Potęgi i funkcja wykładnicza

Transkrypt

1 Potęgi i fucja wyładica 19 wietia 018 r. Zostałe aiesay pre olegę w pisaie podstawy prograowej. Aurat espół wyglądał w iarę sesowie: byli aucyciele ucący w sołach, byli łodi ludie uceli, byli te ludie doświadcei w tego rodaju diałalości. Ocywiście, ja to w Polsce, było a ało casu, więc próba robieia cegoś byt sybo. Np. absolutie ie było dosyć casu a wypracowaie jaiegoś porouieia fiyai, ale to sa stałe eleety upełie ieależe od tego, to aurat rądi raje tw. Michała S.: ażdy rąd po 1918 r. acya diałalość od refory eduacji, awet jeśli to ie jest całowita prawda, to wypowiedź a ses. Cieawostą jest to, że aao a aońcyć prace ad podstawą do LO do cerwca, a pote papiery apewe abierały ocy urędowej do ońca lutego, ale to ów jest wyłe postępowaie urędiów. Chcę powiedieć coś o potęgach, trochę w wiąu ty, że wypowiadałe się w tej i wielu iych westii. Nie ograicę się do soły. Najpierw pojawiają się potęgi o wyładiu aturaly i ii it łopotu ie a. Pote pojawiają się pierwiasti i tu od rau acyają się łopoty, bowie asi dydatycy ateatyi uyślili sobie, że pierwiastów licb ujeych ie a, rówież ieparystego stopia, co ie gada się e wycajai resty świata. Np. alulator w oi oputere wyciąga je be probleu. Podobie róże ie urądeia eletroice, ocywiście dostępe, więc apewe chodi o wytworeie aiesaia w głowach uciowsich prygotowaie do życia w aęcie?, jeśli ta, to bardo rea.listyce podejście. Zrestą aęt jest i a świecie, bo p. alulator auowy pseudo? w oi telefoie oórowy ie lubi licby 8 1/3, rówież ój stary TI r. ie lubi tego, a te tóry a w sufladie swego biura w pracy jaieś Casio - preciwie, wyświetla atychiast. Dydatycy wyle arudą o fucji wyładicej. To ja też trochę poarudę. Najpierw jeda powie, że wedle ej wiedy pierwiasti popredają w sole fucję wyładicą. Zaa pierwiastowaia licb ujeych jest ało rouiały, ale łodieży a ogół jest wsysto jedo precież wiedą, że a więsości lecji ależy ówić i pisać ta, ja aucyciel chce, a powody są i a ogół obojęte. To też prygotowaie do życie: rób, co sef aże i ie astaawiaj się ad ty, a już a pewo ie dysutuj a dużo. Jeda istieje pewa licba aucycieli, tóry chcą swych uciów aucyć cegoś aprawdę. Ty oiecie ależy powiedieć pry oaji defiiowaia pierwiastów, że pierwiastów stopia parystego licb ujeych ie a, bo potęga parystego stopia ażdej licby recywistej jest ieujea, więc ie a adydata a pierwiaste. Pryjujey, że pierwiaste stopia parystego licby ieujeej jest ieujey, bo chcey adać sybolowi a jedo aceie. Pierwiaste stopia ieparystego dowolej licby recywistej defiiujey w aturaly sposób ie ogra icając stucie diediy do licb recywistych ieujeych, bo a ty etapie rowoju ie a żadej prycyy, aby to robić. Pierwiasti drugiego i treciego stopia pojawiają się w sole podstawowej, ale w bardo ograicoy aresie. W LO sytuacja powia ieić się. Wtedy ależy udowodić, że dla ażdej licby recywistej a i ażdej ieparystej licby aturalej istieje co ajwyżej jeda taa licba recywista b, że b = a, a dla ażdej licby ieujeej a i ażdej licby aturalej istieje doładie 1

