c =, T, będąc jednocześnie szczególnym przy- padkiem zagadnienia ()-() kiedy o g ( d) c d. = Aby rozwiązać problem ()-(*), a zaem i przykłady i, sworzony zosał w rozdziale ego arykułu specjalny algorym obliczeniowy pod nazwą Proporcjonal. Nazwa ego programu pochodzi sąd że nierówność (*) pokazuje proporcjonalne koszy w sosunku do ilości użyych zasobów d. Więcej na ema algorymu Proporional czyelnik znajdzie przy okazji omawiania przykładu. W rozdziale przechodzimy do nieco bardziej skomplikowanego zagadnienia niż ()-(*). Mianowicie, zamias warunku (*), będziemy mieć am do czynienia z nierównością () gdy g ( ), g ( ), g ( ) id. są funkcjami kwadraowymi. Przykład d d d 5 kóry ilusruje en problem rozwiążemy za pomocą algorymu obliczeniowego Quadraic sworzonego na porzeby ego arykułu.

3 Okazuje się że gdy funkcje g (d) są bardziej skomplikowane niż kwadraowe, na przykład są jednomianami sopnia, zagadnienie opymalnej alokacji zasobów da się eż rozwiązać. Przekonywujemy się o ym rozwiązując w rozdziale przykład 6, kóry jes szczególnym przypadkiem zagadnienia alokacji zasobów posaci (4) max{ r d ) + r ( d ) + r ( ) } gdy ( d, (4*) d + d + d w przy użyciu ego samego algorymu Quadraic. W rozdziale rozwiązujemy uogólniony problem alokacji zasobów (wszyskie funkcje g (d) wysępujące w () mogą być zupełnie dowolne) za pomocą algorymu obliczeniowego Generalized co objaśnimy na przykładzie 7, po czym dokonujemy analizy czułości opymalnego rozwiązania od paramerów modelu maemaycznego (sensiiviy analysis). W osanim 4 rozdziale rozwiązujemy exra złożony problem posaci (5) max r ( d ) gdy (6) = = T T = g ( d ) w, = h ( d ) z, = kóry jes ilusrowany przykładem 8 pod yułem przeprowadzka z Białegosoku do Warszawy. Program obliczeniowy Double Generalized służy do rozwiązania zagadnienia (5)-(6) w całej rozciągłości. T ROZDZIAŁ. UOGÓLNIONE ZAGADNIENIE ALOKACJI ZASOBÓW Zaczniemy od przypomnienia przykładu 5 z [4]. Przykład (przeprowadzka z Białegosoku do Warszawy) Kowalscy przeprowadzają się z Białegosoku do Warszawy. Ponieważ z jednej srony wynajęcie dużego środka ransporu kóry by przewiózł ich wszyskie meble za jednym razem jes koszowne, a z drugiej srony ich kuzyn kóry dysponuje niedużym samochodem ransporowym zaoferował przewiezienie ich mebli w -óch urach (dziś i za ygodnie) za opłaą kóra pokrywa jedynie koszy paliwa, Kowalscy zdecydowali się na jego oferę.

4 4 Doradź im w jaki sposób mają zabrać w pierwszej urze jak najbardziej porzebne meble i urządzenia kuchenne kóre im wysarczą przez ygodnie, a z drugiej srony zmieszczą się na kuzyna ciężarówce, co oznacza że suma objęości przedmioów kóre wezmą z sobą w -ej urze nie przekroczy pojemności jego ciężarówki, czyli 0 merów sześciennych. Każdemu meblowi i urządzeniu (zosały one ponumerowane od do n), przyporządkowali określoną użyeczność, kórą oznaczymy przez r d ), gdzie d i oznacza ilość mebli czy urządzeń ypu i, zaware są w abelach i. i ( i i n. Informacje powyższe Zakładamy że meble z abeli nie dadzą się ak ulokować na ciężarówce aby kolejny (drugi, rzeci) mebel można było nałożyć na pierwszy zaoszczędzając w en sposób miejsce na inny mebel. Tego ypu założenie jes spełnione np. w przypadku szaf, lecz nie jes spełnione w przypadku akich krzeseł kóre można wkładać jedno w drugie w efekcie czego objęość jaką zajmą powiedzmy - krzesła będzie znacznie mniejsza niż podwójna (porójna) objęość jednego krzesła. lekkie meble średnie meble ciężkie meble Tabela : Użyeczność mebli ilość mebli 4 użyeczność Tabela : Objęości mebli ilość mebli 4 lekkie meble średnie meble ciężkie meble objęość w m

