LICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę:

Transkrypt

1 LICZBY ZESPOLONE 1. Historia licb espoloych Licby espoloe poawiły się w XVI w., w wiąku badaiami sposobów rowiąywaia rówań algebraicych treciego i cwartego stopia. Okaało się, że rowiąaia rówań treciego stopia moża uyskać a pomocą diałań algebraicych a współcyikach tych rówań, edak tylko wtedy, gdy umie się oblicać 1. Ocywiście, w akresie licb, aych w tamtym okresie, pierwiastek kwadratowy licby -1 ie istiał. Niektóry matematyków ałożyli ego istieie i awali go licbą urooą, a dotychcas ae licby awao licbami recywistymi. Oacaąc 1 pre i, pryęto, że i = -1. Tworoo owe licby a + ib, które awao licbami espoloymi i określoo cysto formalie ctery diałaia a takich licbach. Arytmetyka licb espoloych ie doprowadiła do żadych sprecości. E. Euler ( ) wprowadił licby espoloe do aaliy matematyce, powoduąc tym e istoty postęp. Pocątek wieku XIX pryiósł ścisłe uasadieie istieia licb espoloych. Scegółową teorię licb espoloych stworyli C.F. Gauss ( ) i W.R. Hamilto ( ). Gauss iterpretował licby espoloe ako pukty płascyy licb espoloych (stąd płascya Gaussa ), w które wprowadoo pewe diałaia, wae dodawaiem i możeiem puktów, cyli licb espoloych. Hamilto wprowadił licby espoloe ako pary licb recywistych i określił dodawaie i możeie takich par. Obydwa uasadieia są rówoważe, bowiem pukty płascyy są wyacoe pre pary licb recywistych, współrędych tego puktu a płascyźie. Obecie licby espoloe, a rówi licbami recywistymi, które moża traktować ako licby espoloe scególego rodau, są iebędymi arędiami matematyka, fiyka i iżyiera. Scególe aceie odgrywaą w teorii obwodów. Wprowadoo specalą metodę aaliy obwodów elektrycych, opieraącą się a licbach espoloych, aywaą metodą symbolicą. Ze wględu a astosowaia licb espoloych w teorii obwodów, edostka urooa będie oacaa pre, cyli = -1, = 1. Licby espoloe będą oacae pre podkreśleie symbolu (litery), oacaące tę licbę: = a+. b. Zapis licb espoloych.1. Postać kaoica licby espoloe Licbą espoloą aywamy parę uporądkowaą licb recywistych (a, b), acęście apisywaą w postaci sumy = a+ b, = -1. Taką postać licby espoloe aywamy postacią kaoicą (postacią algebraicą). Licbę recywistą a aywamy cęścią recywistą licby espoloe a = Re{ }, licbę recywistą b aywamy cęścią urooą licby b= Im{ }, tak że = Re{ } + Im{}. Licba espoloa a + est apisywaa ako a i est utożsamiaa licbą recywistą. Licba espoloa = b będie aywaa licbą urooą. 1

2 .. Iterpretaca geometryca licby espoloe wska Licby espoloe moża iterpretować ako pukty a płascyźie miee espoloe we współrędych prostokątych Re{ }, Im{ }. Licba = a+ b est puktem o współrędych (a, b) płascyy Gaussa. Im{} b ϕ Rys. 1. Iterpretaca geometryca licby espoloe. a Re{} Pukt te est oddaloy od pocątku układu współrędych o odciek o długości a + b. Ta wartość est aywaa modułem licby espoloe lub e wartością bewględą = a + b. Odciek skieroway od pocątku układu współrędych do puktu repreetuącego licbę espoloą est ayway wskaem te licby. Wska ma długość rówą modułowi licby espoloe i est odchyloy od osi licb recywistych o kąt ayway argumetem licby espoloe ϕ = arg( ). Łatwo auważyć, że ϕ arc tg b = a dla licb espoloych leżących w pierwse i cwarte ćwiartce płascyy Gaussa ora b ϕ = arc tg ± π a dla licb leżących w drugie i trecie ćwiartce. Moża atem apisać b ϕ = arc tg ± π[a<], a gdie [a < ] est wyrażeiem logicym, prymuącym wartości 1, gdy a <, [ a < ] =, gdy a, atomiast ak pry π[a<] wybiera się tak aby π< ϕ π. Kąt ϕ spełiaący waruek π< ϕ π aywa się argumetem główym licby espoloe. Argumet licby ie est określoy. Prykład 1 Oblicyć moduły i argumety adaych licb espoloych i predstawić e a płascyźie Gaussa: 1 = 5,45 + 3,5, = 4,5-3,45, 3 = -5 +3, 4 = , 5 1 = (5, 45) + (3, 5) = 6,345471, arg( 1) = arc tg =, rad = 3,81. 5, 45 3, 45 = (4,5) + ( 3, 45) = 5, 67317, arg( ) = arc tg =, 65481rad = 37, 48. 4,5 3 3 = ( 5) + (3) = 5,8395, arg( 3) = arc tg + π =, 61173rad = 149, 4. 5

3 4 = ( 4) + ( 5) = 6, 4314, 5 arg( 4) = arc tg + π = 4, π=-,45537 rad = 18, Diałaie (4,37648-π) wykoao, aby oblicyć argumet główy licby. Im{} 5 3 ϕ ϕ ϕ 1 5 Re{} 4 ϕ 4-5 Rys. P1.1. Argumety główe licb espoloych..3. Postać trygoometryca licby espoloe Zgodie rys.1 moża apisać a = cos( ϕ), b= si( ϕ), cyli = [cos( ϕ) + si( ϕ)]. Tę postać aywa się postacią trygoometrycą licby espoloe. Zgodie worem Eulera ϕ = e = [cos( ϕ) + si( ϕ)]. Postać e ϕ aywa się postacią wykładicą licby espoloe. Każda licba espoloa ma ieskońceie wiele argumetów arg( ) = ϕ + kπ, k =, ± 1, ±,..., których, w obliceiach, główie stosue się argumet główy. Prykład Licbę 1 = apisać w postaci wykładice, licbę postaci algebraice. = 8,5444, arg ( ) =, 788 rad = 159,44, 1 1 1, ,44 = 8,5444e = 8,5444e. = = [cos(5 ) si(5 )] 1, , = e apisać w 3

4 3. Diałaia a licbach espoloych Licbą sprężoą do dae licby espoloe aywa się licbę e mieioym akiem cęści urooe licby. Dla licby = a+ b licbą sprężoą est licba Poieważ więc * = a b. a b * = +, = *. Rówość licb espoloych wymaga rówości cęści recywistych i cęści urooych licb: 1 = a1+ b1, = a + b, 1 = a1 = a b1 = b. Dwie licby espoloe są rówe sobie eżeli maą rówe moduły i argumety: ϕ1 ϕ 1 = 1 e, = e, 1 = 1 = ϕ1 = ϕ. Licba espoloa est rówa ero, eżeli obydwie cęści te licby są rówe ero: = a+ b, = a= b=. Licba espoloa est rówa ero, eżeli e moduł est rówy ero: ϕ = e, = =. Sumę algebraicą dwóch licb espoloych moża oblicyć sumuąc ich cęści recywiste i cęści urooe: + = ( a + b) ± ( a + b ) = ( a ± a ) + ( b ± b ) Ilocy dwóch licb espoloych oblica się ak ilocy dwóch dwumiaów: 1 = ( a1+ b1)( a+ b) = aa 1 bb 1 + ( ab 1 + ab 1). Ilocy dwóch licb moża oblicyć wykorystaiem postaci wykładice (Eulera) licby espoloe: ϕ1 ϕ ( ϕ1+ ϕ = e e = e ) = cos( ϕ + ϕ ) + si( ϕ + ϕ )] Ilora dwóch licb espoloych oblica się wykorystaiem poęcia licby sprężoe: 1 1* ( a1+ b 1)( a+ b ) aa 1 + bb 1 ab 1 ab1 = = =. * a + b a + b a + b Wykorystuąc postać wykładicą licb moża apisać: ϕ1 1 1 e 1 ( ϕ1 ϕ) 1 1 = = e = cos( ϕ 1 ϕ) + si( ϕ1 ϕ). ϕ e 4

5 Potęgę licby espoloe awygodie oblicać wykorystuąc postać wykładicą licby: ϕ ϕ = e = e, ( ) = [cos( ϕ) + si( ϕ)]. Ostatia ależość osi awę woru Moivre a. Pierwiastek licby espoloe ma tyle wartości ile wyosi stopień pierwiastka: ϕ +kπ ϕ e e,,1,,..., 1. = = k = Moduły wsystkich pierwiastków licby espoloe są takie same, a ich argumety różią się o π/. Wsystkie pierwiastki leżą więc a kole o promieiu a płascyźie Gaussa i dielą okrąg a cęści (Rys. ). Im{} 1 1 ϕ Re{} Rys.. Pierwiastki treciego stopia licby e ϕ. Logarytm aturaly licby espoloe alepie oblicać wykorystuąc postać wykładicą licby espoloe (argumet licby musi być wyrażoy w radiaach). l( ) l( e ϕ ϕ = ) = l( ) + l(e ) = l( ) + ϕ. Logarytm diesięty licby espoloe oblica się w podoby sposób. log( ) = log( e ϕ ) = log( ) + ϕ log(e)=log( ) +,43494 ϕ. Fukcę ekspoecalą licby espoloe awygodie oblica się dla licb w postaci algebraice. ( a+ b) a e = e = e [cos( b) + si( b)]. Fukce si i cos dla espoloych argumetów oblica się dla licb w postaci algebraice. si( a+ b) = si( a)cosh( b) + cos( a)sih( b), cos( a+ b) = cos( a)cosh( b) si( a)sih( b). Fukce sih i cosh dla espoloych argumetów oblica się dla licb w postaci algebraice sih( a+ b) = sih( a)cos( b) + cosh( a)si( b), cosh( a+ b) = cosh( a)cos( b) + si h( a)si( b). 5

6 Prykład 3 Zadae są dwie licby espoloe: 1 = , = Wartości sprężoe do tych licb: 1* = 15 1, * = Moduły licb: m = = * = ( )( 15 1) = = 18,7756, * (1 8)(1+8) 1 8 1,8648. m = = = = + = 3.3. Argumety licb: 1 ϕ1 = arg( 1) = arc tg + π=,55359, 15 8 ϕ = arg( ) = arc tg =, Licba 3 = ( x y) + ( x+ y) ma być rówa licbie 1. Oblicyć wartości x i y. x y = 15, x=,5, y = 1,5. x+ y = 1, 3.5. Różica licb 1 : = ( ) (1 8) = Ilocy licb 1 i : = ( )(1 8)= 15+8+(1 + 1) = 7 +, 1 = m 1, e ϕ me ϕ = 3,86793e = Ilora licb 1 i : 1 ( )(1+8) 3 = = = = 1, 4439,11951, (1 8)(1+8) 164 ϕ1 1 m1e 3,831 = = = 1, 47731e = 1, 4438, ϕ me 3.8. Licba 1 podiesioa do trecie potęgi: ,6677 1, = 1 = ( m1 e ϕ ) = 5859, 8e = 5859, 8e = , 3 e woru Moivre'a = m1[cos(3 ϕ1) + si(3 ϕ1)] = , = = ( )( )( )= Pierwiastek treciego stopia licby 1 : a ϕ , e, 6878e 1, ,971997, = = m = = + ϕ1 π ( + ) 3 3 3, b = m1 e =, 6878e =, ,516473, ϕ1 4π ( + ) , c = m1 e =, 6878e =, , Moża sprawdić, że ab c = Logarytm aturaly licby 1 : 1 l(, ) = l( m1e ϕ ) = l( m1) + ϕ1 =, ,55359=3, e Logarytm diesięty licby 1 : 1 log( ) = log( me ϕ ) = log( m ) + ϕ log(e)=1, ,1911=1, e,

7 3.1. Fukca ekspoecala: 1 ( 15+1) e = e = e e = 3, e = (, , ) Fukce trygoometryce: s = si( 1) = si( 15)cosh(1) + cos( 15)sih(1 = 7161, ,6199, c= cos( 1) = cos( 15)cosh(1) si( 15)sih(1) = 8366, ,7714. Moża sprawdić, że s + c = Fukce hiperbolice: sh = sih( )=sih( 15)cos(1) + cosh( 15)si(1) = ,7 8897,3, ch = cosh( )=cosh(-15)cos(1)+sih(-15)si(1)= , ,3. Moża sprawdić, że ch sh = Rowiąywaie rówań w biore licb espoloych Zgodie podstawowym twierdeiem algebry, każdy wielomia stopia ma miesc erowych (licąc krotości) i rokłada się a ilocy wielomiaów stopia pierwsego W( x) = a ( x x ). k = 1 Jeżeli współcyiki wielomiau są recywiste, to każdemu espoloemu miescu erowemu towarysy miesce erowe espoloe sprężoe. Dla wielomiau drugiego stopia dla którego W( x) = a x + a x+ a, 1 a + a 4a a a a 4a a,, = x = a a * x = x1, a a 1 a < x eżeli 4. Prykład Dla licb 1 = + 3 i = 1 + skostruować wielomia cwartego stopia o współcyikach recywistych. 4 3 w( x) = ( x 1)( x 1*)( x )( x *) = x 6x + 6x 46x Dobrać wartość współcyika a tak, aby pierwiastki rówaia 4x + ax+ 5= były: a. recywiste, b. espoloe. Wyróżik rówaia Δ = a 4* 4*5 = a 8. a. Pierwiastki rówaia będą recywiste, eżeli a 8 >, t. a< 8,9447 a> 8,9447. b. Pierwiastki rówaia będą espoloe, eżeli a 8 <, t. 8,9447 < a < 8,9447. W tym prypadku pierwiastki będą espoloe, waemie sprężoe. k 7

8 5. Predstawieie symbolice prebiegów siusoidalych Niech f() t = Fm si( ω t+ ϕ). Dla takiego prebiegu moża utworyć prebieg espoloy ( ωt+ ϕ) Fm ϕ ωt f() t = Fme = e e. Jeżeli wprowadić espoloą wartość skutecą prebiegu siusoidalego F m ϕ e, F = to f() t = Fe ωt, i wtedy f( t) = Im{ f( t)} = F si( ω t+ ϕ). Widać więc, że aby edoacie repreetować symbolicie prebieg siusoidaly, wystarcy podać dwie licby: espoloą wartość skutecą F ora pulsacę prebiegu: Fm ϕ Fm si( ωt+ ϕ) F, ω, F = e. Jeżeli wiadomo, że licby F ora ω repreetuą symbolicie prebieg siusoidaly, to prebieg siusoidaly moża odtworyć drogą astępuące operaci ωt F, ω f( t) = Im{ Fe } = F si( ωt+ ϕ), Fm = F, ϕ = arg( F). Prebieg kosiusoidaly moża repreetować symbolicie po amiaie go a prebieg siusoidaly: ( + π π Fm ϕ ). Fmcos( ωt+ ϕ) = Fmsi( ωt+ ϕ + ) F = e Prykład Prebiegi f1( t) = 35,3si( ω t+ 4 ) i f( t) = 5cos(1 t+ ) apisać w postaci symbolice. 35,3 4 F1 = e = 176, ,84, ω =314 rad/s F = e = 1,9 + 33,3, ω =1 rad/s. 5.. Wiadomo, że licba F = 5+ 6 pry pulsaci ω = 1 4 rad/s repreetue prebieg siusoidaly. Zapisać te prebieg. 19,81 4 F = 7,81e, ω = 1 rad/s. m 4 19,81 1 t 4 f( t) = Im{ 7,81e e = 11, 5cos (1 t+ 39,81 ) Różicę prebiegów f1( t) = 1si( ωt+ ) i f( t) = cos( ωt ) apisać ako ede prebieg siusoidaly. 8,565 F = (66, ,1844) (48,369+13,896)=11,1e, f t f t f t ωt ( ) = 1( ) ( ) = 155,848si( 8,56 ). m Opracowaie: dr Cesław Michalik i dr Włodimier Wolski 8