Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami"

Transkrypt

1 Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric lub Kspread w systemie Linux. Jeśli bepośrednio funkcje inżynierskie nie występuje w MS Office to należy je dograć wykonując następujące polecenia Po uruchomieniu Excela klikamy na narędia następnie w dodatki i wybieramy Analysis ToolPak. Tera sprawdamy klikając w wstaw, funkcje i sukamy funkcji inżynierskich. W funkcjach inżynierskich mamy m. in. funkcje espolone acynające się od naków IM, funkcje Bessela, formuły dokonujące prekstałceń różnych systemów licb i inne. W tym artykule ajmiemy się funkcjami espolonymi, formułami dokonującymi amiany systemu licenia licb ora funkcjami Bessela co stanowią około 9% funkcji inżynierskich w arkusu (jest ich 39 omówiłem ok. 34). Formuły espolone omówione w rodiale I będiemy stosować i omawiać w oparciu o adania elektroniki, prydatne dla naucycieli matematyki, który ucą predmiotu matematyki w skłach policealnych informatycnych. Zamiany systemu licb (rodiał II) będiemy stosować do adań matematycnych, które są w podręcniku metodycnym dla klasy V skoły podstawowej (Matematyka Krok po kroku Beata Kossakowska, Beata Murawska) ora będiemy stosować prelicnik licb w rejestrach systemu operacyjnego. Ten rodiał będie prydatny dla naucycieli naucających systemy operacyjne i oprogramowanie biurowe. Natomiast funkcje inżynierskie Bessela wykorystamy do równania pola elektromagnetycnego w światłowodach cylindrycnych, które obecnie preżywają ogromny rowój w technologii sieci komputerowej. Ten ostatni rodiał będie prydatny dla naucycieli ucących sieci komputerowe i urądenia techniki komputerowej. 1

2 I. Zastosowanie licb espolonych w arkusu kalkulacyjnym Gnumeric i KSpread w systemie Linux i MS Excel systemu Windows Zastosowanie licb espolonych w różnych diedinach nauk ma ogromne nacenie na prykład wprowadenie licb espolonych w elektrotechnice daje nam pełniejsą informacje o prebiegu jawiska. Załóżmy, że w obwodie RLC otrymaliśmy następujące równanie: 1 U i R + ω L (1) ωc Widimy, że powyżsy wór nie daje nam informacji o stosunkach faowych. Tutaj i w wielu innych prypadkach powinniśmy wykorystać algebrę licb espolonych. Wykorystując licby espolone nase powyżse równanie pryjmuje postać: U 1 jϕ i R + ωl e () ωc Te równanie wyrażone licbami espolonymi kryje w sobie dwa równania awierające wielkości mieralne: - jedno wynika równości cęści recywistych (wór 1) - drugie wynika równości cęści urojonych W tej pierwsej cęści równania można wynacyć moduł, dający informacje o wartości awady dla prądów miennych, drugi powoli wynacyć argument, dający informacje o stosunkach faowych. Zakładamy, że ω to cęstość kołowa wtedy postać wykładnica licby espolonej apisemy worem: ϕ e j cos ϕ + j sin ϕ Jesce innym prykładem, w którym stosujemy licby espolone jest fala elektromagnetycna. Jeżeli prykładowo ropatrymy falę elektromagnetycną rochodącą się w kierunku to wyraża się następującym worem: B y E e x π i 6

3 we wore mamy dwie cęści i możemy powiedieć, że pole magnetycne B jest ray więkse, co do wartości bewględnej od pola elektrycnego E i opóźnione w stosunku do niego o 3 stopni kąta faowego. Do sybsego rowiąania funkcji espolonych mogą posłużyć nam arkuse kalkulacyjne. W systemie Linux występują dwa arkuse kalkulacyjne. Jeden o nawie Gnumeric należy do środowiska graficnego GNOME, a drugi KSpread do środowiska KDE. Aby uruchomić jeden nich wystarcy wybrać dowolne środowisko graficne. W arkusach kalkulacyjnych występują funkcje inżynieryjne a w nich funkcje espolone, których jest około 15. Podstawowe funkcje espolone omówię na prykładie adań. Podaję rowiąanie matematycne i rowiąanie informatycne w arkusu kalkulacyjnym. Funkcje espolone, które w odróżnieniu od licb recywistych mają w nawie formuły dwie pierwse litery IM od słowa angielskiego imaginary urojony. Zad. 1 Oblicyć moduł licby espolonej 4. Rowiąanie: Stosujemy wór matematycny: x + y gdie x, y R wtedy postać algebraicna licby espolonej jest następująca x + yi to otrymamy wynik: licba recywista Re 4, urojona Im wtedy Sprawdamy w arkusu np. Gnumeric wpisując do dowolnej komórki formułę espoloną: - cęść recywista: IMREAL( 4 ) - cęść urojona: IMAGINARY(4+i) * Cudysłów w nawiasach nie jest obowiąkowy natomiast obowiąkowy w MS Excel-u. Zad.. Linia o impedancji charakterystycnej Zo jest akońcona impedancją Z k (7 + 3i) Ω; należy naleźć wartość modułu i argumentu dla normaliowanej impedancji k. Rowiąanie: 3