5 5 Z abeli widać że warunek (*) jes spełniony gdy przyjmiemy iż c =, c =, c = 6. Algorym obliczeniowy Proporional napisany w języku Java specjalnie dla rozwiązania zagadnienia ()-(*) wyliczył że najlepiej przewieść 4 lekkie meble (użyeczność 80, objęość 4m ), 4 średnie meble (użyeczność 500, objęość 8m ) oraz ciężkie meble (użyeczność 00, objęość 8m ), co daje maksymalną użyeczność 70, wykorzysując w 00% dopuszczalną objęość 0m ). Aby uzyskać drugie najlepsze rozwiązanie, należy przewieść 4 średnie meble (użyeczność 500, objęość 8m ), lekkie meble (użyeczność 50, objęość m ) oraz ciężkie meble (użyeczność 00, objęość 8m )co daje użyeczność równą 680 przy wykorzysaniu objęości 9m. Przykład (sprzedaż produku D); por. [ 4, przykład 8] oraz [, sr. 964]) Firma Abecadło zasanawia się ilu zarudnić sprzedawców produku D (kórzy od momenu zarudnienia będą jej zasobem) aby nasępnie skierować ich do T regionów znając zarówno koszy g ( x ) wysłania x sprzedawców do regionu, jak i wielkość sprzedaży r ( x ) jaką x sprzedawców uzyska w rejonie. Firmie chodzi więc o mak- symalizację łącznych przychodów ze sprzedaży r ( x ) przy zachowaniu ograni- =

6 6 czenia = = g ( x ) w, gdzie w jes budżeem firmy na dany rok równym w ym przykładzie 0 mln złoych. Tabela : Przychód ze sprzedaży w T= regionach ilość sprzedawców region przychód (rocznie w ys. PLN) # # # region # # # Tabela 4: Koszy z regionów T ilość sprzedawców koszy (rocznie w ys. PLN) Algorym Proporional wylicza że najlepiej zarudnić 0 sprzedawców w regionie # (przychód 4000, koszy 000), 0 w regionie #4 (przychód 6000, koszy 5000) oraz 0 w regionie # (przychód 700, koszy 000), co daje łącznie największy przychód 700. Drugie najlepsze rozwiązanie o zarudnienie 0 sprzedawców w regionie # (przychód 4000, koszy 000), 0 w regionie # (przychód 5000, koszy 4000) oraz 0 w regionie # (przychód 500, koszy 500), co daje łącznie drugi największy przychód 500.

7 7 Przykład Pan Krzyszof posanowił zainwesować w maksimum 4 różne projeky, po jednym w każdym z 4 krajów (Kanada, USA, Anglia, Polska). Przyjmijmy na chwilę że dolar kanadyjski koszuje zł, dolar amerykański 4zł, zaś fun bryyjski 5zł. Posanowił również że w każdym z ych krajów zainwesuje albo 00 ys. j.p. albo 00 ys. albo 00 ys. albo 400 ys. j.p. danego kraju., mając do dyspozycji,5 mln zł. Wszyskie e inwesycje przynosić będą zyski (sray) przez ą samą ilość la. Tabela 5 podaje NPV, czyli warości dodane jakie wnoszą e 4 projeky dla firmy w zależności od zainwesowanej w nie dziś kwoy. Zagadnienie kóre pragnie rozwiązać pan Krzyszof polega na maksymalizacji sumy warości dodanych wynikłych z realizacji ych projeków przez firmę (minimum projek, maksimum 4 projeky), nie przekraczając budżeu w wysokości 500 ys. zł Tabela 5: NPV z 4 inwesycji w różnych krajach Wymagany kapiał w lokalnej walucie (w ys.) inwesycje NPV (w ys. PLN) A (dolary kanadyjskie) B (dolary USA) C (funy bryyjskie) D (polskie złoówki)

