F t+ := s>t. F s = F t.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "F t+ := s>t. F s = F t."

Transkrypt

1 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną σ-algebr (F t F, t 0) spełniającą nastepujące własności: (i) Jeśli s, t 0 oraz s < t to F s F t (F nazywamy wtedy filtracją). (ii) Filtracja F = {F t } t 0 jest prawostronnie ciągła tj. F t+ := s>t F s = F t. Rodzinę F o powyższych własnościach nazywamy filtracją prawostronnie ciągłą, a uporządkowana czwórkę (Ω, F, F, P ) nazywamy bazą stochastyczną. W dalszym ciągu o przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) oraz o filtracji {F t } t 0 będziemy dodatkowo zakładać: (iii) Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ) jest zupełna. (iv) Każda σ-algebra F t zawiera wszystkie elementy A F, takie że P (A) = 0. Wtedy uporządkowana czwórkę (Ω, F, F, P ) będziemy nazywać zupełną bazą stochastyczną. Można wykazać, że dla danej bazy stochastycznej (Ω, F, F, P ) istnieje zupełna baza stochastyczna (Ω, F, F, P ) taka, że F F, F t F t dla F t F, Ft F, t 0 oraz P F = P. Założenie o zupełności bazy stochastycznej będzie obowiązywać przez cały nasz wykład. Wprowadźmy jeszcze oznaczenie pewnej σ-algebry; F := t 0 F t tzn. F jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą wszystkie elementy filtracji F. Będziemy w naszym wykładzie przyjmować F = F. 1.2 Czasy zatrzymania Definicja 1.1 Odwzorowanie T : Ω [0, ] nazywamy czasem zatrzymania (stopu), jeśli dla każdego t 0 zachodzi {T t} F t, gdzie Uwaga. Ponieważ {T t} := {ω Ω : T (ω) t}. (1.1) {T = } = Ω \ B, gdzie B = t 0{T t} = oraz B t 0 F t = F, {T n} n=1

2 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 2 więc {T = } F. Przedstawimy teraz podstawowe własności czasów zatrzymania. Lemat 1.2 Stały czas T t 0, gdzie t 0 [0, ] jest czasem zatrzymania Dowód. Mamy {T t} = { dla t < t0, Ω dla t t 0, dla każdego t 0 oraz, Ω F t. Lemat 1.3 Jeśli T jest czasem zatrzymania to {T > t}, {T < t}, {T = t} F t. Dowód. Własności te wynikają z równości: {T > t} = {T t}, {T < t} = {T r}, r Q + r<t {T = t} = {T t} {T < t}. Lemat 1.4 Odwzorawanie T : Ω [0, ] jest czasem zatrzymania gdy, dla każdego t 0 zachodzi {T < t} F t. Dowód. W jedna stronę implikacja wynika z lematu 1.3. W drugą stronę mamy m 1 {T t} = n=1 { T < t + 1 } = n n=m { T < t + 1 } F n t+ 1 m Stąd i z prawostronnej ciągłości filtracji F dostajemy {T t} m=1 F t+ 1 m = F t+ = F t. Lemat 1.5 Jeśli S i T są czasami zatrzymania to odwzorowania S T, S T, S + T są także czasami zatrzymania.

