Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami"

Transkrypt

1 Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric lub Kspread w systemie Linux. Jeśli bepośrednio funkcje inżynierskie nie występuje w MS Office to należy je dograć wykonując następujące polecenia Po uruchomieniu Excela klikamy na narędia następnie w dodatki i wybieramy Analysis ToolPak. Tera sprawdamy klikając w wstaw, funkcje i sukamy funkcji inżynierskich. W funkcjach inżynierskich mamy m. in. funkcje espolone acynające się od naków IM, funkcje Bessela, formuły dokonujące prekstałceń różnych systemów licb i inne. W tym artykule ajmiemy się funkcjami espolonymi, formułami dokonującymi amiany systemu licenia licb ora funkcjami Bessela co stanowią około 9% funkcji inżynierskich w arkusu (jest ich 39 omówiłem ok. 34). Formuły espolone omówione w rodiale I będiemy stosować i omawiać w oparciu o adania elektroniki, prydatne dla naucycieli matematyki, który ucą predmiotu matematyki w skłach policealnych informatycnych. Zamiany systemu licb (rodiał II) będiemy stosować do adań matematycnych, które są w podręcniku metodycnym dla klasy V skoły podstawowej (Matematyka Krok po kroku Beata Kossakowska, Beata Murawska) ora będiemy stosować prelicnik licb w rejestrach systemu operacyjnego. Ten rodiał będie prydatny dla naucycieli naucających systemy operacyjne i oprogramowanie biurowe. Natomiast funkcje inżynierskie Bessela wykorystamy do równania pola elektromagnetycnego w światłowodach cylindrycnych, które obecnie preżywają ogromny rowój w technologii sieci komputerowej. Ten ostatni rodiał będie prydatny dla naucycieli ucących sieci komputerowe i urądenia techniki komputerowej. 1

2 I. Zastosowanie licb espolonych w arkusu kalkulacyjnym Gnumeric i KSpread w systemie Linux i MS Excel systemu Windows Zastosowanie licb espolonych w różnych diedinach nauk ma ogromne nacenie na prykład wprowadenie licb espolonych w elektrotechnice daje nam pełniejsą informacje o prebiegu jawiska. Załóżmy, że w obwodie RLC otrymaliśmy następujące równanie: 1 U i R + ω L (1) ωc Widimy, że powyżsy wór nie daje nam informacji o stosunkach faowych. Tutaj i w wielu innych prypadkach powinniśmy wykorystać algebrę licb espolonych. Wykorystując licby espolone nase powyżse równanie pryjmuje postać: U 1 jϕ i R + ωl e () ωc Te równanie wyrażone licbami espolonymi kryje w sobie dwa równania awierające wielkości mieralne: - jedno wynika równości cęści recywistych (wór 1) - drugie wynika równości cęści urojonych W tej pierwsej cęści równania można wynacyć moduł, dający informacje o wartości awady dla prądów miennych, drugi powoli wynacyć argument, dający informacje o stosunkach faowych. Zakładamy, że ω to cęstość kołowa wtedy postać wykładnica licby espolonej apisemy worem: ϕ e j cos ϕ + j sin ϕ Jesce innym prykładem, w którym stosujemy licby espolone jest fala elektromagnetycna. Jeżeli prykładowo ropatrymy falę elektromagnetycną rochodącą się w kierunku to wyraża się następującym worem: B y E e x π i 6

3 we wore mamy dwie cęści i możemy powiedieć, że pole magnetycne B jest ray więkse, co do wartości bewględnej od pola elektrycnego E i opóźnione w stosunku do niego o 3 stopni kąta faowego. Do sybsego rowiąania funkcji espolonych mogą posłużyć nam arkuse kalkulacyjne. W systemie Linux występują dwa arkuse kalkulacyjne. Jeden o nawie Gnumeric należy do środowiska graficnego GNOME, a drugi KSpread do środowiska KDE. Aby uruchomić jeden nich wystarcy wybrać dowolne środowisko graficne. W arkusach kalkulacyjnych występują funkcje inżynieryjne a w nich funkcje espolone, których jest około 15. Podstawowe funkcje espolone omówię na prykładie adań. Podaję rowiąanie matematycne i rowiąanie informatycne w arkusu kalkulacyjnym. Funkcje espolone, które w odróżnieniu od licb recywistych mają w nawie formuły dwie pierwse litery IM od słowa angielskiego imaginary urojony. Zad. 1 Oblicyć moduł licby espolonej 4. Rowiąanie: Stosujemy wór matematycny: x + y gdie x, y R wtedy postać algebraicna licby espolonej jest następująca x + yi to otrymamy wynik: licba recywista Re 4, urojona Im wtedy Sprawdamy w arkusu np. Gnumeric wpisując do dowolnej komórki formułę espoloną: - cęść recywista: IMREAL( 4 ) - cęść urojona: IMAGINARY(4+i) * Cudysłów w nawiasach nie jest obowiąkowy natomiast obowiąkowy w MS Excel-u. Zad.. Linia o impedancji charakterystycnej Zo jest akońcona impedancją Z k (7 + 3i) Ω; należy naleźć wartość modułu i argumentu dla normaliowanej impedancji k. Rowiąanie: 3