8 8 Tabela 6: Koszy doyczące 4 projeków Wymagany kapiał w lokalnej walucie (w ys.) inwesycje koszy (w ys. PLN) A (dolary kanadyjskie) B (dolary USA) C (funy bryyjskie) D (polskie złoówki) Jak widać z abeli 5, jes u wiele możliwości wyboru. Aby się nie pomylić w wyborze opymalnego rozwiązania, zasosujemy algorym obliczeniowy Proporional, kóry wyświelać będzie abelę danych wyjściowych, najlepsze rozwiązanie, drugie najlepsze rozwiązanie oraz kilka dodakowych informacji. Poszukiwania opymalnej alokacji kapiału podzielimy na 4 fazy. W -ej fazie obliczeń ograniczamy się do zainwesowania w jeden projek całej kwoy 500 ys. zł gdyż może się zdarzyć że aki właśnie sposób inwesowania przyniesie najlepszy rezula. Program nasz wybierze maksymalną liczbę z osaniej kolumny w abeli 5, sprawdzając czy odpowiadająca jej liczba w abeli 6 reprezenująca w ym przykładzie kosz w ys. PLN nie przekracza budżeu, j. kwoy 500. Liczbą ą z abeli 5 będzie 600 (reprezenuje ona inwesycję C na erenie Anglii) ponieważ odpowiadający jej kosz odczyywany z abeli 6 wynosi Oznaczymy ą liczbę przez Max, zaś -ą największą przez Max. W -ej fazie obliczeń rozważamy inwesowanie w różne projeky spośród wszyskich, ak by łączna suma nakładów inwesycyjnych wyniosła nie więcej niż 500 ys. zł. rozpoczynając od 4-4, czyli od decyzji zainwesowania po 400 ys. j.p.w każdy z dwóch projeków. Kolejnym wyborem będzie w ej fazie 4-, nasępnie 4-, 4-, -, -, -, -, -, -, za każdym razem upewniając się w abeli 6 że nie zosał przekroczony budże w wysokosci 500. Program nasz wybiera więc najpierw po jednej liczbie z kolumny 4-ej i 4-ej, kóre nie znajdują się w ym samym wierszu, nasępnie po jednej liczbie z kolumny 4-ej i -ej, id. dodając za każdym razem e

9 9 dwie liczby do siebie jeśli ich suma nie przekroczyła budżeu i uakualniając Max oraz Max. W -ej fazie obliczeń algorym Proporional koncenruje się na wyborze kolumn (nakładów inwesycyjnych) kóre łącznie pochłoną nie więcej niż 500. Algorym rozpoczyna od alokacji 4-4-4, czyli wybiera liczby po jednej z kolumn 4-ej, 4-ej i 4-ej, ak aby e liczby odpowiadały różnym inwesycjom (wierszom). W kolejnym kroku program przechodzi do kolumn 4-4-, wybierając liczby, sumuje je i uakualnia Max i Max. W kolejnym kroku -ej fazy program przechodzi do kolumn 4-4- id. upewniajac się w abeli 6 że nie zosał przekroczony budże. W 4-ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze 4-ech kolumn (nakładów inwesycyjnych) rozpoczynając od alokacji , poem zajmuje się alokacją , nasępnie , aż do ---. Rozpoczynając od alokacji w 4 różne inwesycje, wybieramy więc 4 liczby po jednej z kolumn 4-ej, 4-ej, 4-ej i 4-ej ak aby e liczby odpowiadały 4 różnym wierszom, za każdym razem sumując je i uakualniając Max oraz Max, o ile nie będzie przekroczony budże. W kolejnym krokach algorym posępuje analogicznie. Proporional wylicza że najlepiej zainwesować 00 j.p. w inwesycję B na erenie USA (NPV=800, koszy 00), 00 j.p. w inwesycję C na erenie Anglii (NPV =500, koszy 000) oraz 00 j.p. w inwesycję A na erenie Kanady (NPV= 500, koszy 00), co łącznie da 800 ys zł. warości dodanej, podczas gdy koszy wyniosą 500 ys. zł. Drugim najlepszym rozwiązaniem jes inwesycja 400 j.p. w inwesycję A (NPV= 600, koszy 00), 00 j.p. w B (NPV=00, koszy 800) oraz 00 j.p. w C (NPV 800, koszy 500), co łącznie da 700 ys. zł, podczas gdy koszy wyniosą również 500 ys. zł.

10 0 Na zakończenie rozdziału powrócimy na chwilę do []. Przykład 4 (jes o bardziej rozbudowany przykład 9 z []) Pan Michał posiada środki w wysokości $40000 do zainwesowania, mając do dyspozycji możliwości inwesycyjne podane w abeli 7. Doradź mu jakie ilości pakieów akcji poszczególnych spółek giełdowych powinien kupić (pakie = 00 akcji) aby w opymalny sposób dokonać alokacji swego kapiału. Ponieważ pan Michał chce zdywersyfikować swój porfel, posanowił nie kupować więcej jak 600 akcji jednej spółki. Tabela 7: Możliwości inwesycyjne oraz oczekiwany zysk Kosz nabycia 00 akcji Oczekiwany zysk Spółka A $,000 $500 Spółka B $4,000 $700 Spółka C $5,000 $800 W ym przykładzie chodzi o aki wybór ilości pakieów ( d pakieów akcji spółki A, d pakieów akcji spółki B oraz d pakieów akcji spółki C) aby maksymalizować oczekiwane zyski wynikające z kupna akcji spółek A, B, C. Tabela 7 podaje zyski z zakupu jednego pakieu akcji. Widzimy że dla spółki A oczekiwany zysk z zakupu jednego pakieu akcji wynosi r () 500, dla spółki B równy jes r () 700, zaś w = =

