Zadania do Rozdziału X

Transkrypt

1 Zadania do Rozdziału X Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż, że przecięcie dowolnej rodziny σ-ciał podzbiorów zbioru X jest też σ-ciałem (podzbiorów X). Znajdź przykład pokazujący, że analog powyższego dla sumy nie jest prawdziwy. 3. σ-ciało M podzbiorów X nazywamy cegiełkowym wtw istnieje rodzina {A i } i I podzbiorów X taka, że I jest skończony lub przeliczalny, A i są parami rozłączne, i I A i = X oraz M = σ({a i } i I ) 201). Rodzina {A i } i I nazywa się wówczas zbiorem (rodziną) cegiełek dla M (a każdy A i jest cegiełką). Wykaż, że jeśli {A i } i I jest zbiorem cegiełek dla M, to M = { i I A i : I I}. (b) Wykaż, że zbiór cegiełek σ-ciała cegiełkowego jest jednoznacznie wyznaczony. (c) Wykaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym, to każde σ-ciało jego podzbiorów jest cegiełkowe. (d) Oblicz liczbę wszystkich σ-ciał podzbiorów zbioru {1,..., n} (może być dla n = 10). (e) Wykaż, że B(R) nie jest σ-ciałem cegiełkowym. 4. Niech X Y = i niech A 2 x, B 2 Y oraz niech Z = X Y. Wykaż, że σ Z (σ X (A) σ Y (B)) = σ Z (A B), gdzie σ W ( ) oznacza odpowiednie σ-ciało podzbiorów zbioru W, przy W = X, Y, Z. 5. Udowodnij wniosek ze strony Rozważamy następujące rodziny podzbiorów R: A 1 = {(a; b) :a, b R}, A 2 = {[a; b] :a, b R}, A 3 = {( ; a] :a R}, A 4 = {(a;+ ) :a Q}, A 5 = {(a; b] :a, b Q}, A 6 = {U R : U otwarty}, A 7 = {K R : K zwarty}. Wykaż, że: σ(a 1 )=σ(a 2 ), (b) σ(a 2 )=σ(a 3 ), 201) Czyli krócej: M jest generowane przez pewne co najwyżej przeliczalne rozbicie zbioru X. 199 [X.26]

2 (c) σ(a 2 )=σ(a 4 ), (d) σ(a 1 )=σ(a 5 ), (e) σ(a 1 )=σ(a 6 ), (= B(R) z definicji), (f) σ(a 6 )=σ(a 7 ). 7. Wykaż, że dla dowolnego A B(R) zachodzi R k A R l B(R k+1+l ) (ew. tylko przypadek k =0,l = 1); (b) Wykaż analogiczny wynik jak w a) dla L(R) oraz L(R k+1+l ). Wskazówka do a): wykaż najpierw, że rodzina {A B(R) : R k A R l B(R k+l+1 )} jest σ-ciałem podzbiorów R. 8. Wykaż, że jeżeli A i B są rodzinami generatorów dla B(R), to {A B R 2 : A A,B B} jest rodziną generatorów dla B(R 2 ). 9. Korzystając z zadania X.6 i X.8 wykaż, że rodzina {[a; b] [c; d] :a, b, c, d R} jest rodziną generatorów dla B(R 2 ) Wykaż, że są miarami: δ x0 z przykładu 2 strona 177; (b) # z przykładu 3 strona 177; (c) µ : M [0; + ] zadana na σ-ciele M = {, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}} podzbiorów zbioru {1, 2, 3} w sposób następujący: µ( ) = 0, µ({1}) = a, µ({2, 3}) = b, µ({1, 2, 3}) =a + b, gdzie a, b są dowolnymi elementami z [0; + ]. Opisz wszystkie miary określone na σ-ciele cegiełkowym (patrz zadanie X.3). 12. Wykaż ogólne własności miary z faktu ze strony Czy to prawda, że miara µ określona na σ-ciele generowanym przez rodzinę A jest jednoznacznie wyznaczona przez swe wartości na wszystkich generatorach? 14. Czy powyżej zmieniłoby coś ograniczenie się do miar spełniających warunek µ(x) = 1 (czyli probabilistycznych)? Wskazówka: rozważ miary określone na σ-ciele z zadania X.1 b). Niech M będzie σ-ciałem podzbiorów X oraz X M i niech µ będzie miarą określoną na M. Wykaż, że M := {A M : A X } jest σ-ciałem podzbiorów X, oraz że µ : M [0; + ] zadana jako µ = µ M jest miarą (w X ). Niech M będzie σ-ciałem podzbiorów X, µ miarą na M, Y niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech f : X Y. Określamy M f := {A Y : f 1 (A) M} oraz µ f : M f [0; + ] zadajemy wzorem µ f (A) =µ(f 1 (A)) dla A M f. Wykaż, że M f jest σ-ciałem podzbiorów Y, f funkcją M, M f mierzalną oraz µ f miarą w Y. 17. Wykaż, że suma (a także kombinacja liniowa z nieujemnymi współczynnikami) miar określonych na M jest miarą. 200 [X.27]

