2. Nieskończone ciągi liczbowe

Transkrypt

1 Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi przykładami ciągów są: a =, b = 2, c = [ ], d = log + ). Nie zawsze jedak moża zadać ciąg jawym wzorem. 2.. Przykład. Ciekawym przykładem takiego ciągu jest ciąg {w }, którego zbiór wartości pokrywa się ze zbiorem liczb wymierych dodatich:, 2, 2, 3, 2 2, 3, 4, 2 3, 3 2, 4, 2 5 4, 3 3, 4 2, 5,... Zasada tworzeia kolejych wyrazów tego ciągu jest taka: Wypisujemy kolejo bloki B k liczb postaci p/q o stałej sumie p + q = k +. Jak widać, { B k = k, 2 k,..., k }, k. 2 Tak więc { } { } { } { B =, B 2 = 2, 2, B 3 = 3,, 3, B 4 = 4, 2 3, 3 } { 2, 4, B 5 = 5, } 2,, 2, 5,... Następie ustawiamy bloki w kolejości ich umeracji i otrzymaym wyrazom adajemy koleje umery. Jest to tzw. przekątiowa metoda umeracji liczb wymierych. Zwróćmy uwagę, że porządek występowaia w ciągu kolejych liczb wymierych ie ma ic wspólego z ich uporządkowaiem a prostej liczbowej. Widać też, że tak otrzymay ciąg ie jest różowartościowy. Jest jedak surjektywy, bo dowola liczba dodatia postaci w = p/q zajdzie się w bloku B p+q. Jeśli teraz zbudujemy owe bloki B k = B k \ j<k B j, to utworzą oe owy ciąg {w }:, 2, 2, 3, 3, 4, 2 3, 3 2, 4, 5, 5,..., który będzie wzajemie jedozaczym przekształceiem zbioru N a zbiór Q 0, ). Ciąg {a } = azywamy ograiczoym od góry, jeśli istieje M R, takie że a M, N, a ograiczoym od dołu, jeśli istieje m R, takie że m a, N. Ciąg {a } = azywa się ograiczoy, jeśli jest ograiczoy od góry i od dołu, tz. jeśli dla pewego K R. Dla przykładu popatrzmy a ciąg a K, N, e = + ).

2 2 Wiemy, że 2 e < 3, a zatem liczba 2 jest ograiczeiem a awet kresem) dolym zbioru wyrazów ciągu {e }, a liczba 3 ograiczeiem górym, ale ie kresem górym. Jak zobaczymy wkrótce istieją ie zaczie miejsze) ograiczeia tego zbioru. Ciąg {a } = azywa się rosący, jeśli a malejący, jeśli a a +, N, a + a, N. Jeśli w powyższych defiicjach słabe ierówości moża zastąpić ostrymi, wtedy ciąg azywa się odpowiedio ściśle rosący lub ściśle malejący Przykład. Dobrze am zaym przykładem ciągu ściśle rosącego jest ciąg o wyrazie a = q, gdzie q > 0 i q Przykład. Pokażemy, że ciąg e = + ) jest ściśle rosący. Rzeczywiście, a mocy ierówości Beroulliego e + = + ) + [ = + ) + ] 2.4) + + [ > + + ] = + = e. + ) A oto ajważiejsze pojęcie tego wykładu. Mówimy, że liczba g jest graicą ciągu liczbowego {a } =, jeśli w każdym przedziale otwartym zawierającym g zajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu tz. wszystkie poza, być może, skończoą ilością). Defiicję tę możemy zapisać rówież tak: g = a ε > 0 M R > M a g < ε Uwaga. Jeśli w ciągu {a } zmieimy, usuiemy lub dodamy skończoą ilość wyrazów, to ie będzie to miało żadego wpływu ai a zbieżość ciągu ai a wartość graicy Uwaga. Jeśli c > 0 jest pewą stałą, to występujący w defiicji waruek jest rówoważy astępującemu: Jest o także rówoważy warukowi ε > 0 M R > M a g < ε ε > 0 M R > M a g < c ε. ε > 0 M R > M a g < ε i iym podobym. Z tego powodu mówi się czasem o elastyczości epsiloa Przykład. Pokażemy, że = 0. Istotie, dla ustaloego ε > 0 ierówość 0 < ε zachodzi dla wszystkich > ε.