4 Zakładamy, że standardem w Polsce i USA impedancja charakterystycna wynosi Zo 5 Ω. Stosujemy wór: Z Z 7 + 3i 1,4 +, 5 k k 6 o W arkusy pisemy: IMDIV(7+3i;5) otrymamy wynik jw. Moduł oblicymy e woru: 1,4 +,6 1,53 W arkusu pisemy: IMABS(1,4+,6i) otrymamy wynik jw. Sukamy argument; akładamy, że argumentem licby espolonej naywamy licbę ϕ spełniający układ równań: x cosϕ i y sin ϕ ora i tg ϕ cos a 1,4 ϕ,919 1,53 ora sin b,6 ϕ, 394 1,53 tan ϕ sinϕ cosϕ,394,919,48 Rowiąanie w arkusu: argument licby espolonej w arkusu otrymamy formuły: IMARGUMENT( 1,4+,6i ) i mamy,448 natomiast tan(,448),48. y x Zad. 3 Znaleźć wartość admitancji normaliowanej y k jeżeli impedancja normaliowana jest k 1,4+,6i. Rowiąanie: Wiemy e woru matematycnego, że admitancja normaliowana wyraża się następującym worem: y k -1 to po podstawieniu otrymamy: y k,6-,6i Rowiąanie w arkusu: pisemy formułę na potęgowanie IMPOWER(1,4+,6i;-1) otrymamy,6-,6i Zad. 4 Udowodnij, że w biore licb espolonych 4 { ;} 4

5 Rowiąanie matematycne: sukamy, dla jakiego kąta mamy takie same ϕ ϕ, bo sin o ora cos o 1 powołując się na wór de Moivre a dla pierwiastków k n ϕ + kπ ϕ + kπ r (cos + j sin ) gdie r n n otrymujemy + π + π 4 (cos + j sin ) 4 (cos + j sin ) 4 (1 + ) π + 1 π 4 (cos + j sin ) 1 4 (cosπ + j sinπ) 4 ( 1+ ) 4 ostało udowodnione, że biore licb espolonych mamy i. Rowiąanie astosowaniem arkusa kalkulacyjnego IMSQRT(4) Otrymujemy i należy godnie modułem i nasymi obliceniami matematycnymi podać licbę preciwną do wyniku, której arkus nie podaje i obowiąuje dla pierwiastka drugiego stopnia ora parystego stopnia np.: IMSQRT(5+1i) otrymamy: 3-i i godnie asadą -(3-i) cyli -3+i Zad. 5 Zapisać w postaci trygonometrycnej otrymane wyniki równania kwadratowego , 1 - +i ora - i. Rowiąanie: Wykorystując wór r (cos ϕ + i sin ϕ) sukamy modułu a + jb >r r ( ) a 1 cos ϕ,8944 sin ϕ b, 447 r 5 r 5 5

6 ponieważ jest to II ćwiartka dla cosinusa i sinusa to wtedy od π odejmujemy kąt ϕ i otrymujemy π i możemy apisać w postaci trygonometrycnej następująco: 5(cos153 + j sin153 ) lub możemy apis w postaci wykładnicej r e jϕ W arkusu: IMEXP(153i) otrymujemy: -,591+,864i, bo COS(153) wynosi,59 a IMSIN(153) wynosi: 1,399E+6i, po dodaniu funkcji cos(153) i 1,399 otrymujemy cęść urojoną:,864 Diałania na licbach espolonych wykonujemy tak, jak na wielomianach miennej i, pod warunkiem, że i -1 Zad. 6 Wykonaj podstawowe diałania arytmetycne: a) (-+3i)+(7-8i); b) (4i-3)-(1+1i); c) ( i) ( 3 3i ); 3i + d) ; 5 + 4i Rowiąanie matematycne: ad a) (-+3i)+(7-8i)(-+7)+(3-8)i5-5i. Rowiąanie w arkusu: IMSUM(-+3i;7-8i) otrymamy 5-5i. Rowiąanie matematycne: ad b) ((4i-3)-(1+1i)(-3-1)+(4-1)i-4-6i Rowiąanie w arkusu: IMSUB(-3+4i;1+1i) otrymamy -4-6i Rowiąanie matematycne: ad c) ( + i) ( 3 3i ) 3 3i 3i ( 3 + 3) + ( 3 6) i 6 +, 6i Rowiąanie w arkusu: IMPRODUCT(1,41+i;3-1,73i) otrymamy 5,96+,56i Rowiąanie matematycne: ad d) 3i 5 + 4i ( 3i)( 5 4i) ( 5 + 4i)( 5 4i) 3i 3 i,48 +,56i; Rowiąanie w arkusu: IMDIV(-3i;5+4i) otrymamy -4,87+,56i. Zad. 6 Oblic dla jakiego kąta fala o równaniu: π i 6 B E e równanie pryjmie postać w y x biore licb recywistych. Rowiąanie: e πi 1. W arkusu wpisujemy formułę: IMEXP(6,8i) otrymujemy 1. 6