4 Zakładamy, że standardem w Polsce i USA impedancja charakterystycna wynosi Zo 5 Ω. Stosujemy wór: Z Z 7 + 3i 1,4 +, 5 k k 6 o W arkusy pisemy: IMDIV(7+3i;5) otrymamy wynik jw. Moduł oblicymy e woru: 1,4 +,6 1,53 W arkusu pisemy: IMABS(1,4+,6i) otrymamy wynik jw. Sukamy argument; akładamy, że argumentem licby espolonej naywamy licbę ϕ spełniający układ równań: x cosϕ i y sin ϕ ora i tg ϕ cos a 1,4 ϕ,919 1,53 ora sin b,6 ϕ, 394 1,53 tan ϕ sinϕ cosϕ,394,919,48 Rowiąanie w arkusu: argument licby espolonej w arkusu otrymamy formuły: IMARGUMENT( 1,4+,6i ) i mamy,448 natomiast tan(,448),48. y x Zad. 3 Znaleźć wartość admitancji normaliowanej y k jeżeli impedancja normaliowana jest k 1,4+,6i. Rowiąanie: Wiemy e woru matematycnego, że admitancja normaliowana wyraża się następującym worem: y k -1 to po podstawieniu otrymamy: y k,6-,6i Rowiąanie w arkusu: pisemy formułę na potęgowanie IMPOWER(1,4+,6i;-1) otrymamy,6-,6i Zad. 4 Udowodnij, że w biore licb espolonych 4 { ;} 4

5 Rowiąanie matematycne: sukamy, dla jakiego kąta mamy takie same ϕ ϕ, bo sin o ora cos o 1 powołując się na wór de Moivre a dla pierwiastków k n ϕ + kπ ϕ + kπ r (cos + j sin ) gdie r n n otrymujemy + π + π 4 (cos + j sin ) 4 (cos + j sin ) 4 (1 + ) π + 1 π 4 (cos + j sin ) 1 4 (cosπ + j sinπ) 4 ( 1+ ) 4 ostało udowodnione, że biore licb espolonych mamy i. Rowiąanie astosowaniem arkusa kalkulacyjnego IMSQRT(4) Otrymujemy i należy godnie modułem i nasymi obliceniami matematycnymi podać licbę preciwną do wyniku, której arkus nie podaje i obowiąuje dla pierwiastka drugiego stopnia ora parystego stopnia np.: IMSQRT(5+1i) otrymamy: 3-i i godnie asadą -(3-i) cyli -3+i Zad. 5 Zapisać w postaci trygonometrycnej otrymane wyniki równania kwadratowego , 1 - +i ora - i. Rowiąanie: Wykorystując wór r (cos ϕ + i sin ϕ) sukamy modułu a + jb >r r ( ) a 1 cos ϕ,8944 sin ϕ b, 447 r 5 r 5 5

6 ponieważ jest to II ćwiartka dla cosinusa i sinusa to wtedy od π odejmujemy kąt ϕ i otrymujemy π i możemy apisać w postaci trygonometrycnej następująco: 5(cos153 + j sin153 ) lub możemy apis w postaci wykładnicej r e jϕ W arkusu: IMEXP(153i) otrymujemy: -,591+,864i, bo COS(153) wynosi,59 a IMSIN(153) wynosi: 1,399E+6i, po dodaniu funkcji cos(153) i 1,399 otrymujemy cęść urojoną:,864 Diałania na licbach espolonych wykonujemy tak, jak na wielomianach miennej i, pod warunkiem, że i -1 Zad. 6 Wykonaj podstawowe diałania arytmetycne: a) (-+3i)+(7-8i); b) (4i-3)-(1+1i); c) ( i) ( 3 3i ); 3i + d) ; 5 + 4i Rowiąanie matematycne: ad a) (-+3i)+(7-8i)(-+7)+(3-8)i5-5i. Rowiąanie w arkusu: IMSUM(-+3i;7-8i) otrymamy 5-5i. Rowiąanie matematycne: ad b) ((4i-3)-(1+1i)(-3-1)+(4-1)i-4-6i Rowiąanie w arkusu: IMSUB(-3+4i;1+1i) otrymamy -4-6i Rowiąanie matematycne: ad c) ( + i) ( 3 3i ) 3 3i 3i ( 3 + 3) + ( 3 6) i 6 +, 6i Rowiąanie w arkusu: IMPRODUCT(1,41+i;3-1,73i) otrymamy 5,96+,56i Rowiąanie matematycne: ad d) 3i 5 + 4i ( 3i)( 5 4i) ( 5 + 4i)( 5 4i) 3i 3 i,48 +,56i; Rowiąanie w arkusu: IMDIV(-3i;5+4i) otrymamy -4,87+,56i. Zad. 6 Oblic dla jakiego kąta fala o równaniu: π i 6 B E e równanie pryjmie postać w y x biore licb recywistych. Rowiąanie: e πi 1. W arkusu wpisujemy formułę: IMEXP(6,8i) otrymujemy 1. 6

7 Zad. 7 Obwód RLC asilany jest prądem premiennym. Oblic jego awadę espoloną Z i podac cęstotliwość, pry której nastąpi reonans tn. pry która awada będie recywista. Opór R 5 Ω, L 1 Henr, C 1 µf, a cęstotliwość f 1 H. Rowiąanie: wiemy, że ωπf6,8*1h68 R 1 L R L i + ω 1 ω C ωc C, ,4i Z,83, 99i ωci 1 R + ωli R + ωl ωc Z i. Rowiąanie w arkusu: IMDIV(, i;39447) otrymujemy: Z(-i) Ω L Dla cęstości reonansowej ωω o nika cęść urojona: R + ω o L stąd wy- C nacamy w prosty sposób ω o i oblicmy. Na akońcenie możemy powiedieć, że wykorystując arkus kalkulacyjny do licb espolonych można w sybsy sposób otrymać wyniki do nasych adań. Licby espolone stosuje się w inżynierii od bardo dawna i wcale nie są one gorse od licb ujemnych. II. Formuły inżynierskie powodujące amiany systemu licb Bardo ważnym agadnieniem w technice cyfrowej jak również w systemach operacyjnych jest amiana systemu licb na inne systemy licb. Powołując się na autora eksperta w diedinie technik komputerowych Jerry Honeycutt, Jr., napisał on w swojej książce Rejestr Windows cytuję Osobom nie roumiejącym notacji sesnastkowej (hex) będie trudno manipulować maskami w Rejestre. Myślę, że są to wystarcające powody do ponania tego systemu. Rowiążmy następujące adania klasy V. 7

8 Zad. 1 Jaka to licba 1111 BIN w systemie diesiątkowym i sesnastkowym? Rowiąanie: Stosując odpowiedni wór matematycny mamy: 6 * * + 4 * + 3 * 1 + * * + * 1 77 W arkusu kalkulacyjnym do dowolnej komórki wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: BINDEC(1111) i otrymujemy 77 sprawdamy wpisując: DECBIN(77) w systemie sesnastkowym mamy formułę 1). Zad. Predstaw w apisie dwójkowym i diesiętnym licbę sesnastkową 95 występującą w Rejestre w klucu Explorer o nawie wartości NoDriveTypesAutoRun. Rowiąanie: Do amiany licby 95 na system dwójkowy może presłużyć się nam tabela: Cyfra Nibble (cwórki bi- Cyfra Nibble (cwórki bitów) tów) A B C D E F