2 jeda taa licba recywista b 0, że a = b. Korystać ależy ootoicości potęgi, tóra wyia tego, że ierówości oża pry odpowiedich ałożeiach ożyć stroai, a tego uciów aucyć ależy. Kwestia istieia ahaca o pewi ciągłości, a tego w sole ie a. Moża atoiast asicować dowód istieia. Należy w ty celu p. wyaać, że jeśli 0 x < y a 1, to 0 < y x = y xy 1 y x y 3 x... y x a 1 1. l Wyia stąd, że dowolie bliso licby a ajdują się te potęgi licby postaci, gdie, l są licbai aturalyi: pry ustaloy wybieray ajwięse aturale l, dla tórego l a. Wtedy l1 > a, ate a l < l1, l < 1 a 1 1. Jase jest, ε że jeśli > to a l a1 < ε, a więc uiey wsaać ta duże i odpowiedie l, że 1 różica iędy a i tą potęgą licby l jest dowolie ała. I to w asadie oiec dowodu. Ocywiście ie a foralego aońceia, bo ie powołujey się a pewi ciągłości. Moża to jeda aońcyć powołując się a jego wersję, tórą oża w sole sforułować: ciąg iealejący i ograicoy góry a sońcoą graicę. Moża też pry tej oaji poprawić acie opowiadaie i opowiedieć pry oaji, ja alulatory i ie eletroice urądeia ajdują pierwiasti. Niech a będie licbą dodatią. Niech x 0 = a ora x 1 = 1 1x a. Licba x 1 to średia arytetyca 1 licb x ora licby a. Wobec tego x 1 leży iędy licbai a x ora. Z twierdeia o średiej arytetycej i geoetrycej wyia ierówość 1 x 1 = x a a = a uiay a raie pierwiasta. Wyia stąd, że x 1 a, więc x 1 x a a to oaca, że od pewego iejsca wyray ciągu x ie rosą, a poieważ ciąg te jest ograicoy dołu, więc a sońcoą graicę. Graica ta jest pewością dodatia ciągle ie orystay istieia pierwiastów, to x 1 a > a a, a1 a1 ate x1 > a dla a1 ażdego. Niech li x = r. Z twierdeie o graicy suy, ilocyu i ilorau ora ocywistej 1r a 1 rówości li x 1 = r wiosujey, że r = 1 r, więc r = 1 A tera pryjryjy się ciągowi x, gdy = i a = 19. Wtedy x 1 = 1 dla ażdego. Oblicy ila wyraów ciągu x. May 1 a, cyli r = a. r 1 x 19 x 19 x 1 = = 10, 19 x = = 5,95, 10 x 3 = ,95 4, , 5,95 x 4 14, , , 4, x 5 14, , 4, x 6 14, , 4, x 7 14, , 4, x 8 14, , 4, Ja widać, putu wideia 19 cyfr po preciu x 7 = x 8, więc dalej ie co licyć. Zaleźliśy posuiway pierwiaste w 8 roach. Prypade, cy ta będie awse? Otóż x 1 19 = 1 x 19 x 19 = = 1 x x 19 19x = 1 x x 19 1 x 19 8,7.,

3 Z tych ierówości wyia, że gdy już bliżyy się do 19, to licba doładych iejsc po preciu pry astąpieiu licby x licbą x 1 wrośie bardiej iż dwurotie. Jest więc to całie ieła etoda efetywego pierwiastowaia. Pochodi oa od Newtoa. Z defiicji pochodej wyia prybliżoa rówość fp h fp f ph. Rowiąujey rówaie 0 = fp h fp f ph, więc p h p fp, co prowadi do ciągu reurecyjego f p defiiowaego a poocą woru x 1 = x fx. Jeśli fx = f x x a, to x 1 = x x a = 1 1x x 1 a. Zauważy jesce, że jeśli gx = 1 1x a x, to g 1 a = a ora g x = a = 1 1 a, ate g a = 0. x x Stąd wyia, że ciąg x jest sybo bieży do a, bo tw. Lagrage a o wartości średiej x 1 a = gx g a = g cx a dla pewego c leżącego poiędy a i x, a w pobliżu a pochoda jest blisa eru, więc x 1 jest acie bliżej a iż x. pot Wracay do potęgowaia. Najważiejsą jego własością jest rówość a xy = a x a y wyle uiescaa wśród ilu iych rówości tratowaych w sołach jao ta sao waże. Z iej wyia, że jeśli chcey defiiować potęgi dla wsystich wyładiów wyierych albo wsystich recywistych, to usiy pogodić się dodatii wyiai. Jeśli a p = 0 dla pewego p, to a x = a p a x p = 0 dla ażdego x, więc to trochę be sesu ale dla a = 0?. Dalej a x = a x/ a x/ = a x/ 0. Z ostatich dwóch dań wyia, że jeśli chcey defiiować a x dla wsystich wyierych lub wsystich recywistych