3 Przykład. Pokażemy z defiicji, że b = Ustalmy dowolie liczbę ε > 0. Chcemy pokazać, że dla dostateczie dużych zachodzi ierówość b < ε. 5 Poieważ = = 5 55 ) 55 ), więc, jak łatwo obliczyć, b 5 < ε dla > 2+5ε 75ε Przykład. Pokażemy, że ciąg stały o wyrazach a = c ma graicę rówą c. Rzeczywiście, jeśli ustay dowolie ε > 0, to ierówość jest spełioa dla każdego N Przykład. Zauważmy, że gdyż a 0 = a 0. a c = c c = 0 < ε a = 0 a = 0, Wprost z defiicji wyika astępujący wiosek. 2.. Wiosek. Jeżeli a a i b b oraz a b dla N, to a b. Nieco dalej idzie waży lemat o trzech ciągach Lemat o trzech ciągach). Jeśli ciągi {a } i {b } są zbieże do tej samej graicy g R, a ciąg {x } ma własość to {x } jest rówież zbieży do g. N a x b, Dowód. Niech ε > 0. Poieważ a = g, więc istieje N N, takie że jeśli N, to a g < ε, czyli g ε < a < g + ε. Podobie dla ciągu {b } istieje N 2 N, takie że g ε < b < g + ε dla N 2. Wtedy dla każdego N 3 = max{n, N 2 } mamy czyli g ε < a x b < g + ε, x g < ε, co ozacza, że ciąg {x } rówież zbiega do g Uwaga. Oczywiście w twierdzeiu tym wystarczy założyć, że ierówość a x b zachodzi dla prawie wszystkich N, gdyż jak zauważyliśmy wcześiej) skończoa ilość wyrazów ciągu ie ma wpływu a istieie i wartość jego graicy Wiosek. Jeśli a 0 oraz 0 b a dla N, to rówież b Każdy ciąg zbieży jest ograiczoy.

4 4 Dowód. Weźmy dowoly ciąg zbieży a a R. Wtedy istieje liczba N N, taka że jeśli N, to a a <. Poieważ a a a a, więc a < a +, N. Zatem a < max{ a +, a, a 2, a 3,..., a N }, N, czyli {a } jest ograiczoy. Zauważmy, że implikacja w drugą stroę oczywiście ie jest prawdziwa. Jako przykład rozważmy ciąg o wyrazach a = ). Jest o ograiczoy, bo a, ale ie jest zbieży. Przypuśćmy bowiem, że a g, gdy, dla pewego g R. Wtedy istiałaby taka liczba N N, że a g < dla N. Dla takich mielibyśmy więc i jedocześie co ie jest możliwe. a + a = ) + ) = 2 a + a = a + g + g a a + g + g a < 2, Mówimy, że ciąg jest rozbieży, jeśli ie ma graicy liczbowej. Mówimy, że ciąg {a } jest rozbieży do ieskończoości ma graicę iewłaściwą rówą ) i piszemy a =, jeśli dla każdej liczby dodatiej K R prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe iż K; iymi słowy, jeśli istieje M > 0, takie że a > K dla > M. Mówimy, że {a } jest rozbieży do ma graicę iewłaściwą rówą ) i piszemy a =, jeśli dla każdej liczby dodatiej K R prawie wszystkie wyrazy ciągu są miejsze iż K; iymi słowy, jeśli istieje M > 0, takie że a < K dla > M Przykład. Ciąg o wyrazach a = α, gdzie α > 0, jest rozbieży do. Istotie, dla dowolej liczby M > 0, ierówość a > M zachodzi dla wszystkich > M /α Przykład. Ustawiając metodą przekątiową wszystkie liczby wymiere w ciąg ieskończoy, otrzymamy przykład ciągu, który ie jest ograiczoy, zatem ie jest też zbieży. Ciąg te ie ma awet graicy iewłaściwej Niech będą dae dwa ciągi {a } i {b }. Jeśli b = oraz dla prawie wszystkich N a b, to rówież a = Przykład. Poieważ 2 dla wszystkich N, więc 2 =.

5 Niech {a } będzie ciągiem liczbowym. Wtedy a = a ) =. Przykładami ciągów rozbieżych do są więc { } N, { 2 } N, { 2 } N Jeśli x = x, to x = x. Dowód. Dla dowodu wystarczy zauważyć, że x x x x Twierdzeie arytmetyka graic). Niech {a } i {b } będą ciągami liczbowymi. Jeśli a = a oraz b = b, to a + b ) = a + b, a b ) = ab. Jeśli poadto b 0 i b 0 dla każdego N, to b = b. Dowód. Niech ε > 0. Z tego, że a = a i b = b wyika, że istieje N N, takie że a a < ε oraz b b < ε, gdy N. Zatem ierówość a + b ) a + b) a a + b b < 2ε jest spełioa dla N, co dowodzi pierwszej własości. Poieważ ciąg {a } jako zbieży jest ograiczoy, więc a K dla pewego K > 0 i wszystkich. Zatem co potwierdza drugą własość. Na mocy 2.2) mamy a stąd istieje N, takie że a b ab = a b a b + a b ab a b b + a a b < K ε + b ε = K + b ) ε, b = b, b > b 2, N. Niech ε > 0. Wobec zbieżości ciągu {b } b b < ε, N 2. Stąd dla każdego N = max{n, N 2 } mamy = b b b b b b < ε b 2 b = 2 b 2 ε. Tym samym dowód został zakończoy.

6 Wiosek. Jeśli a = a, to dla każdego α R α a = α a. Jeśli poadto b = b 0 i b 0, to a b = a b. Przez idukcję łatwo wyprowadzamy astępujący wiosek Wiosek. Niech będą dae zbieże ciągi {a k) } =, gdzie k N. Wtedy oraz N k= N k= a k) = a k) = N ak) k= N ak). k= Przykład. Rozważmy ciąg geometryczy {q }, gdzie q > 0. Z ierówości Beroulliego dla każdego N mamy ) Załóżmy, że q >. Wtedy q = + q ) ) + q ) > q ). q > q ) i wobec tego q =. 2) Załóżmy, że 0 < q <. Wtedy ) ) > q q, a więc i wobec tego Jeśli a > 0, to a. q < q q, q = 0. Dowód. Niech a. Wtedy a mocy odwrotej ierówości Beroulliego a / = + a )) / + a, więc asza teza wyika z lematu o trzech ciągach. Jeśli zaś 0 < a <, to a / = /a) /, gdzie /a >, i teza wyika z pierwszej części dowodu. Czasem ze zbieżości pewego ciągu, moża wioskować o zbieżości, a awet o wartości graicy iego ciągu. Rozważmy trzy takie sytuacje.

7 Dla ciągu zbieżego ciąg kolejych średich arytmetyczych jego początkowych wyrazów jest zbieży do tej samej graicy, tz. a a A = a + a a a. Dowód. Niech ε > 0 i iech a a < ε dla N. Dla > N mamy A a = a k a) = a k a) + a k a), więc k= k= A a C N + ε 2ε k=n+ dla > N i > C N /ε, gdzie C = N k= a k a Niech {a } będzie ciągiem o wyrazach dodatich. Wówczas a + a a implikuje a a. Dowód. Niech ε > 0 i iech a a a < ε dla N. Dla > N więc i stąd gdzie a = a a a a 2... a N+ a N a N, c N a ε) < a < C N a + e), cn a ε) < a < C N a + e), c N = a N a ε) N, C a N N = a + ε) N. Jeśli jest tak duże by c N > ε i C N < + ε, to skąd już atychmiast wyika asza teza Wiosek. Mamy ε)a + ε) < a < + ε)a + ε), =. Dowód. Rzeczywiście, jeśli a =, to a + /a = + / i teza wyika z 2.28) Niech będzie day ciąg a 0, taki że a = a. Jeśli a <, to a 0. Jeśli zaś a >, to a. Dowód. Załóżmy, że a <. Niech a < q <. Wtedy a < q dla dostateczie dużych, a więc 0 a < q i stąd a 0. Jeśli atomiast a > 0, iech < q < a. Wtedy a > q dla dostateczie dużych i wobec tego a > q, skąd a.

8 8 Niech będą dae dwa ciągi rozbieże do ieskończoości. Mówimy, że ciąg {a } jest szybciej rozbieży iż ciąg {b } i piszemy a b, jeśli a =. b 2.3. Przykład. Rozważmy ciąg geometryczy {q } =, gdzie q >, oraz ciąg potęgowy { N } =, gdzie i N N. Wiemy już, że obydwa ciągi są rozbieże do. Niech Mamy więc także a stąd a + a Zatem N q, gdy q >. a = N q. = + )N q N q + = + ) N q q <, a <, N q = Przykład. Porówajmy teraz ciąg geometryczy {q } =, gdzie q >, z rówież rozbieżym do ciągiem {!} =. Niech Jak łatwo widać, a więc czyli q!. a = q!. a + a = q 0, q! = 0, Z aksjomatu ciągłości wyika astępujące podstawowe dla teorii zbieżości ciągów twierdzeie Twierdzeie. Każdy rosący i ograiczoy z góry ciąg {a } liczb rzeczywistych jest zbieży. Dowód. Niech a = sup N a. Pokażemy, że a = a. Rzeczywiście, dla dowolego ε > 0 istieje N N, takie że a N > a ε. Wobec mootoiczości ciągu co kończy dowód. a ε < a a, N, Wystarczy zastosować to twierdzeie do ciągu o wyrazach przeciwych, by otrzymać Wiosek. Każdy malejący i ograiczoy z dołu ciąg liczb rzeczywistych jest zbieży. Jak pokazaliśmy wcześiej, ciąg o wyrazach e = + ) jest ściśle rosący i ograiczoy, więc, a mocy aksjomatu ciągłości, zbieży. Wartość jego graicy azywamy liczbą e.