11 przypadku spółki C oczekiwany zysk wynosi r () 800. Ponieważ zyski są propor- = cjonalne do ilości zakupionych pakieów akcji, zachodzą równości: (7) r d) = d * (), r d) = d * (), r d) = d * (), ( r ( r ( r gdzie d oznacza ilość pakieów akcji. Maemaycznie ujmując, pojawia się zaem nas- ępujący problem opymalizacyjny: (8) max{ r d ) + r ( d ) + r ( ) } gdy spełnione są ograniczenia budżeowe ( d (9) g d ) + g ( d ) + g ( d ) 40000, ( o znaczy, koszy nabycia d pakieów akcji spółki A, d pakieów akcji spółki B oraz d pakieów akcji spółki C nie mogą przewyższać kwoy $0000. W ym przyk- ładzie koszy g ( ), g ( ), g ( ) są proporcjonalne do ilości zakupionych pakieów d d d akcji, dzięki czemu możemy (8)-(9) zapisać w posaci (0) max{ 500d + 700d + 800d } gdy () 000d d d Tabela 8: Oczekiwany zysk doyczący projeków Ilość pakieów akcji NPV z zakupionych akcji Spółka A Spółka B Spółka C Spółka A Spółka B Spółka C Tabela 9: Koszy doyczące projeków Ilość pakieów akcji kosz nabycia akcji

12 Proporional wyliczył że najlepiej zainwesować w 6 pakieów akcji spółki B (zysk 400, kosz 4000), pakiey akcji spółki A (zysk 000, kosz 6000) oraz pakiey akcji spółki C (zysk 600, kosz 0000), co daje całkowiy zysk 6800 oraz całkowiy kosz Aby uzyskać drugie najlepsze rozwiązanie należy zainwesować 6 pakieów akcji spółki B (zysk 400, kosz 4000) oraz 5 pakieów akcji spółki A (zysk 500, kosz 5000), co daje całkowiy zysk 6700 oraz całkowiy kosz ROZDZIAŁ. PRZYPADEK KOSZTÓW OKREŚLONYCH POPRZEZ FUNKCJE KWADRATOWE Przykład 5 (będący poszerzeniem przykładu ) Firma ABC zasanawia się ilu zarudnić sprzedawców produku E (kórzy od momenu zarudnienia będą jej zasobem) aby nasępnie skierować ich do T regionów znając zarówno koszy g ( x ) wysłania x sprzedawców do regionu, jak i wielkość sprzedaży r ( x ) jaką x sprzedawców uzyska w rejonie. Firmie chodzi więc o mak- symalizację łącznych przychodów ze sprzedaży r ( x ) przy zachowaniu ograni- czenia = = 4 g ( x ) w = 5 mln złoych. Funkcje g (x) dane są wzorami: g ( d) = 0.5d + 60d 4 = + 00

13 () g ( d) =.5d + 80d g ( d) = 5d + 50d + g ( d) = 7d + 0d Tabela 0: Przychód ze sprzedaży w T=4 regionach ilość sprzedawców region przychód (rocznie w ys. PLN) # # # # region # # # #4 Tabela : Koszy z 4 regionów ilość sprzedawców koszy (rocznie w ys. PLN) Ogólnie mówiąc, należy zmaksymalizować () max{ r d ) + r ( d ) + r ( d ) + r ( ) }, gdy ( 4 d 4 (4) g d ) + g ( d ) + g ( d ) + g ( d ) <= w biorąc pod uwagę że ( 4 4, (5) g ( x) = a x 4 g ( x) = a x 4 g ( x) = a x g ( x) = a x + b x+ c 4 + b x+ c + b x+ c + b x+ c 4 Naomias kiedy a = a = a = a = c = c = c = c 0, mamy wówczas do czy- 4 4 = nienia z przypadkiem kwadraowym kóry był opisywany w rozdziale w przykładach -4.