3 18. Czy poniższe własnosci są prawdziwe dla wszystkich miar µ : M [0; + ]? Jeżeli (b) Jeżeli (A n M oraz A n+1 A n ), to µ( (A n M oraz A n A n+1 ), to µ( A n ) = A n ) = lim µ(a n) lim µ(a n) Czy sytuacja zmieni się, gdy założymy dodatkowo, że µ(a n ) < +? 19. Niech µ będzie miarą określoną na σ-ciele M podzbiorów X. Definiujemy Z := {Z X : B M (µ(b) = 0 i Z B)} oraz M u := σ(m Z) (tzw. σ-ciało uzupełnione względem µ). Wykaż, że σ-ciało M u ma postać (b) Definiujemy µ u : M u [0; + ] wzorem M u = {A Z X : A M oraz Z Z} µ u (A Z) =µ(a) dla dowolnych A M, oraz Z Z. Wykaż, że definicja ta jest poprawna, tzn. że nie zależy od wyboru A i Z jak wyżej, ale jedynie od A Z. (c) Wykaż, że zdefiniowana wyżej funkcja µ u jest miarą zupełną, oraz że µ u M = µ. 20. W przedziale [ 1; 1] rozważamy relację zdefiniowaną następująco: x y wtw x y Q. Wykaż, że jest relacją równoważności. (b) Niech K = {[x] :x [0; 1]} zbiór klas abstrakcji relacji i niech w : K [0; 1] będzie pewną funkcją wyboru dla zbioru K, tzn. dla dowolnej klasy k K w(k) k (inaczej mówiąc w wybiera z każdej klasy abstrakcji po jednym jej elemencie korzystamy tu z pewnika wyboru, by mieć gwarancję, że taka w istnieje). Wykaż, że A := {w(k) :k K} nie jest mierzalny w sensie Lebesgue a (w szczególności A B(R)). 21. Określamy pewien ciąg przedziałów otwartych zawartych w [0; 1] w sposób następujący (rekurencyjnie). W pierwszym kroku określamy jeden przedział o środku 1 idługości 2 r 1 (0; 1). W n + 1 szym kroku rozważamy najpierw wszystkie przedziały domknięte, których rozłączną sumę stanowi różnica przedziału [0; 1] i sumy wszystkich przedziałów otwartych uzyskanych w krokach 1,..., n. Następnie tworzymy przedziały otwarte biorąc jako ich środki wszystkie środki powyższych przedziałów domkniętych oraz wybierając wspólną długość r n+1, tak by tworzone przedziały zawierały się w tych przedziałach domkniętych. Niech C będzie uzupełnieniem w [0; 1] sumy wszystkich uzyskanych tak przedziałów. Gdy r n = 1, to uzyskujemy tzw. zbiór Cantora. 3 n 22. Wykaż, że zbiór Cantora jest nieprzeliczalnym zbiorem (i nieskończonym) o mierze Lebesgue a zerowej. (b) Czy można tak dobrać ciąg {r n } n 1, by uzyskać λ 1 (C) > 0? Znajdź przykład funkcji f : X R niemierzalnej przy dowolnie przez siebie wybranym X i σ-ciele M podzbiorów X; 201 [X.28]

4 (b) dla X = R i M = L(R) (Wskazówka: użyj zadania X.20). 23. Wykaż, że funkcja f : D R jest mierzalna (przy zadanym σ-ciele M w X, D X) wtw r R {x D : f(x) <r} M oraz D M. 24. Wykaż fakt ze strony 182 o mierzalności punktowej granicy ciągu funkcji mierzalnych. 25. Wykaż, że fakt ze strony 181 (o działaniach na funkcjach mierzalnych) można rozszerzyć na funkcje mierzalna o wartościach w R, pod warunkiem określoności działań. 26. Niech µ będzie miarą określoną na σ-ciele M podzbiorów X. Określimy tzw. zbieżność µ prawie wszędzie ciągu funkcyjnego {f n } n n0 o wyrazach f n : D R, gdzie D X, do funkcji f : D R; będziemy to oznaczać symbolem f n f. Mianowicie f n f p.w. p.w. wtw Z M f n D\Z f D\Z. µ(z)=0 27. Czy granica przy takiej zbieżności jest funkcją wyznaczoną jednoznacznie? (b) Wykaż, że jeśli µ jest miarą zupełną, f n p.w. f też jest mierzalna. f oraz f n są wszystkie mierzalne, to (c) Wyjaśnij dlaczego założenie zupełności jest istotne w b), nawet przy założeniu, że D M. Wykaż, że jeśli f jest mierzalną funkcją, to f + i f także są mierzalne. 28. Wykaż, że każda funkcja mierzalna jest granicą punktową ciągu funkcji prostych. Wykaż, że ciąg ten można wybrać rosnącym, jeśli wyjściowa funkcja jest Wykaż informacje o całkowaniu względem miary Diraca δ x0 zawarte w przykładzie 2. ze strony Wykaż informacje o całkowaniu względem miary liczącej # w N zawarte w przykładzie 3 ze strony Wykaż, że jeśli f L 1 (D, µ), to D fdµ D f dµ. 32. Rozwiąż zadanie III.17 wykorzystując twierdzenie Lebesgue a o zbieżności majoryzowalnej (tw. X.3 (L)). 33. Wykaż, że jeżeli f L 1 (D, µ), (A n+1 A n i A n jest mierzalny), oraz to lim fdµ = fdµ. A n D 34. Wykaż twierdzenie X.5 (o związku całki niewłaściwej z całką względem λ 1 ) A n = D, Wykaż, ża całka Lebesgue a dla funkcji f z przykładu 2. ze strony 188 jest nieokreślona. Znajdź przykład pokazujący, że w twierdzeniu Fubiniego (tw. X.6) funkcja C 2 f może nie być określona na całym zbiorze R d Wykaż mierzalność funkcji F z dowodu faktu ze strony 194. Wskazówka: użyj wyniku z zadania X.8 b). 38. Sprawdź wzór na jakobian dla współrzędnych sferycznych ze strony [X.29]

5 39. Oblicz: [0;1] [0;2] ex 1+x 2 dx (b) [0;1] [1; 3] x x 2 2 dx (c) [ 1;1] [0;1] (x 1 + x 2 ) 2222 dx (d) [1;2] [3;4] ln(x 1x 2 ) x 2 dx (e) λ 2 (T ), gdzie T trójkąt pełny na płaszczyźnie R 2 o wierzchołkach 0; (a, 0); (c, h), gdzie a, h, c > 0, (f) λ 2 (A), gdzie A = {x R 2 : x 1 0,x 2 1 x 2 x 1 }, (g) R x 1dx, gdzie R równoległobok pełny na płaszczyźnie R 2 o wierzchołkach 0; (2, 1); (1, 1); (3, 2). Wskazówka: użyj całkowania przez (odpowiednie) podstawienie (równoległobok jest afinicznym obrazem kwadratu [0; 1] [0; 1]... ), (h) jak powyżej, ale dla wierzchołków: (2, 2); (4, 3), (3, 3), (5, 4), (i) T cos(x 1 + x 2 )dx, gdzie T pełen trójkąt ograniczony prostymi o równaniach: x 1 = 0, x 2 = π, x 1 = x 2, (j) K(0,1) x 1x 2 dx, (k) K +++ x 1 x 2 dx, gdzie K +++ = {x R 3 : x 1,x 2,x 3 > 0, x < 1}, (l) K + x 3 dx, gdzie K + = {x R 3 : x 1 > 0,x 2 < 0, x < 1}, (m) P 1,2 x x 2 2dx, gdzie P 1,2 pierścień kołowy ( pełny ) na płaszczyźnie, o środku 0 i promieniu 1 (wewnętrznym) oraz 2 (zewnętrznym), (n) n x1 x 2 dx, gdzie W = {x R 2 : x 1, 0 x 1 <x 2 }, lim W (o) λ d (T d ), gdzie T d ={x R d : d k=1 x k a, k=1,...,d x k 0}, a > 0. Wskazówka: użyj indukcji po d, (p) objętość elipsoidy E = {x R 3 : x2 1 + x2 a x2 b 2 3 1}, a, b, c > 0, c 2 (q) Objętość walca obrotowego o wysokości h i promieniu podstawy r, (r) W x 1dx, gdzie W = {x R 3 : x x 2 2 1, 0 x 3 1}, (s) Objętość stożka obrotowego o wysokości h i promieniu podstawy r, (t) S x 1x 2 x 3 dx, gdzie S = {x R 3 : ρ x 3 3 x x 2 2}, (u) Objętość pełnego torusa powstałego przez obrót koła w płaszczyźnie x 1,x 3 o środku (R, 0, 0) i promieniu r wokół osi x 3 (0 < r < R), (v) R 2 e x 2 dx, (w) R 3 e x 2 dx. Wskazówka: wykorzystaj rezultat (nie metodę... ) dla przypadku R 2 powyżej. (x) B x 1x 2 dx, gdzie B = {x R 2 : x 1,x 2 0, 1 4x x 2 2 4, x 2 2x 1 }, (y) D α x 1 x 2 dx, gdzie D α = {x R 2 : x 1 1,x 1 1 x α 1 Uwaga! Czy całka ta jest określona? 40. Wyprowadź wzór z zadania VII.2 na objętość bryły obrotowej. x 2 x x α 1 } dla α > [X.30]