7 Zad. 7 Obwód RLC asilany jest prądem premiennym. Oblic jego awadę espoloną Z i podac cęstotliwość, pry której nastąpi reonans tn. pry która awada będie recywista. Opór R 5 Ω, L 1 Henr, C 1 µf, a cęstotliwość f 1 H. Rowiąanie: wiemy, że ωπf6,8*1h68 R 1 L R L i + ω 1 ω C ωc C, ,4i Z,83, 99i ωci 1 R + ωli R + ωl ωc Z i. Rowiąanie w arkusu: IMDIV(, i;39447) otrymujemy: Z(-i) Ω L Dla cęstości reonansowej ωω o nika cęść urojona: R + ω o L stąd wy- C nacamy w prosty sposób ω o i oblicmy. Na akońcenie możemy powiedieć, że wykorystując arkus kalkulacyjny do licb espolonych można w sybsy sposób otrymać wyniki do nasych adań. Licby espolone stosuje się w inżynierii od bardo dawna i wcale nie są one gorse od licb ujemnych. II. Formuły inżynierskie powodujące amiany systemu licb Bardo ważnym agadnieniem w technice cyfrowej jak również w systemach operacyjnych jest amiana systemu licb na inne systemy licb. Powołując się na autora eksperta w diedinie technik komputerowych Jerry Honeycutt, Jr., napisał on w swojej książce Rejestr Windows cytuję Osobom nie roumiejącym notacji sesnastkowej (hex) będie trudno manipulować maskami w Rejestre. Myślę, że są to wystarcające powody do ponania tego systemu. Rowiążmy następujące adania klasy V. 7

8 Zad. 1 Jaka to licba 1111 BIN w systemie diesiątkowym i sesnastkowym? Rowiąanie: Stosując odpowiedni wór matematycny mamy: 6 * * + 4 * + 3 * 1 + * * + * 1 77 W arkusu kalkulacyjnym do dowolnej komórki wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: BINDEC(1111) i otrymujemy 77 sprawdamy wpisując: DECBIN(77) w systemie sesnastkowym mamy formułę 1). Zad. Predstaw w apisie dwójkowym i diesiętnym licbę sesnastkową 95 występującą w Rejestre w klucu Explorer o nawie wartości NoDriveTypesAutoRun. Rowiąanie: Do amiany licby 95 na system dwójkowy może presłużyć się nam tabela: Cyfra Nibble (cwórki bi- Cyfra Nibble (cwórki bitów) tów) A B C D E F

9 Patrąc na tabelę Hex 95 to w Bin 1111 (bajty to grupy po 8 bitów i apisujemy dwoma cyframi) i stosując odpowiedni wór dla nasego prypadku 7 *1+ 6 * + 5 * + 4 * * + * * + * W arkusu kalkulacyjnym wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: HEXBIN(95) otrymujemy 1111 sprawdamy funkcją BINHEX(1111) natomiast systemu dwójkowego na diesiętny było pokaane w poprednim adaniu. Możemy oblicyć bepośrednio sesnastkowego na diesiętny następującą formułą HEXDEC(95) i otrymamy 149 i sprawdić formułą DECHEX(149). Na akońcenie spróbujmy rowiąać adanie e wspomnianego podręcnika klasy V. Zad 3 Naucyłem się cytać w wieku 4 lat. Dokładnie po upływie lat, kiedy ukońcyłem 11 lat, acąłem chodić do skoły podstawowej. Ucyłem się w niej 4 lata i ukońcyłem ją, mając lat. Tera jestem 1 letnim gimnajalistą. W jakim systemie licenia napisałem swój życiorys? W funkcjach inżynierskich mamy również system ósemkowy (OCT), który wykorystujemy również w systemach operacyjnych na prykład w Linuksie. Prykład 1 Nadanie wsystkim użytkownikom pełnych praw dostępu do pliku pisemy poleceniem: [...]$ chmod 777 nawa_pliku pierwsa cyfra dotycy właściciela, druga cyfra dotycy grupy, a trecia cyfra dotycy poostałych użytkowników. Cyfra 7 jest maksymalną cyfrą w systemie ósemkowym możemy to wpisując w arkusu OCTDEC(8) nie otrymamy wyniku. Zastanów się a może to w tym systemie ostał napisany powyżsy życiorys Prykład Aby nie był widocny w systemie operacyjnym napęd CD ROM można w rejestre w klucu Explorer ałożyć wartość binarną o nawie NoDrives i wpisac popre edytuj 9

10 wartości binarne licbę 8 i po ponownym uruchomieniu komputera napęd nie będie widocny. Jeśli wpisemy wartośc binarną 1 to będie nie widocny napęd FDD (wartości te są apisane w tw. DWORD w rejestrach lub w kalkulatore Windows możes amienić na sesnastkowy, ósemkowy lub binarny). III. Zastosowanie funkcji Bessela arkusa kalkulacyjnego na prykładie fali elektromagnetycnej rochodącej się w światłowodach walcowych. Światłowody walcowe mają obecnie ogromne astosowanie w mediach sieci komputerowych. Typowym światłowodem cylindrycnym jest światłowód sklany włóknisty. Wyróżniamy w nim dwa obsary: - rdeń położony centralnie - płasc otacający rdeń Zasadnico w rdeniu rochodi się światło cyli fala elektromagnetycna. Równanie falowe dla wektora pola elektrycnego E ma postać: E + k E (podobne dla pola magnetycnego H), gdie k licba falowa. Ze wględu na geometrię problemu wprowadamy układ współrędnych cylindrycnych ( r, φ, ) i pryjmujemy, że oś pokrywa się osią światłowodu i w nim ropatrujemy rochodenie się pola elektrycnego i magnetycnego. Równanie nase natężenia pola elektrycnego wdłuż osi ma następującą postać: E r 1 E 1 E E k E r r r φ Rowiąanie tego równania będiemy posukiwali w postaci ilocynu trech funkcji: E R( r) Φ( φ ) Z( ) Rowiąanie ogólne równania różnickowego wycajnego jest dobre nane analiy matematycnej i wyraża się worem dla : Z( ) C1 exp( γ ) + C (exp( γ) 1

11 gdie C 1 C to dowolne stałe wynacone pre warunki bregowe, a γ α + jβ γ - stała propagacji wielkość espolona, α - stała tłumienia, β - stała faowa Φ ( φ) C3 cos mφ + C4 Natomiast funkcja R(r) wyraża się worem: sin mφ R( r) C J m ( h1r ) + C6Ym ( h1 5 r gdie J m Y m funkcje Bessela pierwsego rodaju i drugiego rodaju rędu m natomiast C 5 C 6 są to dowolne stałe i jest to równanie dla rdenia r<a Ostatecnie nase wyrażenie na natężenie prądu jest dla rdenia dla płasca E E J ) γ m ( h1 r)( A1 cos mφ + B1 sin mφ e dla r<a K ) γ m( h r)( A cos mφ + B sin mφ e dla r>a gdie A 1 B 1 są to współcynniki stałe, a m N natomiast h h 1 dla r<a natomiast h j h dla r>a h γ +k.aby oblicyć natężenie pola elektrycnego E. należy do powyżsego woru oblicyć wartości funkcji Bessela. W tym prypadku najlepiej jest skorystać funkcji Bessela, które są w arkusu kalkulacyjnym w funkcjach inżynierskich. Jeżeli chcemy oblicyć funkcję dla rędu m1 to wpisujemy następującą formułę: BesselJ(;1) i otrymamy,576. Wykres funkcji Bessela pierwsego rodaju predstawia rysunek: ) 11

12 gdie a x w arkusu kalkulacyjnym wpisujemy, natomiast m1, natomiast na styku rdenia i płasca r a pry pewnych ałożeniach warunki bregowe mogą być spełnione jedynie w prypadku, gdy m. Wykres funkcji Bessela drugiego rodaju predstawia rysunek poniżej. Tutaj dla Y m pisemy funkcje w arkusu następującą: BesselY(;1) tn. x, a m1 i otrymamy,11, sprawdź na wykresie funkcję Y 1 (). Jeśli pryjąć, że rowiąania Bessela dla płasca predstawia się worem: R( r) C I m ( hr) + C8K m ( h 7 r to w tym prypadku stosujemy odpowiednio I m i K m modyfikowane funkcje Bessela pierwsego i drugiego rodaju rądu m i dla C 7 C 8 dowolnych stałych. Do obliceń tych funkcji modyfikowanych posłużą formuły arkusa BesselaI( ; ) ora BesselaK( ; ). Funkcje Bessela stosujemy do światłowodów cylindrycnych natomiast do światłowodów na prykład planarnych korystamy układu kartejańskiego co pry oblicaniu natężeń pół elektromagnetycnych nacnie uprasca rachunki matematycne. Do rowiąań powyżsych równań różnickowych, których tu nie rowiąałem, bo nie było to tematem mojego artykułu aprasam do literatury m. in. Fundamentals of Optice Fibre Communication New York J. Van der Praas lub innej. ) 1

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane

Bardziej szczegółowo

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

Analiza transformatora

Analiza transformatora ĆWICZENIE 4 Analia transformatora. CEL ĆWICZENIA Celem ćwicenia jest ponanie bodowy, schematu astępcego ora ocena pracy transformatora.. PODSTAWY TEORETYCZNE. Budowa Podstawowym adaniem transformatora

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

VIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku

VIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku Zadanie 3 Zad. 1 Skreśli licby, które są jednoceśnie podielne pre 2 i 3. Odcytaj litery, które najdją się pod skreślonymi licbami, tworą one bardo ważne słowa, o których wsyscy powinni pamiętać na co dień.

Bardziej szczegółowo

Zasady rekrutacji uczniów do I Liceum Ogólnokształcącego im. Tadeusza Kościuszki na rok szkolny 2015/2016

Zasady rekrutacji uczniów do I Liceum Ogólnokształcącego im. Tadeusza Kościuszki na rok szkolny 2015/2016 Zasady rekrutacji ucniów do I Liceum Ogólnokstałcącego im. Tadeusa Kościuski na rok skolny 201/2016 Podstawa prawna: Roporądenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu dnia 20 lutego 2004 roku w sprawie

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS Cel ćwicenia: aponanie budową i asadą diałania podstawowych typów asilacy UPS ora pomiar wybranych ich parametrów i charakterystyk. 5.1. Podstawy teoretycne 5.1.1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

PROWIZJA I AKORD1 1 2

PROWIZJA I AKORD1 1 2 PROWIZJA I AKORD 1 1 1. Pracodawca może ustalić wynagrodenie w formie prowiji lub akordu. 2. Prowija lub akord mogą stanowić wyłącną formę wynagradania lub występować jako jeden e składników wynagrodenia.

Bardziej szczegółowo

Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niższe niż najniższe - edycja świąteczna. Obowiązuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r.

Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niższe niż najniższe - edycja świąteczna. Obowiązuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r. Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niżse niż najniżse - edycja świątecna Obowiąuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r. 1. Organiator Promocji 1. Promocja Oprocentowanie niżse niż najniżse

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KIERUNEK: Automatyka i Robotyka (AiR) SPECJALNOŚĆ: Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wyposażenie robota dwukołowego w cujniki ewnętrne Equipping a two

Bardziej szczegółowo

SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ

SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ ZAKŁAD ELEKTROENERGETYKI Ćwicenie: URZĄDZENIA PRZECIWWYBUCHOWE BADANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Opracował: kpt.dr inż. R.Chybowski Warsawa

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN

PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIA LUBELSA J. Banasek, J. Jonak PODSTAW ONSTRUCJI MASN WPROWADENIE DO PROJETOWANIA PREŁADNI ĘBATCH I DOBORU SPRĘGIEŁ MECHANICNCH Wydawnictwa Ucelniane 008 Opiniodawca: dr hab. inŝ. Stanisław rawiec

Bardziej szczegółowo

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie 05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót

Bardziej szczegółowo

MODEL MUNDELLA-FLEMINGA

MODEL MUNDELLA-FLEMINGA Danuta Miłasewic Uniwersytet Sceciński MODEL MUNDELLA-FLEMINGA 1. OPIS MODELU MUNDELLA-FLEMINGA Model ten, stworony na pocątku lat seśćdiesiątych XX wieku pre Roberta A. Mundella i Markusa Fleminga, opisuje

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Predmiot: informatyka akres podstawowy Klasy: pierwse LO i TE Program naucania: Informatyka nie tylko dla ucniów. Podręcnik. Zakres podstawowy Realiowany w Zespole Skół Ekonomicnych

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

5. Badanie transformatora jednofazowego

5. Badanie transformatora jednofazowego 5. Badanie transformatora jednofaowego Celem ćwicenia jest ponanie budowy i asady diałania transformatora jednofaowego, jego metod badania i podstawowych charakterystyk. 5.. Wiadomości ogólne 5... Budowa

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. Zarządzanie i marketing R.C17

KARTA PRZEDMIOTU. Zarządzanie i marketing R.C17 KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nawa predmiotu i kod (wg planu studiów): Kierunek studiów: Poiom kstałcenia: Profil kstałcenia: Forma studiów: Obsar kstałcenia: Koordynator predmiotu: Prowadący predmiot:

Bardziej szczegółowo

Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010

Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Czym jest Excel 2010 Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu

Bardziej szczegółowo

Biologia. Biuletyn maturalny. Ewa Jastrzębska Ewa Pyłka-Gutowska. Centralna Komisja Egzaminacyjna

Biologia. Biuletyn maturalny. Ewa Jastrzębska Ewa Pyłka-Gutowska. Centralna Komisja Egzaminacyjna Biuletyn maturalny Ewa Jastrębska Ewa Pyłka-Gutowska Biologia Centralna Komisja Egaminacyjna publikacja współfinansowana pre Europejski Fundus Społecny Autory biuletynu: Ewa Jastrębska, Ewa Pyłka-Gutowska

Bardziej szczegółowo

OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy

OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy Autor: Bartosz Gajda ISBN: 83-246-0848-6 Format: B6, stron: 272 Wydawnictwo Helion ul. Koœciuszki 1c 44-100 Gliwice tel. 032 230

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI ENERGII

ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI ENERGII Zesyty Problemowe Masyny Elektrycne Nr 9/211 15 Marcin Fice, Rafał Setlak Politechnika Śląska, Gliwice ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4 Publicne Gimnajum Sportowe Nr 11 im. Janusa Kusocińskiego w Wałbrychu PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4 I. Postanowienia ogólne Predmiotowy system oceniania (w skrócie PSO)

Bardziej szczegółowo

Języki interpretowane Interpreted languages PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Języki interpretowane Interpreted languages PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Jęyki interpretowane Interpreted languages Informatyka Stacjonarne IO2_02 Obowiąkowy w ramach specjalności: Inżynieria oprogramowania II stopień Rok: I Semestr: II wykład, laboratorium 1W, 2L 3 ECTS I

Bardziej szczegółowo

Gorzów Wielkopolski, dnia 7 grudnia 2015 r. Poz. 2359 UCHWAŁA NR 62/XI/2015 RADY POWIATU GORZOWSKIEGO. z dnia 25 listopada 2015 r.

Gorzów Wielkopolski, dnia 7 grudnia 2015 r. Poz. 2359 UCHWAŁA NR 62/XI/2015 RADY POWIATU GORZOWSKIEGO. z dnia 25 listopada 2015 r. DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA LUBUSKIEGO Gorów Wielkopolski, dnia 7 grudnia 2015 r. Po. 2359 UCHWAŁA NR 62/XI/2015 RADY POWIATU GORZOWSKIEGO dnia 25 listopada 2015 r. w sprawie trybu udielania i rolicania

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Krajowe Ramy Kwalifikacji Informatyka. Data aktualizacji: 3 lutego 2014

Krajowe Ramy Kwalifikacji Informatyka. Data aktualizacji: 3 lutego 2014 Krajowe Ramy Kwalifikacji Informatyka Data aktualiacji: lutego 01 Spis treści Efekty kstałcenia... Plany studiów... 8 Karty predmiotów... Efekty kstałcenia Symbol K_W01 K_W0 K_W0 K_W0 K_W0 K_W06 K_W07

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO

INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO INSTYTUT BADAŃ SYSTEMOWYCH POLSKA AKADEMIA NAUK INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO GENERATOR NOMOGRAMÓW STRESCENIE ROPRAWY DOKTORSKIEJ BOGUMIŁ FIKSAK PROMOTOR: DR HAB INŻ MACIEJ KRAWCAK, PROF PAN WARSAWA

Bardziej szczegółowo

Wykres 1: Liczba szkół do których zgłosili się kandydaci niepełnosprawni w roku 2010/2011

Wykres 1: Liczba szkół do których zgłosili się kandydaci niepełnosprawni w roku 2010/2011 Wyniki monitorowania rekrutacji młodieży niepełnosprawnej i prewlekle chorej do publicnych skół ponadgimnajalnych dla młodieży w wojewódtwie podlaskim. Badaniem objęto 18 skół ponadgimnajalnych wojewódtwa

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 12 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METOD WAP DO ANALIZY PROCESÓW GOSPODAROWANIA ZASOBAMI LUDZKIMI W PRZEDSIĘBIORSTWIE

ROZDZIAŁ 12 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METOD WAP DO ANALIZY PROCESÓW GOSPODAROWANIA ZASOBAMI LUDZKIMI W PRZEDSIĘBIORSTWIE Marek Kunas ROZDZIAŁ 2 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METOD WAP DO ANALIZY PROCESÓW GOSPODAROWANIA ZASOBAMI LUDZKIMI W PRZEDSIĘBIORSTWIE. Wprowaenie Celem głównym niniejsego opracowania jest prestawienie wybranych

Bardziej szczegółowo

NAJWYŻSZY CZAS ZAPRZESTAĆ PARODIOWANIA NORMALIZACJI

NAJWYŻSZY CZAS ZAPRZESTAĆ PARODIOWANIA NORMALIZACJI Dr inż. Edward Musiał, Cł. SEP Oddiał Gdański SEP. Wstęp NAJWYŻSZY CZAS ZAPRZESTAĆ PARODIOWANIA NORMALIZACJI Z pocątkiem roku 2000 w trech periodykach technicnych ukaał się artykuł Cy Polska Norma jest

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Określenie współczynnika strat mocy i sprawności przekładni ślimakowej.

Ćw. 5. Określenie współczynnika strat mocy i sprawności przekładni ślimakowej. Laboratorium Podstaw Konstrukcji Masyn - - Ćw. 5. Określenie współcynnika strat mocy i sprawności prekładni ślimakowej.. Podstawowe wiadomości i pojęcia. Prekładnie ślimakowe są to prekładnie wichrowate,

Bardziej szczegółowo

System pomiaru parametrów środowiskowych Ze zdalnym raportowaniem i sterowaniem przez sieć komórkową NOTATNIK KONSTRUKTORA

System pomiaru parametrów środowiskowych Ze zdalnym raportowaniem i sterowaniem przez sieć komórkową NOTATNIK KONSTRUKTORA NOTATNIK KONSTRUKTORA System pomiaru parametrów środowiskowych Ze dalnym raportowaniem i sterowaniem pre sieć komórkową W artykule opisano aprojektowany i wykonany pre autora prototypowy system M2M. System

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

Ochrona_pporaz_ISiW J.P. Spis treści:

Ochrona_pporaz_ISiW J.P. Spis treści: Spis treści: 1. Napięcia normaliowane IEC...2 1.1 Podstawy prawne 2 1.2 Pojęcia podstawowe 2 2. Zasilanie odbiorców niepremysłowych...3 2.1 kłady sieciowe 4 3. Zasady bepiecnej obsługi urądeń elektrycnych...8

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z realizacji Programu Centrum Aktywności Lokalnej w Nikiszowcu w 2008r.

Sprawozdanie z realizacji Programu Centrum Aktywności Lokalnej w Nikiszowcu w 2008r. MIEJSKI OŚRODEK POMOCY SPOŁECZNEJ W KATOWICACH Sprawodanie realiacji Programu Centrum Aktywności Lokalnej w Nikisowcu w r. (Program pryjęty uchwałą Nr.: XXV/516/08 dnia -04-25) Katowice 2009 Sprawodanie

Bardziej szczegółowo

Informacja o wynikach kontroli funkcjonowania szkół niepublicznych o uprawnieniach szkół publicznych

Informacja o wynikach kontroli funkcjonowania szkół niepublicznych o uprawnieniach szkół publicznych Nr ewid.: 126/2008/P/07/080/KNO KNO 41004/07 NAJWYśSZA IZBA KONTROLI DEPARTAMENT NAUKI, OŚWIATY I DZIEDZICTWA NARODOWEGO Informacja o wynikach kontroli funkcjonowania skół niepublicnych o uprawnieniach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2

29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2 Włodzimierz Wolczyński 29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2 Opory bierne Indukcyjny L - indukcyjność = Szeregowy obwód RLC Pojemnościowy C pojemność = = ( + ) = = = = Z X L Impedancja (zawada) = + ( ) φ R X C =

Bardziej szczegółowo

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Slajd 1 Excel Slajd 2 Adresy względne i bezwzględne Jedną z najważniejszych spraw jest tzw. adresacja. Mówiliśmy

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD BŁĘDÓW PRZY PROJEKTOWANIU POŚREDNIEGO OŚWIETLENIA ELEKTRYCZNEGO ZA POMOCĄ OPRAW KWADRATOWYCH

ROZKŁAD BŁĘDÓW PRZY PROJEKTOWANIU POŚREDNIEGO OŚWIETLENIA ELEKTRYCZNEGO ZA POMOCĄ OPRAW KWADRATOWYCH Andrej PAWLAK Krystof ZAREMBA ROZKŁAD BŁĘDÓW PRZY PROJEKTOWANIU POŚREDNIEGO OŚWIETLENIA ELEKTRYCZNEGO ZA POMOCĄ OPRAW KWADRATOWYCH STRESZCZENIE W wielkoowierchniowych instalacjach oświetlenia ośredniego

Bardziej szczegółowo

BIBLIOGRAFIA W WORD 2007

BIBLIOGRAFIA W WORD 2007 BIBLIOGRAFIA W WORD 2007 Ćwiczenie 1 Tworzenie spisu literatury (bibliografii) Word pozwala utworzyć jedną listę główną ze źródłami (cytowanymi książkami czy artykułami), która będzie nam służyć w różnych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Oferta cenowa wersja 1...z... 9 Obsługa arkusza...k...k.9 Konstrukcja arkusza...k...10. Rozdział 2. Oferta cenowa wersja 2...z...

Rozdział 1. Oferta cenowa wersja 1...z... 9 Obsługa arkusza...k...k.9 Konstrukcja arkusza...k...10. Rozdział 2. Oferta cenowa wersja 2...z... Spis treści Wstęp...z... 7 Rozdział 1. Oferta cenowa wersja 1...z... 9 Obsługa arkusza...k...k.9 Konstrukcja arkusza...k...10 Rozdział 2. Oferta cenowa wersja 2....z... 15 Obsługa arkusza...k...15 Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v

Bardziej szczegółowo

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie III - Biblioteka OpenGL - wprowadzenie, obiekty trójwymiarowe: punkty, linie, wielokąty

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie III - Biblioteka OpenGL - wprowadzenie, obiekty trójwymiarowe: punkty, linie, wielokąty Laboratorium grafiki komputerowej i animacji Ćwicenie III - Biblioteka OpenGL - wprowadenie, obiekty trójwymiarowe: punkty, linie, wielokąty Prygotowanie do ćwicenia: 1. Zaponać się ogólną charakterystyką

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inżynierskie. Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny

Obliczenia inżynierskie. Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny Obliczenia inżynierskie Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny Reprezentacja liczb w komputerze 2 Pozycyjne systemy liczbowe System dziesiętny ( decymalny, arabski) podstawą kolejnych potęg jest 10

Bardziej szczegółowo

z czynności komornika za I półrocze 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia

z czynności komornika za I półrocze 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia Okręgowego Apelacja Scecińska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR Scecin- MS-Kom23 Centrum

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23. MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujazdowskie 11, 00-950 Warszawa Komornik Sądowy Komornik Sądowy Agnieszka Bąk-Batowska przy Sądzie

MS-Kom23. MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujazdowskie 11, 00-950 Warszawa Komornik Sądowy Komornik Sądowy Agnieszka Bąk-Batowska przy Sądzie sprawy, w których egekwowane kwoty prenacone są na pocet należności tytułu Apelacja Lubelska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu Okręgowego Apelacja Białostocka Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR w Pra- MS-Kom23 SPRAWOZDANIE

Bardziej szczegółowo

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY 30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod

Bardziej szczegółowo

z czynności komornika za rok 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia egzekucji

z czynności komornika za rok 2015 r. przez wyegzekwowanie ogółem (kol.6 do12) z powodu bezskuteczności na żądanie wierzyciela świadczenia egzekucji sprawy, w których egekwowane kwoty prenacone są na pocet należności tytułu Okręgowego Apelacja Lubelska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11,

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu Okręgowego Apelacja Białostocka Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR w Suwałkach MS-Kom23

Bardziej szczegółowo

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu

MS-Kom23 SPRAWOZDANIE Okręg Sądu Okręgowego Apelacja Resowska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Ewidencja spraw MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujawskie 11, 00-950 Warsawa Komornik Sąwy pry Sądie Rejonowym SR w Łańcucie MS-Kom23 SPRAWOZDANIE

Bardziej szczegółowo

HAMOWANIE REKUPERACYJNE W MIEJSKIM POJEŹDZIE HYBRYDOWYM Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE

HAMOWANIE REKUPERACYJNE W MIEJSKIM POJEŹDZIE HYBRYDOWYM Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE ELEKTRYKA 213 Zesyt 1 (225) Rok LIX Marcin FICE Politechnika Śląska w Gliwicach HAMOWANIE REKUPERACYJNE W MIEJSKIM POJEŹDZIE HYBRYDOWYM Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE Strescenie. W artykule predstawiono wyniki

Bardziej szczegółowo

UKŁADY TENSOMETRII REZYSTANCYJNEJ

UKŁADY TENSOMETRII REZYSTANCYJNEJ Ćwicenie 8 UKŁADY TESOMETII EZYSTACYJEJ Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest ponanie: podstawowych właściwości metrologicnych tensometrów, asad konstrukcji pretworników siły, ora budowy stałoprądowych i miennoprądowych

Bardziej szczegółowo

Wybrane algorytmy automatycznego

Wybrane algorytmy automatycznego Wyrane algorytmy automatycnego Wyrane algorytmy automatycnego naprowadania preciwpancernego pocisku naprowadania rakietowego preciwpancernego atakującego cel pocisku górnego pułapu rakietowego atakującego

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: TS1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Automatyzacji Procesów

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Automatyzacji Procesów AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Stasica w Krakowie Wydiał Inżynierii Mechanicnej i Robotyki Katedra Automatyacji Procesów ROZPRAWA DOKTORSKA Układy redukcji drgań tłumikami magnetoreologicnymi

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W KONINIE. WYDZIAŁ Kultury Fizycznej i Ochrony Zdrowia

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W KONINIE. WYDZIAŁ Kultury Fizycznej i Ochrony Zdrowia PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W KONINIE WYDZIAŁ Kultury Fiycnej i Ochrony Zdrowia Katedra Morfologicnych i Cynnościowych Podstaw Kultury Fiycnej Kierunek: Wychowanie Fiycne SYLABUS Nawa predmiotu Rytmika

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Format wymiany danych pomiędzy systemami informatycznymi świadczeniodawców i system informatycznym Oddziału Wojewódzkiego NFZ KS-SIKCH - 2004

Format wymiany danych pomiędzy systemami informatycznymi świadczeniodawców i system informatycznym Oddziału Wojewódzkiego NFZ KS-SIKCH - 2004 Format wymiany danych pomiędy systemami informatycnymi świadceniodawców i system informatycnym Oddiału Wojewódkiego NFZ KS-SIKCH - 2004 Nr modyfikacji: 2004/04 1. Elementy wydruku umowy wykorystywane w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział 2. Składanie ruchów Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Numeryczne całkowanie,

Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział 2. Składanie ruchów Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Numeryczne całkowanie, Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział. Składanie ruchów... 11 Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Rozdział 4. Numeryczne całkowanie, czyli obliczanie pracy w polu grawitacyjnym

Bardziej szczegółowo

Jakie nowe możliwości daje właścicielom i zarządcom budynków znowelizowana Ustawa termomodrnizacyjna

Jakie nowe możliwości daje właścicielom i zarządcom budynków znowelizowana Ustawa termomodrnizacyjna dr inż. Wiesław Sarosiek mgr inż. Beata Sadowska mgr inż. Adam Święcicki Katedra Podstaw Budownictwa i Fiyki Budowli Politechniki Białostockiej Narodowa Agencja Posanowania Energii S.A. Filia w Białymstoku

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory A: 1 OK Muszę to powtórzyć... Potrzebuję pomocy Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory Łódź żegluje po morzu... Płynie z szybkością 10 węzłów (węzeł to 1 mila morska na godzinę czyli

Bardziej szczegółowo

MS Excel cz.1 funkcje zaawansowane

MS Excel cz.1 funkcje zaawansowane MS Excel cz.1 funkcje zaawansowane Spis zagadnień: Funkcje daty i czasu, dzięki którym możemy manipulować danymi typu data i czas i np. wstawić do arkusza aktualną datę. Funkcje warunkowe, które pozwalają

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inżynierskie. Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny

Obliczenia inżynierskie. Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny Obliczenia inżynierskie Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny 2 3 Pozycyjne systemy liczbowe System dziesiętny ( decymalny, arabski) podstawą kolejnych potęg jest 10 do zapisu potrzebnych 10 cyfr: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0

Bardziej szczegółowo

SPIS ILUSTRACJI, BIBLIOGRAFIA

SPIS ILUSTRACJI, BIBLIOGRAFIA SPIS ILUSTRACJI, BIBLIOGRAFIA Ćwiczenie 1 Automatyczne tworzenie spisu ilustracji 1. Wstaw do tekstu roboczego kilka rysunków (WSTAWIANIE OBRAZ z pliku). 2. Ustaw kursor w wersie pod zdjęciem i kliknij

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

MS Excel. Podstawowe wiadomości

MS Excel. Podstawowe wiadomości MS Excel Podstawowe wiadomości Do czego służy arkusz kalkulacyjny? Arkusz kalkulacyjny wykorzystywany jest tam gdzie wykonywana jest olbrzymia ilość żmudnych, powtarzających się według określonego schematu

Bardziej szczegółowo

Uchwała nr 68/2015. Senatu AGH z dnia 27 maja 2015 r.

Uchwała nr 68/2015. Senatu AGH z dnia 27 maja 2015 r. Uchwała nr 68/2015 Senatu AGH dnia 27 maja 2015 r. w sprawie warunków, trybu ora terminu ropocęcia i akońcenia rekrutacji na pierwsy rok studiów pierwsego i drugiego stopnia w roku akademickim 2016/2017.

Bardziej szczegółowo

Automatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv

Automatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv dr inż MARIAN HYLA Politechnika Śląska w Gliwicach Automatycna kompensacja mocy biernej systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv W artykule predstawiono koncepcję, realiację ora efekty diałania centralnego

Bardziej szczegółowo

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości

Bardziej szczegółowo

1 z 6 2013-01-30 13:43

1 z 6 2013-01-30 13:43 AFIN.NET.IS.EXE - programowalna automatyacja pretwarania dany http:www.goldenline.plforum2046274afin-net-is-exe-programowal AFIN.NET «Wróć do tematów AFIN.NET.IS.EXE - programowalna automatyacja pretwarania

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Z TŁUMIKIEM MAGNETOREOLOGICZNYM I ELEKTROMAGNETYCZNYM PRZETWORNIKIEM ENERGII

SYMULACJA UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Z TŁUMIKIEM MAGNETOREOLOGICZNYM I ELEKTROMAGNETYCZNYM PRZETWORNIKIEM ENERGII MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 9-77X 39, s. 77-, Gliwice SYMULACJA UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Z TŁUMIKIEM MAGNETOREOLOGICZNYM I ELEKTROMAGNETYCZNYM PRZETWORNIKIEM ENERGII BOGDAN SAPIŃSKI, PAWEŁ MARTYNOWICZ,

Bardziej szczegółowo