8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
|
|
- Kornelia Jarosz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti, t i+1 ](t), ω Ω, t, i=1 gdzie = t t 1 <... < t n+1 < oraz ξ i są ograniczonymi zmiennymi losowymi F ti mierzalnymi, i =, 1, 2,..., n. Dla każdego X Ξ i M M 2, (u nas M = ) określamy proces (8.1) Y t = X s dm s := ξ M + n ξ i (M ti+1 t M ti t), t. i=1 Lemat 8.1 Niech X Ξ i M M 2. Wtedy (i) Proces Y = {Y t } t określony wzorem (8.1) jest martyngałem całkowalnym z kwadratem tj. Y M 2. (ii) Dla każdego N M 2 mamy w szczególności (iii) Y = X M. [ X s dm s, X s dm s, N = ] X s dm s, N = X s dm s = X s d M, N s X s d[m, N] s, X 2 s d M, M s. Dowód. Dowód punktów (i) i (ii) przebiega analogicznie jak dowód twierdzenia 5.23, wiec zostawiamy go jako zadanie domowe. W dowodzie punktu (iii) (z liniowości całki) wystarczy przyjąć X = ξ i I (ti, t i+1 ]. Wtedy dla t [, t i ], Y t = ξ i (M t M ti ) dla t (t i, t i+1 ), ξ i (M ti+1 M ti ) dla t [t i+1, ), t. Stąd proces Y jest stały (względem t) na przedziałach (, t i ] i [t i+1, ), więc ma skok tylko dla t (t i, t i+1 ]. Jeśli teraz M t = M t, to Y t = Y t, a jeśli M t M t, to Y t = ξ i (M t M ti ).
2 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Zatem Y = X M. Uwaga. Zauważmy, że w definicji procesów z Ξ używa się przedziałów postaci (t i, t i+1 ], a nie postaci [t i, t i+1 ). Jeśli X = ξ i I (ti, t i+1 ], to oraz więc E X 2 s d M, M s = E[ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti )] [ ) 2 ] E X s dm s = E [ ξi 2 (Mt 2 i+1 Mt 2 i ) ] = E [ ξ 2 i (M 2 t i+1 M, M ti+1 M 2 t i + M, M ti ) ] + E[ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti )] = E[ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti )], [ ) 2 ] E X s dm s = E Xs 2 d M, M s ). Ale jeśli X = ξ i I [ti, t i+1 ) i M nie jest ciągły, to X 2 s d M, M s = ξ 2 i ( M, M ti+1 M, M ti ) ( ) [( ) i E Xs 2 2 d M, M s nie musi być równe E X s dm s ]. Niech M M 2. Określmy klasę procesów Λ 2 (M) = Zauważmy, że zachodzi równość { H prognozowalny proces : E ) } Hs 2 d M, M s <. ) ( E Hs 2 d M, M s = E Hs 2 d[m, M] s ), bo M, M jest prognozowalnym kompensatorem [M, M]. W przestrzeni wektorowej Λ 2 (M) wprowadzamy normę ( H 2 ) ( Λ 2 (M) = E Hs 2 d M, M s = E Hs 2 d[m, M] s ), Lemat 8.2 Niech H Λ 2 (M). Wtedy istnieje ciąg {H n } n 1 Ξ taki, że ) E (Hs n H s ) 2 d M, M s. n
3 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 15 Dowód. Analogiczny jak twierdzenia Twierdzenie 8.3 Niech M M 2. Dla każdego H Λ 2 (M) istnieje jedyny element L M 2 taki, że dla każdego N M 2 mamy L, N t = H s d M, N s, t, oraz L = H M. [L, N] t = H s d[m, N] s, t Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia Jednoznaczność może być udowodniona jak w przypadku ciągłych martyngałów. Istnienie. Rozważmy odwzorowanie Φ : Ξ M 2 określone wzorem Φ(H) = Z lematu 8.1 odwzorowanie Φ jest izometrią, bo H s dm s. ( H 2 ) [( Λ 2 (M) = E Hs 2 ) 2 ] d M, M s = E H s dm s = H s dm s 2M 2. Zatem może być rozszerzona do izometrii Φ na całej przestrzeni Λ 2 (M). Jeśli więc H Λ 2 (M) to z lematu 8.2 istnieje ciąg {H n } n 1 Ξ taki, że H n H w Λ 2 (M). Zatem H n s dm s n Φ(H) w przestrzeni M2. Definiujemy H s dm s := Φ(H) = lim n Z lematu 5.12 istnieje podciąg {H n k} n 1 taki, że H n s dm s. H n k s jednostajnie względem t. Stąd dm s k H s dm s, P p.w. ( H n k s dm s ) k ( H s dm s ), P p.w., t.
4 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Z drugiej strony ( lim k H n k s dm s ) = lim k Hn k t M t. Ponieważ H n H w Λ 2 (M), więc z definicji 7.2 mamy Zatem Równość E [ (H n k H) 2 t ( M t ) 2] ) E (H n k s H s ) 2 d[m, M] s (8.2) L, N t = ( H t M t = H s dm s ), P p.w., t. H s d N, M s, t k. dowodzi się analogicznie jak w twierdzeniu Korzystając z nierówności Kunity-Watanabe dla opcjonalnych wariacji tj. ) 1/2 ( H s K s dv s ([M, N]) Hs 2 ) 1/2 d[m, M] s Ks 2 d[n, N] s (dowód analogiczny jak dla klasycznej nierówności Kunity-Watanabe) dostajemy postępując analogicznie jak w dowodzie (8.2) równość [L, N] t = H s d[n, M] s, t. Uwaga. Zauważmy, że jeśli M M 2,d, to L M 2,d, bo dla N M 2,c mamy E(L N ) = E L, N = E H s d M, N s =. Definicja 8.4 Jedyny element L Λ 2 (M) w twierdzeniu 8.3 nazywamy całką stochastyczną procesu H względem martyngału M M 2 i oznaczamy ją symbolem H s dm s := L t, t. Tak określona całka stochastyczna posiada niektóre własności analogiczne jak całka stochastyczna względem ciągłych martyngałów, mianowicie
5 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Twierdzenie 8.5 Niech H Λ 2 (M) oraz K Λ 2 (L), gdzie Wtedy HK Λ 2 (M) oraz L t = K s dl s = H s dm s, t. K s H s dm s, t. Ponadto dla dowolnego czasu zatrzymania T mamy HI ]],T ]] Λ 2 (M) oraz dla t (8.3) L T t = T t H s dm s = I ]],T ]] H s dm s = Dowód. Analogiczny jak lematów 5.25 i H s dm T s = H T s dm T s. Twierdzenie 8.6 Niech M M 2 A i niech H będzie prognozawalnym procesem takim, że ) ( E Hs 2 ) d M, M s <, E H s dv s (M) <. Wtedy całka stochastyczna L = H s dm s względem M M 2 jest równa całce Lebesgue a- Stieltjesa Y = H s dm s względem M A. Dowód. Dla każdego ograniczonego martyngału N M 2 mamy (twierdzenie 7.3 i 7.9) ( ) ( E(Y N ) = E Y s N s = E H s M s N s ). Z drugiej strony bo s s E(L N ) = E L, N = E[L, N] = ) ( E H s d[m, N] s = E H s M s N s ), s [M, N] t = M c, N c t + s t M s N s, t oraz M c, N c =, bo M c = jako, że M M 2 A (wniosek 4.34). Dlatego E(Y N ) = E(L N ). Ponieważ N ograniczona może być wybrana dowolnie, więc Y = L i Y = L. Wzór (8.3) pozwala uogólnić pojęcie całki stochastycznej względem martyngałów z M 2 do całki stochastycznej względem martyngałów z M 2 loc, mianowicie zachodzi