wyładiów, to treba pogodić się dodatiością potęg, więc oża uać, że iłośicy tej teorii ają rację. Jeda oi tego ie wyjaśiają: uceń a precież wieryć w opowieści aucyciela i ie westioować ich. Dalej a x = ax 0 = a x a 0, ate a 0 = 1 ta rówość też jest wyusoa, a ie jest wyiie widiisię defiiującego!. Soro a 0 = 1, to 1 = a x x = a x a x, co wyusa wór a x = 1 a x. W tai sa sposób preoujey się, że a x/ = a x, ate a x/ = a x dla ażdej licby aturalej. To prowadi do woru a / = a dla dowolego aturalego i całowitego ta, ja ażdy aucyciel auca. Ale to jest wyusoe rówością a xy = a x a y. Moi daie to ależy uświadaiać ucio. To ie oiec. Co wyładiai iewyieryi, o tórych ależałoby wspoiać, bo wprowadae są logaryty, a te ie chcą być awse wyiere: 10 log =, więc gdyby log = p dla pewych p, q N, to byłoby q 10p = q, a to iestety ie jest ożliwe, bo log > 0, więc p, q > 0, ale wtedy licba 10 p dieli się pre p w odróżieiu od licby q. Coś więc powiedieć treba. Tu rówaie a xy = a x a y prestaje diałać ta dobre, ja do tej pory. Gdybyśy ograicyli się do bioru łożoego licb postaci a b, a, b Q, to oglibyśy defiiować 5 ieoiecie ta, ja to robiy ale cy robiy?!. Np. oglibyśy pryjąć, że 5 ab = 5 a ieależie od b i rówość 5 xy = 5 x 5 y iałaby się całie dobre. Ale ic ie stałoby a presodie by defiiować 5 ab = 5 a 7 b. Też wsysto byłoby w porądu, choć byłoby iegode asyi prywycajeiai i w dodatu byłoby iej użytece. Treba sorystać jesce jedej własości potęgowaia. To ootoicość lub ciągłość, lub różicowalość w jedy pucie lub ograicoość 3

4 fucji 5 x a jaiś prediale. W sole ajbepieciejsa jest ootoicość. Fucja 5 x jest ściśle rosąca a Q łatwe, ieco żude, jeśli chcey podać peły dowód e wsystii detalai. Wtedy oża powiedieć, że p. 5 to taa licba, że jeśli p < < r dla pewych q s licb aturalych p, q, r, s, to 5 p/q < 5 < 5 r/s. Nietrudo jest wyaać, że ootoicości wyia, że taa licba jest co ajwyżej jeda, a jej istieie wyaga odwołaia się do pewia ciągłości. Zachodi ierówość a 1a bo 0 a 1. Wobec tego jeśli a > 1, to 1 < 4 a a1. Kotyuując 4 otryujey 1 < 8 a 4 a Postępując adal w te sposób otryujey ierówość a3 = a7 8 Wobec tego jeśli x < y < x 1 i a > 1, to 1 < a a 1 = 1 a 1. a1 1 = a3 0 < a y a x = a x a y x 1 < a x a 1/ 1 a 1, a stąd już be trudu wiosujey, że iędy licbai a p/q i a r/s, gdie p q < < r s iejsca jest a jedą tylo licbę recywistą. Wobec tego dodaie do waruu a xy, = a x a y ootoicości defiiuje już potęgę o dowoly wyładiu recywisty. Coś a te teat powio pojawiać się w solych podręciach, a w lepsych lasach rówież w tracie lecji. Defiiowaie różych recy jest waże ie tylo w ateatyce, ale ateatya w sołach jest jedyy prediote powalający a ścisłe defiiowaie pojęć i orystaie tych defiicji późiej. Treba tu wyraźie powiedieć, że to, co wceśiej powiedieliśy ija ie a się do pierwiastów ieparystego stopia licb ujeych. Oe po prostu ie podpadają pod hasło: fucja wyładica i ie ależy ich a siłę i wiąać. Warto jeda stosować oaceie a 1/3 i odpowiedio ie, bo wtedy róże wory, p. a pochodą dobre diałają. Jeda ależy ostrec łodych ludi, bo ae dowcipy w rodaju 1 3 = 6, ate 3 a = a 1/3 = a /6 = 6 a prowadą.i. do rówości 1 = 3 1 =... = 6 1 = 1. Należy uciów/studetów ostrec, że ogą pojawiać się tego rodaju probley, więc powii uważać i orystać worów