14 4 Rozwiązanie Na porzeby rozwiązania zagadnienia alokacji zasobów ()-(5) zosał napisany program obliczeniowy Quadraic. W przypadku przykładu 5 program en wylicza że najlepiej przydzielić 4 sprzedawców do regionu # (przychód 500, kosz 00), 4 sprzedawców do regionu # (przychód 9000, kosz 6000), sprzedawców do regionu #4 (przychód 8000, kosz 400) oraz sprzedawcę do regionu # (przychód 500, kosz 600) co łącznie daje przychód 5600 oraz 5000 kosz. Drugie najlepsze rozwiązanie o przydzielenie sprzedawców do regionu # (przychód 4000, kosz 50), sprzedawców do regionu # (przychód 700, kosz 450), sprzedawców do regionu # (przychód 6000, kosz 600) oraz sprzedawców do regionu #4 (przychód 8000, kosz 400), co łącznie daje przychód 500 oraz kosz 400. Przykład 6 Spróbujmy jeszcze rozwiązać zagadnienie z przykładu 5 gdy funkcje koszów dane są jednomianami sopnia, o znaczy, ograniczenie na koszy jes posaci d + d + d w, czyli mamy do czynienia z abelami -. Naomias budże ym razem wynosi 80 mln złoych. Tabela : Zyski ze sprzedaży w T=4 regionach

15 5 region # # # #4 ilość sprzedawców zyski (rocznie w ys. PLN) region # # # #4 Tabela : Koszy z 4 regionów ilość sprzedawców koszy (rocznie w ys. PLN) Quadraic wylicza że najlepiej wysłać 0 sprzedawców do regionu # (NPV=700, kosz 7000), 0 sprzedawców do regionu #4 (NPV=0800, kosz 7000), 0 sprzedawców do regionu # (NPV=800, kosz 8000) oraz 0 sprzedawców do regionu # (NPV=6000, kosz 8000), czyli całkowiy NPV wynosi 6900 naomias kosz ys. zł. Drugie najlepsze rozwiązanie o wysłanie 0 sprzedawców do regionu # (NPV=8000, kosz 7000), 0 sprzedawców do regionu #4 (NPV=0800, kosz 7000), 0 sprzedawców do regionu # (NPV=800, kosz 8000) oraz 0 sprzedawców do regionu # (NPV=5000, kosz 8000), czyli całkowiy NPV wynosi 6600 naomias kosz ys. zł.

16 6 ROZDZIAŁ. UOGÓLNIONY PROBLEM ALOKACJI ZASOBÓW Przypomnijmy sobie przykład, Przeprowadzka z Białegosoku do Warszawy, gdzie Kowalscy przewozili najbardziej porzebne meble na ciężarówce kuzyna. W amym przykładzie meblami były szafy, szafki z pułkami, regały ip. czyli meble kóre nie dadzą się włożyć w większe meble, aby zaoszczędzić ym samym miejsce na inne meble. W przykładzie 6 będziemy przewozić drobne meble akie jak krzesła, foele, nocne szafki ip. czyli meble kóre można włożyć jedne w drugie (np. krzesło na krzesło). W celu rozwiązania uogólnionego problemu alokacji zasobów ()-(), sworzyliśmy specjalny algorym obliczeniowy p. Generalized. Przykład 7 Objęość ciężarówki wynosi 0m. W jaki sposób wybrać meble, kórych objęości podaje abela 5, aby uzyskać jak najwyższą użyeczność (abela 4). Nasz nowy program obliczeniowy Generalized znalazł odpowiedz na o pyanie. Tabela 4: Użyeczność mebli uwzględniając różne ich ilości ilość

17 7 Meble: A - krzesła B - foele C - soły D - lampy 4 użyeczność Tabela 5: Objęość mebli uwzględniając różne ich ilości ilość (d) 4 Meble: objęość A - krzesła B - foele 5 6 C - soły D szafki nocne Należy zabrać 4 krzesła (użyeczność, objęość m ), soły (użyeczność, objęość 5m ), szafki nocne (użyeczność, objęość m ) oraz foel (użyecz- ność 0, objęość malnej objęości. m ), co daje łączną użyeczność 44 przy wykorzysaniu maksy-

18 8 By uzyskać drugie najlepsze rozwiązanie, należy wybrać 4 krzesła (użyeczność, objęość m ), 4 szafki nocne (użyeczność, objęość m ), soły (użyeczność 0, objęość 4m ) oraz foel (użyeczność 0, objęość m ) co daje łączną użyeczność 4 przy wykorzysaniu maksymalnej ( 0m ) objęości. Ciekawym będzie przeprowadzenie sensiiviy analysis czyli zbadanie jak opymalne rozwiązanie jes czułe na zmianę paramerów modelu maemaycznego. W ym celu rozparzymy jeszcze przypadki gdy objęość wynosić będzie 8m, 9m, m, m. Przypadek: objęość = 8m Program Generalized mówi że najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość B (użyeczność 0, objęość m ), mebli D (użyeczność, objęość m ) oraz mebla C (użyeczność 7, objęość m ), mebla m ), co łącznie daje użyeczność 9 oraz objęość 8m. Drugie najlepsze rozwiązanie o zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość m ), mebli D (użyeczność 0, objęość m ) oraz mebla B (użyeczność 0, objęość m ) oraz mebla C (użyeczność 7, objęość m )co łącznie daje użyeczność 8 oraz objęość 8m. Przypadek: objęość = 9m

19 9 Najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość mebli D (użyeczność, objęość m ), mebli C (użyeczność 0, objęość m ), 4m ) oraz mebla B (użyeczność 0, objęość m ), co łącznie daje użyeczność 4 naomias objęość 9m. Drugim najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość m ), mebli C (użyeczność 0, objęość 4m ), mebli D (użyeczność 0, objęość m ) oraz mebel B (użyeczność 0, objęość m ), co łącznie daje użyeczność 4 naomias objęość 9m. Przypadek: objęość = m Najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość mebli C (użyeczność 4, objęość 6m ), mebli D (użyeczność, objęość m ), 4 m ) oraz mebla B (użyeczność 0, objęość m ), co łącznie daje użyeczność 46 naomias objęość (użyeczność, objęość C (użyeczność, objęość m. Drugim najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A łącznie daje użyeczność 45 naomias objęość m ), 4 mebli D (użyeczność, objęość 5m ) oraz mebla B (użyeczność 0, objęość m. m ), mebli m ), co

20 0 Przypadek: objęość = m Najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość mebli C (użyeczność 4, objęość oraz mebel B (użyeczność 0, objęość 6m ), 4 mebli D (użyeczność, objęość m ), 4 m ), m ), co łącznie daje użyeczność 47, nao-

21 mias objęość m. Drugim najlepszym rozwiązaniem jes zabranie 4 mebli A (użyeczność, objęość C (użyeczność, objęość łącznie daje użyeczność 46 naomias objęość m ), 4 mebli D (użyeczność, objęość 5m ) oraz mebli B (użyeczność, objęość m. m ), mebli m ), co Analiza czułości: porównanie rozwiązań najlepsze rozwiązanie -gie najlepsze rozwiązanie 6 8 m 9 m 0 m m m Przykład 8 (przeprowadzka Vanem z Białegosoku do Warszawy bardziej złożony model maemayczny) Tym razem wysąpią ograniczenia: waga i objęość. Zaczniemy od przypadku gdy maksymalna waga = 50 kg, zaś maksymalna objęość = 0m. Tabela 6: Użyeczność mebli uwzględniając różne ich ilości ilość 4 Meble: użyeczność A - krzesła B - foele 0 C - soły D - lampy 8 0

22 A - krzesła B - foele C - soły Tabela 7: Objęość mebli uwzględniając różne ich ilości Meble: D szafki nocne ilość (d) 4 objęość w m Tabela 8: Waga mebli uwzględniając różne ich ilości ilość (d) 4 Meble: waga w kg A - krzesła B - foele C - soły D szafki nocne 8 6 4

23 Wykorzysując 5 razy program Double Generalized, orzymujemy nasępującą analizę czułości rozwiązań od paramerów modelu maemaycznego Tabela 9: Najlepsze rozwiązania Objęość/waga Tabela 0: Drugie najlepsze rozwiązanie Objęość/waga Z obu abel można wyciągnąć wiele wniosków. Na przykład en że zwiększanie wagi dopuszczalnej począwszy od 00 kg w zwyż nie poprawia maksymalnej użyeczności. Lieraura. B. Guzik, Ekonomeria i Badania Operacyjne, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, E. Ignasiak, Badania Operacyjne, PWE, Warszawa, W. Winson, Operaions Research: Applicaions and Algorihms, PWS-Ken Publishing Company, C. S. Zaremba, L.S. Zaremba, O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów, Zarządzanie Zmianami Biuleyn POU, 00.