6 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Twierdzenie 8.7 Niech M M 2 loc i niech H będzie prognozowalnym procesem takim, że H 2 s d M, M s A + loc. Wtedy istnieje jedyny element L M 2 loc taki, że dla każdego N M2 loc zachodzi L, N t = [L, N] t = H s d M, N s, t, H s d[m, N] s, t. Proces L nazywamy całką stochastyczną z procesu H względem martyngału M M 2 loc i oznaczamy H s dm s := L t, t. Dowód. Niech {T n } n 1 i {R n } n 1 będą ciągami lokalizacyjnymi dla M M 2 loc i dla H 2 s d M, M s A + loc. Określmy S n = T n R n, n 1. Z twierdzenia 8.3 otrzymujemy ciąg procesów L n M 2 taki, że Definiujemy L n t = H s dm Sn s, t. L t (ω) := L n t (ω) jeśli t S n (ω) Na mocy twierdzenia 8.5 proces L jest dobrze określony. 8.2 Całka stochastyczna względem martyngału lokalnego Z twierdzenia 7.11 martyngał M M loc (M = ) możemy przedstawić w postaci M = M + M, gdzie M M 2 loc oraz M M loc A loc. Celem naszym jest znalezienie klasy procesów które byłyby całkowalne względem M i M oraz określenie całki względem M jako sumy całek względem M i M. Taka definicja całki okaże się poprawna mimo, że rozkład M = M + M nie jest jednoznaczny. Uwaga. Niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem. i niech {T n } n 1 będzie ciągiem lokalizacyjnym dla H tzn. dla każdego n 1 proces H Tn jest ograniczony. Jeśli M M loc i M = M + M, gdzie M M 2 loc oraz M M loc A loc, to H s dv s (M ), H 2 s d M, M s A + loc. Zatem z twierdzenia 8.7 i twierdzenia 7.3 proces H możemy całkować względem M i M.
7 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Twierdzenie 8.8 Niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem i niech M M loc (M = ). Wtedy całkę stochastyczną z procesu H względem martyngału lokalnego M możemy zdefiniować wzorem (8.4) H s dm s = H s dm s + H s dm s, t, gdzie M = M + M oraz M M 2 loc oraz M M loc A loc Dowód. Z twierdzenia 8.7 i 7.3 tak określona całka jest lokalnym martyngałem. Musimy wykazać, że definicja całki stochastycznej (8.4) nie zależy od rozkładu M = M + M, gdzie M M 2 loc i M M loc A loc, który jak wiemy nie musi być jednoznaczny. Z dowodu twierdzenia 7.12 mamy reprezentację M = M c + M 1 + M 2, gdzie M c M c loc (i jest wyznaczony jednoznacznie z wniosku 7.13), M 1 M 2,d loc, M 2 M loc A loc. Załóżmy, że mamy jeszcze inną reprezentację M = M c + N 1 + N 2, gdzie M c M c loc, N 1 M 2,d loc, N 2 M loc A loc. Zatem oraz Y 1 t := Y 2 t := H s dm c s + H s dm c s + H s dm 1 s + H s dn 1 s + H s dm 2 s H s dn 2 s Dwie ostatnie całki po prawej stronie należą do M d loc w obu równaniach. Ponieważ całka względem ciągłego martyngału jest ciągła, więc z wniosku 7.13 mamy (Y 1 t ) c = (Y 2 t ) c = Ponadto zauważmy, że w obu przypadkach sumy całek H s dm 1 s + H s dm 2 s i H s dm c s. mają te same skoki, bo (M 1 + M 2 ) = (N 1 + N 2 ) oraz H s dn 1 s + H M 1 + H M 2 = H N 1 + H N 2. H s dn 2 s Z twierdzenia 7.12 są więc równe. Zatem definicja (8.4) całki stochastycznej jest poprawna.
8 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Uwaga. Została zdefiniowana całka z M M loc, M =. Gdy M, to określamy M t = M t M. Stąd M M loc, M = oraz M = M + M. Definiujemy wtedy całkę z prognozowalnego, lokalnie ograniczonego procesu H wzorem Niech M M d loc. Określmy H s dm s := H M + H s dm s. [M, M] t := s t( M s ) 2, t. Jest to proces o niemalejących trajektoriach i M jest oczywiście cadlag, więc [M, M] V +. Można pokazać więcej, mianowicie Twierdzenie 8.9 Niech M M d loc. Wtedy [M, M]1/2 A + loc. Dowód. Rozważmy rozkład M = M + M, gdzie M M 2 loc (w rzeczywistości M jest lokalnie ograniczony) oraz M M loc A loc. Mamy [M, M] t = ( M s ) 2 = s s t s t( M + M ) 2, t. Z nierówności trójkąta mamy Ale [M, M] 1/2 t = ( ( M s ) 2) 1/2 ( = ( M s + M ) 2) 1/2 s t ( ( M s) 2) 1/2 ( + ( M s ) 2) 1/2 = [M, M ] 1/2 t + [M, M ] 1/2 t, t. s t s t ( [M, M ] 1/2 = ( M s ) 2) 1/2 M V (M ), s więc [M, M ] 1/2 A + loc oraz [M, M ] 1/2 A + loc, bo M = M M M d loc, jest lokalnie ograniczony, więc należy do M 2,d loc i z twierdzenia Dla M M loc zdefiniujmy opcjonalną kwadratową wariację wzorem s t s [M, M] t := M c, M c t + s t( M s ) 2, t,
9 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Wniosek 8.1 Niech M M loc. Wtedy [M, M] 1/2 A + loc. Dowód. Mamy [M, M] 1/2 = ( M c, M c + [M d, M d ] ) 1/2 M c, M c 1/2 + [M d, M d ] 1/2 A + loc, z twierdzenia 8.9 i z tego, że M c, M c A + loc (co więcej jest jest on nawet lokalnie ograniczony na mocy twierdzenia 4.31). Uwaga. Jeśli M M loc, to z dowodu twierdzenia 8.8 wynika, że dla prognozowalnego lokalnie ograniczonego procesu H mamy H s dm d s M d loc. Ponadto [M d, M d ] t = s t( M s ) 2, t. Dla N M loc mamy [ ] H s dms d, N = ( s s H u dm d u ) N s = s H s M d s N s = H s d[m d, N] s oraz [ ] H s dms c, N = H s dms c, N c = H s d M c, N c = H s d[m c, N]. Z powyższej uwagi oraz twierdzenia 8.7 i 8.8 mamy Twierdzenie 8.11 Niech M M loc i niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem. Wtedy istnieje jedyny proces L M loc taki, że dla każdego N M loc mamy Ponadto L = H M. [L, N] = H s d[m, N] s. 8.3 Ogólny problem całki stochastycznej Byłoby interesujące wyznaczyć jak największą klasę procesów, które byłyby całkowane względem matyngałów lokalnych. Z naszych dotychczasowych rozważań wynika, że dla M M loc i dla prognozowalnego lokalnie ograniczonego procesu H mamy: (i) [M, M] 1/2 A + loc,
10 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład (ii) H s dm s M loc, ( ) (iii) H u dm u = H M. Zatem (8.5) ( ) 1/2 [ Hs 2 d[m, M] s = H s dm s, H s dm s ] 1/2 A + loc. Stąd wynika, że jeśli chcemy rozszerzyć klasę procesów całkowalnych H względem martyngałów lokalnych M, to jednym z koniecznych warunków jest warunek (8.5). Okazuje się, że jest to również warunek dostateczny. Określmy dla 1 p < przestrzeń liniową H p = { M M : E ( sup M t p) } <. t Z nierówności Dooba dla L 2 mamy ( E sup M t 2) 4E(M ), 2 t zatem H 2 = M 2. Można pokazać, że H 1 M. Przestrzeń H 1 jest przestrzenią Banacha z normą ( ) M H 1 = E sup M t t. Równoważną normę daje nierówność Davies a Twierdzenie 8.12 Istnieją stałe k > i K > takie, że dla każdego M M loc zachodzą nierówności ( ) k E([M, M] 1/2 ) E sup M t K E([M, M] 1/2 ). t Twierdzenie 8.13 Niech M M d loc (M = ) oraz niech H będzie prognozowalnym procesem takim, że ( ) 1/2 Hs 2 d[m, M] s A + loc. Wtedy istnieje jedyny proces L Hloc 1 Md loc taki, że L = H M. Dowód. Wystarczy wykazać, że jeśli M M d i ( ) 1/2 Hs 2 d[m, M] s A +,
11 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład to L H 1 M d. Rozważmy zbiór A = {M M }. Istnieją ciągi {T n } n 1 i {S n } n 1 o rozłącznych wykresach takie, że dla każdego n 1 czas zatrzymania T n jest prognozowalny, a S n totalnie nieosiągalny oraz A [[T n ]] k ]]. n 1 k 1[[S Zdefiniujmy proces Ponieważ ( E A n t = H Sn M Sn I {Sn t}, t n 1. EV (A n ) = E H Sn M Sn I {Sn< } HS 2 k ( M Sk ) 2 I {Sk < } + k 1 n 1 ) 1/2 E Hs 2 d[m, M] s <, H 2 T n ( M Tn ) 2 I {Tn< }) 1/2 = więc A n A, n 1. Niech Ãn będzie prognozowalnym kompensatorem A n. Oznaczmy N n := A n Ãn, n 1. Jak wiadomo (twierdzenie 4.38) kompensator Ãn ma ciągłe trajektorie. Stąd N n S n = H Sn M Sn I {Sn< }. Ponadto N n H 1, bo ( E ) ( sup Nt n = E t ) ( sup A n Ãn E t sup t Analogicznie konstruujemy proces dla T n, n 1. ) A n t +sup Ãn E [ V (A n )+V (Ãn ) ] <. t B n t = H Tn M Tn I {Tn t}, t, który z tych samych powodów co A n należy on do A. Oznaczmy K n = B n B n, n 1. Analogicznie jak w dowodzie lematu 7.14) dowodzi się, że B n, n 1 są martyngałami jednostajnie całkowalnymi. Zatem B n =. Z tych samych powodów co wyżej K n H 1. Oznaczmy L n = m n(n m + K m ), n 1. Wtedy L n H 1, n 1. Dla n > m otrzymujemy [L n L m, L n L m ] = ( H 2 Sk ( M Sk ) 2 I {Sk < } + HT 2 k ( M Tk ) 2 I {Tk < }) oraz E[L n L m, L n L m ] 1/2 m k n [ = E m k n ( H 2 Sk ( M Sk ) 2 I {Sk < } + H 2 T k ( M Tk ) 2 I {Tk < }) ] 1/2
12 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład zmierza do zera, gdy n, m z twierdzenia Lebesgue a o ograniczonej zbieżności, bo ) 1/2 E Hs 2 d[m, M] s <. Stąd i z nierówności Davies a ciąg {L n } n 1 jest ciągiem Cauchy ego w przestrzeni Banacha H 1. Zatem istnieje granica L := lim n Ln H 1. Możemy wybrać podciąg {L n k} k 1, który jest zbieżny do L P - p.w. i jednostajnie względem t, więc L = H M. Jednoznaczność wynika z twierdzenia Całka stochastyczna względem semimartyngałów Niech X, (X = ) będzie semimartyngałem tzn. (8.6) X = M + A, M M loc, A V oraz niech H będzie prognozowalnym lokalnie ograniczonym procesem. Definiujemy całkę jako H s dx s = H s dm s + H s da s, t. Lemat 8.14 Powyższa definicja całki stochastycznej względem semimartyngalu X jest poprawna tzn. nie zależy od reprezentacji (8.6) Dowód. Niech Stąd X = M 1 + A 1 = M 2 + A 2, M 1, M 2 M loc, A 1, A 2 V. M 1 M 2 = A 2 A 1 M loc V = M loc A loc. Jeśli martyngał lokalny M 1 M 2 V to całka stochastyczna względem M 1 M 2 jest równa całce Lebesgue a-stieltjesa. Zatem Stąd H s dm 1 s + H s d(m 1 s M 2 s ) = H s da 1 s = H s d(a 2 s A 1 s), t. H s dm 2 s + H s da 2 s, t.
13 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 16 Twierdzenie 8.15 (Wzór Ito) Niech X będzie semimartyngałem oraz niech F C 2 (IR). Wtedy proces {F (X t )} t jest semimartyngałem oraz dla s < t mamy F (X t ) = F (X s ) + F (X u ) dx u + 1 F (X u ) d X c, X c u + (s,t] 2 (s,t] [ F (Xu ) F (X u ) F ] (X u ) X u, s<u t gdzie X c jest ciągłą częścią semimartyngału X. Twierdzenie 8.16 (Wielowymiarowy wzór Ito) Niech X = (X 1,..., X n ) będzie semimartyngałem o wartościach w IR n i niech F C 2 (IR n ). Wtedy proces {F (X t )} t jest semimartyngałem oraz dla s < t mamy n F (X t ) = F (X s ) + D i F (X u ) dxu i + 1 n D i D j F (X u ) d (X i ) c, (X j ) c u + (s,t] 2 i=1 s<u t [ F (X u ) F (X u ) Wniosek 8.17 Niech M M loc. Wtedy M 2 t [M, M] t = 2 i,j=1 (s,t] n ] D i F (X u ) Xu i. i=1 M s dm s, t. Dowód. Zastosować wzór Ito do funkcji F (x) = x 2. Wniosek 8.18 Niech X i Y będą semimartyngałami. Wtedy XY jest semimartyngałem oraz X t Y t = X s dy s + Y s dx s + [X, Y ] t, t, gdzie [X, Y ] t := X c, Y c t + X s Y s, t. s t Jeśli X V, to X t Y t = X s dy s + Y s dx s + s t X s Y s, t,
14 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Dowód. Zastosować wielowymiarowy (n = 2) wzór Ito do funkcji F (x, y) = xy. Twierdzenie 8.19 (Doléans-Dade) Niech X będzie semimartyngałem (X = ). Wtedy istnieje jedyny semimartyngał Z taki, że oraz Z t = 1 + Z t = exp [X t 1 ] 2 Xc, X c t Z s dx s, t s t [ (1 + Xs ) exp( X s ) ]. Dowód. Zastosować wielowymiarowy (n = 2) wzór Ito do funkcji F (x, y) = e x y podstawiając x := X t 1 2 Xc, X c t, y := [ (1 + Xs ) exp( X s ) ]. s t
4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoNieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością
Nieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością Rafał Łochowski SGH 6. Forum Matematyków Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 1 / 21 Problem z nieskończonym wahaniem
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoWokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo6 Wzór Ito i jego zastosowania
M. Beśka, Całka Stochatyczna, wykład 6 114 6 Wzór Ito i jego zatoowania 6.1 Wzór Ito Zaczniemy od przedtawienia wzoru Ito. Twierdzenie 6.1 Niech X będzie proceem potaci X = M +, gdzie M M c loc oraz c
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoJoachim Syga WIELOWARTOŚCIOWE CAŁKI STOCHASTYCZNE WZGLĘDEM SEMIMARTYNGAŁU I ICH ZASTOSOWANIA W TEORII INKLUZJI STOCHASTYCZNYCH
WYDZIAŁ MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI Joachim Syga WIELOWARTOŚCIOWE CAŁKI STOCHASTYCZNE WZGLĘDEM SEMIMARTYNGAŁU I ICH ZASTOSOWANIA W TEORII INKLUZJI STOCHASTYCZNYCH Rozprawa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoOptymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Dworczak Nr albumu: 91564 Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów Praca licencjacka na kierunku MATEMATYA
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoJak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych)
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych) Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki leszekp@mimuw.edu.pl Horyzonty 2014 17-03-2014 Będlewo Zadania numeryczne
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie
Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 1 / 42 Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowo