Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Transkrypt

1 Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński

2 I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach ekoomicch, w akresie, któr ostał określo w Roporądeiu Miistra Edukacji Narodowej i Sportu dia cerwca r. w sprawie stadardów aucaia dla predmiotu MATEMATYKA a kieruku FINANSE I BANKOWOŚĆ studiów awodowch. Celem dodatkowm ajęć jest kstałceie logicego mśleia i ścisłego formułowaia problemów ora auceie stosowaia precjego jęka matematcego. Program predmiotu obejmuje elemet logiki, teorii biorów ora algebr liiowej. Ramow program: Elemet logiki, podstawowe własości biorów, relacji i fukcji jedej i wielu miech. Ciągi i ich własości, asada idukcji matematcej. Diałaia a wektorach i macierach, rowiąwaie układów rówań liiowch. Programowaie liiowe, model Leotiewa. I. Problematka ajęć ddaktcch ( podiałem a poscególe jedostki ddaktce).. Elemet logiki cas realiacji: godia Prkładowe adaia: Wac tabelki wartości logicch astępującch adań: (a) (b) ( p q) p (e) ( p q) ( p q) ( p q) p (f) ( p q) ( p q) 8

3 (c) ( p q) p (g) ( p q) ( p q) (d) ( p ( p q) (h) ( p q) ( p q) Które adaia są tautologiami?. Algebra biorów cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Wacć i predstawić a płascźie A B, A B, A\B, B\A astępującch biorów A i B. (a) A {[, ] R : 9}, B {[, ] R : > } (b) A {[, ] R : 8}, B {[, ] R : > } (c) A {[, ] R : 9}, B {[, ] R : > 6} (d) A {[, ) R : }, B {[, ) R : > }.. Relacje i ich własości cas realiacji: godia Prkładowe adaia: Jakie własości mają relacje astępujące relacje określoe w biore A{a,b,c,d (a) R {( a, b),( b, a),( a, a),( a, c),( b, d)}. (b) R {( a, b),( c, a),( d, c),( b, d)}. (c) R {( a, b),( a, c),( a, d),( b, d),( c, d),( c, b)}. 9

4 . Defiicja fukcji, mootoicość, różowartościowość cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Naskicować wkres fukcji, określić ich diedię i wskaać prediał mootoicości każdej ich. (a) f ( ) (c) f ( ) si (b) f ( ) ( ) (d) f ( ) si. Fukcje jedej wielu miech cas realiacji: godia Prkładowe adaia: Wacć diedię i predstawić a wkresie kilka poiomic astępującch fukcji: (a) f (, ) (g) f (, ) (b) (c) (d) f (, ) (h) 9 (i) f (, ) (j) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) si 6. Ciągi i ich własości cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Któr poiżsch ciągów jest postępem artmetcm, a któr geometrcm:

5 (a) a (c) b 6 (e) u ( ) (b) c ( ) (d) d (f) g ( ) (g) f ( ) 7. Notacja sigmowa cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Następujące sum apisać w postaci sigmowej: (a) ; (d)6; (b) ; (e) ; (c) ; (f) ; 6 8. Zasada idukcji matematcej cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Stosując asadę idukcji matematcej udowodij, że dla każdej licb aturalej licba postaci (a) jest podiela pre 6; (b) jest podiela pre 9; (c) 7 jest podiela pre 8; (d) jest podiela pre 6.

6 9. Diałaia a wektorach i macierach cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Oblicć: (a) (b) Waciki macier cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Oblicć waciki astępującch macier: (a) (b) 9. Maciere odwrote cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Oblicć odwrotości astępującch macier: (a) (b)

7 . Operacje elemetare i postać redukowaa macier cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Następujące maciere doprowadić do postaci redukowaej: (a) (b) 6 8 (c) 9 (d). Rąd macier cas realiacji godia Prkładowe adaia: Oblicć ręd astępującch macier: (a) (b) 6 8 (c) 9 (d). Rowiąwaie układów rówań liiowch (a) metoda elimiacji iewiadomch cas realiacji: godi (b) metoda Cramera cas realiacji: godi (c) odwracaie macier cas realiacji: godi

8 Prkładowe adaia: Rowiąać układ rówań liiowch: (Zastosować metodę elimiacji iewiadomch, a tam gdie to możliwe rówież metodę Cramera i metodę odwracalości macier.. Programowaie liiowe (astosowaia w ekoomii) cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Pr ograiceiach 8, 6 6, 6, aleźć ajwięksą i ajmiejsą wartość fukcji celu Model Leotiewa cas realiacji: godi Prkładowe adaia: Pewie (fikcj) sstem gospodarc składa się dwóch gałęi.,,6 Macier współcików tego sstemu jest astępująca,, Ustalić pla produkcji globalej tak, ab pierwsa gałąź wtworła produkt końcow wartości ml. ł, a druga ml. ł.

9 II. Program prac samodielej: I. Elemet logiki: spójiki logice, adaia proste i łożoe, wartość logica adaia, tautologie, metoda ero jedkowa, fukcja adaiowa i kwatfikator. Zadaia i problem:. Kilka firm posukuje owch pracowików. Kaddaci ubiegając się o prjęcie powii spełiać astępujące waruki: Firma A Wkstałceie wżse lub wkstałceie średie i lat praktki. Firma B Wkstałceie średie lub wżse, ajomość obsługi komputera. Firma C Zajomość jęka włoskiego lub hispańskiego, prawo jad. Firma D Umiejętość obsługi programów Word i Ecel lub ukońco kurs iformatc. Firma E Wżse wkstałceie ekoomice lub prawice, ajomość jęka agielskiego lub iemieckiego. Podiel każde powżsch adań a adaia proste i oac je smbolami p, q, s (firma E smbolami p, q, r, s) i apis je pr pomoc smboli logicch, i awiasów (,). Dla puktów (A) (D) sprawdź c adaia ( p q) s, ( q s) p, ( q p) s, p ( q s), p ( q s), ( q p) s acą to samo, co adaia wpisae wceśiej. Zajdź ie apis wmagań firm E.

10 . Jacek powiediał: Jeżeli jutro będie łada pogoda, to prjdę. Są możliwości: (a) Jest łada pogoda, Jacek prsedł. (b) Jest łada pogoda, Jacek ie prsedł. (c) Nie ma ładej pogod, Jacek ie prsedł. (d) Nie ma ładej pogod, Jacek prsedł. W którm prpadku Jacek ie dotrmał słowa?. Mama powiediała do Kasi: Albo odrobis lekcje albo ie pójdies do kia:. Spróbuj wraić to daie w postaci implikacji.. Utwór apreceia do astępującch dań: (a) Marek spęda wakacje w Grecji lub Hispaii. (b) Beata uc się jęka fracuskiego i agielskiego. (c) Jeśli skońcs studia, to ajdies ciekawą pracę. (d) Wssc studeci lubią matematkę. (e) Istieje cłowiek, któr a swoją prsłość.. Porówaj tabelki logicch wartości astępującch dań: (a) p q i q p (f) ~ ( p q) i ~ p ~ q (b) p q i q p (g) ~ ( p q) i ~ p ~ q (c) p q i p q (h) p q i ~ q ~ p (d) ~ ( p q) i p ~ q (i) p q i q p (e) p q i ~ p ~ q (j) ~ ( p q) i ~ q ~ p Wskaać daia róworęde 6. Wac tabelki wartości logicch astępującch dań: (a) ( p q) p (e) ( p q) ( p q) 6

11 (b) ( p q) p (f) ( p q) ( p q) (c) ( p q) q (g) ( p q) ( p q) (d) p ( p q) (h) ( p q) ( p q) Które daia są tautologami? 7. W autobusach komuikacji miejskiej moża obacć apis iformując pasażerów, że: () w godiach occh ie mogą korstać biletów ulgowch () bilet miesięce achowują ważość C posiadac ulgowego biletu miesięcego musi wkupić dodatkow bilet a prejad w pore ocej? 8. Podaj waruki jakie powi spełiać współciki rówaia kwadratowego a b c ab (a) rówaie posiadało dwa róże pierwiastki jedakowch aków. (b) rówaie posiadało dwa róże pierwiastki różch aków (c) rówaie posiadało dwa róże pierwiastki dodatie (d) rówaie posiadało dwa róże pierwiastki ujeme Literatura: podstawowa: [] str. 9 ; [] str. uupełiająca: [6] str. 7- II. Fukcja pojęcia podstawowe: Defiicja fukcji, diedia, preciwdiedia, biór wartości, obra bioru, różowartościowość fukcji, fukcje rosące i malejące. Pregląd podstawowch fukcji elemetarch. Zadaia i problem: 7

12 . Wacć diedię fukcji: (a) f ( ) log( ) (f) f ( ) log( ) (b) f ( ) (g) f ( ) log( 6 (c) f ( ) (h) f ( ) si (d) f ( ) (i) f ( ) logtg (e) f ( ) (j) f ( ) ctg( π ). Naskicować wkres fukcji i wskaać prediał mootoicości każdej ich. a) f ( ) g) f ( ) si b) f ( ) ( ) h) f ( ) si c) f ( ) ( ) i) f ( ) cos( ) d) f ( ) j) e) 8 f ( ) log k) f ( ) π f ( ) tg(. Wacć biór wartości fukcji i bór f (A), gd a) b) f ( ) i [,] A e) f ) f ( ) i A (,) f) f c) ( ) log f i [,8] Literatura: ( i A [,] ( ) i A [,] π π A g) f ( ) si i A π,π - podstawowa: [] str. ; [] str. 6 - uupełiająca: [6] str. 8

13 III. Ciągi i ich wartości: ciąg jako fukcja, ciągi rosące i malejące, ciągi artmetce i geometrce. Zadaia i problem.. Któr poiżsch ciągów jest postępem artmetcm, a któr geometrcm: a) a e) c c) 6 d) d u b) ( ) f) ( ) ( g ) b g) f ( ). Podać wór a (-t wra)dla ciągów acającch się astępująco: a),,9,; b) 6,,, ; 7 c), 6,,; d), 6,, 8;. Dla każdego poiżej defiiowach ciągów podaj pocątkowch wraów ora wra set. (a) a, a a, dla N (b) c, ( ) c c, dla N (c) b, b, dla N b (d) f, f, f f f, dla N, Literatura: - podstawowa: [] str. 8 9; [] str

14 IV. Notacja sigmowa: Zadaia i problem:. Ropisać astępujące sum i oblicć je a) i d) i b) i 7 c) k i e) l g) l j i h) j ( j ) i j k f) ( ) i i i. Następujące sum apisać w postaci sigmowej: a) ; d) 6 ; b) ; e) ; c) ; f) ; 6. Predstawić w otacji sigmowej astępujące sum ciągów artmetcch i geometrcch a) ; c) ; b) ;... wraów. Dla każdego poiżej defiiowach ciągów podać 8 pocątkowch wraów i oblicć sumę. (e) ; d) ( ) a ( ) a ; a a ; j 6

15 6 (f) ; a ( ) ; a a ; a (g) ; a ( ) ; a a. a. Oblicć (a) i i ; (b) i i ; (c) i i ; (d) ( ) i. Uwaga! Ab dokładie roumieć powżse sum, ajlepiej ajpierw podstawić amiast pewe kokrete licb aturale, p.,,,. Literatura: - podstawowa: [] str V Rachuek wektorów i macier: defiicja macier i wektora, dodawaie, odejmowaie, możeie macier możeie macier pre skalar, traspoowaie macier. Zadaia i problem: Oblicć: (a) (f) (b) (g) (c) T (h) T

16 6 (d) T (i) (e) (j) 6 Literatura: - podstawowa: [] str. 6; [] str uupełiająca: [] str ; [7] str. 8 VI. Metoda Cramera: Twierdeie Cramera i jego astosowaie do rowiąwaia układów rówań liiowch. Zadaia i problem: Rowiąać metodą Cramera (Zastosować metodę elimiacji iewiadomch, a tam gdie to możliwe rówież metodę Cramera i metodę odwracaia macier) t t t Literatura:

17 - podstawowa: [] str. 9 ; [] str ; - uupełiająca: [7] str.. VII Zastosowaie programowaia liiowego w ekoomii: model matematc problemu ekoomicego, rowiąwaia dopuscale i optmale, rowiąaie metodą graficą. Zadaia i problem:. Załóżm, że dieta składa się trech składików odżwcch: białka, tłuscu i węglowodaów. W celu dostarceia tch składików akupujem jedie dwa produkt żwościowe: chleb i mięso. Prjmijm, że w jedostce wagowej chleba są jedostki białka, jedostka tłuscu i jedostki węglowodaów, atomiast w jedostce wagowej mięsa są jedostki białka, jedostek tłuscu i jedostka węglowodaów. Załóżm, że diee miimale ilości białka, tłuscu i węglowodaów, które powiie otrmać orgaim, wosą odpowiedio 6, i jedostki. Prjmijm też, że spożwaie więcej iż jedostek tłuscu dieie jest skodliwe ora spożcie chleba ie powio prekracać. jedostek dieie. Załóżm wrescie, że ce jedostek wagowch chleba i mięsa są odpowiedio rówe i jedostki pieięże. Jakie ilości (wagowe) chleba i mięsa ależ kupować dieie, ab pr całkowitm aspokojeiu orgaimu kost wżwieia bł ajmiejs (ajwięks)?. Na międarodow obó studecki we Fracji ma pojechać, co ajmiej studetów Polski. Prewieieie studetów 6

18 lecoo predsiębiorstwu loticemu, które dspouje samolotami tpu A i B. Samolot A (B) charakterują odpowiedio astępujące licb: a) () maksmala licba pasażerów, b) 6 () licba cłoków ałogi, c) (7) kost prelotu carterowego jedego samolotu. W diu korstaia usługi do dspocji predsiębiorstwa loticego będie 6 osób ałogi. Ile samolotów tpu A i B powii wająć orgaiator obou, ab kost prelotu bł ajmiejs (ajwięks)? Literatura: - podstawowa: [] str. 7 7; [] str ; VIII Model Leotiewa: prepłw międgałęiowe, współciki kostów, modele otwarte i amkięte. Zadaia i problem:. Pewie sstem gospodarc składa się dwóch gałęi. Macier współcików kostów tego sstemu jest,,6 astępująca: A. Ustalić pla produkcji globalej,, tak, ab gałąź pierwsa wtworła produkt końcow wartości ml ł, a druga ml ł.. Załóżm, że pewie sstem gospodarc składa się trech gałęi. Wielkość prepłwów międgałęiowch predstawia tabela. 6 Prepłw P. koc. P. glob. d i i 8

19 Literatura: (a) Oblicć, o ile wrosą produktu końcowej w każdej gałęi, jeżeli produkcje globale wrosą o Δ, Δ, Δ. (b) O ile powi wrosąć produkcje globale poscególch gałęi, jeżeli ażąda się wrostu produktów końcowch w każdej gałęi odpowiedio o Δd, Δd, Δd. (c) Ustalić pla produkcji globalch, tak, ab produkt końcowe bł rówe d, d, d 8. Jakie będą wted prepłw międgałęiowe? - podstawowa: [] str. 7 79; [] str. 6 ; - uupełiająca: [] str. 9. 6

20 Literatura: [] Abtowa J., Piasecki K., Różański T, Świtalski Z., Matematka wspomagająca arądaie, Wdawictwo Akademia, Poań 997 (lub ). [] Bażańska T., Nkowski M., Zbiór adań matematki dla studetów wżsch uceli ekoomicch, Cetrum Skoleiowo Wdawice Kwatum, Warsawa 997. [] Chiag A. C., Podstaw ekoomii matematcej, PWE, Warsawa 99. [] Fabiańck A., Matematka. Podręcik dla studiów ekoomicch, Wżsa Skoła Fiasów, Bakowości i Ubepieceń, Łódź 999. [] Gariewic L., Kasprowic A., Matematka dla studetów wżsch skół bakowch, Towarstwo Naukowe Orgaiacji i Kierowictwa, Toruń. [6] Matołka M., Wojcies B., Matematka elemetami astosowań w ekoomii, Wdawictwo Wżsej Skoł Bakowej, Poań. [7] Ostoja-Ostasewski A., Matematka w ekoomii. Modele i metod, t.. PWN, Warsawa 996. [8] Piasecki K., Matematka wspomagająca arądaie w adaiach, Wdawictwo Akademia, Poań. [9] Piscała J., Matematka i jej astosowaia w aukach ekoomicch, Wdawictwo Akademia, Poań. [] Piscała J., Matematka i jej astosowaia w aukach ekoomicch. Ćwiceia, Wdawictwo Akademia, Poań. 66