9 Twierdzeie. Zachodzi astępująca rówość: e = k!. Dowód. Oczywiście ciąg a = jest ściśle rosący i, jak wiemy, ograiczoy przez 3, a więc zbieży. Ozaczmy jego graicę przez a R. Wiemy już także, że e = + ) k! = a, N, k=2 więc a mocy Wiosku 2. jest e a. Pozostaje dowieść ierówości przeciwej. W tym celu ustalmy liczbę m N. Wtedy dla dowolego > m 2 e e = + ) ) = k k )... k + ) = k! k = 2 + ) 2 )... k ) 2.36) k! k=2 m > 2 + ) 2 )... k ) k! 2 + m ) m m k=2 k=2 k!. Przechodząc po prawej stroie do ieskończoości z, otrzymujemy m m e 2 + k! = k! = a m, k! a stąd, jeszcze raz korzystając z Wiosku 2., dostajemy e a Przykład. Następująca ierówość określa, jak dokładie koleje sumy częściowe a przybliżają liczbę e: 2.38) 0 < e k! <!, N. Aby ją uzasadić, zauważmy, że dla dowolego N m e k! = m k! k! = m = m m m k=+ k! ) k! k!,

10 0 o ile m >. Oszacujmy wyrazy tego ciągu. Mamy m k! = + )! + + 2)! m! k=+ = + )! + ) ) + 3) ) + 3)... m + )! + ) ) ) m = + )! +2) m +2 + )! = + 2)! + ) 2 =! <!. Poieważ prawa stroa ostatiej słabej ierówości ie zależy od m, więc rówież m m k! <!. k= waże ierówości). Dla każdej liczby aturalej jest +. + ) < e! < + ) Dowód. Mamy e > 2 + ) 2 + ) ) + ) = 2 3! skąd atychmiast wyika pierwsza ierówość. Podobie e < a stąd druga ierówość Wiosek. Mamy ) ) ! = /e. ) + + ) + =,! 2.4. Przykład. Pierwiastek z dowolej liczby aturalej jest albo liczbą aturalą albo iewymierą. Załóżmy bowiem, że dla dowolej liczby aturalej = p q, gdzie p N, q Z \ {0} oraz p i q są względie pierwsze. Podosząc obie stroy do kwadratu, otrzymujemy rówość rówoważą ) 2 p =, q a stąd q 2 = p 2. Gdyby liczba q miała jakiś dzielik pierwszy, to musiałby o dzielić rówież prawą stroę, czyli liczbę p, a tak być ie może bo p i q są względie pierwsze), zatem q ie ma dzielików pierwszych, czyli q =, co ozacza, że = p N. Te pomysłowy dowód zawdzięczam prof. Tadeuszowi Pytlikowi.,

11 2.42. Liczba e jest iewymiera. Dowód. Załóżmy ie wprost, że e = p q, gdzie p, q N są względie pierwsze. Dla = q ierówość 2.38) przyjmuje wtedy postać 0 < p q q Możąc obie stroy przez q!, otrzymujemy 0 < p q )! q! k! < q q!. q k! <. q Aby uzyskać sprzeczość, wystarczy zauważyć, że liczba q q! α = p q )! 0, ) k! jest aturala Aproksymacja pierwiastka). Niech będzie daa liczba c > 0. Niech 0 < a < c. Defiiujemy ciąg x 0 = a, x + = x + c ), N {0}. 2 x Ciąg {x } = jest ciągiem malejącym zbieżym do c, a poadto dla każdego N. Dowód. Zauważmy, że x + = 2 x c < x2 c 2a x + c ) c x = c, x x więc {x } N jest ograiczoy z dołu przez c dla. Mamy też x + = x + c ) { c } max x, = x, 2 x x więc {x } N jest malejący. Jako ograiczoy od dołu i malejący asz ciąg ma graicę x c. Aby ją obliczyć, przejdźmy do graicy z we wzorze defiiującym ciąg, otrzymując skąd a poieważ x > 0, więc Oszacowaie błędu wyika stąd, że x = 2 x + c x x = c x, x = c. ), 0 < x c = x2 c x + c < x2 c 2a.

12 2 Obliczmy dla ilustracji przybliżeia 2, jakie moża otrzymać tym sposobem. Przyjmując a =, widzimy, że x = 3 2 =.5, x 2 = , x 3 = Zbadajmy jeszcze, jak błąd popełiamy przy tych przybliżeiach. Mamy E 2 = x 2 2 < oraz E 3 = x 3 2 < Przykład. Rozważmy ciąg o wyrazach ) k+ a = = k )+. k= Ciąg te oczywiście ie jest mootoiczy. Mimo to wywioskujemy jego zbieżość z aksjomatu ciągłości. W tym celu przyjrzyjmy się ciągom oraz Zauważmy, że oraz b = a 2 c = a 2. b + b = a 2+ a 2 = b = 2 + ) ) ) < 0 2 ) > 0, gdyż każdy ujęty w awias składik sumy jest dodati. Zatem ciąg {b }, jako malejący i ograiczoy od dołu, jest zbieży a mocy akjomatu ciągłości). Ozaczmy jego graicę przez b R. Podobie dla ciągu wyrazów parzystych ciągu {a } mamy c + c = a 2+2 a 2 = > 0 oraz c = + + ) ) ) + ) < 2 gdyż każdy ujęty w awias składik sumy jest ujemy), więc ciąg {c } jest zbieży, jako rosący i ograiczoy z góry. Ozaczmy jego graicę przez c R. Zauważmy poadto, że c b = 2 więc przechodząc do graicy z, dostajemy b = c. Pokazaliśmy w te sposób, że ciągi {b } i {c } są zbieże do tej samej graicy, zatem w każdym przedziale otwartym zawierającym b = c zajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu {a } o umerach parzystych i prawie wszystkie o umerach ieparzystych, czyli

13 3 prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, co ozacza, że ciąg {a } N późiej zobaczymy, że jego graica jest rówa log 2. jest zbieży. Trochę Kolejym ważym pojęciem iiejszego wykładu jest pojęcie puktu skupieia ciągu i ściśle związae z im pojęcie podciągu. Niech będzie day ciąg {a } N. Niech ciąg { k } k N o wyrazach aturalych będzie ściśle rosący. Wtedy ciąg o wyrazach azywamy podciągiem ciągu {a }. b k = a k Twierdzeie. Każdy podciąg ciągu zbieżego jest zbieży do tej samej graicy. Udowodieie tego faktu pozostawiamy Czytelikowi Twierdzeie Bolzao-Weierstrass). Każdy ograiczoy ciąg liczb rzeczywistych ma podciąg zbieży. Dowód. Niech {x } = [a, b ]. Podzielmy przedział [a, b ] a pół i wybierzmy tę połowę, gdzie jest ieskończeie wiele wyrazów ciągu {x }. Ozaczmy te przedział przez [a, b ]. Niech [a 2, b 2 ] będzie tą połową przedziału [a, b ], która zawiera ieskończeie wiele wyrazów {x }. Aalogiczie kostruujemy zstępujący ciąg przedziałów, takich że a b = 2 a b, z których każdy zawiera ieskończeie wiele wyrazów ciągu {x }. Zauważmy, że wówczas ciąg {a } jest rosący i ograiczoy z góry przez b, więc zbieży do pewego α R, a ciąg {b }, jako malejący i ograiczoy z dołu przez a, jest zbieży do pewego β R. Poadto b a = b a 2 0, więc 2.47) α = β. Wybierzmy teraz podciąg {x k } k= ciągu {x } w astępujący sposób: Niech x [a, b ]. Przypuśćmy, że wybraliśmy już tak, że x [a, b ], x 2 [a 2, b 2 ],..., x k [a k, b k ] < 2 <... < k. Jako x k+ wybieramy taki wyraz z przedziału [a k+, b k+ ], aby k+ > k. Moża to zrobić, bo w przedziale zajduje się ieskończeie wiele wyrazów ciągu {x }. Skoro a k x k b k, k N, więc a mocy 2.47) i twierdzeia o trzech ciągach rówież co kończy dowód. x k α = β, Mówimy, że liczba ξ jest puktem skupieia ciągu {x } jeśli w każdym przedziale otwartym zawierającym ξ zajduje się ieskończeie wiele wyrazów ciągu {x } Liczba ξ jest puktem skupieia ciągu {x } wtedy tylko wtedy, gdy ciąg {x } ma podciąg zbieży do ξ.

14 Przykład. Jeśli przez A ozaczymy zbiór puktów skupieia ciągu, to w przypadku ciągu stałego x = c jest A = {c}; w przypadku ciągu x = ) jest A = {, }; w przypadku ciągu zbieżego do graicy a jest A = {a} Przykład. Niech {x } będzie ciągiem wszystkich liczb wymierych odcika [0, ], a ξ dowolą liczbą z tego odcika. Wybierzmy teraz podciąg {x k } k N ciągu {x } tak, aby k N x k ξ k, ξ + ). k Możemy oczywiście wybrać taki podciąg, gdyż między dwiema różymi liczbami rzeczywistymi zajduje się ieskończeie wiele liczb wymierych. Tak wybray podciąg jest zbieży do ξ, co ozacza, że zbiorem puktów skupieia ciągu {x } jest cały odciek [0, ] Twierdzeie. Jeżeli wszystkie podciągi zbieże ciągu ograiczoego są zbieże do tej samej graicy, to sam ciąg jest rówież zbieży do tej graicy. Rówoważie, jeżeli ciąg ograiczoy jest rozbieży, to ma przyajmiej dwa podciągi zbieże do różych graic. Dowód. Niech {x } [a, b] będzie ciągiem rozbieżym. Z twierdzeia Bolzao-Weierstrassa istieje podciąg k α. x k Z rozbieżości ciągu {x } istieje ε > 0 taki, że poza przedziałem α ε, α+ε ) zajduje się ieskończeie wiele wyrazów {x }, które oczywiście adal ależą do przedziału [a, b], więc spośród ich rówież możemy wybrać podciąg zbieży, tz. gdzie a stąd β α ε, więc α β. x mk k β, x mk α ε, k N, Wiosek. Ciąg ograiczoy jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego puktów skupieia jest jedoelemetowy. Okazuje się, że moża mówić o zbieżości w oderwaiu od pojęcia graicy. Służy temu pojęcie ciągu Cauchy ego, które jak zobaczymy za chwilę, jest w istocie rówoważe pojęciu ciągu zbieżego. Mówimy, że ciąg liczbowy {a } N jest ciągiem Cauchy ego lub ciągiem fudametalym), jeśli ε > 0 N N N a a N < ε. Zauważmy, że waruek Cauchy ego moża rówoważie wysłowić tak: ε > 0 N N, m N a a m < ε. Jest jase, że te drugi waruek jest siliejszy od pierwszego. Czytelik zechce sam sprawdzić, że są oe w istocie rówoważe Twierdzeie. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy ego. Dowód. ) Weźmy ciąg zbieży {a }. Niech ε > 0. Ze zbieżości ciągu wyika, że istieje takie N N, że dla dowolych N a a < ε,

15 5 więc a a N < 2ε. ) Weźmy ciąg Cauchy ego {a }. Wtedy istieje takie N N, że dla każdego N czyli a a N < a N < a < a N +. Poieważ poza tym przedziałem jest tylko skończoa liczba wyrazów, więc cały ciąg {a } jest ograiczoy. Zgodie z twierdzeiem Bolzao-Weierstrassa istieje podciąg {a k } k N ciągu {a } zbieży do pewego α R. Pokażemy, że cały ciąg {a } jest zbieży do α. W tym celu ustalmy dowolie liczbę ε > 0. Poieważ {a } jest fudametaly, więc istieje N N, takie że a a m < ε, m, N. Natomiast ze zbieżości podciągu {a k } do liczby α wyika, że a k α < ε, k K, dla pewego K N. Poieważ { k } jest rosący i rozbieży do, więc zwiększając ewetualie K możemy przyjąć, że także k N, k K. Wtedy dla każdego k K i każdego N mamy a stąd co ozacza, że a = α. Dla ciągu {a } zdefiiujmy owy ciąg a k α < ε, a k a < ε, a α a a k + a k α < 2ε, a = a + a, który będziemy azywać ciągiem przyrostów albo pochodą ciągu {a } Twierdzeie Stolz). Niech będą dae dwa ciągi {a } i {b }, przy czym ciąg {b } jest ściśle rosący i rozbieży do. Wtedy zachodzi astępująca implikacja: a a b = g R = g. b Dowód. Bez straty ogólości możemy przyjąć, że a = b = 0 oraz b > 0 dla 2. Załóżmy też a razie, że g = 0. Niech ε > 0. Z założeia istieje takie N N, że 2.55) N a b ε. Skoro ciąg {b } jest ściśle rosący, to ciąg {b } ma wszystkie wyrazy dodatie i a + = a k+ a k )) b + b + b + k= C N b + + k= a k = b + ε b + k=n + N k= b k 2ε a k + b + k=n + a k

16 6 dla wszystkich N 2, gdzie N N 2 > N jest dobrae tak, aby a b C N ε, N 2, N C N = a k jest stałą. Istieie takiego N 2 wyika oczywiście z rozbieżości do ciągu {b }. Tym samym dowiedliśmy twierdzeia w przypadku, gdy g = 0. Dla dowolego g R iech α = a b g. k= Wtedy, jak łatwo zauważyć α = a gb, więc ciągi {α } i {b } spełiają założeia twierdzeia z g = 0 i a mocy pierwszej części dowodu α b 0, skąd atychmiast I tak dowód został zakończoy. a b = α + gb b g Przykład. Stosując twierdzeie Stolza, pokażemy że dla dowolego α > 0 W tym celu przyjmijmy ozaczeia: oraz x = + 2α + 3 α α α+ a = α + 2 α + 3 α α b = α+. α +. Ciąg {b } jest oczywiście ściśle rosący i rozbieży do. Zauważmy, że a b = + ) α + ) α+ α+, gdzie + ) α+ α+ = + ) α+ ) α+ ) + ) α α + ) + oraz + ) α+ α+ = α+ + ) α+ ) α α + ). Szacując skorzystaliśmy dwukrotie z ierówości Beroulliego. Z otrzymaych ierówości wyika, że α + a + /)α b, α + a stąd a mocy lematu o trzech ciągach a b co po zastosowaiu twierdzeia Stolza daje x = a b α +, α +.

17 Przykład. Rozważmy ciąg o wyrazach x = ) α, gdzie α > 0. Pokażemy, że x = 0. Istotie, jeśli przyjmiemy ozaczeia a = , oraz b = α, to oczywiście ciąg {b } jest ściśle rosący i rozbieży do oraz 0 < a b + = + ) α α = + ) α+ α + ) α + )α 0, więc a mocy twierdzeia Stolza x 0. Szacując skorzystaliśmy z odwrotej ierówości Beroulliego + ) α α + obowiązującej dla 0 < α, bo też i do takich α moża się tu ograiczyć.

18 8 Zadaia. Ciąg a ) jest ściśle rosący. Pokaż, że ciąg A = k= a k jest też ściśle rosący. 2. Niech ξ będzie liczbą iewymierą. Pokaż, że ciąg a = mξ) jest różowartościowy. 3. Zajdź blok B 0 w przekątiowej umeracji liczb wymierych dodatich, pamiętając o odrzuceiu wszystkich wyrazów występujących już wcześiej. 4. Zajdź wyraz w 7 w przekątiowym ciągu liczb wymierych dodatich. 5. Udowodij, że k= k = +) Udowodij, że k= k2 = +)2+) Uzasadij, że dla każdego N k= k 2 < Popraw wyik poprzediego zadaia, tak by uzyskać ierówość k 2 < k= 9. Wykaż, że ciąg e = ) jest malejący, atomiast ciąg f = ) ie jest. 0. Korzystając z ierówości Beroulli ego, sprawdź, że ciąg u = + )+ jest malejący, a ciąg v = ) rosący.. Niech a R. Sprawdź, że waruki ε > 0 a < ε oraz N a < / są rówoważe. Korzystając z tego zmodyfikuj odpowiedio defiicję graicy ciągu. 2. Dae są liczby x, y > 0 i liczba wymiera 0 < u < x + y. Wykaż, że istieją liczby wymiere 0 < v < x i 0 < w < y, takie że u = v + w. 3. Udowodij ierówości b + )b + < b/ < + b, b > 0, >. 4. Udowodij ierówość 2 +. W tym celu podieś obie stroy do -tej potęgi i skorzystaj ze wzoru Newtoa. 5. Wprost z defiicji wykaż, że = 6 7, = 0, ) 2 = Poumeruj metodą przekątiową wszystkie liczby wymiere z odcika [0, ]. Otrzymay ciąg jest ograiczoy, ale rozbieży. Uzasadij. 7. Pokaż, że dla każdego N jest + )2 < 2 2k k!. 8. Udowodij ierówości + ), ).!! < e Niech < x < będzie liczbą rzeczywistą o zapisie dziesiętym 0.c c 2 c 3..., w którym ie występuje okres 9). Sprawdź, że c = [ 0 m0 ) ]. Kiedy ciąg {c } jest zbieży?

19 9 20. Niech a > 0 dla N. Wykaż, że a 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a. 2. Niech ϕ będzie dowolym wielomiaem. Wykaż, że ϕ) 2 0, gdy. 22. Ciąg {a } jest ograiczoy, a {b } zbieży do 0. Pokaż, że a b Wiedząc, że a a, zajdź graice ciągów b = a + a, c = a + 2a +, d = a, e = a a +, f = max{a, a + }. 24. Wiemy, że a a. Czy ciąg b = [a ] ma graicę? 25. Wykaż, że kk + ), + 0. k= Pierwszy ciąg jest rosący, a drugi malejący. Uzasadij. 26. Day jest ciąg a a. Budujemy owy ciąg b = k= a k+ a k ). Wykaż, że b b = a a. Czy ie przeczy to tezie, że pierwszy wyraz ciągu ie może mieć wpływu a wartość graicy? 27. Wykaż, że Wykaż, że 0 < 3000) e < Oblicz graice ciągów a = 2 + 5, b = , c = ). 30. Zbadaj zbieżość i graicę ciągu α q, gdzie q > 0, α R. 3. Uzasadij ierówość + > + ), Pokaż, że ciąg a = / jest ściśle mootoiczy dla Udowodij, że 2!. 34. Wiedząc, że 0 < a < b, oblicz graicę ciągu x = a + 3b 5a + 7b. 35. Pokaż, że ciągi / i! / są mootoicze. 36. Niech a > i iech a = [a ]. Oblicz a i a. 37. Zajdź liczbę wymierą w przedziale 2 7 0, e). 38. Który z podaych ciągów szybciej dąży do ieskończoości: a) a =!, b = ; b) a = 3, b = 2 4 ; c) a =! 4, b = 2? 39. Niech x = 2 i x + = 2 x + x ). Zajdź graicę tego ciągu. 40. Niech p = 3 i p + = p+9 p) 0. Zajdź graicę tego ciągu. 4. Zajdź kresy zbiorów A = { : N}, B = { m + 4 m m : m, N}, C = { m + : m Z, N}. W każdym przypadku wskaż ciąg elemetów zbioru zbieży do daego kresu. m 42. Oblicz sup m N if N m+ oraz if m N sup m N m Wykaż, że mi 0 k k! k)! = [ 2 ]! [ 2 ])! i max 0 k k! k)! =!. 44. Udowodij, że dla każdego q > 0 q [ 2 ]! = 0.

20 Oblicz graice + +)!! i +! )!. 46. Wiadomo, że a a i b b. Wykaż, że a 0 b + a b + + a b 0 = ab. 47. Zajdź przybliżeie 3, przyjmując x 0 = 2 i obliczając x 3. Oszacuj też błąd przybliżeia. 48. Zajdź przybliżeie 5, przyjmując x 0 = 3 i obliczając x 2. Oszacuj też błąd przybliżeia. 49. Niech a = ) k +. Naśladując rozumowaie z wykładu, pokaż, że te ciąg k jest zbieży. 50. Niech c > 0. Pokaż, że ciąg a = c, a + = c + a jest zbieży i zajdź jego graicę. 5. Niech będzie day zstępujący ciąg przedziałów domkiętych I + I R. Udowodij, że przekrój = I jest iepusty. Pokaż a przykładzie, że tak być ie musi dla przedziałów półotwartych, a tym bardziej otwartych. p 52. Wykaż, że jeśli p, q N i q = ξ jest liczbą iewymierą, to q =. 53. Wykaż, że ciąg mootoiczy, który ma podciąg ograiczoy, sam jest ograiczoy. 54. Ile puktów skupieia może mieć ciąg mootoiczy? 55. Zbuduj ciąg, którego zbiorem puktów skupieia jest E = { : N}. [W tym celu elemety zbioru { + m :, m N} ustaw w ciąg metodą tablicową.] 56. Ciąg a > 0 spełia waruek rekurecyjy a + = +a. Wykaż, że a dąży do złotej liczby Zajdź wszystkie pukty skupieia ciągu u = m p q ), gdzie p, q N są względie pierwsze. 58. Pokaż, że z każdego ciągu Cauchy ego {x } moża wybrać podciąg {x k }, taki że x k+ x k < 2 k dla k N. 59. Zajdź graicę ciągu u + = 2 u, gdzie /2 < u <. 60. Wiadomo, że a + a a. Pokaż, że a a. 6. Niech a a i b b. Wykaż, że wtedy maxa, b ) maxa, b). 62. Udowodij, że jeśli 0 < a a, to b = a a 2... a a. Jeśli atomiast a, to b. 63. Udowodij, że graica ciągu z = 2k)! jest liczbą iewymierą. 64. Niech a a i iech N k. Udowodij, że b k = a k a. Czy {b k } jest podciągiem {a }? 65. Zajdź zbiór A puktów skupieia ciągów a = ), b = 2 ) + 3, c = π + si + 3, d = ). + ) 66. Day jest ułamek ieskracaly x = p/q 0, ). Zajdź wszystkie pukty skupieia ciągu a = mx). 67. Day jest ciąg ograiczoy {a }. Budujemy owy ciąg b = sup k a k. Sprawdź, że ciąg {b } jest malejący i ograiczoy od dołu.

21 2 68. Pokaż, że jeśli u + u < 2 dla N, to ciąg {u } jest fudametaly. 69. Nie korzystając z aksjomatu ciągłości, wykaż, że ograiczoy ciąg mootoiczy jest fudametaly. 70. Wiedząc, że ciąg {a } jest postępem arytmetyczym o wyrazach dodatich i różicy r > 0, oblicz graice a, a + a a 2, 7. Wiedząc, że ciąg {a } jest postępem arytmetyczym o wyrazach dodatich i różicy r > 0, pokaż, że a a 2... a ) a + a a = 2 e. 72. Wykaż, że ciąg + )2 a = e jest malejący, a więc zbieży. Jego graica wyosi / e, ale to udowodimy późiej.)