ostrożie, ewetualie astaawiać się ad ich dowodai. Wór x 1/3 = 1 3 x /3 diała bardo dobre, rówież dla x = 0, co wyaga pryjęcia rówości =, a oa ses pochoda fucji 3 x w pucie 0 jest rówa. Podobie x 14/5 = 14 5 x 19/5 lub ogólie x a = ax a 1 awse wtedy, gdy prawa stroa, więc ax a 1 jest dobre defiiowaa, co w wypadu x = 0 oaca, że a 0, aś w wypadu x < 0 oaca, że licba a 1 oże być apisaa w postaci ułaa o liciu całowity i iaowiu całowity, ieparysty.iyi słowy staray się adać ja ajsersy ses defiicji potęgi o ujeej podstawie. Dodajy jesce, że poa sołą oża to robić jesce serej używając licb espoloych i odpowiedich gałęi logarytu, ale to się upełie do soły ie adaje, jeda istieje i wprowadając róże oreśleia ależy ieć a uwade to, że cęść uciów, a ogół aurat tych prytoiejsych, ceają spotaia iyi defiicjai po sole. Doprowadeie do ich świadoości tego, że defiiujey coś by było a wygodiej operować potęgai jest ważiejse od ułatwiaia życia ty, tóry albo ie chcą się icego aucyć, albo ie są w staie. Świat prestał być podieloy a stywo graicai, tóre w wielu wypadach preraca się be trudu, ia- 4

5 cej iż w casach żelaej urtyy, tóra powalała dydatyo coś decydować a tereie Polsi be wracaia uwagi a to, co poa ią się dieje. W dodatu te iteret, progray oputerowe itd. Jesce słowo o urądeiach eletroicych i prograach oputerowych. Nietóre oblicają pierwiasti orystając logarytów. Wtedy jest a ogół proble licbai ujeyi ie awse. Ale wtedy jeśli chcey usić urądeie do współpracy, powiiśy uieć walcyć trudości. W tej oretej sytuacji apisać p. sigx x 1/3 i wsysto będie w porądu. To oża robić, gdy ay do cyieia wyrażeie a p/q, gdie q jest ieparystą licbą całowitą, a p licbą całowitą. Używać ależy, bo case te fucje prydają się rówież poa ateatyą. Jeśli aiteresujey się wyładiai espoloyi, to sytuacja ieia się istotie, bo w biore licb espoloych ie oża wprowadić ierówości godej dodawaie i ożeie. Nie stosujey więc ierówości, ate ootoicość ty rae as ie uratuje. Nie ratuje as też ciągłość, bo fucje x, y R defiiowae worai fx yi = x, gx yi = x 3 y spełiają rówaie f 1 = f 1 f, są ciągłe, spełiają też warue f1 = = g1, ale są róże. By uysać jedoacość treba ałożyć coś iego. Może to być różicowalość. Jeśli chcey defiiować potęgi o wyładiu espoloy, to warto acąć od ajważiejsej podstawy potęg i logarytów, więc od licby e. Niech e = f. f 1 Mają być spełioe rówości f 1 = f 1 f ora li 0 = 1. Udowodiy, że exp f = li 1. Leat 1.1 Jeśli li a = 0, to li 1 a = 1 Dowód. Jeśli jest dostatecie duże, to a < 1, więc jeśli dodatowo a R, to a ocy ierówosci Beroulliego ożey apisać 1 a 1 a 1 1 = 1 a 1 a, 1a 1a więc tea w wypadu recywistego ciągu a wyia od rau twierdeia o trech ciągach. W dalsy ciągu a C. Wtedy 1a 1 = a 1 a... a a a... 1 a = 1 a 1. Z leatu astosowaego do ciągu recywistego a wyia, że li 1 a 1 = 0, a to oaca oiec dowodu. Leat 1. Dla aźdej licby recywistej x istieje sońcoa graica li 1 x. Dowód. Jeśli x >, to 1 x 1 x 1, 1 bo wtedy x > 0 i wobec tego 1 x x = 1 x 1 x x 1 x x 1 1 x 1 1 x = 1. Ciąg jest więc od pewego iejsca iealejący, ate a graicę, być oże rówą. Graica jest a pewo dodatia, bo od pewego iejsca wyray ciągu są dodatie i rosą. Jeśli x 0, to od pewego oetu wyray ciągu są iejse lub rówe 1, ate w ty wypadu graica jest sońcoa. Jeśli x > 0, to 1 x 1 x = 1 x. Lici a graicę 1 to poprediego leatu, iaowi a graicę sońcoą i dodatią, to już udowodiliśy, więc tea wyia twierdeia o graicy ilorau. 5

6 Leat 1.3 Dla ażdej licby espoloej istieje sońcoa graica li 1. Dowód. Dowód. Zauważy ajpierw, że jeśli > 0, to 1 < 1.Wyia to atychiast tego, że 1 = ! ,! = 1 1 wobec tego astepuj ac w ty wore pre > wiesay iaowii achowujac licii be ia, co ocywiście powoduje wrost ożoych ułaów. May ate = [1 1] [ 1 1 [ 1 1 ] 1 1 ] [ 1 1 ] = Poieważ ciag 1 jest bieży licba jest recywista!, wiec spełia o warue Cauchy ego, wobec tego rówież ciag 1 spełia warue Cauchy ego wyaaliśy bowie, że odległości iedy wyraai tego ostatiego ie preracaja odległości odpowiedich wyraów ciagu 1. Leat ostał dowiedioy. Tera ożey udowodić wór exp. Pryjijy, że r = f 1. Z ałożeia r o fucji f wiosujey, że li = 0, więc rówież li r / = 0. Wobec tego f = f = 1 r = 1 1 r 1. Poieważ li r = 0, więc li 1 r 1 = 1, ate f = li 1. Kwestię istieie fucji f oża ałatwić tera iloa sposobai. Moża orystając tego, że fucja e x, x R oże być defiiowaa wore e x = li 1 x udowodić, że i sorystać tego, że ciąg spełia warue Cauchy ego wtedy i tylo wtedy, gdy ciąg te a sońcoą graicę. Moża apisać, że e xyi = e x cos y i si y i sprawdić, że ta defiiowaa fucja a własości pot i exp. Z woru e li 1 i ajprostsych własości sprężeia wyia, że e = e, a stąd otryujey e it = e it dla ażdej licby recywistej f. Wyia stąd, że e it = e it e it = e it e it = e 0 = 1. May też ree it = 1 eit e it ora ie it = 1 i eit e it. W recywistości otryaliśy wory Eulera cos t = 1 eit e it ora si t 1 i eit e it. Moża uać, że jest to defiicja osiusa i siusa, trochę diwa putu wideia soły, ale chcę po prostu powiedieć, że worów Eulera i własości fucji wyładicej wyiają łatwo własości fucji trygooetrycych, ocywiście w sole defiicja fucji trygooetrycych powia być podaa w oparciu o oło trygooetryce wiąaa długością łuu oręgu i be awet próby wiaia w odpowiedź a pytaie o aceie słów godie ruche wsaówe egara. Jeda worów Eulera oża wyprowadać wory typu cosα β =..., siα β =.... Nie wydłuża listy aych worów. Napisy jesce 1 = cos π si π = e πi lub ieco iacej e πi 1 = 0. Wory Eulera powalają tłuacyć probley trygooetryce a probley dotycące fucji wyładicej wyładiie espoloy, co cęsto je uprasca. 6

7 Kila adań, tóre ogą aiteresować ietórych uciów yślę o iejsości. osoba aiteresowaa rowiąaie tóregoś adań, tóra ie oże go rowiąać, oże apisać do autora stroy po wsaówę. 1. Udowodić, że jeżeli a > 0 jest licbą całowitą i ie jest potęgą licby 10 o wyładiu aturaly, to log 10 a jest iewyiery.. Udowodić, że istieje iesońceie wiele taich licb iewyierych x 1, x, x 3,..., że jeśli 1,, 3,... są licbai całowityi ora 1 x 1 x 3 x 3... x = 0 dla pewej licby aturalej, to 1 = = 3 =... = = Udowodić, że istieją taie licb y iewyiere a, b, że a b jest licbą wyierą. 4. Rowiąać rówaie log 4 x log x = Rowiąać rówaie log15 x 3 3 logx = 0. x x 6. Rowiąać rówaie 3 3 = Rowiąać rówaie 9 x 4 x = 6 x. 8. Rowiąać rówaie x 8x 9 x x 8x 7 x 8x 9 x x 8x 7 = 1x/4. 9. Ile rowiąań a rówaie x = x W cterocyfrowych tablicach logarytów diesietych aleźć licbe log doładościa do pieciu iejsc po preciu. 11. Dowieść, że jeśli a > 0, b > 0, c > 0 i a b c a, to a a b b c c > abc abc Dowieść, że jeśli a > 0, b > 0, c > 0 i a b c a, to a a b b c c < a b c abc. abc 13. Niech f : N R bedie taa fucja ściśle ootoica, że dla dowolych, N achodi wór f = f f. Dowieść, że istieje taa licba a > 0, a 1, że rówość f = log a achodi dla ażdej licby aturalej. 14. Niech sihx = 1 ex e x, coshx = 1 ex e x. Te fucje aywae sa siuse hiperbolicy i osiuse hiperbolicy. Udowodić, że dla dowolych x, y R achoda rówości: a sihx y = sihx coshy sihy coshx, b coshx y = coshx coshy sihy sihx, c cosh x sih y = 1, d li x 0 sihx x = 1, e coshx = cosix ora sihx = i siix. 7

8 15. Udowodić, że jeśli prestałceie F : C C jest ioetrią, cyli F 1 F = 1 dla ażdej pary licb 1, C, to istieją taie licby a, b C, że a = 1 i albo dla ażdego C achodi rówość F = a b, albo dla ażdego C achodi rówość F = a b. 16. Niech a, b C, a = 1 i F = a b dla ażdego C. Dla jaich par licb a, b C istieje taa licba, że F =? 17. Niech a, b C, a = 1 i F = a b dla ażdego C. Dla jaich par licb a, b C istieje taa licba, że F =? 18. Niech a, b, c, d C będą taii licbai espoloyi, że ad bc i iech F = ab cd dla ażdego C, dla tórego c d 0. Udowodić, że wtedy jeśli 1, to F 1 F ora dla ażdego w C \ { a } istieje doładie jedo taie C, że c w = F. Jeśli c = 0, to { a} =. c 19. Niech a, b, c, d i F będą taie, ja w popredi adaiu ora 1,, 3, 4 C \ { d}. c Dowieść, że wtedy : 3 4 = F 1 F 3 : F F 3. F 1 F 4 F F 4 Licba : 3 4 aywaa jest dwustosuie cwóri putów 1,, 3, 4 C. Jest oa recywista wtedy i tylo wtedy, gdy puty 1,, 3, 4 leżą a jedej prostej lub a jedy oręgu. Twierdeie ówi, że hoografia F achowuje dwustosue cwóri putów. 0. Udowodić, że dla ażdej licby całowitej istieje doładie jeda taa licba, że e = ora π < i < 1π. Cieawosta. W pracy 196 r. P. Fatou adał pytaie, tóre oża sforułować ta: cy prawdą jest, że jeśli D jest ołe otwarty o dowoly proieiu, awet bardo ały, to biór D fd ffd... awiera wsystie licby espoloe wyjątie co ajwyżej jedej. Odpowiedź a to pytaie jest poytywa o ostała po ra pierwsy opubliowaa w pracy Michała Misiurewica 1981 r. O the iterates of e, Ergodic theeory Dyaical Systes , str Niech f 1 = e i f 1 = e f. Udowodić, e dla dowolej licby aturalej i dolej licby espoloej achodi ierówość if f.. Dowieść, że jeśli j 1 dla j = 1,,..., ora 1... = 0 i u 1, to 1 u u... u Rowiąać rówaie = 0 i dowieść, że ai jedo jego rowiąaie ie jest pierwiastie 1, chociaż dwa rowiąaia są licbai o wartości bewględej Z woru a sue pierwsych wyraów ciagu geoetrycego wyprowadić wór a sue: si ϕ siϕ si ϕ ora a sue cos ϕ cosϕ cosϕ. 5. Oblicyć su e cos ϕ cos ϕ cos ϕ. 8

9 6. Oblicyć su e 1 cos ϕ cosϕ cosϕ. 7. Dowieść, że cos π 4π π cos cos = Oblicyć su e Oblicyć su e Zaleźć sue piećdiesi atych poteg długości wsystich boów i preatych stuata foreego wpisaego w orag o proieiu Udowodić, że sua wadratów długości wsystich boów i preatych ata foreego wpisaego w orag o proieiu 1 jest rówa. 3. Udowodić, że sua wadratów długości wsystich boów i preatych ata foreego opisaego a oregu o proieiu 1 jest rówa ctg π. 33. Udowodić, że ilocy wadratów długości wsystich boów i preatych ata foreego opisaego a oregu o proieiu 1 jest rówa. 34. Niech g oaca fucję ciągłą oreśloą a pewy ole o środu w pucie 0. Niech f = a b 1 g, a, b C. Udowodić, że dla ażdego δ > 0 istieją taie licby 1,, że f 1 < f0 < f. 9