3 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 3 Dowód. Odwzorowania S T, S T są czasami zatrzymania, ponieważ {S T t} = {S t} {T t}, {S T t} = {S t} {T t}, dla każdego t 0 oraz zbiory te należą do F t jako iloczyn oraz suma (odpowiednio) elementów z F t. W celu wykazania, że S + T jest czasem zatrzymania na mocy lematu 1.4 wystarczy pokazać, że {S + T < t} F t dla każdego t 0. Niech więc t > 0 (dla t = 0 teza jest oczywista). Zauważmy, że (1.2) {S + T < t} = {S < q} {T < r}. q,r Q + r+q<t Rzeczywiście, jest oczywiste, że zbiór po prawej stronie jest zawarty w zbiorze po lewej stronie. W druga stronę. Niech ω {S + T < t}. Oznaczmy δ := t S(ω) T (ω). Z gestości zbioru liczb wymiernych na prostej wynika, że istnieją nieujemne liczby wymierne q i r takie, że 0 < q S(ω) < δ 2 oraz 0 < r T (ω) < δ 2 Stąd mamy, więc S(ω) < q T (ω) < r q + r < δ + S(ω) + T (ω) = t z definicji δ. Zatem ω należy do zbioru po prawej stronie równania (1.2), co kończy dowód tej równości. Stosując teraz (1.2) od razu uzyskujemy tezę lematu. Lemat 1.6 Jeśli {T n } n N jest ciągiem czasów zatrzymania to odwzorowania sup T n, n 1 inf n 1 T n są też czasami zatrzymania. Dowód. Prawdziwe są równości: { } T n t = n 1{T n t} oraz sup n 1 { } inf T n < t = {T n < t}. n 1 n 1 Stąd i z lematu 1.4 dostajemy tezę. Definicja 1.7 Niech T będzie czasem zatrzymania względem ustalonej filtracji. Określmy rodzinę zbiorów { F T := A F : A {T t} F t }. t 0

4 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 4 Jest to rodzina zdarzeń losowych, o których możemy powiedzieć (w danej chwili t), że zaszły lub nie o ile nastąpił moment T przed chwilą t. Łatwo zauważyć, że F T jest σ-algebrą. Podamy teraz pewne własności F T. Lemat 1.8 Czas zatrzymania T jest F T -mierzalny. Dowód. Dla t 0 i dla każdego s 0 mamy { {T t} gdy t s, {T t} {T s} = {T s} gdy t s i obu przypadkach zbiór ten należy do F s (W pierwszym przypadku wynika to z zawierania F t F s ). Lemat 1.9 Jeśli t 0 0 i T t 0 to F T = F t0. Dowód. Dla t 0 0 zachodzi równość A {T t} = { A gdy t t0, gdy t < t 0. Stąd A F T wtedy i tylko wtedy gdy, A F t dla t t 0 tj. wtedy i tylko wtedy gdy A F t0. Uwaga. Zauważmy, że jeśli t 0 i T = t 0 to teza lematu 1.9 również zachodzi. Lemat 1.10 Jeśli T jest czasem zatrzymania, S jest F T -mierzalną zmienną losową taką, że S T to S jest czasem zatrzymania. Dowód. Z F T -mierzalności zmiennej losowej S otrzymujemy {S t} {T t} F t dla każdego t 0, a ponieważ T S, więc {S t} {T t}. Zatem {S t} = {S t} {T t} F t. Lemat 1.11 Jeśli S, T są czasami zatrzymania oraz S T to F S F T. Dowód. Dla każdego t 0 i A F S mamy ( ) A {T t} = A {S t} {T t} F t bo S T i A {S t} F t, {T t} F t. Zatem A F T.

5 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 5 Lemat 1.12 Jeśli {T n } n N jest danym ciągiem czasów zatrzymania to dla czasu zatrzymania T = inf n N T n zachodzi równość F T = Dowód. Z lematu 1.11 otrzymujemy inkluzję W drugą stronę. Jeśli A F T F Tn. n=1 F Tn. n=1 F Tn tj. dla każdego n IN i t 0 n=1 (1.3) A {T n t} F t. Z lematu 1.3 wynika, że {T n < t} F t, więc z (1.3) mamy A {T n < t} = {T n < t} ( A {T n t} ) F t. Stąd { } (1.4) A {T < t} = A inf T n < t = A {T n < t} F t. n N Zatem na mocy (1.4) mamy A { T < t + m} 1 Ft+ 1 dla m IN. Stąd dla każdego k IN m mamy Zatem A {T t} = m=1 ( { A T < t + 1 }) = m A {T t} k=1 F t+ 1 k n N m=k ( { A T < t + 1 }) m = F t+ = F t. F t+ 1. k Lemat 1.13 Jeśli S, T są czasami zatrzymania to następujące zdarzenia losowe {S < T }, {T S}, {T = S} należą do F S F T = F S T. Dowód. Wystarczy wykazać, że podane zdarzenia losowe należą do F T i do F S. Dla ustalonego t 0 otrzymujemy {T < S} {T t} = ( ) ( ) {T < r} {r < S} {T = t} {t < S} F t, r<t r Q

