LICZBY ZESPOLONE. = 0, wie c np. i v 3 = q

Transkrypt

1 LICZBY ZESPOLONE W tym rodiale ajmiemy sie omówieiem defiicji i iektórych w lasości licb espoloych. Zaciemy od uwagi o charaktere historycym. W XVI w. aucoo sie rowia ywać rówaia treciego stopia. Każde rówaie postaci ax 3 + bx + cx + d = 0, gdie a 0, moża asta pić rówaiem postaci y 3 +py +q = 0: ależy podielić rówaie pre licbe a, aste pie wprowadić miea y = x + b 3a.8.1 Niech y = u + v. Mamy wtedy 0 = y 3 + py + q = =u 3 + v 3 + q + p + 3uv)u + v). Dobieremy licby u i v tak, by u 3 + v 3 = q i uv = p 3, cyli u 3 v 3 = p3 7. Licby u3,v 3 maja wie c być pierwiastkami rówaia kwadratowego t + qt p3 7 = 0, wie c p. u 3 = q + p q 4 i v 3 = q Wtedy y = 3 q + p q p q 4. q p q 4. Otrymaliśmy wór a pierwiastek rówaia treciego stopia. Pokażemy atomiast, że stosowaie tego woru może być k lopotliwe. Niech p = 7, q = 6, rowia ujemy wie c rówaie x 3 7x 6 = 0. Mamy ) ) = = < 0. p q 4 = 7 3 Tera tej licby ależy wycia ga ć pierwiastek kwadratowy. Te pierwiastek ie jest licba recywista! Moża pomyśleć, że to dlatego, że ase rówaie ie ma rowia ań recywistych. Tak jedak ie jest, bo 1) 3 7 1) 6 = 0, ) 3 7 ) 6 = 0 i = 0, wie c ase rówaie ma try pierwiastki recywiste! Cytelik echce sprawdić, że jeśli y 1,y,y 3 sa pierwiastkami rówaia y 3 + py + q = 0, cyli gdy y 3 + py + q = =y y 1 )y y )y y 3 ), to achodi rówość: 8.1 Podobie poste powaliśmy chca c rowia ać rówaie kwadratowe, tam owa miea by lo x+ b a. Podstawieie jest skutece, bo y3 =x+ b 3a )3 = =x 3 + b a x + b b3 3a x+ 7a3, wie c te sk ladik awiera dwa pierwse c loy lewej stroy rówaia. 500

2 1 108 y 1 y ) y y 3 ) y 3 y 1 ) = p3 7 + q 4. Wyika sta d, że jeśli rówaie ma try róże pierwiastki recywiste, to woru stosować sie ie da. Posukiwaia iych worów ie da ly reultatu. Zace to ak ladać, że istieje pierwiastek kwadratowy licby 1, którego ie by lo, ale by l wygody w użyciu. Wrescie licby espoloe, których ie by lo, iterpretowao jako pukty p lascyy i pogodoo sie imi. 8. Do diś osta la awa: licby urojoe to pierwiastki kwadratowe ujemych licb recywistych. Diś trudo sobie wyobraić matematyke be ich. Defiicja 8.1 licb espoloych) Licbami espoloymi aywamy licby postaci a + bi, gdie i oaca jedostke urojoa, pryjmujemy, że i = 1 aś a i b sa licbami recywistymi. Suma licb espoloych 1 = a + bi i = c + di to 1 + = a + c) + b + d)i, ich ilocy to 1 = ac bd) + ad + bc)i. Zbiór wsystkich licb espoloych oacay jest a ca lym świecie 8.3 pre C. Twierdeie 8. Zbiór licb espoloych jest cia lem, t. D1 Dla dowolych licb 1,, 3 C achodi rówość 1 + ) + 3 = ) dodawaie jest la ce. D Dla każdej licby C achodi rówość + 0 =, gdie 0 = i. D3 Dla każdej licby C istieje taka licba w C, że + w = 0 istieie licby preciwej. D4 Dla dowolych 1, C achodi 1 + = + 1 dodawaie jest premiee. M1 Dla dowolych 1,, 3 C achodi 1 ) 3 = 1 3 ) możeie jest la ce. M Dla każdej licby C achodi rówość 1 = charakteryacja jedyki, gdie 1 = i. M3 Dla każdej licby C \ {0} istieje taka licba w C, że 8. Zrobili to różi ludie. Pryjmuje sie, że ajwie ksy wk lad mia l Jea Robert Argad, choć d lugo ie wymieiao jego awiska, m. i. cytowa l go A. Cauchy, ale be wymieiaia awiska. 8.3 wyja tkiem polskich skó l średich 501

3 w = 1 istieie licby odwrotej. M4 Dla dowolych 1, C achodi 1 = 1 możeie jest premiee. MD Rówość 1 + ) 3 = achodi dla dowolych 1,, 3 C możeie jest rodiele wgle dem dodawaia. Dowód. Niech 1,, 3 C i j = a j + b j dla j = 1,,3, a j,b j R. Wtedy 1 + ) + 3 = a 1 + a ) + b 1 + b )i ) + +a 3 + b 3 i) = a 1 + a ) + a 3 ) + b1 + b ) + b 3 ) i = = a 1 + a + a 3 ) ) + b 1 + b + b 3 ) ) i = a 1 + b 1 i) + a + a 3 ) + +b +b 3 )i ) = ), co końcy dowód la cości dodawaia. W taki sam sposób sprawdić moża, że achoda w lasości D, D3, D4, M1, M3, M4, MD. Oaceia 0 = i ora 1 = i sa bardo aturale, co wie cej amiast pisać a + 0 i, be diemy pisać a. Nie wymieiliśmy w lasości M3, bo dowód tej jest ieco iy. Niech = x + yi 0, x,y R. Niech w = x y i. x +y x +y Wtedy w = x+yi) x x +y y x +y i ) = x x +y y x +y +0 i = 1. Dowód osta l akońcoy. Uwaga x+yi = x yi x+yi)x yi) = x yi x yi) = w dowodie popred- te rachuek wyjaśia, jak aleźliśmy 1 iego twierdeia. x yi x y i = x yi x +y Defiicja 8.4 ce ści recywistej i urojoej) Licby postaci bi, b R aywać be diemy urojoymi. Licbe a R aywamy ce ścia recywista licby = a + bi, pisemy Re = a; licbe b R ce ścia urojoa licby = a+bi, pisemy Im = b. Die ki tej defiicji licby recywiste to scególe licby espoloe,,te w których ie ma i. Defiicja 8.5 różicy) Dla dowolych licb espoloych 1, istieje dok ladie jeda licba espoloa taka, że 1 + =. Naywaa jest różica licb i 1 i oacaa symbolem 1. 50

4 Defiicja 8.6 ilorau) Dla dowolych licb espoloych 1 0 i istieje dok ladie jeda licba espoloa taka, że 1 =. Licba ta waa jest iloraem licb i 1 i oacaa symbolem 1 lub / 1. Wykaaliśmy wsystkie podstawowe w lasości dia lań. Ocywiście 0 1. Wobec tego wsystkie wioski dotyca ce dia lań w biore licb recywistych wyprowadoe aksjomatów be użycia tych, w których dowodach używaa by la ierówość, achoda w biore licb espoloych. Np. achoda rówości 1 =, 0 = 0 i 0 + = dla dowolego C. możemy wie c dielić: c+di a+bi = c+di)a bi) a+bi)a bi) = c+di)a bi) a bi) = ac+bd)+ad bc)i a b i = = ac+bd)+ad bc)i a b 1) = ac+bd a +b + ad bc a +b i. Niestety, ie wsystko jest tak jak w prypadku licb recywistych. W biore C ie moża w sesowy sposób wprowadić ierówości. Nadamy temu daiu postać twierdeia, a aste pie udowodimy je. Twierdeie 8.7 o ieistieiu ierówości) W biore C ie istieje relacja taka, że: 1. jeśli 1, C, to achodi dok ladie jeda trech możliwości: 1 = albo 1 albo 1 ;. jeśli 1 i 3, to 1 3 ; 3. jeśli 1 i C, to ; 4. jeśli 1 i 0, to 1. Dowód. Za lóżmy bowiem, że uda lo am sie w jakiś sposób defiiować ierówość w taki sposób, że spe lioe sa waruki 1 4. Wtedy kwadraty licb różych od 0 sa dodatie to wywioskowaliśmy pewików, użytych do budowy teorii licb recywistych, a te wsystkie pewiki by lyby spe lioe tym że stadardowa ierówość < by laby asta pioa pre. Mamy 1 = 1 i i = 1, atem 0 1 i jedoceśie 0 1, atem 0 1 i 0 1. Dodaja c te ierówości stroami otrymujemy 0 1 1) + 1 = 0, co precy warukowi 1. Dowód osta l akońcoy. Okaa lo sie wie c, że licb espoloych porówywać sie ie da. Moża ocywiście defiiować jakieś ierówości mie dy licbami 503

5 espoloymi reyguja c ce ści waruków 1 4, ale ie sa oe użytece, wie c ma lo kto to robi. moża traktować jako pukty p lascyy. Pryjmujemy, że ce ść recywista licby espoloej to pierwsa wspó lre da cyli poioma), a ce ść urojoa to druga wspó lre da pioowa) puktu p lascyy. Pry takiej iterpretacji suma 1 + licb espoloych może być potraktowaa jako koiec wektora, który jest suma wektorów 0 1 i 0. Defiicja 8.8 wartości bewgle dej i argumetu) Wartościa bewgle da licby espoloej = a+bi aywamy licbe a + b, jej argumetem Arg dowola taka licbe ϕ, a że cos ϕ = a ora siϕ = b. +b a +b Z defiicji wyika, że to odleg lość puktu od puktu 0, a argumet licby, to ka t mie dy wektorami 01 i 0 mieroy,,w kieruku preciwym do ruchu wskaówek egara. Pryk lad 8.1 Arg = 0 lub Arg = 007π, Argi = π lub Argi = 3π, Arg 1 + i) = π π 4 = 3 4π, = = = = i = i, 1 + i = 1 + i = 1 i = 1 i =. Twierdeie 8.9 Nierówość trójka ta) Nierówość achodi dla dowolych licb espoloych 1,. Staje sie oa rówościa jedyie wtedy, gdy pukty p lascyy odpowiadaja ce licbom 0, 1, leża a jedej prostej, pry cym 0 ie leży mie dy i. Dowód. Dla dowolych licb recywistych a 1,b 1,a,b achodi aa am ierówość wyika ierówości Schwara) a1 + a ) + b 1 + b ) a 1 + b 1 + a + b, staje sie oa rówościa wtedy i tylko wtedy, gdy istieje licba recywista t 0 taka, że 1 = t lub = t 1. a Z rówości = a + bi, r =, cos ϕ = a ora si ϕ = +b = b a wyika, że = rcos ϕ + isi ϕ). Zapisaliśmy +b licbe w postaci trygoometrycej. 8.4 ieostro, jeda licb 1, może być erem 504

6 Niech 1 = r 1 cos ϕ 1 +isi ϕ 1 ) i = r cos ϕ +isi ϕ ). Wtedy 1 = r 1 cos ϕ 1 + isi ϕ 1 ) r cos ϕ + isi ϕ ) = =r 1 r cosϕ1 cosϕ siϕ 1 siϕ +icos ϕ 1 siϕ +cosϕ si ϕ 1 ) ) = = r 1 r cosϕ1 + ϕ ) + isiϕ 1 + ϕ ) ). Wykaaliśmy w te sposób, że wartość bewgle da ilocyu dwu licb espoloych rówa jest ilocyowi ich wartości bewgle dych, a argumet ilocyu dwu licb espoloych rówy jest sumie ich argumetów. Stosuja c otrymay wór wielokrotie otrymujemy Twierdeie 8.10 Wór de Moivre a) rcos ϕ + isi ϕ) ) = r cosϕ) + isiϕ) ). Z tego woru wyika, że dla każdej licby espoloej w 0 i każdej licby aturalej istieje dok ladie różych licb espoloych 1,,..., takich, że j = w dla j = 1,,...,. Za lóżmy bowiem, że w = cos ψ + isi ψ). Z dwu rówości = rcos ϕ + isi ϕ) i w = wyikaja aste pe = r ora ϕ = ψ + kπ dla pewej licby ca lkowitej k. Wyika sta d, że r =, r jest wie c wyacoe jedoacie. Musi też być ϕ = ψ + kπ. Zaste puja c licbe k licba k + wie ksamy ka t ϕ o π, co ie mieia licby. Róże licby otrymujemy pryjmuja c kolejo k = 0, k = 1,..., k = 1. Otrymujemy wie c dok ladie różych wartości. Latwo auważyć, że odpowiadaja ce im pukty p lascyy sa wiercho lkami ka ta foremego wpisaego w okra g o promieiu r =. Jeśli w = 1, to wśród tych licb jest licba 1. Defiicja 8.11 pierwiastka algebraicego licby espoloej) Algebraicym pierwiastkiem tego stopia licby espoloej w aywamy każda licbe espoloa, dla której w =. Pryk lad 8. Pierwiastkami algebraicymi stopia licby 1 = cos0 + isi 0 sa dwie licby: 1 = cos 0π + isi 0π = = cos0+isi 0 = 1 i = cos π +isi π Pryk lad 8.3 = cos π+isi π = 1. Pierwiastkami algebraicymi stopia 3 licby 1 = cos0 + isi 0 sa try licby: 1 = cos 0π 3 + isi 0π 3 = 1, 505

7 = cos π 3 + isi π 3 = 1 + i 3 ora 3 = cos 4π 3 + isi 4π 3 = = 1 i 3. Pryk lad 8.4 Pierwiastkami algebraicymi stopia 3 licby 1 = cos π + isi π sa try licby: 1 = cos π 3 + isi π 3 = 1 + i 3, = cos π+π 3 + isi π+π 3 = 1 ora 3 = cos π+4π 3 + isi π+4π 3 = 1 i 3. Pryk lad 8.5 Poieważ cosα+isi α = cos α+isi α) = = cos α+icos α si α+i si α = cos α si α+icos αsi α, ce ści recywiste sa rówe i ce ści urojoe sa rówe, wie c achoda rówości cosα = cos α si α, si α = si α cos α. Pryk lad 8.6 Z rówości: cos3α+isi 3α=cos α+isi α) 3 = = cos 3 α + 3icos α si α + 3i cos α si α + +i 3 si 3 α = = cos 3 α 3 cos α si α + i 3 cos αsi α si 3 α ) wyika, że cos3α = cos 3 α 3 cos αsi α = 4 cos 3 α 3 cosα, si3α = 3 cos α siα si 3 α = 3 siα 4 si 3 α. Widimy wie c, że a pomoca licb espoloych moża powia ać wory a cos α i si α dwumiaem Newtoa. Defiicja 8.1 spre żeia) Jeśli = a+bi, a,b R, to licbe = a bi aywamy spre żoa do licby. 3i = + 3i, 13 = 13, i = i. Licba jest recywista wtedy i tylko wtedy, gdy =. Jeśli / R, to C jest jedya licba taka, że + R i jedoceśie R. Prosty dowód tego stwierdeia Cytelicy preprowada samodielie. Mamy też = a+bi)a bi) = a +b =, + = Re ora = iim. Możemy wie c apisać Re = 1 + ) i Im = 1 ). i Pukty p lascyy odpowiadaja ce licbom i sa symetryce wgle dem osi recywistej. Prypomijmy, że argumet ilocyu dwu licb espoloych rówy jest sumie argumetów sk ladików. Jest to w lasość pry- 506

8 pomiaja ce logarytm logarytm ilocyu to suma logarytmów jego cyików). Logarytm to wyk ladik pote gi. Zdefiiujemy tera pote ge o podstawie e. Defiicja 8.13 pote gi o wyk ladiku espoloym) e = e x+iy = e x cos y + isi y) dla dowolej licby espoloej = x + iy, x,y R. Pryk lad 8.7 e πi = e 0+πi = e 0 cos π + isi π ) = 1, e l +πi = e l cos π + isi π ) =, e l = e l +0i = e l cos0 + isi 0 ) =. Pryk lady moża możyć. Zauważmy, że jeśli = x + iy, w = u + iv, gdie x,y,u,v R, to e +w = e x+u)+iy+v) = e x+u cosy + v) + isiy + v) ) = = e x e u cos y + isi y ) cos v + isiv ) = = e x cos y + isi y ) e u cos v + isiv ) = e e w. Widimy wie c, że w laśie defiiowaej pote de licby e prys luguje podstawowa w lasość pote g. Defiicje pote gi stopiowo roseraliśmy: ajpierw wyk ladiki by ly aturale, potem ca lkowite i ujeme ujemych, potem dowole wymiere. Pote ga o wyk ladiku recywistym określiliśmy tak, by achować mootoicość i rówość e a+b = e a e b. Poieważ ajmujemy sie licbami espoloymi, wie c ie moża mówić o mootoicości w biore licb espoloych ie ma ierówości. Zamiast mootoicości moża aża dać istieia pochodej w pukcie 0. Defiicja 8.14 graicy fukcji) Jeśli h:g C jest fukcja określoa a biore G C i 0 jest puktem skupieia bioru G, to lim h) = g C wtedy 0 i tylko wtedy, gdy lim h) g = W ostatim wyrażeiu licby espoloe wyste puja tylko poorie 8.5, wie c to ostatie poje cie ie jest am obce. Ta defiicja jest prostym uogólieiem poje cia graicy aego prypadku 8.5 wartości bewgle de sa licbami recywistymi! 507

9 recywistego chodi o to, że jeśli odleg lość mie dy i 0 jest dostatecie ma la, to odleg lość mie dy h) i g też jest ma la. Zaciemy od podaia espoloych wersji kilku aych defiicji i twierdeń o graicach cia gów. Defiicja 8.15 graicy cia gu) lim = C wtedy i tylko wtedy, gdy lim = 0. Stwierdeie 8.16 Jeśli = x +y i, x,y R, g = x+yi, x,y, R, to lim = wtedy i tylko wtedy, gdy lim x = x ora lim y = y. Dowód. Mamy = x x) + y y) x y i y y, wie c jeśli lim = 0, to rówież lim x x = 0 i lim y y = 0, atem lim x = x ora lim y = y. Jeśli atomiast lim x = x i lim y = y, to lim = lim x x) + y y) = 0, a to oaca, że lim =. Twierdeie 8.17 Cia g ) ma graice skońcoa wtedy i tylko wtedy, gdy spe lia waruek Cauchy ego: ε>0 ε N k,l>ε k l < ε. wc) Dowód. Jeśli = lim, to cia g ) spe lia wc), bowiem k l k + l. Jeśli cia g ) spe lia wc), to cia gi x ) i y ) też spe liaja wc), bo x k x l k l i y k y l k l. Sa wie c bieże, atem cia g ) też jest bieży. Twierdeie 8.18 Bolao Weierstrassa) Z każdego cia gu ograicoego ), cyli takiego, że istieje takie M 0, że M dla każdego, moża wybrać podcia g bieży. Dowód. Niech = x + y i. Wtedy x M i y M. Z cia gu x ) wybieramy podcia g bieży x k ). Z cia gu y k ) wybieramy podcia g bieży y kl ). Cia g kl ) jest bieży. 508

10 Lemat 8.19 Jeśli lim = 0, to lim 1 + ) = 1. Dowód. Wykażemy, że achodi ierówość: 1 + ) ) 1 korystaja c dwumiau Newtoa i ierówości trójka ta: ) ) 1 = 1 + 1) + 1) ) ) 1 + = 1 + ) 1. 1) + Poieważ a lożyliśmy, że lim = 0, wie c lim = 0. Jeśli < 1, to ) e 1 1 1, wie c lim 1 + ) 1 = 0. Z ierówości 1 + ) ) 1 wyika wie c, że lim 1 + ) = 1. Tera ceka as dowód istieia graicy lim 1+ ). Musi o sie różić od dowodu w prypadku recywistym, bo o żadej mootoicości tym raem mówić ie możemy, bo w biore C ie ma ierówości. Nie wskaujemy graicy, wie c astosujemy twierdeie Cauchy ego, wed lug którego cia g licbowy spe liaja cy waruek Cauchy ego ma graice skońcoa. Lemat 8.0 o bieżości cia gu lim 1 + ) ) Cia g 1 + )) spe lia waruek Cauchy ego, wie c jest bieży. Dowód. Zauważmy ajpierw, że jeśli > m k 0, to m ) 1 < ) 1.Wyika to atychmiast tego, że k m k k k m ) 1 k = mm 1)...m k+1) = ) )... ) 1 1 m k m k k! m 1 m 1 k 1 1 m k! < < ) ) 1 ) k 1 1 k! = ) 1. Mamy atem k k 1 + ) 1 + m m) = = 1 + ) 1 + ) ) ) ) + ) 1 + ) m 1 m + m ) ) m m m 1 ) m 1) m) + m m) [1 1] + [ ) 1 1 m 1 [ 1) m] + ) 1 m 1 ] ) m [ ) 1 m ) m 1 ] m m m m + ) 1 m m+1 m m+1 + ) ) ) m = m. 509

11 Poieważ cia g 1 + ) ) jest bieży licba jest recywista!), wie c spe lia o waruek Cauchy ego, wobec tego rówież cia g 1 + )) spe lia waruek Cauchy ego, bo odleg lości mie dy wyraami tego ostatiego ie prekracaja odleg lości odpowiedich wyraów cia gu 1 + ). Lemat osta l ) dowiedioy. Lemat 8.1 Jeśli 1 10, to e Dowód. Wiemy pryk lad 18.4), że 1 + x e x 1 1 x, gdy x < 1, atem 0 e x 1 x < x 1 x, wie c jeśli x < 1 10, to 0 ex 1 x < 10 9 x. Dla każdej licby y R mamy 0 1 cosy = si y y. Jeśli 0 y < π, to si y y tg y, wie c y cos y y si y, atem 0 y si y y1 cos y) y3 1. Jeśli wie c y < 10, to e iy 1 iy cos y 1 + isi y iy y + y y. Zachoda ierówości x x+iy =, y x+iy =. Za lóżmy, że Mamy wtedy e 1 = e x e iy 1 x + iy) e iy e x 1 x) + e iy 1 iy + xe iy x 10 9 x y + x y y ) 10 9 x y + 1 x +y ) y ) 1 x + y ). Wracamy do defiiowaia fukcji wyk ladicej. Jej pochoda e w pukcie 0 ma być graica lim e 0 0. Fukcja f ma być rosereiem fukcji wyk ladicej o podstawie e i wyk ladiku recywistym. Jej pochoda w pukcie 0 powia być rówa pochodej fukcji e x w pukcie 0, cyli licbie lim x 0 e x 1 x = 1. Twierdeie 8. charakteryuja ce fukcje e ) Fukcja e jest jedya fukcja f: C C spe liaja ca sa aste puja ce dwa waruki 1 f + w) = f)fw) dla dowolych,w C ora 8.6 Dalej x,y oacaja licby recywiste ora =x+iy. 510

12 f) f0) lim 0 = 1. Dowód. Wceśiej wykaaliśmy, że waruek 1 jest spe lioy. Udowodimy, że fukcji e prys luguje w lasość. Zachodi ierówość e 1 e, wie c lim 1 0 = 0, a to oaca, e że lim e 0 e 0 = lim 1 0 = 1. Za lóżmy tera, że fukcja f spe lia waruki 1 i. Z waruku 1 wyika, że jeśli f) = 0, to dla każdego w C achodi rówość 0 = f+w), wie c jedya wartościa fukcji f jest licba 0. To jest iemożliwe e wgle du a waruek. Wobec tego f) 0 dla każdego C. Z rówości f0) = f0 + 0) = =f0)f0) i ierówości f0) 0 wyika, że f0) = 1. Niech w = f ) 1 = f ) f0) lim w = 1. Zachodi rówież wór f. Z a lożeia wyika, że ) = 1 + w. Z w lasości 1 wyika, że f) = f )) = 1 + w ). Z lematu 8.19 i rówości lim 1 + ) w lim 1 + = lim że f) = 1 + w rówość f) = lim fukcji f. w 1) w 1) 1 + ) = 1+w 1+ = 0 wyika aste py wór ) = 1. Sta d wyika, ) 1 + ), wie c achodi 1 + ). Udowodiliśmy jedoacość Wiosek 8.3 Dla dowolych licb recywistych x,y achodi rówość ) e x cos y + isi y) = lim 1 + cos y+i si y. e Z tego, że lim 1 e 0 = 1 wyika, że lim w+ e w 0 = e w dla każdej licby espoloej w. Zwykle te ostatia rówość ocywistych prycy apisujemy jako e w ) = e w. Roseraja c wie c diedie fukcji wyk ladicej otrymaliśmy fukcje, która formalego puktu wideia ma w lasości podobe do fukcji wyk ladicej w diediie recywistej. Sa jedak istote różice. Nie możemy wg le biać sie w ie braku 511

13 miejsca, ale a jeda rec wrócimy uwage. Fukcja wyk ladica o podstawie e i wyk ladiku recywistym jest ściśle rosa ca: jeśli x 1 < x, to e x 1 < e x. Z fukcja wyk ladica e jest iacej. Mamy e πi = cosπ + isiπ = 1, atem dla każdego C achodi rówość e +πi = e e πi = e. Fukcja wyk ladica w diediie espoloej jest wie c okresowa, jej okresem jest πi licba cysto urojoa. Jej wartościami sa wsystkie licby espoloe w tym recywiste) jedym wyja tkiem: 0 e dla C. Wyika to atychmiast tego, że każda licbe dodatia r = w moża apisać w postaci e x, x R. Wystarcy pryja ć x = l r jest to jedyy wybór). Naste pie pryjmujemy y = Argw i otrymujemy rówość w = e, gdie = x + iy = l w + iargw. Pisemy wtedy = lw. Treba jedak pamie tać o tym, że w diediie espoloej symbol l w może oacać dowola ieskońceie wielu licb, dla których achodi rówość w = e. Moża wie c apisać l 1) = πi albo l 1) = 5πi itp. Wykażemy waże twierdeie sformu lowae już w 1608 r., które próbowa lo dowieść wielu ludi d Alembert, Euler, Gauss, Lagrage, Laplace i wielu iych). Diś chyba preważa pogla d, że pierwsy poprawy dowód osta l apisamy pre J R Argada w 1806 r. i poprawioy siedem lat późiej. W dowodach wielu co lowych matematyków ajdowao róże luki. Twierdeie 8.4 Zasadice twierdeie algebry) Każdy wielomia o wspó lcyikach espoloych, stopia wie ksego ostro) od 0, ma co ajmiej jede pierwiastek espoloy. Dowód. Niech w) = a 0 + a a, pry cym 1 i a 0. Istieje taka licba r > 0, że jeśli r, to w) > a 0 = w0), p. r = + a 0 + a 1 + a a 1 a. Jeśli bowiem r, to > 1 i wobec tego w) = a 0 + a a a a 0 + a a 1 1 a a 0 + a a 1 1 ) a 1 a 0 + a a 1 ) = 51

14 = a 1 ) a 0 + a a 1 > > a 0 + a a 1 ) a 0 + a a 1 ) ) = a 0. Z twierdeia Bolao Weierstrassa wyika, że cia gu licb espoloych ) o modu lach ieprekracaja cych r moża wybrać podcia g bieży do pewej graicy g i wtedy ocywiście g r. Jeśli m = if{ w): r}, to istieje taki cia g ), że lim w ) = m. Niech 0 = lim k. Ocywiście k 0 r ora w 0 ) = lim w k ) = m. Jeśli r, to k w 0 ) w), cyli w 0 ) jest ajmiejsa wartościa fukcji w w kole o promieiu r i środku w pukcie 0. W scególości w 0 ) w0) = a 0 i wobec tego rówież dla r achodi ierówość w) a 0 w 0 ). Oaca to, że w 0 ) jest ajmiejsa wartościa fukcji w w ca lej p lascyźie. Wykażemy, że w 0 ) = 0. Pryjmijmy, że = 0 +h. Wtedy pisemy w) = w 0 +h) = b 0 +b 1 h+b h +...+b h, gdie b 0 = =a 0 +a a 0 = w 0 ), b 1 = a 1 +a a 1 0 = =w 0 ),..., b = a = 1! w) 0 ). Poieważ stopień wielomiau rówy jest, wie c 0 a = b. Niech m 1 be die ajmiejsa taka licba, że b m 0. Za lóżmy, że w 0 ) 0. Wtedy moża apisać w 0 ) = b 0 = b 0 e iϕ dla pewego ϕ IR. Mamy dalej w) = b 0 +b m h m +b m+1 h m b h. Niech < 1 be die licba dodatia miejsa iż 1 b 0 i iech h = e i ϕ+π m. Wtedy b0 +b m h m = b0 e iϕ + me iϕ+π) = b0 e iϕ me iϕ = b0 m e iϕ = b0 m. Za lóżmy dodatkowo, że b m+1 + b m b ) < 1 wybieramy ma le > 0). Wtedy w) = b0 + b m h m + b m+1 h m b h b0 + b m h m + bm+1 h m b h = = b 0 m + bm+1 h m b h b 0 m + b m+1 h m b h ) b 0 m + h m+1 b m b ) = = b 0 m + m+1 b m b ) 513

15 b 0 m + 1 m = b 0 1 m < b 0. Okaa lo sie, że wbrew a lożeiu w 0 ) = b 0 ie jest ajmiejsa wartościa fukcji w. To końcy dowód tego, że w 0 ) = 0. Twierdeie osta lo wie c wykaae. Wiosek asadicego twierdeia algebry Każdy wielomia o wspó lcyikach recywistych, którego stopień jest dodati, może być predstawioy w postaci ilocyu wielomiaów recywistych stopia pierwsego i drugiego. Dowód. Jeśli wspó lcyiki wielomiau w sa recywiste, to w) = w) prosty dowód tej rówości poostawiamy Cytelikowi. Z tej rówości wyika, że jeśli licba espoloa 0 jest pierwiastkiem wielomiau o wspó lcyikach recywistych, to licba espoloa 0 też jest pierwiastkiem tego wielomiau. Wobec tego jeśli 0 / IR, to wielomia w jest podiely pre wielomia 0 ) 0 ) = ) + 0. Wspó lcyiki tego wielomiau sa recywiste, wie c w te sposób sprowadamy problem do wielomiau stopia o miejsego od w. Jeśli 0 jest licba recywista, to wielomia w jest podiely pre wielomia 0, wie c w tym prypadku redukujemy problem do wielomiau stopia o 1 miejsego od w. Za lóżmy, że twierdeie ie jest prawdiwe. Niech w be die wielomiaem ajmiejsego stopia, dla którego tea ie achodi. Po podieleiu go pre wielomia stopia 1 lub otrymujemy wielomia stopia miejsego, wie c ilocy wielomiaów stopia pierwsego i drugiego o wspó lcyikach recywistych, co oaca, że wielomia w też jest ilocyem takiego typu, wbrew asemu a lożeiu. Dowód osta l akońcoy. Zadaia 1. Rowia ać rówaie w biore licb espoloych a = 0; b. + 1 = 0; c. = 0; d. = ; e. 004 = ; f. e = 1; g. e = 1; h i) + 13i = 0; i. e = i; j i) 5 + 5i = 0; k = 0; l = 0; l. + i + i = ; m. + i + i = 5; 514

16 o = 0; p. = 3 ; q = 0; r. = ; s = 0; t. = 3 ; u = 0; v. 6 6 = 0; w. + = 3 + i x = 0.. Zaleźć licby recywiste x,y, dla których a. 5 8i)x i)y = i; b. 7 + i)x 5 4i)y = 1 i 3. Predstawić w postaci trygoometrycej licby espoloe a. 1 i 3, b. 1 i 3, c.1 i 3 4. Oblicyć 3 4i, 3 4i, 1 i Oblicyć ilora licb 1 + i) i 1 i), N. 6. Z woru a sume pierwsych wyraów cia gu geometrycego wyprowadić wór a sume : si ϕ + siϕ) siϕ ora a sume cos ϕ + cosϕ) cosϕ). 7. Oblicyć sume cos ϕ + cos ϕ) cos ϕ). 8. Oblicyć ) sume 1 cos ϕ + ) cosϕ) ) cosϕ). π 9. Dowieść, że cos +1 + cos 4π π cos = Oblicyć ) sume 0 + ) 3 + ) 6 + ) Oblicyć ) sume 1 + ) 4 + ) 7 + ) Zaleźć sume pie ćdiesia tych pote g d lugości wsystkich boków i preka tych stuka ta foremego wpisaego w okra g o promieiu Udowodić, że suma kwadratów d lugości wsystkich boków i preka tych ka ta foremego wpisaego w okra g o promieiu 1 jest rówa. 14. Udowodić, że suma kwadratów d lugości wsystkich boków i preka tych ka ta foremego opisaego a okre gu o promieiu 1 jest rówa ctg π. 15. Udowodić, że ilocy kwadratów d lugości wsystkich boków i preka tych ka ta foremego opisaego a okre gu o promieiu 1 jest rówa. 16. to pukt symetrycy do puktu wgle dem osi recywistej. Zaleźć pukty symetryce do puktu wgle dem 515

17 a. osi urojoej, b. prostej o rówaiu y = x, c. prostej: y = 3 3 x, d. prostej: y = 3x. 17. a. Zaleźć biór X lożoy tych wsystkich licb espoloych, dla których achodi rówość = 1. Narysować X a p lascyźie. b. Zaleźć biór X lożoy tych wsystkich licb espoloych, dla których achodi rówość + 3 i = 1. Narysować X a p lascyźie. 18. Niech L oaca biór lożoy e wsystkich licb espoloych, dla których achodi rówość a) i = b) i =. Naskicować biór L a p lascyźie. Opisać a pomoca rówaia biór M powsta ly w wyiku obróceia L o 45 godie ruchem wskaówek egara wokó l puktu 0 = 0,0). a+b 19. Wykaać, że jeśli ad bc, to fukcja postaci c+d preksta lca biór C \ { d c } a biór C \ { a c }, jest różowartościowa, lim a+b =, lim a+b = a d/c c+d Defiicja 8.5 homografii) c+d Jeśli ad bc i h) = a+b c+d dla d c ora h d c) = i h ) = a c, to fukcje h: C { } C { } aywamy homografia Udowodić, że jeśli h jest homografia, L prosta, to biór h L { } ) jest okre giem lub prosta uupe lioa jedym puktem. Jak wygla daja obray okre gów? 1. Udowodić, że homografia h preksta lca góra pó lp lascye : {: Im > 0} { } a siebie wtedy i tylko wtedy, gdy istieja takie licby recywiste a,b,c,d, że h) = a+b c+d i ad bc > 0.. Dowieść, że homografia h preksta lca ko lo {: < 1} a siebie wtedy i tylko wtedy, gdy istieja takie licby ϕ R i 0 C, że 0 < 1 ora h) = e iϕ c. 8.7 to stucie doday pukt, ie wprowadamy puktu, bo ie ma ierówości. 516