Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 1 / 15
Obliczanie momentów bezwładności Przyład: Znajdź sładowe tensora momentu bezwładności jednorodnej płyty o masie M i boach 2a oraz 2b. Względem środa masy G: x 3 I 11 = 1 3 Mb2 I 22 = 1 3 Ma2 ta ja dla pręta ta ja dla pręta I 33 = I 11 + I 22 = 1 3 M(a2 + b 2 I 12 = I 23 = I 31 = 0 Względem puntu C: I 11 = 1 3 Mb2 + Mb 2 = 4 3 Mb2 I 22 = 1 3 Ma2 + Ma 2 = 4 3 Ma2 I 33 = I 11 + I 22 = 4 3 M(a2 + b 2 I 12 = 2a 2b dx 1 dx 2 (σx 1 x 2 = 4σa 2 b 2 = Mab G b a x 2 D x 1 I G = 1 b 2 0 0 3 M 0 a 2 0 0 0 a 2 + b 2 I C = 1 4b 2 3ab 0 3 M 3ab 4a 2 0 0 0 4(a 2 + b 2 0 0 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 2 / 15 C x 3 2b x 2 2a x 1
Obliczanie momentów bezwładności Przyład: Tensor bezwładności względem puntu G w uładzie obróconym względem osi Gx 3 ta aby nowa oś Gx 1 porywała się z linią GD. 2a I G = A I G A T M 2 b 2 ab(a 2 b 2 0 = ab(a 2 b 2 a 4 + b 4 0 3(a 2 + b 2 0 0 (a 2 + b 2 2 gdzie A jest odpowiednią macierzą obrotu. Przyład: Energia inetyczna płyty obracającej się woół osi GD z prędością ątową λ. T = 1 2 ωt I G ω = 1 λ cos 2 (λ cos, λ sin, 0 I G λ sin = Ma2 b 2 λ 2 3(a 0 2 + b 2 T = 1 2 ω T I G ω = 1 λ 2 (λ, 0, 0 I G 0 = Ma2 b 2 λ 2 3(a 0 2 + b 2 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 3 / 15
Uogólnione twierdzenie Steiner a Rozważamy dwa ułady współrzędnych związane z ciałem: uład Ox 1 x 2 x 3 związany ze środiem masy X 3 x 3 oraz inny uład QX 1 X 2 X 3 o odpowiednio równoległych osiach i przesuniętym początu: R O r x = a + r. 2 a R x 1 Q X I 2 ij = ( m δ ij (x + a 2 (x i + a i (x j + a j = X 1 = ( m δ ij x 2 x i x j + + ( m δ ij (2x a + a 2 (a i x j + a j x i + a i a j = = I ij + ( m δ ij a 2 a i a j + ( m 2δ ij x a a i x j a j x i = = I ij + ( m δ ij a 2 a i a j = I ij + M(a 2 δ ij a i a j M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 4 / 15
Osie główne bezwładności Twierdzenie: Każdą macierz symetryczną można zdiagonalizować a pomocą ortogonalnej transformacji podobieństwa A T A T. Wniose: W dowolnym puncie O bryły sztywnej można wybrać tzw. osie główne, tóre definiują uład współrzędnych w tórych tensor momentu bezwładności jest diagonalny. W uładzie oreślonym przez osie główne, moment pędu i energia inetyczna bryły sztywnej względem stałego (nieruchomego puntu O mają postać: L O = (I 1 ω 1 ê 1 + (I 2 ω 2 ê 2 + (I 3 ω 3 ê 3 T = 1 ( I1 ω1 2 + I 2 ω2 2 + I 3 ω 2 2 3 Uwaga: Identyczne relacje zachodzą w dowolnym ruchu bryły sztywnej względem środa masy G Znajdowanie osi głównych w oparciu o symetrie: jeśli ciało posiada symetrię ze względu na odbicie w płaszczyźnie przechodzącej przez O, wówczas linia prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez O jest jedną z osi głównych, O M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 5 / 15 G
Osie główne bezwładności jesli ciało posiada symetrię rotacyjną względem osi przechodzącej przez O, to ta oś jest osią główną. Z równania ruchu względem osi głównych d dt (I O ω = K O wynia, że pod wpływem tych samych sił zewnętrznych ciała tóre mają taie same główne momenty bezwładności poruszają się ta samo. Ze względu na geometrię ciał rozróżniamy następujące dynamiczne symetrie: I 11 I 22 I 33 ciało dynamicznie niesymetryczne (np. prostoąt, I 11 = I 22 I 33 ciało dynamicznie osiowo symetryczne (np. ostrosłup, Ciało tóre posiada symetrię obrotową rzędu co najmniej trzeciego posiada taże dynamiczną symetrię osiową. I 11 = I 22 = I 33 ciało dynamicznie sferycznie symetryczne (np. ula, sześcian, czworościan Ciało tóre posiada dynamiczną symetrię osiową względem dwóch różnych osi przechodzących przez punt O jest dynamicznie sferycznie symetryczne względem puntu O. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 6 / 15
Opis ruchu ciał dynamicznie sferycznie symetrycznych Rozważamy ruch uli bilardowej o masie M i promieniu b przy czym dopuszczamy mozliwość poślizgu. Oznacza to, że siła reacji podłoża X nie jest sierowana pionowo do góry. M V = F M V = X Mgˆ L G = K G LG = ( bˆ X L G = I ω I ω ( = b M V + Mgˆ ˆ = = Mb V ˆ Całując po czasie otrzymujemy: X G Mg I ω + Mbˆ V = C const / ˆ ω ˆ = n const Wniose: W dowolnym ruchu uli sładowa pionowa ω jest zachowana. Korzystając z równania ruchu otrzymujemy: Iˆ ω = ˆ C Mbˆ (ˆ V = ˆ C Mb ( (ˆ V (ˆ ˆ V = ˆ C Mb V W przypadu brau poślizgu ( V = ω (bˆ ruch odbywa się po linii prostej: ( ( Mb 2 b V + V = C I I ˆ V = const, ω = 1 b ˆ V + nˆ = const M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 7 / 15 C ω V
Opis ruchu ciał dynamicznie osiowo symetrycznych Rozważamy ruch ciała o dynamicznej symetrii osiowej. Niech główne momenty bezwładności względem osi głównych przechodzących przez środe masy G będą równe {I, I, I 3 }. W przypadu brau sił zewnętrznym (lub jednorodnego pola grawitacyjnego mamy K G = 0, więc: L G = 0 gdzie L G = Iω 1 ê 1 + Iω 2 ê 2 + I 3 ω 3 ê 3 Uwaga: wetory {ê 1, ê 2, ê 3 } zależą od czasu. Oznaczając ê 3 a mamy a = ω a oraz: a = ω a a a = a ( ω a = ( a a ω ( a ω a = ω ( a ω a A więc w ogólności ω ma postać: ω = a a + λ(t a gdzie λ = ω a Ponieważ wetory λ a oraz a a mają ieruni osi głównych, więc: L G = I a a + I 3 λ a Po wstawieniu do równania ruchu otrzymujemy: dl G = K dt G 0 I a a + I 3 ( λ a + λ a = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 8 / 15 x 1 ω L G G x 3 a x 2
Opis ruchu ciał dynamicznie osiowo symetrycznych Mnożąc salarnie przez a otrzymujemy równanie ruchu swobodnego ciała o dynamicznej symetrii osiowej: gdzie n = ω a nazywamy spinem. I a a + I 3 n a = L G Aby rozwiązać powyższe równanie mnożymy najpierw obustronnie salarnie przez a: I a ( a a + I 3 n a a = L( a ˆ I 3 n = L( a ˆ = L cos Oznacza to, że n = L I 3 cos, a więc oś symetrii ciała tworzy stały ąt z ˆ i zatacza stoże woół osi {G, ˆ}. Mnożąc równanie ruchu obustronnie wetorowo przez a dostajemy olejno : I a ( a a + I 3 n a a = L( a ˆ = L( a ˆ a = ( I ( a a a ( a a a ( L I ˆ a Oznacza to, że oś symetrii ciała precesuje woół osi {G, ˆ} ze stałą prędością ątową L/I. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 9 / 15
Opis ruchu ciał dynamicznie osiowo symetrycznych Rzeczywista prędość ątowa ciała jest równa: ( ( ω = a a L L cos + n a = a I (ˆ a + a = L I ˆ + L cos I 3 ( I I3 Twierdzenie: Niech bryła sztywna porusza się z prędością ątową ω w uładzie C, a uład C ma prędosć ątową Ω względem uładu C. Wówczas rzeczywista prędość ątowa ciała względem uładu C jest równa ω = Ω + ω. Patrząc z uładu precesującego, tzn. uładu tóry obraca się woół osi {G, ˆ} z prędością ątową (L/Iˆ mamy: ( I ω I3 = L cos a II 3 Podsumowanie: oś symetrii ciała tworzy stały ąt z wetorem Lˆ i precesuje woół osi {G, ˆ} ze stałą prędością ątową L/I, spin bryły n = ω a = L cos /I 3, w uładzie precesującym ciało obraca się woół osi symetrii ze stałą prędością ątową L cos (I I 3 /(II 3. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 10 / 15 II 3 a
Dynamia ruchu symetrycznego bąa Rozważamy ruch symetrycznego bąa poruszającego się woół ustalonego puntu O w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu ma postać: X ω G a L O = K O d dt (I a a + I 3 λ a = Mgh a ˆ Z poprzednich rozważań wiemy, że: O Mg ω = a a + λ a L O = I a a + I 3 λ a A więc równanie ruchu bąa ma postać: d dt (I a a + I 3 n a = Mgh a ˆ gdzie stałą n = ω a należy wyznaczyć z warunów początowych. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 11 / 15
Dynamia ruchu symetrycznego bąa Precesja stacjonarna: oś bąa tworzy stały ąt z pionem i precesuje woół osi {O, ˆ} ze stałą prędością ątową Ω. Znajdziemy częstość precesji stacjonarnej rozwiązując równanie ruchu. a a = a (Ωˆ a = Ω( a aˆ Ω( a ˆ a = Ω(ˆ cos a d dt ( a a = Ω 2 cos ( a ˆ Równanie ruchu przyjmuje postać: ( I cos Ω 2 CnΩ + Mgh ( a ˆ = 0 Precesja stacjonarna mo zachodzić gdy: C 2 n 2 4IMgh cos Otrzymujemy wówczas dwie wartości dozwolonej częstości precesji: [ Ω F,S = Cn ( ] 1/2 4IMgh cos 1 ± 1 2I cos C 2 n 2 Ponieważ 1 x 1 1 4IMgh x więc jeśli 2 C 2 n 2 1 to: Ω F I 3n oraz Ω S Mgh I cos I 3 n M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 12 / 15 a Ω
Lagrangian wirującego bąa Jao współrzędne uogólnione wybieramy ąty Eulera: począte uładu umieszczamu w środu masy G, jeśli ciało ma oś symetrii, wówczas ąty ϕ oraz θ oreślają jej położenie, ąt ψ oreśla obrót ciała względem wybranej osi (symetrii jeśli istnieje. Lagrangian wirującego bąa: T = 1 2 I θ 2 + 1 2 I ( ϕ sin θ2 + 1 2 I 3 ( ψ + ϕ cos θ V = Mgz = Mgh cos θ 2 θ φ sin θ L = 1 2 I θ 2 + 1 2 I ( ϕ sin θ2 + 1 2 I 3 ( ψ + ϕ cos θ 2 Mgh cos θ Ponieważ ϕ oraz ψ są współrzędnymi cylicznymi więc zachowane są: p ϕ = L ( ϕ = I ϕ sin2 θ + I 3 ψ + φ cos θ cos θ L z p ψ = L ( ψ = I 3 ψ + ϕ cos θ = I 3 n G z O θ z θ y φ φ ψ ψ A N y B x x ψ + φ cos θ M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 13 / 15
L z = 1 2 I 3n, E = 1 2 I 3n 2 + 1 2 Mgh, F (u = IMghu(1 2u(2 u M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 14 / 15 Nutacja osi bąa Korzystając z powyższych zależności oraz zasady zachowania energii: 1 2 I θ 2 + 1 2 I ( ϕ sin θ2 + 1 ( 2 2 I 3 ψ + ϕ cos θ + Mgh cos θ = E otrzymujemy równanie: I θ 2 = 2E I 3 n 2 (L z I 3 n cos θ 2 I sin 2 2Mgh cos θ θ 2 = θ gdzie F (u = I(2E I 3 n 2 (1 u 2 (L z I 3 nu 2 2IMghu(1 u 2 ruch mozliwy dla F (cos θ > 0 oś bąa wyonuje ruch oscylacyjny pomiędzy u min < u < u max gdzie F (u min = F (u max = 0 oscylacje w ącie θ nazywamy nutacją osi bąa. 1 F (u cos θ0 F (cos θ I 2 sin 2 θ Przyład: Puszczamy swobodnie bą, tórego oś początowo tworzy z pionem ąt θ = π/3. Załadamy, że C 2 n 2 = 4IMgh. Dla warunów początowych θ = π/3, θ = ϕ = 0 mamy: 1 u
Precesja osi bąa A więc oscylacje ąta θ (nutacja odbywają się w zaresie π 3 θ π 2. Znając funcję θ(t mozna wyznaczyć zależność ϕ(t z z.z. momentu pędu: I ϕ sin 2 θ + I 3 n cos θ = L z Dla warunów początowych θ =, θ = 0, ϕ = 0, ϕ = Ω mamy: I ϕ sin 2 θ = I ϕ sin 2 + I 3 n(cos cos θ W przypadach iedy może zachodzić precesja stacjonarna, C 2 n 2 4IMgh, mozliwe są następujące ruchy bąa: Ω < Ω S ąt θ początowo rośnie, < θ < β (rysune lewy, Ω = 0 rysune środowy, Ω < 0 ale I ϕ sin 2 + I 3 n(cos cos β > 0 rysune prawy, I ϕ sin 2 + I 3 n(cos cos β < 0 ϕ < 0 Ω S < Ω < Ω F ąt θ początowo maleje, ϕ > 0. M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12 15 / 15