6 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 6 oraz {T < S} {S t} = r<t r Q ( ) {T < r} {r < S} {S t} F t, więc {T < S} należy do F T i do F S. Oczywiście przez symetrię {T > S} również należy do F T i do F S. Zdarzenie losowe {S T } należy do podanych σ-algebr jako dopełnienie {S < T }. W końcu {T = S} = {T S} {S T } F S F T = F S T. Lemat 1.14 Niech S i T będą czasami zatrzymania. Jeśli A F S to A {S T } F S T oraz A {S < T } F S T. Dowód. Z założenia i z lematu 1.13 mamy A {S T } F S, a ponieważ ( A {S T } ) {S T t} = ( A {S T } ) {S t} Ft dla każdego t 0, zatem A {S T } F S T. Analogicznie dowodzimy drugą część lematu. Uwaga. Z powyższego lematu od razu otrzymujemy: Dla A F S A {S T } F T, A {S < T } F T. Lemat 1.15 Niech X będzie F-mierzalną zmienną losową oraz taką, że E X <. Zachodzi równość (1.5) E[E[X F T ] F S ] = E[X F T S ] dla dowolnych czasów zatrzymania T i S. Dowód. Ponieważ (F T S F T z lematu 1.11) E[X F T S ] = E[E[X F T ] F T S ] więc wystarczy wykazać lemat dla F T -mierzalnej zmiennej losowej Y (E Y < ). tj. (1.6) E[Y F S ] = E[Y F T S ].

7 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 7 Z własności warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że wystarczy wykazać (1.6) dla Y = I A, A F T (I A oznacza indykator zbioru A). Niech więc A F T oraz F F S. Na mocy lematu 1.14 zbiory F {S T } i A {T < S} należą do F S T. Otrzymujemy E[I A F S T ] dp = E[I A F S T ] dp + E[I A F S T ] dp F F {S T } = P (A F {S T }) + F F {S>T } E[I A {S>T } F S T ] dp = P (A F {S T }) + P (A F {S > T }) = P (A F ) = E[I A F S ] dp. Wprowadzimy teraz szczególne podzbiory w [0, ) Ω tzw. przedziały stochastyczne. Niech S i T będą czasami zatrzymania. Wtedy zbiór ]]S, T ]] := {(t, ω) [0, ) Ω : S(ω) < t T (ω)} będziemy nazywać przdziałem stochastycznym lewostronnie otwartym i prawostronnie domkniętym. Podobnie określamy następujące przedziały stochastyczne: ]]S, T [[, [[S, T ]], [[S, T [[. Zauważmy, że [[T ]] := [[T, T ]] = {(t, ω) [0, ) Ω : T (ω) = t} oraz ]]s, t]] :=]s, t] Ω dla s, t IR. Ponadto wszystkie przedziały stochastyczne należą do B([0, )) F. 1.3 Procesy i cadlag procesy Niech (E, A) będzie mierzalna przestrzenią (w naszym wykładzie będziemy rozważać tylko dwa przypadki, kiedy ta przestrzeń jest równa ( IR, B(IR) ) albo ( IR d, B(IR d ) ) ). Przez proces stochastyczny rozumiemy odwzorowanie z [0, ) Ω w E takie, że dla każdego t 0 odwzorowanie F X t ( ) : Ω E Ω ω X t (ω) E jest F-mierzalne tzn. X t jest zmienną losową. Proces ten będziemy oznaczać przez X lub X = {X t } t 0. Definicja 1.16 Niech X i Y będą procesami stochastycznymi określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Mówimy, że proces X jest modyfikacją (wersją) procesu Y (lub Y jest modyfikacją (wersją) procesu X) jeśli P ( {X t Y t } ) = 0. t 0

