Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt S(, ) Oblicz współrzęde pozostałych wierzchołków robu i oblicz jego pole W robie przekąte dzielą się a połowy, więc S jest środkie odcika AC + c Niech C (c,c) Wtedy: c + c, oraz c 6, czyli pukt C a współrzęde C (,6) Prosta k zawierająca przekątą BD robu jest prostopadła do wektora AS, bo przekąte robu przeciają się pod kąte prosty AS [ +, + ] [,] Prosta k, jako prostopadła do tego wektora, a rówaie: x + y + 0 Pukt S (,) spełia rówaie prostej k, stąd: Prosta k a rówaie: x + y 0 Współrzęde puktu B obliczyy, rozwiązując układ rówań: x y 0 x y + x + y 0 (y + ) + y 0 6y y 0 0y y i x + Pukt B a współrzęde B, S jest środkie odcika BD Niech D (d,d) + d + d 7 d 0, oraz d 7 Pukt D a współrzęde D 0, 7 Szukae współrzęde wierzchołków robu: B,, C (,6), D 0, Pole robu jest rówe połowie iloczyu długości przekątych:

2 AC ( + ) + (6 + ) BD ( 0) + 0 Pole robu: P ( pkt) Prawdopodobieństwo uzyskaia braki przez drużyę piłkarską przy oddaiu jedego strzału oblicza się jako stosuek liczby zdobytych braek do liczby oddaych strzałów a brakę i wyraża się je zwykle w procetach Na poiższy diagraie przedstawioo te prawdopodobieństwa dla poszczególych druży: a) Co jest bardziej prawdopodobe: zdobycie dwóch braek przez Wisłę Kraków przy oddaych 6 strzałach, czy zdobycie braek przez Machester Uited przy oddaych strzałach? b) Ile strzałów a brakę usi oddać w czasie eczu drużya Realu Madryt, aby prawdopodobieństwo strzeleia jedej braki było większe od 0,9? a) Oddaie przez Wisłę Kraków 6 strzałów to scheat Beroulliego o sześciu próbach, bo prawdopodobieństwo sukcesu (zdobycia gola) w każdy strzale jest takie sao i wyosi p 0% Stąd P(S6 ) 0, Podobie dla Machesteru Uited, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu wyosi p 0% : P(S ) 0 0,0 Bardziej prawdopodobe jest zdobycie przez Wisłę Kraków dwóch braek w 6 strzałach b) Ozaczy przez szukaą ilość strzałów May do czyieia ze scheate Beroulliego o próbach i prawdopodobieństwie sukcesu p 0% P(S ) > 0,9 P(S 0) > 0,9 P(S 0) < 0, 0 0 < 0, < 0,

3 Licząc koleje potęgi liczby stwierdzay, że ierówość jest spełioa dla >, czyli drużya Realu Madryt usi oddać iiu strzałów, aby szasa a zdobycie co ajiej jedej braki była większa od 0,9 ( pkt) W trójkąt rówoboczy o boku długości a wpisao koło, w które astępie wpisao trójkąt rówoboczy, a w te trójkąt zowu koło itd Oblicz suę pól wszystkich wpisaych kół Dae: a Proień koła wpisaego w trójkąt rówoboczy a długość rówą a a trójkąta, więc r 6 wysokości Z kolei r staowi wysokości trójkąta o boku x, wpisaego w koło o proieiu r x r a a Stąd ay: r Z tego rówaia obliczyy x: x r 6 Ciąg długości boków kolejych trójkątów jest ciągie geoetryczy o ilorazie q Z własości figur podobych ay ciąg proiei okręgów: a otrzyujey wzór a -ty wyraz: r r q 6 Ciąg pól kolejych kół jest określoy wzore: πa P i qp P π r a π 6 πa Poieważ q p <, więc sua ieskończoego ciągu pól istieje i wyosi: a r, q, z czego 6

4 πa P πa πa S, co ależało obliczyć q p 9 6 (7 pkt) Liczby x i x są pierwiastkai rówaia ( + )x + ( + )x + 0 Rozważy fukcję f() x x a) Wyzacz przedziały ootoiczości i ekstrea fukcji f b) Dla jakiej wartości paraetru fukcja f przyjuje ajwiększą wartość? ( + )x + ( + )x + 0, f() x x Dziedzią fukcji f jest zbiór tych wartości paraetru, dla których istieją (iekoieczie róże) pierwiastki x i x podaego rówaia, czyli spełiających układ: 0 ( + ) ( + ) ( + ) +, ( + )( ) + Wykres () : ( + ) ( + )( + ) ( 0) (, ), D f Korzystając ze wzorów Viete a ay: f() x x + + ( + ) + + ( + ) a) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Baday zak pochodej, który zależy od zaku wyrażeia ( + ) :

5 Z wykresu wyika, że: - fukcja f() rośie w przedziałach: (, ), (0,) - fukcja f() aleje w przedziałach: (, ),, 0 ( ) - Dla x fukcja osiąga aksiu rówe: f( ) ( ) + - Dla x 0 fukcja osiąga aksiu rówe: f (0) 0 b) Wartości fukcji a końcach przedziału wyoszą: f +, f() li f(x) li li x x + x + li f(x) li, bo liczik dąży do, a iaowik do zera po wartościach x x + ujeych Wykres f(): Z wykresu wyika, że fukcja przyjuje ajwiększą wartość dla oraz wartość ta wyosi lub, 7 ( pkt) Wykaż, że dla każdej aturalej, dodatiej liczby, liczba postaci + + jest podziela przez 7

6 Dowód idukcyjy + Sprawdzay prawdziwość twierdzeia dla : Twierdzeie jest prawdziwe dla Zakładay, że twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej, tz liczba + + jest podziela przez 7 Aby zakończyć dowód, ależy udowodić, że przez 7 dzieli się liczba + + (+ ) Wyrażeie ( ) + + dzieli się przez 7 z założeia Przez 7 dzieli się także liczba 7, co kończy dowód ( ) 8 ( pkt) Day jest trójkąt ABC, w który BCA α, BAC β, zaś 0 ABC > 90 Proień okręgu opisaego a ty trójkącie a długość R Trójkąt obracay wokół boku BC Oblicz objętość otrzyaej bryły obrotowej 0 Dae są: α, β, R, ABC > 90 R - proień okręgu opisaego a trójkącie ABC Szukaa objętość, to różica objętości stożków APC i APB, czyli: π π π π V r (a + x) r x r (a + x x) r a Korzystając z twierdzeia siusów w trójkącie ABC, otrzyujey: a b R a Rsiβ i R b Rsiα siβ siα 0 ABC 80 ( α + β), dlatego ABD α + β r si( α + β) r bsi( α + β) Rsiαsi( α + β) b Szukaa objętość wyosi: π π 8π V r a R si αsi ( α + β) Rsiβ R si α siβ si ( α + β)

7 9 ( pkt) Dla jakich wartości paraetru α rozwiązaie układu rówań (cosα ) x + y ( cosα) x + (cosα + ) y cosα jest dokładie jeda para liczb ieujeych? Stosujey etodę wyzaczikową Dla uproszczeia zapisu przyjijy May: ( ) x + y x + ( + ) y W ( ) ( + ) Układ rówań a dokładie jedo rozwiązaie, gdy: W ,, Aby układ iał dokładie jedo rozwiązaie, usi być: i Wx W y + y 0 0 Ostateczie otrzyaliśy: + ( + ) W + ( + ) Rozwiązaie układu: Wx + x W ( + ) Wy ( + ) y W ( + ) Rozwiązaie a być para liczb ieujeych: x 0 i y 0 x 0 > 0 > i 0,0 cosα,

8 i >,0, Korzystając z wykresu fukcji cosα > > y cosα π π α + kπ, + kπ, czyli cosα >, otrzyujey: 0 (6 pkt) Narysuj wykres fukcji określoej wzore: arguety, dla których wartości fukcji są rówe (x ) Dziedzia fukcji f(x) log : D f (, ) log (x ) 0 log (x ) log x log(x ) < 0 May: log (x ) < log, k C, co jest rozwiązaie zadaia x < log (x ) log f(x) Wyzacz te 9 x x (,) log (x ) log (x ) log (x ) (x Dla x : f(x) ) log (x ) log (x ) log (x ) Dla x (,): f(x) (x ) (x ) dla x f(x) dla x (,) (x ) Wartość ułaka przy x zbliża się do liczby, a przy x ziejszający się (x ) do, rośie do ieskończoości, bo iaowik ułaka dąży do zera po wartościach dodatich Stąd wykres fukcji f(x) jest astępujący:

9 log 9 9 Należy rozwiązać rówaie f(x) log, czyli f (x) 9 Dla : ( ) Dla (,) : ( ) x ( ) Fukcja przyjuje wskazaą teate zadaia wartość dla x lub x α β γ ( pkt) Wykaż, że jeżeli α + β + γ π, oraz cos cos cos 0, siα + siβ si γ α β to tg tg siα + siβ + si γ α + β α + β α + β si γ si[ π ( α + β) ] si( α + β) si si cos α + β α β siα + siβ si cos Na podstawie i otrzyujey: α + β α β α + β α + β siα + siβ si γ si cos si cos siα + siβ + si γ α + β α β α + β α + β si cos + si cos α + β α β α + β α β si cos cos si si α β si si α β tg tg α + β α β α + β α β α β si cos + cos cos cos cos cos co ależało wykazać Uwaga: poiższe ie jest fragete rozwiązaia W rozwiązaiu wykorzystao kolejo wzory: si( π x) si x si x si xcosx x + y x y si+ si y si cos x + y x y cosx cosy si si x + y x y cosx + cosy cos cos si( x) si x

10 cos( x) cosx si x cosx tgx ( pkt) Day jest zbiór A {(x,y): x R y R x + y y 0} Zbiór B jest obraze zbioru A w traslacji o wektor u [, ] Opisz zbiór B za poocą ierówości, a astępie zazacz a płaszczyźie zbiór ( A B)' x + y y 0 x + (y ) Zbiór A jest kołe o środku S (0,) i proieiu r Zbiór B jest kołe o środku S ( 0 +, + ( ) ) (,) i taki say proieiu ( A B)' jest dopełieie suy tych kół do płaszczyzy XOY Brzegi kół ie ależą do tego zbioru Ilustracja (szukay zbiór ( A B)' zazaczoo kolore iebieski):