9 Patrąc na tabelę Hex 95 to w Bin 1111 (bajty to grupy po 8 bitów i apisujemy dwoma cyframi) i stosując odpowiedni wór dla nasego prypadku 7 *1+ 6 * + 5 * + 4 * * + * * + * W arkusu kalkulacyjnym wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: HEXBIN(95) otrymujemy 1111 sprawdamy funkcją BINHEX(1111) natomiast systemu dwójkowego na diesiętny było pokaane w poprednim adaniu. Możemy oblicyć bepośrednio sesnastkowego na diesiętny następującą formułą HEXDEC(95) i otrymamy 149 i sprawdić formułą DECHEX(149). Na akońcenie spróbujmy rowiąać adanie e wspomnianego podręcnika klasy V. Zad 3 Naucyłem się cytać w wieku 4 lat. Dokładnie po upływie lat, kiedy ukońcyłem 11 lat, acąłem chodić do skoły podstawowej. Ucyłem się w niej 4 lata i ukońcyłem ją, mając lat. Tera jestem 1 letnim gimnajalistą. W jakim systemie licenia napisałem swój życiorys? W funkcjach inżynierskich mamy również system ósemkowy (OCT), który wykorystujemy również w systemach operacyjnych na prykład w Linuksie. Prykład 1 Nadanie wsystkim użytkownikom pełnych praw dostępu do pliku pisemy poleceniem: [...]$ chmod 777 nawa_pliku pierwsa cyfra dotycy właściciela, druga cyfra dotycy grupy, a trecia cyfra dotycy poostałych użytkowników. Cyfra 7 jest maksymalną cyfrą w systemie ósemkowym możemy to wpisując w arkusu OCTDEC(8) nie otrymamy wyniku. Zastanów się a może to w tym systemie ostał napisany powyżsy życiorys Prykład Aby nie był widocny w systemie operacyjnym napęd CD ROM można w rejestre w klucu Explorer ałożyć wartość binarną o nawie NoDrives i wpisac popre edytuj 9

10 wartości binarne licbę 8 i po ponownym uruchomieniu komputera napęd nie będie widocny. Jeśli wpisemy wartośc binarną 1 to będie nie widocny napęd FDD (wartości te są apisane w tw. DWORD w rejestrach lub w kalkulatore Windows możes amienić na sesnastkowy, ósemkowy lub binarny). III. Zastosowanie funkcji Bessela arkusa kalkulacyjnego na prykładie fali elektromagnetycnej rochodącej się w światłowodach walcowych. Światłowody walcowe mają obecnie ogromne astosowanie w mediach sieci komputerowych. Typowym światłowodem cylindrycnym jest światłowód sklany włóknisty. Wyróżniamy w nim dwa obsary: - rdeń położony centralnie - płasc otacający rdeń Zasadnico w rdeniu rochodi się światło cyli fala elektromagnetycna. Równanie falowe dla wektora pola elektrycnego E ma postać: E + k E (podobne dla pola magnetycnego H), gdie k licba falowa. Ze wględu na geometrię problemu wprowadamy układ współrędnych cylindrycnych ( r, φ, ) i pryjmujemy, że oś pokrywa się osią światłowodu i w nim ropatrujemy rochodenie się pola elektrycnego i magnetycnego. Równanie nase natężenia pola elektrycnego wdłuż osi ma następującą postać: E r 1 E 1 E E k E r r r φ Rowiąanie tego równania będiemy posukiwali w postaci ilocynu trech funkcji: E R( r) Φ( φ ) Z( ) Rowiąanie ogólne równania różnickowego wycajnego jest dobre nane analiy matematycnej i wyraża się worem dla : Z( ) C1 exp( γ ) + C (exp( γ) 1

11 gdie C 1 C to dowolne stałe wynacone pre warunki bregowe, a γ α + jβ γ - stała propagacji wielkość espolona, α - stała tłumienia, β - stała faowa Φ ( φ) C3 cos mφ + C4 Natomiast funkcja R(r) wyraża się worem: sin mφ R( r) C J m ( h1r ) + C6Ym ( h1 5 r gdie J m Y m funkcje Bessela pierwsego rodaju i drugiego rodaju rędu m natomiast C 5 C 6 są to dowolne stałe i jest to równanie dla rdenia r<a Ostatecnie nase wyrażenie na natężenie prądu jest dla rdenia dla płasca E E J ) γ m ( h1 r)( A1 cos mφ + B1 sin mφ e dla r<a K ) γ m( h r)( A cos mφ + B sin mφ e dla r>a gdie A 1 B 1 są to współcynniki stałe, a m N natomiast h h 1 dla r<a natomiast h j h dla r>a h γ +k.aby oblicyć natężenie pola elektrycnego E. należy do powyżsego woru oblicyć wartości funkcji Bessela. W tym prypadku najlepiej jest skorystać funkcji Bessela, które są w arkusu kalkulacyjnym w funkcjach inżynierskich. Jeżeli chcemy oblicyć funkcję dla rędu m1 to wpisujemy następującą formułę: BesselJ(;1) i otrymamy,576. Wykres funkcji Bessela pierwsego rodaju predstawia rysunek: ) 11

12 gdie a x w arkusu kalkulacyjnym wpisujemy, natomiast m1, natomiast na styku rdenia i płasca r a pry pewnych ałożeniach warunki bregowe mogą być spełnione jedynie w prypadku, gdy m. Wykres funkcji Bessela drugiego rodaju predstawia rysunek poniżej. Tutaj dla Y m pisemy funkcje w arkusu następującą: BesselY(;1) tn. x, a m1 i otrymamy,11, sprawdź na wykresie funkcję Y 1 (). Jeśli pryjąć, że rowiąania Bessela dla płasca predstawia się worem: R( r) C I m ( hr) + C8K m ( h 7 r to w tym prypadku stosujemy odpowiednio I m i K m modyfikowane funkcje Bessela pierwsego i drugiego rodaju rądu m i dla C 7 C 8 dowolnych stałych. Do obliceń tych funkcji modyfikowanych posłużą formuły arkusa BesselaI( ; ) ora BesselaK( ; ). Funkcje Bessela stosujemy do światłowodów cylindrycnych natomiast do światłowodów na prykład planarnych korystamy układu kartejańskiego co pry oblicaniu natężeń pół elektromagnetycnych nacnie uprasca rachunki matematycne. Do rowiąań powyżsych równań różnickowych, których tu nie rowiąałem, bo nie było to tematem mojego artykułu aprasam do literatury m. in. Fundamentals of Optice Fibre Communication New York J. Van der Praas lub innej. ) 1

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6 achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane

Bardziej szczegółowo

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

Analiza transformatora

Analiza transformatora ĆWICZENIE 4 Analia transformatora. CEL ĆWICZENIA Celem ćwicenia jest ponanie bodowy, schematu astępcego ora ocena pracy transformatora.. PODSTAWY TEORETYCZNE. Budowa Podstawowym adaniem transformatora

Bardziej szczegółowo

Przedmowa 5. Rozdział 1 Przekształcenie Laplace a 7

Przedmowa 5. Rozdział 1 Przekształcenie Laplace a 7 Spis treści Predmowa 5 Rodiał 1 Prekstałcenie Laplace a 7 Rodiał 2 Wyprowadenie prekstałcenia Z 9 1. Prykładowe adania......................... 10 2. Zadania do samodielnego rowiąania............... 16

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.

Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd. Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Wybrane stany nieustalone transformatora:

Wybrane stany nieustalone transformatora: Wybrane stany nieustalone transformatora: Założenia: - amplituda napięcia na aciskach pierwotnych ma wartość stałą nieależnie od jawisk achodących w transformatore - warcie występuje równoceśnie na wsystkich

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

VIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku

VIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku Zadanie 3 Zad. 1 Skreśli licby, które są jednoceśnie podielne pre 2 i 3. Odcytaj litery, które najdją się pod skreślonymi licbami, tworą one bardo ważne słowa, o których wsyscy powinni pamiętać na co dień.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zasady rekrutacji uczniów do I Liceum Ogólnokształcącego im. Tadeusza Kościuszki na rok szkolny 2015/2016

Zasady rekrutacji uczniów do I Liceum Ogólnokształcącego im. Tadeusza Kościuszki na rok szkolny 2015/2016 Zasady rekrutacji ucniów do I Liceum Ogólnokstałcącego im. Tadeusa Kościuski na rok skolny 201/2016 Podstawa prawna: Roporądenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu dnia 20 lutego 2004 roku w sprawie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Układy równań - Przykłady

Układy równań - Przykłady Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATORY. Transformator jednofazowy. Zasada działania. Dla. mamy. Czyli. U 1 = E 1, a U 2 = E 2. Ponieważ S. , mamy: gdzie: z 1 E 1 E 2 I 1

TRANSFORMATORY. Transformator jednofazowy. Zasada działania. Dla. mamy. Czyli. U 1 = E 1, a U 2 = E 2. Ponieważ S. , mamy: gdzie: z 1 E 1 E 2 I 1 TRANSFORMATORY Transformator jednofaowy Zasada diałania E E Z od Rys Transformator jednofaowy Dla mamy Cyli e ω ( t) m sinωt cosωt ω π sin ωt + m m π E ω m f m 4, 44 f m E 4, 44 f E m 4, 44 f m E, a E

Bardziej szczegółowo

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam

Bardziej szczegółowo

Badanie transformatora jednofazowego. (Instrukcja do ćwiczenia)

Badanie transformatora jednofazowego. (Instrukcja do ćwiczenia) 1 Badanie transformatora jednofaowego (Instrukcja do ćwicenia) Badanie transformatora jednofaowego. CEL ĆICZENI: Ponanie asady diałania, budowy i właściwości.transformatora jednofaowego. 1 IDOMOŚCI TEORETYCZNE

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niższe niż najniższe - edycja świąteczna. Obowiązuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r.

Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niższe niż najniższe - edycja świąteczna. Obowiązuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r. Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niżse niż najniżse - edycja świątecna Obowiąuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r. 1. Organiator Promocji 1. Promocja Oprocentowanie niżse niż najniżse

Bardziej szczegółowo

Fizyka, II rok FS, FiTKE, IS Równania różniczkowe i całkowe, Zestaw 2a

Fizyka, II rok FS, FiTKE, IS Równania różniczkowe i całkowe, Zestaw 2a N : iyka II rok S itk IS Równania różnickowe i całkowe estaw 2a. Prosę definiować pojęcie fory kwadratowej a następnie podać acier fory kwadratowej i określić rąd fory (a!#%$ (b 2. Prosę określić rąd równania

Bardziej szczegółowo

PROWIZJA I AKORD1 1 2

PROWIZJA I AKORD1 1 2 PROWIZJA I AKORD 1 1 1. Pracodawca może ustalić wynagrodenie w formie prowiji lub akordu. 2. Prowija lub akord mogą stanowić wyłącną formę wynagradania lub występować jako jeden e składników wynagrodenia.

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS Cel ćwicenia: aponanie budową i asadą diałania podstawowych typów asilacy UPS ora pomiar wybranych ich parametrów i charakterystyk. 5.1. Podstawy teoretycne 5.1.1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH Matematyka plusem dla gimnajum PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KIERUNEK: Automatyka i Robotyka (AiR) SPECJALNOŚĆ: Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wyposażenie robota dwukołowego w cujniki ewnętrne Equipping a two

Bardziej szczegółowo

SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ

SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ ZAKŁAD ELEKTROENERGETYKI Ćwicenie: URZĄDZENIA PRZECIWWYBUCHOWE BADANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Opracował: kpt.dr inż. R.Chybowski Warsawa

Bardziej szczegółowo

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie 05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Maurski Mechanika Gruntów dr inż. Ireneus Dyka http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka e-mail: i.dyka@uwm.edu.pl

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Algorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Czebyszewa

Algorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Czebyszewa Zadanie: Algorytm projektowania dolnopreputowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Cebyewa Zaprojektować cyfrowe filtry Buttlewortha i Cebyewa o natępujących parametrach: A p = 1,0 db makymalne tłumienie

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Obwody prądu zmiennego

Obwody prądu zmiennego Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych

SCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN

PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIA LUBELSA J. Banasek, J. Jonak PODSTAW ONSTRUCJI MASN WPROWADENIE DO PROJETOWANIA PREŁADNI ĘBATCH I DOBORU SPRĘGIEŁ MECHANICNCH Wydawnictwa Ucelniane 008 Opiniodawca: dr hab. inŝ. Stanisław rawiec

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Efekt naskórkowy (skin effect)

Efekt naskórkowy (skin effect) Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie

Bardziej szczegółowo

Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010

Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Czym jest Excel 2010 Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Predmiot: informatyka akres podstawowy Klasy: pierwse LO i TE Program naucania: Informatyka nie tylko dla ucniów. Podręcnik. Zakres podstawowy Realiowany w Zespole Skół Ekonomicnych

Bardziej szczegółowo

MODEL MUNDELLA-FLEMINGA

MODEL MUNDELLA-FLEMINGA Danuta Miłasewic Uniwersytet Sceciński MODEL MUNDELLA-FLEMINGA 1. OPIS MODELU MUNDELLA-FLEMINGA Model ten, stworony na pocątku lat seśćdiesiątych XX wieku pre Roberta A. Mundella i Markusa Fleminga, opisuje

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie V Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie V Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne matematyki w klasie V Matematyka plusem Poiomy wymagań edukacyjnych K koniecny ocena dopuscająca P podstawowy ocena dostatecna R roserający ocena dobra D dopełniający ocena bardo dobra

Bardziej szczegółowo

Biologia. Biuletyn maturalny. Ewa Jastrzębska Ewa Pyłka-Gutowska. Centralna Komisja Egzaminacyjna

Biologia. Biuletyn maturalny. Ewa Jastrzębska Ewa Pyłka-Gutowska. Centralna Komisja Egzaminacyjna Biuletyn maturalny Ewa Jastrębska Ewa Pyłka-Gutowska Biologia Centralna Komisja Egaminacyjna publikacja współfinansowana pre Europejski Fundus Społecny Autory biuletynu: Ewa Jastrębska, Ewa Pyłka-Gutowska

Bardziej szczegółowo

OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy

OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy OpenOffice 2.0 PL. Funkcje arkusza kalkulacyjnego. Leksykon kieszonkowy Autor: Bartosz Gajda ISBN: 83-246-0848-6 Format: B6, stron: 272 Wydawnictwo Helion ul. Koœciuszki 1c 44-100 Gliwice tel. 032 230

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. Zarządzanie i marketing R.C17

KARTA PRZEDMIOTU. Zarządzanie i marketing R.C17 KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nawa predmiotu i kod (wg planu studiów): Kierunek studiów: Poiom kstałcenia: Profil kstałcenia: Forma studiów: Obsar kstałcenia: Koordynator predmiotu: Prowadący predmiot:

Bardziej szczegółowo

Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Zakaz Pauliego Układ okresowy pierwiastków

Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Zakaz Pauliego Układ okresowy pierwiastków Novosibirsk Russia September 00 W-6 (Jarosewic) slajdy Na podstawie preentacji prof. J. Rutkowskiego Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Zaka Pauliego Układ okresowy pierwiastków Atomy wieloelektronowe

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4 Publicne Gimnajum Sportowe Nr 11 im. Janusa Kusocińskiego w Wałbrychu PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z INFORMATYKI GIMNAZJUM w ZS nr 4 I. Postanowienia ogólne Predmiotowy system oceniania (w skrócie PSO)

Bardziej szczegółowo

Języki interpretowane Interpreted languages PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Języki interpretowane Interpreted languages PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Jęyki interpretowane Interpreted languages Informatyka Stacjonarne IO2_02 Obowiąkowy w ramach specjalności: Inżynieria oprogramowania II stopień Rok: I Semestr: II wykład, laboratorium 1W, 2L 3 ECTS I

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MS Excel

Wprowadzenie do MS Excel Wprowadzenie do MS Excel Czym jest Excel? Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu programów nazywanych arkuszami kalkulacyjnymi. W

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA KOMPUTERA

ARYTMETYKA KOMPUTERA 006 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ ARYTMETYKA KOMPUTERA Systemy liczbowe o róŝnych podstawach 1 UTK System dziesiętny Cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Liczba 764.5 oznacza 7 * 10 2 + 6 * 10 1 + 4

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 13. Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie 13. Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla. Cel ćwiczenia Ćwicenie 13 Wynacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądowa metoda badania efektu alla,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Wykres 1: Liczba szkół do których zgłosili się kandydaci niepełnosprawni w roku 2010/2011

Wykres 1: Liczba szkół do których zgłosili się kandydaci niepełnosprawni w roku 2010/2011 Wyniki monitorowania rekrutacji młodieży niepełnosprawnej i prewlekle chorej do publicnych skół ponadgimnajalnych dla młodieży w wojewódtwie podlaskim. Badaniem objęto 18 skół ponadgimnajalnych wojewódtwa

Bardziej szczegółowo

Gorzów Wielkopolski, dnia 7 grudnia 2015 r. Poz. 2359 UCHWAŁA NR 62/XI/2015 RADY POWIATU GORZOWSKIEGO. z dnia 25 listopada 2015 r.

Gorzów Wielkopolski, dnia 7 grudnia 2015 r. Poz. 2359 UCHWAŁA NR 62/XI/2015 RADY POWIATU GORZOWSKIEGO. z dnia 25 listopada 2015 r. DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA LUBUSKIEGO Gorów Wielkopolski, dnia 7 grudnia 2015 r. Po. 2359 UCHWAŁA NR 62/XI/2015 RADY POWIATU GORZOWSKIEGO dnia 25 listopada 2015 r. w sprawie trybu udielania i rolicania

Bardziej szczegółowo

5. Badanie transformatora jednofazowego

5. Badanie transformatora jednofazowego 5. Badanie transformatora jednofaowego Celem ćwicenia jest ponanie budowy i asady diałania transformatora jednofaowego, jego metod badania i podstawowych charakterystyk. 5.. Wiadomości ogólne 5... Budowa

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI A-1 ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 15 stron. W zadaniach 1. do 5. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Oferta cenowa wersja 1...z... 9 Obsługa arkusza...k...k.9 Konstrukcja arkusza...k...10. Rozdział 2. Oferta cenowa wersja 2...z...

Rozdział 1. Oferta cenowa wersja 1...z... 9 Obsługa arkusza...k...k.9 Konstrukcja arkusza...k...10. Rozdział 2. Oferta cenowa wersja 2...z... Spis treści Wstęp...z... 7 Rozdział 1. Oferta cenowa wersja 1...z... 9 Obsługa arkusza...k...k.9 Konstrukcja arkusza...k...10 Rozdział 2. Oferta cenowa wersja 2....z... 15 Obsługa arkusza...k...15 Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO

INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO INSTYTUT BADAŃ SYSTEMOWYCH POLSKA AKADEMIA NAUK INCYDENCYJNE SIECI NEURONOWE JAKO GENERATOR NOMOGRAMÓW STRESCENIE ROPRAWY DOKTORSKIEJ BOGUMIŁ FIKSAK PROMOTOR: DR HAB INŻ MACIEJ KRAWCAK, PROF PAN WARSAWA

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI ENERGII

ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI ENERGII Zesyty Problemowe Masyny Elektrycne Nr 9/211 15 Marcin Fice, Rafał Setlak Politechnika Śląska, Gliwice ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI

Bardziej szczegółowo

PROGNOZA OSIADANIA BUDYNKU W ZWIĄZKU ZE ZMIANĄ SPOSOBU POSADOWIENIA THE PROGNOSIS OF BUILDING SETTLEMENT DUE TO CHANGES OF FOUNDATION

PROGNOZA OSIADANIA BUDYNKU W ZWIĄZKU ZE ZMIANĄ SPOSOBU POSADOWIENIA THE PROGNOSIS OF BUILDING SETTLEMENT DUE TO CHANGES OF FOUNDATION XXVI Konferencja awarie budowlane 213 Naukowo-Technicna ZYGMUNT MEYER, meyer@ut.edu.pl Zachodniopomorski Uniwersytet Technologicny w cecinie, Katedra Geotechniki MARIUZ KOWALÓW, m.kowalow@gco-consult.com

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

NAJWYŻSZY CZAS ZAPRZESTAĆ PARODIOWANIA NORMALIZACJI

NAJWYŻSZY CZAS ZAPRZESTAĆ PARODIOWANIA NORMALIZACJI Dr inż. Edward Musiał, Cł. SEP Oddiał Gdański SEP. Wstęp NAJWYŻSZY CZAS ZAPRZESTAĆ PARODIOWANIA NORMALIZACJI Z pocątkiem roku 2000 w trech periodykach technicnych ukaał się artykuł Cy Polska Norma jest

Bardziej szczegółowo

URZĄD MIEJSKI W SŁUPSKU Wydział Zdrowia i Spraw Społecznych. SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE*/KOŃCOWE*)1) z wykonania zadania publicznego...

URZĄD MIEJSKI W SŁUPSKU Wydział Zdrowia i Spraw Społecznych. SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE*/KOŃCOWE*)1) z wykonania zadania publicznego... SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE*/KOŃCOWE*)1) wykonania adania publicnego... (nawa adania) w okresie od... do..., określonego w umowie nr..., awartej w dniu..., pomiędy... a... (nawa organu lecającego) (nawa organiacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo