ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

Transkrypt

1 . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek: a) < Re ; b) i > 3; c) + 3i = 3 i. 3. Predstawić w postaci trygonometrycnej: a) i; b) 4 4 3i. 4. Oblicyć: a) ( i 3) 4 ( +i) 5 ; b) ; c) 4 ; d) i. 5. Pokaać, że: a) = ; b) + = Re ; c) + ; d). FUNKCJE ZESPOLONE. Wyraić funkcję sin x pre funkcje sin x, cos x. 7. Pokaać, że: a) sin x = i +, cos x =, gdie = cos x + i sin x; b) sin = ei e i, cos = ei +e i ; i c) sin, cos można predstawić w postaci f() = u(x, y) + iv(x, y), gdie = x + iy.

2 8. Pokaać, że dla a, b, C: a) a+b max( a, b ); b) jest licbą urojoną, gdy = i Im 0, licbą recywistą, gdy + Im = 0; c) gdy R, to a = dla a ; ā d) a b = a Re (āb) + b. 9. Rowiąać równanie: a) sin = 0; b) cos = 0; c) e + = 3 i; d) sin = i. 0. Pokaać, że równania sin = w, cos = w mają mają dla każdej wartości w nieskońcenie wiele rowiąań.. Oblicyć promień bieżności seregu: a) + n=0 in+ n ; b) + n=0 nn 3n+ ; c) + n=0 ( ) n (n+)! n+ ; d) + n=0 (n + an ) n+, a > 0; e) + n! n=0 n. n n. Pokaać, że sereg Lamberta n= <, a robieżny, gdy >. n n jest bewględnie bieżny, gdy 3. Podać interpretację geometrycną prekstałceń f : C C danych worem (a, b C): a) f() = b; b) f() = a; c) f() = a + b; d) f() = n ; e) f() = a n ; f) f() =, 0; g) f() = e ; h) f() = log.

3 POCHODNA FUNKCJI ZESPOLONEJ. FUNKCJE HOLOMORFICZNE 4. Pokaać, że funkcja f() =, C, ma pochodną espoloną tylko w = Pokaać, że ilora różnicowy f() f(0) funkcji f(x + iy) = xy (x+iy) x +y 4, = x + iy C \ {0}, f(0) = 0, dąży do określonej granicy, gdy 0 po dowolnej prostej. Pokaać, że funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0.. Sprawdić, cy funkcja f : C C jest holomorficna: a) f(x + iy) = (x y ) + ixy b) f(x + iy) = x iy, x + iy 0 x +y x +y c) f() = d) f() = Re e) f() = sin dla 0, f(0) = 0 7. Cy gałąź logarytmu dla arg() ( π; π) jest funkcją holomorficną? 8. Sprawdić, cy funkcja f(x + iy) = xy spełnia w punkcie 0 równania Cauchy ego Riemanna. Cy f posiada pochodną w punkcie 0? Cy jest funkcją holomorficną? 9. Wykaać, że jeśli ( w punkcie 0 = x 0 + ( iy 0 istnieje skońcona granica a) lim 0 Re f() f(0 ) 0 ), b) lim 0 Im f() f(0 ) 0 ), to w punkcie tym istnieją pochodne cąstkowe a) u, v x y u ora x = v u, b) v y y x ora u y x 0. Wykaać, że funkcja holomorficna f : D R (o wartościach recywistych), gdie D C jest spójny, jest funkcją stałą.. Pokaać, że jeżeli f(x + iy) = (ax + by) + i(cx + dy), a, b, c, d R, jest funkcją holomorficną, to istnieje A C takie, że f() = A.. Pokaać, że jeżeli f = u + iv jest funkcją holomorficną ora f ( 0 ) 0, 0 = x 0 + iy 0, to (u,v) (x,y) (x 0, y 0 ) > Pokaać, że jeżeli f = u + iv ma w punkcie 0 pochodną, to funkcja g = u iv ma pochodną g ( 0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy f ( 0 ) = Pokaać, że jeżeli f = u + iv jest funkcją holomorficną ora u, v są klasy C, to u, v są funkcjami harmonicnymi (tn. u = u + u = 0 x y i v = v + v = 0). x y 5. Pokaać, że jeżeli funkcja u klasy C w obsare jednospójnym jest funkcją harmonicną, to istnieje funkcja v taka, że f = u + iv jest holomorficna. 3

4 . Pry danej funkcji u(x, y) naleźć taką funkcję v(x, y), żeby funkcja f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) była holomorficna: a) u(x, y) = xy, b) u(x, y) = e y cos x. 7. Oblicyć całkę funkcji a) f(x + iy) = x + iy ; b) f() = CAŁKI wdłuż dróg C i C, gdie C jest odcinkiem łącącym punkty = 0 i = + i, a C jest łamaną łącącą kolejno punkty = 0, =, = + i. Cy funkcja f jest holomorficna? 8. Oblicyć całkę po łuku paraboli y = x od do funkcji f() = Im. 9. Oblicyć całkę a) po odcinku prostoliniowym od i do i; b) po półokręgu =, Re > 0 funkcji. 30. Pokaać, że: { 0, n n d = = πi, n = dla n Z. 3. Oblicyć całkę wdłuż drogi funkcji a) f() = sin, b) f() = n, n, n Z. i r M + * q K 3. Pokaać, że funkcja f() =, 0, nie ma pierwotnej. 33. Oblicyć całki funkcji f() =, 0, po: a) łuku dodatnio skierowanego okręgu o promieniu r od kąta φ do kąta φ, φ > φ ; b) odcinku na półprostej nachylonej do dodatniej półosi recywistej pod kątem φ, od punktu oddalonego od 0 o r, do punktu oddalonego od 0 o r, r > r. 4

5 34. Oblicyć całki funkcji f() =, 0, po adanych drogach: a) b) 4 I 4? q r q U π/4 4? > r I j W y : K U r 35. Oblicyć indeks krywej wględem punktów k. 3. a) Korystając nierówności sin α α dla 0 α π ora π f() d β α f((t)) (t) dt pokaać, że C R e i d π ( 4R e R ), gdie C R jest łukiem Re it dla t [0; π]. 4 b) Wiedąc, że e x dx = 0 π oblicyć całki Fresnela: I = cos x dx, 0 I = sin x dx. 0 Wsk. Policyć całkę f() = e i wdłuż bregu wycinka koła o środku w 0 i promieniu R o kącie π Oblicyć całkę d wdłuż dodatnio skierowanego konturu amkniętego C, który jest bregiem C +4 obsaru: a) awierającego punkt i i nie awierającego punktu i; b) awierającego punkt i i nie awierającego punktu i; c) awierającego punkt i punkt i; d) nie awierającego punktu i i punktu i. 38. Oblicyć całki wdłuż drogi funkcji: a) sin ; b) cos ; 5

6 c) cos + ; d) e + ; e). ( ) cos 0 O k s N? 39. Oblicyć całkę sin d. ( π 4 ) = k ) π/4 Y q * R 3 SZEREG TAYLORA 40. Znaleźć sereg Taylora dla f() = sin o środku w punkcie Znaleźć sereg Taylora dla funkcji f() o środku w punkcie 0 :

7 a) f() = +, 0 = 4; b) f() =, 0 = ; c) f() = +, 0 = 0; d) f() = +3, 0 = i; e) f() = , 0 =. 4. Pokaać, że jeśli funkcje f, g na obsare spójnym D są analitycne, to f()g() 0 f() 0 lub g() 0. ZERA FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH 43. Określić krotność era 0 = 0 funkcji f: a) 3 e 4 ; b) 4 sin 3 ; c) sin ; d) sin 5 3 ; e) cos 4 ; f) cos 4 ; g) sin 5 tg 3 3 ; h) (e 3 3 ) sin Znaleźć krotność q era 0 danej funkcji, jeśli 0 jest erem k krotnym funkcji f i erem l krotnym funkcji g, f, g są funkcjami analitycnymi w otoceniu punktu 0 : a) f ()g (); b) f() + 7g(). 45. Pokaać, że jeśli f() jest analitycna w punkcie 0, to punkt ten jest erem k krotnym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f (r) ( 0 ) = 0 dla r = 0,,..., k i f (k) ( 0 ) Zbadać, cy istnieje funkcja analitycna w otoceniu punktu 0, która: a) w punktach,, 3, 4, 5,... pryjmuje wartości, 4 5, 9 0, 7, 5,...; b) w punktach, 3, 4, 5,... pryjmuje wartości, 3, 3, 5, 5,...; c) dla każdego n N spełnia równanie f( n ) = f( n ) = n ; d) dla każdego n N spełnia równanie f( n ) = f( n ) = n Niech funkcja f : D C będie holomorficna w obsare D. Pokaać, że jeśli funkcja ta nie jest stała i jest różna od 0 w każdym punkcie obsaru D, to jej moduł nie osiąga minimum w żadnym punkcie wewnętrnym obsaru D. 7

8 SZEREGI LAURENTA 48. Wynacyć obsar, w którym bieżny jest sereg Laurenta i naleźć jego sumę. n= 4 n ( ) n + + n=0 ( ) n ( ) n 49. Wynacyć maksymalne pierścienie o środku w 0 = 3, w których funkcja f() = rowija się w sereg Laurenta. ( 8+5)( +) 50. W odpowiednich obsarach rowinąć funkcję f w sereg Laurenta w punkcie 0 : a) f() =, 0 = 0; b) f() = 5 9 ( 4) ( 5)( ), 0 = 4; c) f() = ( ) (+), 0 =. 5. Określić typ punktu osobliwego = 0 dla funkcji: a) sin ; b) e ; c) e 3 ; d) 5 sin ; e) ctg Wskaać punkty osobliwe danej funkcji i określić ich typ: a) ( ) 5 ; b) e 8 ; c) sin7 3 ; d) cos 3. RESIDUA 53. Oblicyć residuum funkcji f() w punkcie 0 : a) f() = ++) 3, 0 = + i 3 ; b) f() = ctg, 0 = 0; c) f() = ( +4) 3, 0 = i; d) f() = ( + ) sin, 0 = ; e) f() = e, 0 = 0. 8

9 54. Korystając twierdenia o residuach oblicyć całki: a) C b) C c) C d, C jest okręgiem = 3 orientowanym dodatnio; ( +4) e i π d, C jest okręgiem = 4 orientowanym ujemnie; sin 55. Oblicyć całkę: a) π 0 b) π 0 c) + d) + sin t dt; 5+3 cos t dt ; 3+ sin t d, C jest okręgiem = orientowanym dodatnio. t t+ dt; (t +)(t 8t+5) dt. (t +t+) 3 5. Oblicyć sumę seregu: a) + n= b) + n= ; n + ; n +n+ c) + ( ) n n=, a C \ iz. n +a 9