8 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 8 Definicja 1.17 Procesy stochastyczne X i Y nazywamy nierozróżnialnymi jeśli ( ) P (π({x Y })) = P {X t Y t } = 0, gdzie π jest rzutem na Ω. Zauważmy, że powyższa definicja wymaga, aby zbiór π({x Y }) = t 0{X t Y t } t 0 był mierzalny. Jeśli procesy X i Y są nierozróżnialne, to mówimy, że jeden z nich jest realizacją drugiego. Relacja nierozróżnialności procesów jest relacją równoważności i w dalszej części wykładu bedziemy identyfikować procesy nierozróżnialne. Oczywiście jeśli dwa procesy są nierozróżnialne to jeden z nich jest wersją drugiego. Podzbiór A [0, ) Ω nazywamy nieistotnym jeśli proces I A jest nierozróżnialny od procesu zerowego lub równoważnie P (π(a)) = 0. Niech X będzie procesem stochastycznym i ustalmy ω Ω. Odwzorowanie t X t (ω) nazywamy trajektorią procesu X. Wyróżnimy pewne klasy procesów ze względu na własności ich trajektorii. Definicja 1.18 Niech X będzie procesem X jest cag procesem jeśli jego trajektorie są lewostronnie ciągłe. X jest cad procesem jeśli jego trajektorie są prawostronnie ciągłe. X jest cadlag procesem jeśli jego trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronne granice. X jest caglad procesem jeśli jego trajektorie są lewostronnie ciągłe i posiadają prawostronne granice. X jest ciągłym procesem jeśli jego trajektorie są ciągłe. Twierdzenie 1.19 Jeśli X i Y są cad lub cag procesami i X jest modyfikacją Y to procesy X i Y są nierozróżnialne. Dowód. ( Dla każdego r Q + oznaczmy przez A r = {X r Y r }. Z założenia P (A r ) = 0. Stąd P r Q r) + A = 0. Z jednostronnej ciągłości wynika, że A := t 0 A t = r Q + A r. Zatem P (A) = 0 czyli X i Y są nierozróżnialne.

9 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 9 Z dowodu powyższego twierdzenia wynika, że stosowanie cad lub cag procesów daje nam możliwość badania ich własności ograniczając się tylko do pewnego przeliczalnego gęstego podzbioru IR + np. zbioru nieujemnych liczb wymiernych Q +. Zajmiemy sie teraz problemem mierzalności procesów stochastycznych. Zaczniemy od definicji. Definicja 1.20 Proces X = {X t } t 0 nazywamy procesem adaptowanym względem filtracji F = {F t } t 0 jeśli dla dowolnego t 0 odwzorowanie ω X t (ω) jest F t -mierzalne. Lemat 1.21 Niech T : Ω [0, ] będzie zmienną losową. T jest czasem zatrzymania gdy, proces I [[0,T [[ jest adaptowany. Dowód. Niech t 0. Zauważmy, że I [[0,T [[ (t, ω) = { 1 gdy T (ω) > t, 0 gdy T (ω) t, = I {T >t} (ω) Stąd wynika, że następujące odwzorowanie I [[0,T [[ (t, ) jest F t -mierzalne wtedy i tylko wtedy gdy, {T t} F t co oznacza, że T jest czasem zatrzymania. Definicja 1.22 Proces X nazywamy mierzalnym jeśli odwzorowanie X : [0, ) Ω E (s, ω) X s (ω) jest mierzalne względem σ-algebry B([0, )) F. Definicja 1.23 Dany proces X nazywamy procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji F = {F t } t 0 jeśli dla każdego t 0 odwzorowanie X : [0, t] Ω E (s, ω) X s (ω) jest mierzalne względem σ-algebry B([0, t]) F t. Lemat 1.24 Jeśli X jest procesem progresywnie mierzalnym to jest również procesem mierzalnym i adaptowanym. Dowód. Z definicji X [0,t] Ω : (s, ω) X s (ω)

10 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 10 jest B([0, t]) F t -mierzalne. Stąd dla t odwzorowanie jest F t -mierzalne, bo X t : ω X t (ω) ( X 1 (A) ) t = X 1 t (A) dla A B(IR), gdzie dla D B([0, t]) F t, D t := {ω : (t, ω) D} F t. Z założenia X [0,t] Ω jest B([0, t]) F t B([0, t]) F = ( B([0, )) F ) [0,t] Ω mierzalny. Stąd XI [0,t] Ω jest B([0, )) F mierzalny. Przechodząc z t dostajemy mierzalność X (względem B([0, )) F). Twierdzenie odwrotne jest na ogół fałszywe. Przykład 1.25 Niech Ω = [0, ), F = L([0, )) oraz (1.7) P (A) = e x dλ(x), A F. Określmy filtrację nastepująco: A F t = {A F : λ(a) = 0 albo λ(a ) = 0}, t 0. Zdefiniujmy proces X = {X t } t 0 wzorem { 1 gdy ω = t, X t (ω) = 0 gdy ω t. Łatwo zauważyć, że X jest procesem adaptowanym i mierzalnym. Aby udowodnić, że X nie jest procesem progresywnie mierzalnym skorzystamy z następującego twierdzenie, które podamy bez dowodu. Twierdzenie 1.26 Niech (Ω, F, P ) będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną, (K, B) będzie przestrzenią Borela, a π rzutem K Ω na Ω. Jeśli B B(K) F, to π(b) F. Dadajmy jeszcze, że przestrzeń mierzalną (K, B) nazywamy przestrzenią Borela jeśli istnieje odwzorownie mierzalne z tej przestrzeni, którego odwrotne też jest mierzalne w przestrzeń ([0, 1], B([0, 1]). Można udowdnić, że każdy borelowski podzbiór przestrzeni metrycznej ośrodkowej i zupełnej (tzw. przestrzeni polskiej) jest przestrzenią Borela (oczywiście z σ-algebrą zbiorów borelowskich). Niech t > 0. Zastosujemy powyższe twierdzenie przyjmując K = [0, t]. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F t, P ), gdzie Ω = [0, ) oraz P dane jest wzorem (1.7) jest zupełna. Zauważmy ponadto, że {(s, ω) : s [0, t], ω Ω, X s (ω) = 1} =,

11 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 11 gdzie jest przekątną kwadratu [0, t] 2. Gdyby X był progresywnie mierzalny, to B([0, t]) F t ale wtedy na mocy Twierdzenia 1.26 mamy F t π( ) = [0, t], co jest niemożliwe. Jednak, gdy proces ma jednostronnie ciągłe trajektorie to zachodzi twierdzenie odwrotne do lematu Twierdzenie 1.27 Jeśli proces X jest adaptowany i cad lub cag to jest progresywnie mierzalny. Dowód. Musimy wykazać, że dla każdego t > 0 odwzorowanie X : [0, t] Ω E jest B([0, t]) F t -mierzalne. Ustalmy t > 0. Dla każdego n IN niech k = 1, 2, 3,..., 2 n. Określmy X n : [0, t] Ω E wzorem oraz X n s (ω) = X k2 n t(ω) gdy s [(k 1)2 n t, k2 n t), X n t (ω) = X t (ω) w przypadku, gdy X jest cad (wtedy X n też jest cad, co w dowodzie tym nie jest istotne) oraz X n s (ω) = X (k 1)2 n t(ω) gdy s ((k 1)2 n t, k2 n t], oraz X n 0 (ω) = X 0 (ω) w przypadku, gdy X jest cag procesem (wtedy X n też jest cag, co w dowodzie tym nie jest istotne). Zauważmy, że dla a IR mamy {(s, ω) : X n s (ω) a} = {t} {X t a} 2 n k=1 w przypadku, gdy X jest cad procesem, oraz {(s, ω) : X n s (ω) a} = {0} {X 0 a} 2 n k=1 [(k 1)2 n t, k2 n t) {ω : X k2 n t(ω) a} ((k 1)2 n t, k2 n t] {ω : X (k 1)2 n t(ω) a} w przypadku, gdy X jest cag procesem. Zatem X n jest mierzalne wzgledem σ-algebry B([0, t]) F t. Ponieważ lim n Xs n = X s punktowo dla s [0, t] (bo X jest cad lub cag) więc X jest progresywnie mierzalnym procesem.

12 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 12 Niech X będzie procesem, a T czasem zatrzymania. Określmy odwzorowanie (proces w chwili zatrzymania T ) X T : Ω E wzorem X T (ω) := X T (ω) (ω). Zauważmy, że gdy T (ω) = + to możemy mieć trudność w określeniu X T dla takich ω. Mamy wtedy dwie możliwości: albo lim t X t istnieje (punktowo) i wtedy określamy X := lim t X t, albo granica ta nie istnieje i wtedy zamiast X T rozważamy X T 1 {T < }. Twierdzenie 1.28 Niech X będzie procesem progresywnie mierzalnym i niech T będzie czasem zatrzymania. Wtedy: 1. Jeśli T jest skończony to X T jest F T -mierzalne. 2. Jeśli T nie jest skończonym czasem zatrzymania oraz X nie jest określone, to X T 1 {T < } jest F T -mierzalne. 3. Jeśli T nie jest skończonym czasem zatrzymania oraz X := lim t X t istnieje (punktowo) to X T jest F T -mierzalne. Dowód. Pokażemy najpierw, że X T jest F-mierzalne. Załóżmy, że T < + i zauważmy, że X T jest złożeniem dwóch odwzorowań oraz (Ω, F) ([0, ) Ω, B([0, )) F) ω f (T (ω), ω) ([0, ) Ω, B([0, )) F) (IR, B(IR)) (t, ω) g X t (ω) Ponieważ odwzorowanie f jest F-mierzalne (z definicji czasu zatrzymania) oraz g jest B([0, )) F-mierzalne, stąd X T = g f jest F-mierzalne. Jeśli T nie jest skończony to zauważmy, że X T {T < } = g f, gdzie g i f są jak powyżej z tym, że f jest określone na przestrzeni mierzalnej ({T < }, F {T < } ). Zatem X T {T < } jest F {T < } - mierzalne. Stąd X T I {T < } jest F - mierzalne. Jeśli teraz T + oraz X istnieje, to X jest F-mierzalne oraz {T = } F. Ponieważ X T = X T I {T < } + X I {T = }, i na mocy poprzedniego X T I {T < } jest F-mierzalne, więc X T jest F-mierzalne. Mając teraz na uwadze definicję F T zauważmy, że dla zakończenia dowodu twierdzenia wystarczy wykazać nastepującą zależność: Dla t IR + i A B(IR) (1.8) {X T A} {T t} F t.

13 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 13 Mamy (1.9) {X T A} {T t} = {X S A} {T t}, gdzie S = T t. Zmienna losowa X S jest złożeniem dwóch odwzorowań oraz (Ω, F t ) ([0, t] Ω, B([0, t]) F t ) ω f (S(ω), ω) ([0, t] Ω, B([0, t]) F t ) (IR, B(IR)) (s, ω) g X s (ω), gdzie f jest F t -mierzalna, a g jest B([0, t]) F t -mierzalna. Ponieważ X S = g f zatem X S jest F t -mierzalna. Stąd i z (1.9) widzimy, że (1.8) zachodzi, co kończy dowód. Twierdzenie 1.29 Niech T będzie danym skończonym czasem zatrzymania, to σ-algebra F T jest najmniejszą σ-algebrą generowana przez zmienne losowe otrzymane z cadlag i adaptowanych procesów w chwili w T tj. Dowód. Niech F T = σ{x T : X -cadlag adaptowany proces} G = σ{x T : X-cadlag adaptowany proces}. Niech Λ F T wtedy X t = I Λ I {t T } jest cadlag i adaptowanym procesem oraz X T = I Λ. Stąd Λ G. Niech X będzie adaptowanym, cadlag procesem. Wtedy z twierdzenia 1.27 proces X jest progresywnie mierzalny, a z twierdzenia 1.28 zmienna losowa X T jest F T -mierzalna tzn. G F T 1.4 Przykłady czasów zatrzymania Stwierdzenie 1.30 Niech T będzie czasem zatrzymania oraz niech A F T. Określmy T A : Ω [0, ] wzorem { T (ω) dla ω A, (1.10) T A (ω) = + dla ω / A. Wtedy T A jest czasem zatrzymania. Ponadto T A = T A {T < }. Dowód. Łatwo zauważyć, że T A jest czasem zatrzymania, bo dla t 0 mamy {T A t} = A {T t} F t.

14 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 14 Stwierdzenie 1.31 Niech X będzie procesem adaptowanym cad lub cag. Jeśli T jest czasem zatrzymania to dla a > 0 zmienna losowa T a określona wzorem (1.11) T a (ω) = inf{t : t > T (ω), X t (ω) X T (ω) > a} (przyjmujemy T a (ω) =, gdy T (ω) = ) jest czasem zatrzymania. Dowód. Zauważmy, że dla t > 0 mamy równość (1.12) {T a < t} = {ω Ω : s > T (ω), X s (ω) X T (ω) (ω) > a}. s Q [0, t) Rzeczywiście, jeśli ω należy do zbioru po prawej stronie równości (1.12), to istnieje s Q [0, t) takie, że T (ω) < s oraz X s (ω) X T (ω) (ω) > a. Stąd T a (ω) s < t, czyli ω {T a < t}. W drugą stronę. Niech ω {T a < t}, to z definicji T a i własności kresu dolnego istnieje t 1 < t takie, że T (ω) < t 1 oraz X t1 (ω) X T (ω) (ω) > a. Korzystając teraz z jednostronnej ciągłości trajektorii X wnosimy, że istnieje s Q takie, że T (ω) < t 1 < s < t w przypadku cad procesu (T (ω) < s < t 1 < t dla cag procesu) dla którego X s (ω) X T (ω) (ω) > a. Stąd ω należy do zbioru po prawej stronie równości (1.12), co kończy dowód (1.12). Zauważmy ponadto, że (1.12) możmy zapisać w postaci (1.13) {T a < t} = {ω Ω : I {T <s} (ω) X s (ω) X T (ω) (ω) > a}. s Q [0, t) Zmienna losowa I {T <s} X s jest F s -mierzalna (bo T jest czasem zatrzymania, a X jest adaptowany), a zmienna losowa X T I {T <s} jest F T s -mierzalna (twierdzenie 1.27 i 1.28 oraz lemat 1.14). Ponieważ F T s F s, wiec również F s -mierzalna. Stąd i z (1.13) dostajemy tezę stwierdzenia. Twierdzenie 1.32 Niech X będzie adaptowanym cadlag procesem oraz niech A będzie otwartym zbiorem to czas pierwszego dotarcia do zbioru A określony wzorem jest czasem zatrzymania. T (ω) = inf{t > 0 : X t (ω) A} Dowód. (Szkic) Wystarczy pokazać, że {T < t} F t dla t 0. Ale z otwartości A i z tego, że X jest adaptowany i ma prawostronnie ciągłe trajektorie mamy (1.14) {T < t} = {X s A}. s Q [0,t)

15 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 15 Zatem {T < t} F t. Powyższe twierdzenie możemy rozszerzyć na dowolne zbiory borelowskie i procesy progresywnie mierzalne. Do tego jednak potrzebne nam będą dodatkowe fakty i definicje. Definicja 1.33 Niech A [0, ) Ω będzie niepustym zbiorem. Funkcję D A (ω) = inf{t 0 : (t, ω) A}, ω Ω nazywamy debiutem zbioru A. Zauważmy, że dla t > 0 mamy (1.15) {D A < t} = π(a [[0, t[[). Rzeczywiście, ω {D A < t} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 0 t 1 < t taki, że (t 1, ω) A, co z kolei jest równoważne warunkowi (t 1, ω) A [[0, t[[ ω π(a [[0, t[[). Stwierdzenie 1.34 Jeśli A B([0, ) F, to D A jest zmienna losową. Dowód. Teza stwierdzenia wynika natychmiast z (1.15) oraz z twierdznia Twierdzenie 1.35 Jeśli A [0, ) Ω jest zbiorem progresywnie mierzalnym (tzn. I A jest procesem progresywnie mierzalnym), to D A jest czasem zatrzymania. Dowód. Niech t > 0. Zbiór A jest progresywnie mierzalny, więc A [[0, t]] B([0, t]) F t. Ponadto [[0, t[[ B([0, t]) F t. Zatem A [[0, t[[ B([0, t]) F t. Teraz z lematu 1.4, z równości (1.15) oraz z twierdzenia 1.26 dostajemy tezę. Uwaga. Zauważmy również, że zmienna losowa (1.11) jest debiutem zbioru ]]T, [[ {(t, ω) : X t (ω) X T (ω) (ω) > a} = ]]T, [[ {(t, ω) : X t (ω) X T (ω) (ω)i [[T, [[ (t, ω) > a} Ponieważ procesy: I ]]T, [[, X, X T I [[T, [[ są progresywnie mierzalne, więc z twierdzenia 1.35 dostajemy inny dowód stwierdzenia Twierdzenie 1.36 Jeśli X jest progresywnie mierzalny to dla dowolnego zbioru borelowskiego B odwzorowanie T (ω) = inf{t > 0 : X t (ω) B} jest czasem zatrzymania.

16 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 16 Dowód. Oznaczmy A 1 = {(t, ω) [0, ) Ω : X t (ω) B}. Z założenia A 1 jest zbiorem progresywnie mierzalnym. Zauważmy, że również zbiór ]]0, ]] jest progresywnie mierzalny (bo dla każdego t > 0 mamy ]0, t] Ω B([0, t]) F t ). Oznaczmy A = A 1 ]]0, ]]. Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że T = D A i skorzystać z twierdzenia Procesy zatrzymane i lokalizacja Niech T będzie czasem zatrzymania i niech X = {X t } t 0 będzie procesem. Proces X T określamy jako { Xt (ω) dla t < T (ω), Xt T (ω) = X T (ω) (ω) dla t T (ω), i nazywamy go procesem zatrzymanym w chwili T. Możemy również zapisać X T t (ω) = X T (ω) t (ω). Twierdzenie 1.37 Jeśli X jest progresywnie mierzalnym procesem i T jest skończonym czasem zatrzymania, to proces X T jest również progresywnie mierzalny. Dowód. Możemy przedstawić X T jako sumę dwóch procesów: X T = I [[0,T [[ X + I [[T,+ [[ X T. Proces I [[0,T [[ jest cad i adaptowany, więc (z twierdzenia 1.27) jest progresywnie mierzalny. Zatem stąd i z założenia wynika, że I [[0,T [[ X jest też progresywnie mierzalny. Z twierdzenia 1.28 zmienna losowa X T jest F T -mierzalna i jest oczywiste, że proces I [[T,+ [[ X T jest cad. Dowód będzie zakończony jeśli pokażemy, że jest on również adaptowany. Aby to udowodnić wystarczy pokazać, że dla każdego A F T proces I [[T,+ [[ I A jest adaptowany, co jest prawdą, bo {ω Ω : I [[T,+ [[ (t, ω)i A (ω) = 1} = A {T t} F t. Podamy teraz definicję lokalizacji. Rozważmy niemalejący ciąg {T n } czasów zatrzymania, taki że lim n T n = +. W dalszej części wykładu będziemy ten ciąg nazywać ciągiem lokalizacyjnym. Mówimy np., że proces X jest lokalnie ograniczony jeśli istnieje ciąg lokalizacyjny {T n }, taki że dla każdego n IN proces X Tn zatrzymany w czasie T n jest ograniczony. Tę technikę lokalizacji będziemy stosować w wielu sytuacjach.

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Analizy Stochastycznej

Wstęp do Analizy Stochastycznej Wstęp do Analizy Stochastycznej Rafał Latała 6 września 21 Poniższy tekst zawiera notatki do wykładów ze Wstępu do Analizy Stochastycznej, prowadzonego w semestrze wiosennym 21 roku. Gwiazdkami oznaczono

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo