A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
|
|
- Adrian Rogowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A [, +] nazywamy funkcją zbiorów. Definicja 3.1 Funkcję zbiorów na A nazywamy: i addytywną skończenie addytywną jeśli A,B A A B =, A B A A B = A + B. ii σ-addytywną przeliczalnie addytywną jeśli dla A i A, i 1 takich, że A i A j = dla i j, i, j 1 oraz A i A zachodzi równość A i = A i. Stosując indukcję matematyczną łatwo wykazać, że jeśli na A jest addytywną funkcją zbiorów wtedy dla dowolnego ciągu skończonego A i A, i = 1,..., n, n 1 takiego, że A i A j = dla i j, i, j = 1,..., n oraz gdy m A i A dla 2 m n, to mamy równość n A i = A i. Definicja 3.2 Funkcję zbiorów : A [0, +] nazywamy miarą na A jeśli jest ona σ-addytywna oraz = 0. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. Definicja 3.3 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, +] miarą. Wtedy uporządkowaną trójkę X, A, nazywamy przestrzenią z miarą. Niech będzie dana przestrzeń z miarą X, A,. Jeśli X < to miarę nazywamy miarą skończoną. Jeśli natomiast X = 1, to nazywamy miarą probabilistyczną, a uporządkowaną trójkę X, A, przestrzenią probabilistyczną. Miarę nazywamy σ- skończoną jeśli istnieje przeliczalna rodzina {A i } i 1 A taka, że A i = X oraz A i < dla każdego i 1 lub równoważnie jeśli istnieje przeliczalna rodzina {B i } i 1 A taka, że B i B i+1, i 1, B i = X oraz B i < dla każdego i 1.
2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 3.4 Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą. Wtedy i n 1, B i A, 1 i n, B i B j = dla i j n B i = n B i; ii A, B A, B A A B; iii A, B A, B A, B < A \ B = A B; iv A, B A A B + A B = A + B; v n 1, A i A, 1 i n n A i n A i subaddytywność; vi A i A, A i A i+1, i 1 A i = limi A i ; vii A i A, A i+1 A i, i 1, n 0 1 A n 0 < A i = limi A i ; viii A i A, i 1 A i A i σ-subaddytywność. Dowód. Ad. i Niech A i A dla i 1 i niech Wtedy A i A j = dla i j 1 oraz A i = B i dla i = 1,..., n, A i = dla i n + 1. n B i = A i = A i = B i. Ad. ii Jeśli A, B A oraz B A to A = A \ B B suma rozłączna. Zatem z punktu i oraz z nieujemności miary dostajemy A = A \ B + B B. Ad. iii Z punktu ii mamy A = A \ B + B. Stąd i z założenia B < mamy A B = A \ B. Ad. iv Sumę A B możemy przedstawić jako sumę rozłączną, mianowicie Z punktu i otrzymujemy A B = A \ A B A B B \ A B. A B = A \ A B + A B + B \ A B. Stąd po dodaniu stronami A B mamy A B + A B = A \ A B + A B + B \ A B + A B = A + B.
3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Ad. v Z punktu iv dostajemy Dalej dowód przez indukcję. A 1 + A 2 = A 1 A 2 + A 1 A 2 A 1 A 2. Ad. vi Oznaczmy B 1 = A 1 oraz B n = A n \ A n 1 dla n > 1. Wtedy a B n B m = dla n m, n, m 1; b A n = n k=1 B k, n 1; c A i = k=1 B k. Stąd i z σ-addytywności miary mamy A i = B k = B k = lim k=1 Ad. vii Zauważmy, że k=1 a A i = i=m A i, dla każdego m 1; b A n0 A i. n k=1 Stąd i z udowodnionych już własności miary dostajemy iii A n0 A i = A n0 \ A i = A n0 \ Otrzymujemy więc = B k = lim n n A n0 +i k=1 A n0 A n 0 +i = An0 \ A n0 +i B k = lim n A n. = A n0 vi = lim A n0 \ A n0 i +i iii = lim An0 A n0 i +i = A n0 lim A n0 i +i = A n0 lim A i. i A i = lim i A i. A n0 +i Ad. viii Niech A i A, i 1. Oznaczmy B n = n A i, n 1. Ciąg {B n } n 1 jest ciągiem wstępującym i jego suma mnogościowa jest równa sumie mnogościowej ciągu wyjściowego {A i } i 1. Zatem A i = v lim n vi B n = lim B n = lim n n n A i = A i. A i
4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Stwierdzenie 3.5 Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech A i A dla 1 i n. Wtedy n A i = A i A i1 A i2 + 1 i 1 <i 2 n + 1 k 1 1 i 1 <i 2 <...<i k n + 1 n 1 A 1 A 2... A n. A i1 A i2... A ik + Dowód. Dla n = 1 jest oczywisty. Dla n = 2 wynika z Twierdzenia 3.4 iv. Dalej stosując indukcję matematyczną. Zostawiamy to jako ćwiczenie. Przykład 3.6 a Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną oraz niech x X będzie ustalonym punktem. Wtedy { 1 dla x A, δ x A = A A 0 dla x A, jest miarą delta Diraca. b Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy i 0 tzn. A = 0 dla A A, ii A = + dla A A i A oraz = 0 są miarami. c Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz A A wtedy i tylko wtedy, gdy A IN lub A IN. Wtedy { 1 gdy A IN, A = A A 0 gdy A IN, jest miarą na A. d Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy A = #A jest miarą miarą liczącą. e Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #X = i niech {x i } i 1 X będzie ustalonym ciągiem. Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {p i } i 1 taki, że p i > 0 dla i 1 oraz p i = 1. Wtedy = p i δ xi jest miarą probabilistyczną.
5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 3.7 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σc oraz C jest π-układem. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary i ν na A o własnościach: i i ν są σ-skończone na C; ii A = νa dla każdego A C. Wtedy = ν tzn. A = νa dla każdego A A. Dowód. Z założenia i istnieją: A i C, A i < dla i 1 oraz B j C, νb j < dla j 1 oraz A i = X, B j = X, Rozważmy rodzinę {A i B j } i,j 1 C, której elementy oznaczmy przez G k, k 1. Z założeń dostajemy G k = νg k < dla k 1 oraz k=1 G k = X. Bez straty ogólności możemy założyć, że G k G k+1 dla k 1 wystarczy określić F n = n k=1 G k i zauważyć, że ze Stwierdzenia 3.5 F n = νf n < dla n 1. Dla k 1 rozważmy rodzinę D k = { A A : A G k = νa G k }. Łatwo zauważyć, że i C D k ; ii D k jest λ-układem. Stąd λc D k A. Z Twierdzenia 2.20 mamy λc = σc. Zatem D k = A, k 1. Niech A A. Wtedy z Twierdzenia 3.4 vi dostajemy A = A X = A G k = k=1 k=1 A G k = lim A G k = lim νa G k k k = ν A G k = νa X = νa. k=1 Uwaga. Założenie o σ-skończoności miar na C w powyższym twierdzeniu jest istotne. Rzeczywiście, niech X = IR, C = { a, b] : a b, a, b IR }. Widzimy od razu, że C
6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz jest π-układem. Ponadto wiadomo, że σc = BIR. Rozważmy dwie miary na BIR: A = #A oraz νa = gdy A i ν = 0 dla A BIR. Jak łatwo zauważyć = ν na C oraz ν na BIR. Na zakończenie tego tematu zanotujmy jeszcze natychmiastowy wniosek wypływający z Twierdzenia 3.7 Wniosek 3.8 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σc oraz C jest algebrą. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary i ν na A o własnościach: i i ν są σ-skończone na C; ii A = νa dla każdego A C. Wtedy = ν tzn. A = νa dla każdego A A. 3.2 Miary przedziałów Oznaczmy 3.1 C = { a, b], b, : a b < }. Załóżmy ponadto, że dana jest funkcja F : IR IR niemalejąca i prawostronnie ciągła. Oznaczmy jeszcze F + := lim x + F x i F := lim x F x. Określmy funkcję zbiorów na C wzorem 3.2 a, b] = F b F a, b, + = F + F b. Zauważmy, że 3.3 = a, a] = F a F a = 0. Okazuje się, że tak określona funkcja zbiorów jest miarą na C, mianowicie zachodzi Twierdzenie 3.9 Funkcja zbiorów określona wzorem 3.2 jest miarą na C. Dowód. Jak już zauważyliśmy w 3.3 = 0. Pozostało tylko udowodnić σ-addytywność. W pierwszej części dowodu wykażemy, że jest σ-addytywna na rodzinie C 0 = { a, b] : a, b IR } C. W tym celu pokażemy najpierw, że jest addytywna na C 0. Niech a, b] = n a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0 dla i = 1,..., n oraz a i, b i ] są parami rozłączne dla i = 1,..., n.
7 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Bez straty ogólności możemy założyć, że rozpatrywane przedziały są niepuste oraz możemy je ponumerować w następujący sposób: Wtedy a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2 = a 3 <... < b n 1 = a n < b n = b. a, b] = F b F a = F b n F a 1 = F bi F a i = a i, b i ], co kończy dowód addytywności na C 0. Udowodnimy teraz subaddytywność w pewnym sensie na C 0 tzn. jeśli to a, b] n a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., n a, b] a i, b i ]. Dowód indukcyjny. Dla n = 1. Niech a, b] a 1, b 1 ]. Ponieważ funkcja F jest niemalejąca, więc a, b] = F b F a F b 1 F a 1 = a 1, b 1 ]. Dla n > 1. Niech n+1 a, b] a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., n. Bez straty ogólności możemy dodatkowo założyć, że b a n+1, b n+1 ]. a 1 b 1 a a n+1 b b n+1 Gdy a > a n+1 to dowodzona własność subaddytywności jest oczywista z założenia indukcyjnego. Gdy a a n+1 to a, a n+1 ] n a i, b i ], więc ponownie korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy
8 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Stąd a, a n+1 ] a i, b i ]. a, b] = a, a n+1 ] a n+1, b] = a, a n+1 ] + a n+1, b] n+1 a i, b i ] + a n+1, b] a i, b i ]. Wykażemy teraz σ-addytywność na C 0. Niech a, b] = a i, b i ] gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., gdzie a i, b i ] są parami rozłączne dla i 1. Niech n > 1 i rozważmy n a i, b i ]. Możemy założyć, że a a 1 < b 1 a 2 < b 2 a 3 <... < b n 1 a n < b n b. Mamy więc 3.4 a, b] = a, a 1 ] n n 1 a i, b i ] b i, a i+1 ] b n, b]. Suma po prawej stronie 3.4 jest rozłączna, więc korzystając z addytywności otrzymujemy a, b] = a, a 1 ] + Stąd dla każdego n > 1 mamy czyli n 1 a i, b i ] + b i, a i+1 ] + b n, b] a, b] a, b] a i, b i ], a i, b i ]. a i, b i ]. Udowodnimy teraz nierówność w drugą stronę. Z prawostronnej ciągłości funkcji F mamy dla każdego ε > 0 a, a + δ] = F a + δ F a < ε 2, δ i >0 δ>0 b i, b i + δ i ] = F b i + δ i F b i < ε, dla i 1. 2i+1
9 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz a a + δ a i b i b Mamy [a + δ, b] a, b] = a i, b i ] a i, b i + δ i. Ze zwartości przedziału [a + δ, b] istnieje n 1 patrz Dodatek takie, że n [a + δ, b] a ij, b ij + δ ij. Stąd Zatem n a + δ, b] a ij, b ij + δ ij ]. a, b] = a, a + δ] + a + δ, b] ε 2 + a ij, b ij + δ ij ] = ε 2 + a ij, b ij ] + b ij, b ij + δ ij ] ε + a ij, b ij ] ε + a i, b i ]. Z dowolności ε > 0 otrzymujemy a, b] a i, b i ]. Tym samym została zakończona pierwsza część dowodu tzn. udowodniliśmy σ-addytywność na C 0. W drugiej części dowodu wykażemy, że jest σ-addytywna na C. W tym celu wystarczy rozważyć dwa przypadki , b] = b, = I i, I i, b IR, b IR,
10 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz gdzie I i C i są parami rozłączne dla i 1. Załóżmy, że zachodzi 3.5. Rozważmy dwa przypadki a Załóżmy, że istnieje i 0 takie, że I i0 =, b i0 ] z rozłączności parami wynika, że wśród I i, i 1 może istnieć tylko jeden taki nieograniczony przedział. Mamy więc, b] =, b i0 ] a i, b i ] =, b i0 ] b i0, b], i i 0 gdzie a i IR dla i i 0 oraz b i IR dla i 1. Stąd i z udowodnionej σ-addytywności na C 0 mamy, b] = F b F = F b F b i0 + F b i0 F =, b i0 ] + b i0, b] =, b i0 ] + i i 0 a i, b i ] = a i, b i ]. b Załóżmy, że I i = a i, b i ], i 1, gdzie a i, b i IR dla i 1. Dowód rozbijemy na dwa podprzypadki i Niech F >. Wtedy z 3.5 mamy 3.7 a in < n b in. i n n 0 n n 0 Zatem dla każdego n 1 możemy napisać, b] =, a in ] a i, b i ] =, a in ] a in, b] a i a in oraz, b] = F b F = F b F a in + F a in F = a in, b] + F a in F = a i, b i ] + F a in F n a i a in bo na mocy 3.7 a in, gdy n. a i, b i ], ii Niech F = tzn., b] = +. Dla dowodu wystarczy więc wykazać, że 3.8 a i, b i ] = +.
11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Korzystając z dowodu i dostajemy a i, b i ] = a in, b] = F b F a in n a i a in bo na mocy 3.7 a in, gdy n, co dowodzi , Tak więc dowód w przypadku 3.5 został zakończony. Nietrudno zauważyć, że dowód dla przypadku 3.6 przebiega analogicznie jak dla 3.5. Rozpatruje się te same podprzypadki z oczywistą zamianą na +. Zostawiamy więc ten przypadek jako ćwiczenie. Uwaga. Zauważmy, że przyjmując F x = x dla x IR dostajemy miarę na C dla której a, b] = b a dla a, b IR oraz I = + jeśli I C i I jest przedziałem nieograniczonym. Miarę tę będziemy oznaczać przez λ i nazywać miarą Lebesgue a na C. W dalszej części skryptu będziemy starali się rozszerzyć miarę Lebesgue a na algebrę a następnie na σ-algebrę generowaną przez rodzinę C. Rozszerzenie λ na algebrę generowanę przez C wynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 3.10 Niech C będzie rodziną podzbiorów określoną wzorem 3.1 i niech będzie miarą na C. Wtedy możemy jednoznacznie rozszerzyć do miary na αc tzn. takiej, że C =. Dowód. Dowód zaczniemy od wykazania równości αc = G, gdzie { n G = Rodzina G jest algebrą, bo } A i : A i C, i = 1,..., n, A i A j =, i j, i, j = 1,..., n, n 1. i Z 3.1 mamy C oraz C G, więc G; ii Niech A G. Wtedy A = n A i, gdzie A i C dla 1 i n, A i A j = dla i j, 1 i, j n oraz n 1. Stąd A = n A i. Ponieważ dopełnienie każdego elementu rodziny C jest rozłączną skończoną sumą elementów rodziny C co natychmiast wynika z definicji rodziny C więc możemy napisać A = n m i j i =1 A i,ji, A i,ji C, j i = 1,..., m i, i = 1,..., n oraz dla każdego 1 i n zbiory A i,ji są dla j i = 1,..., m i parami rozłączne. Korzystając z rozdzielności iloczynu monogościowego względem sumy mnogościowej dostajemy n A = A i,ji, gdzie J i = {1, 2,..., m i }, i = 1, 2,..., n. j 1,...,j n J 1 J n
12 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zauważmy, że n A i,j i C dla 1 i n bo z definicji C wynika natychmiast, że rodzina ta jest zamknięta na skończone przekroje oraz n A i,j i są parami rozłączne tzn. dla i 1,..., j n, j 1,..., j n J 1 J n takich, że i 1,..., j n j 1,..., j n mamy n n A i,ji A i,j i =. Zatem A G. iii Niech A, B G. Wtedy A = B = Zatem n A i, A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1, m B j, B j C, 1 j m, B j B k =, j k, 1 j, k m, m 1. A B = n m A i B j = n m A i B j. Ponieważ A i B j C dla 1 i n, 1 j m oraz A i B j są parami rozłączne dla 1 i n, 1 j m, więc A B G, czyli G jest algebrą. Ponieważ C G. Zatem z definicji αc mamy zawieranie αc G. Z drugiej strony rozłączne sumy n A i, gdzie A i C, 1 i n muszą należeć do αc. Zatem z definicji G wynika, że G αc co ostatecznie dowodzi równości αc = G. Określmy teraz : αc [0, +] wzorem 3.9 A = gdzie A i, A αc, n A = A i, A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1. Wykażemy, że jest dobrze określona tzn., gdy n m A = A i = B j αc,
13 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz gdzie to Rzeczywiście A i = A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1, B j C, 1 j m, B j B k =, j k, 1 j, k m, m 1, = A i A i = m B j = m A i B j = m B j. m A i B j m n A i B j = m B j. Wykażemy, że jest miarą na αc. Warunek = 0 jest oczywisty. Pozostała do wykazania σ-addytywność. Niech A n αc, n 1, A n A m =, n m, n, m 1 oraz A n αc. Ponieważ elementy αc są rozłącznymi sumami elementów z C więc m A n = B i, B i C, 1 i m, B i B j =, i j, 1 i, j m. Z tego samego powodu dla każdego n 1 mamy A n = k n Stąd dostajemy 3.10 B i = B i A n,j A n,j C, 1 j k n, A n,i A n,j =, i j, 1 i, j k n. A n = B i A n = k n B i A n,j Elementy ostatnich sum w 3.10 są parami rozłączne i należą do C więc z σ-addytywności na C dostajemy k n B i = B i A n,j. Stąd i z definicji mamy A n = m B i = = m k n m B i = B i A n,j = m k n A n, B i A n,j
14 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz bo m m A n = A n B i = k n B i A n,j. Tak więc jest miarą. Jednoznaczność roszerzenia wynika natychmiast z 3.9. Na koniec zauważmy jeszcze oczywistość C =. Uwaga. Ponieważ rozszerzenie miary na algebrę αc jest jednoznaczne będziemy oznaczać je takim samym symbolem jak wyjściową miarę. Stosując powyższe twierdzenie możemy teraz rozszerzyć miarę Lebesgue a λ na algebrę αc. Mamy więc określoną miarę λ na zbiorach, które są rozłącznymi i skończonymi sumami przedziałów z C. W dalszym ciągu będziemy się starali rozszerzyć miarę Lebesgue a na rodzinę bardziej złożonych zbiorów. Okazuje się, że takie dalsze rozszerzenie jest możliwe, mianowicie stosując tzw. procedurę Carathodorego możemy rozszerzyć miarę Lebesgue a m.in. na σ-algebrę generowaną przez C tj. na σ-algebrę zbiorów borelowskich patrz Twierdzenie 2.12 i Uwaga po tym twierdzeniu, a nawet na trochę szerszą σ-algebrę zawierającą σ-algebrę zbiorów borelowskich tzw. σ-algebrę zbiorów Lebesgue a. Z tą metodą zapoznamy się w dalszej części skryptu. 3.3 Zadania Zad. 1. Niech #X =. Określmy funkcję zbiorów ϕ : 2 X [0, ] wzorem { 0 gdy #A <, ϕa = + gdy #A =. Wykazać, że ϕ jest addytywna ale nie jest σ-addytywna. Zad. 2. Wykazać, że a Niech X będzie będzie niepustym zbiorem oraz niech x X będzie ustalonym punktem. Wtedy { 1 dla x A, δ x A = A 2 X 0 dla x A, jest miarą tzw. Delta Diraca. b Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy i 0 tzn. A = 0 dla A A; ii A = + dla A A i A oraz = 0. są miarami.
15 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz c Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz A A wtedy i tylko wtedy, gdy A IN lub A IN. Wtedy A = { 1 gdy A IN, 0 gdy A IN, A A jest miarą na A. d Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy A = #A jest miarą miarą liczącą. e Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #X = i niech {x i } i 1 X będzie ustalonym ciągiem. Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {p i } i 1 taki, że p i > 0 dla i 1 oraz p i = 1. Wtedy jest miarą probabilistyczną. = p i δ xi Zad. 3. Niech X = 0, 1] i niech A będzie algebrą z zadania 14 rozdział 2. Określmy funkcję zbiorów : A {0, 1} wzorem { 1, 1/2, b] A dla pewnego 1/2 < b 1, A = 0, w przeciwnym przypadku, A A. Sprawdzić, czy jest miarą na A. Zad. 4. Niech X, d będzie przestrzenia metryczną, a x X będzie ustalonym punktem takim, że zbiór {x} nie jest zbiorem otwartym. Zbiór F X nazywamy sąsiedztwem punktu x, jeśli jest on postaci F = U \ {x}, gdzie U jest otoczeniem punktu x. Określmy rodzinę zbiorów A 2 X następująco: A A wtedy i tylko wtedy, gdy A zawiera pewne sąsiedztwo punktu x lub A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x. Zdefiniujmy funkcję zbiorów ϕ : A [0, +] wzorem ϕa = { 1 gdy A zawiera pewne sąsiedztwo x, 0 gdy A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x, A A. a Pokazać, że A jest algebrą, a ϕ miarą skończenie addytywną. b Sprawdzić, czy ϕ jest σ-addytywna. Zad. 5. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] addytywną funkcją zbiorów na A taką, że = 0 i jest σ-subaddytywna. Wykazać, że jest miarą.
16 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 6. Niech i ν będą miarami na przestrzeni mierzalnej X, A. Wykazać, że + ν oraz a dla a 0 są też miarami. Zad. 7. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą i niech A n A, n 1. Wykazać, że A n = 0 A n = 0 dla każdego n 1. Zad. 8. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą, gdzie miara jest σ-skończona i X = +. Pokazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0 istnieje A A takie, że M < A < +. Zad. 9. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że dla A, B A mamy A B = 0 = A = B. Zad. 10. Niech X, A, będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech A 1,..., A n A są takie, że A i > n 1. Wykazać, że n A i > 0. Zad. 11. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0. Wykazać, że jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i A i+1 dla i 1 mamy A i = lim i A i. Zad. 12. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0 i X <. Wykazać, że jest miarą skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i+1 A i dla i 1 mamy A i = lim i A i. Zad. 13. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0 i X <. Wykazać, że jest miarą
17 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i+1 A i dla i 1 i A i = mamy lim i A i = 0. Zad. 14. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą oraz niech B n A, n 1 będą takie, że B n \ B n+1 = 0 dla n 1. Wykazać, że B i = lim i B i. Zad. 15. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną. Wykazać, że dla dowolnych A 1,..., A n A zachodzi n A i = 1 k 1 k=1 1 i 1 <...<i k n A i1... A ik. Zad. 16. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą i niech {A n } n 1 A będzie taki, że A i A j = 0 dla i j, i, j 1. Wykazać, że A n = A n. Zad. 17. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech {A n } n 1, {B n } n 1 A będą takie, że B n A n dla n 1. Wykazać nierówność A n B n An B n. Zad. 18. Niech X, A, będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech {A n } n 1 A będzie taki, że A n = 1 dla n 1. Wykazać równość A n = 1. Zad. 19. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną i niech { n } n 1 będzie ciągiem miar na A. Załóżmy, że n A n+1 A dla A A i n IN. Wykazać, że funkcja zbiorów : A [0, ] dana wzorem A = lim n na, A A
18 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz jest miarą. Zad. 20. Niech X, BX, będzie przestrzenią z miarą skończoną, gdzie X, d jest przestrzenią metryczną. Wykazać, że dla dowolnego ε > 0 i dla dowolnego A BX istnieją zbiór otwarty U i zbiór domknięty F takie, że F A U i U \ F < ε. Zad. 21. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną, gdzie A = σc oraz C jest algebrą. Wykazać, że algebra C jest gęsta w A względem miary tzn. ε>0 A A A B < ε. B C Zad. 22. Niech F będzie ultrafiltrem podzbiorów zbioru X. Określmy ϕa = { 1 gdy A F, 0 gdy A F,, A 2 X. a Pokazać, że ϕ jest addytywna na 2 X. b Niech #X = i niech ϕ : 2 X {0, 1} będzie addytywną funkcją zbiorów oraz ϕx = 1. Wykazać, że { A X : ϕa = 1} jest ultrafiltrem. c Wykazać, że jeśli #X = to istnieje addytywna funkcja zbiorów ϕ : 2 X {0, 1} taka, że ϕa = 0 dla każdego skończonego zbioru A X i ϕx = 1. d Wykazać, że jeśli X jest zbiorem przeliczalnym to funkcja zbiorów ϕ z punktu c nie może być σ-addytywna.
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoWykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi
Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowozaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:
1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoI kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary
I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary 17.11.05 Grupa A 1. (a)udowodnić,żelim(a n B n ) lima n limb n. (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: ( A n = ( 1) n 1,1 ( 1)n 1 ) [3,4+( 1) n ). n n a)x
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoUltrafiltry. Dominik KWIETNIAK, Kraków. 1. Ultrafiltry
W niniejszym artykule zero nie jest liczbą naturalną! Ultrafiltry Dominik KWIETNIAK, Kraków Artykuł ten stanowi zapis referatu jaki został wygłoszony na XLVII Szkole Matematyki Poglądowej Ekstrema. Przedstawiono
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoGrzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste c Grzegorz Plebanek (2009) wersja γ (2013) Spis treści 0 Wiadomości wstępne 1 0.1
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowo