Funkcje wielu zmiennych

Podobne dokumenty
Funkcje wielu zmiennych

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

Funkcje dwóch zmiennych

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Funkcje wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

22 Pochodna funkcji definicja

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Funkcje dwóch zmiennych

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

Funkcje wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

3. Funkcje wielu zmiennych

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

1 Pochodne wyższych rzędów

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

AB = x a + yb y a + zb z a 1

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Funkcje wielu zmiennych

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Elementy Modelowania Matematycznego

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

1 Pochodne wyższych rzędów

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

2. Definicja pochodnej w R n

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Pierwiastki arytmetyczne n a

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

Funkcje wielu zmiennych

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Definicja pochodnej cząstkowej

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

Ciągłość funkcji f : R R

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Analiza Matematyczna MAEW101

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk

Różniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

Normy wektorów i macierzy

Transkrypt:

Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wektora v określamy wzorem f(x f v(x 0 + tv x, y 0 + tv y ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. t 0 t Przyk lad Obliczymy pochodn a kierunkow a funkcji f xy w punkcie P 0 = (1, 2) w kierunku wektora v = [2, 1]. Ponieważ f(1, 2) = 2 oraz f(1 + 2t, 2 + t) = 2t 2 + 5t + 2, wiȩc Twierdzenie P 0 = (x 0, y 0 ), to f [2,1](1, 2) = lim t 0 2t 2 + 5t + 2 2 t = 5. Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe rzȩdu pierwszego w punkcie f v(x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 ) v x + f y(x 0, y 0 ) v y. Uwaga Powyższy wzór można zapisać w postaci f v(x 0, y 0 ) = gradf(x 0, y 0 ) v. Przyk lad Obliczymy pochodn a kierunkow a funkcji f xy w punkcie P 0 = (1, 2) w kierunku wektora v = [2, 1]. Ponieważ f x = y, f y = x, to f [2,1](1, 2) = [2, 1] [2, 1] = 2 2 + 1 1 = 5. 9 Pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu Niech P = (x, y) R 2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P ). Pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f w punkcie P określamy wzorami ( ) ( ) 2 f f 2 f f (x, y), (x, y), x2 x x x y x y ( 2 f y x y ) f (x, y), x ( 2 f y2 y ) f (x, y). y 1

Uwaga Powyższe wzory można zapisać w postaci f xx (f x) x(x, y), f xy (f y) x(x, y), f yx (f x) y(x, y), f yy (f y) y(x, y). Twierdzenie (Schwarza) Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne mieszane f xy, f yx w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ), to Przyk lad f xy(x 0, y 0 ) = f yx(x 0, y 0 ). Obliczymy pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f xy. Mamy kolejno f x = y, f y = x, f xx = (y) x = 0, f xy = (x) x = 1, f yx = (y) y = 1, f yy = (x) y = 0. Obliczymy teraz pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f x 2 + y 2. Mamy kolejno f x = 2x, f y = 2y, f xx = (2x) x = 2, f xy = (2y) x = 0, f yx = (2x) y = 0, f yy = (2y) y = 2. 10 Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeżeli istnieje s asiedztwo S(P 0 ) tego punktu takie, że dla dowolnego P = (x, y) S(P 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) > f(x 0, y 0 ). Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje s asiedztwo S(P 0 ) tego punktu takie, że dla dowolnego P = (x, y) S(P 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) < f(x 0, y 0 ). Przyk lad Funkcja f 5 x 6 y 6 ma w punkcie P 0 = (0, 0) maksimum, gdyż f 5 x 6 y 6 < 5 = f(0, 0) dla (x, y) (0, 0). Funkcja f x 2 2y 2 nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0, 0), ponieważ dla dowolnego ε > 0 zachodzi f(ε, 0) = ε 2 > 0 = f(0, 0) oraz f(0, ε) = 2ε 2 < 0 = f(0, 0). Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum) Jeżeli funkcja f spe lnia warunki: ma ekstremum w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ), ma pochodne cz astkowe f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), to { f x(x 0, y 0 ) = 0 f y(x 0, y 0 ) = 0 2

Uwaga Uk lad równań { f x(x 0, y 0 ) = 0 f y(x 0, y 0 ) = 0 można zapisać w postaci gradf(x 0, y 0 ) = 0. Przyk lad Funkcja f 5 x 6 y 6 ma maksimum w punkcie P 0 = (0, 0) oraz f x = 6x 5, f y = 6y 5, co oznacza, że f spe lnia warunek konieczny ekstremum f x(0, 0) = 0, f y(0, 0) = 0. Funkcja f x 2 2y 2 nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0, 0), ale f x = 2x, f y = y, co oznacza, że f spe lnia warunek konieczny ekstremum f x(0, 0) = 0, f y(0, 0) = 0. Definicja Macierz postaci [ ] f xx(x 0, y 0 ) f xy(x 0, y 0 ) f yx(x 0, y 0 ) f yy(x 0, y 0 ) nazywamy hesjanem (macierz a Hessego) funkcji f w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) i oznaczamy symbolem H f (x 0, y 0 ). Twierdzenie (warunek dostateczny ekstremum) pierwszego i drugiego rzȩdu w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) oraz spe lnia warunki: gradf(x 0, y 0 ) = 0, det H f (x 0, y 0 ) > 0, Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe to f ma esktremum w punkcie P 0, przy czym f(x 0, y 0 ) = f min, gdy f xx(x 0, y 0 ) > 0 albo f(x 0, y 0 ) = f max, gdy f xx(x 0, y 0 ) < 0. Uwaga Jeżeli det H f (x 0, y 0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w punkcie P 0. Jeżeli det H f (x 0, y 0 ) = 0, to badanie, czy f ma ekstremum w punkcie P 0 przeprowadza siȩ innymi metodami (np. korzystaj ac z definicji). Przyk lad Wyznaczymy ekstrema funkcji f x 3 + y 3 9xy. Ponieważ f x = 3x 2 9y, f y = 3y 2 9x, to otrzymujemy uk lad równań { x 2 3y = 0 y 2 3x = 0 który ma dwa rozwi azania P 0 = (0, 0), P 1 = (3, 3). Ponadto f xx = 6x, f xy = f yx = 9, f yy = 6y oraz 0 9 det H f (0, 0) = 9 0 = 81 < 0 co oznacza, że f nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0, 0), 18 9 det H f (3, 3) = 9 18 = 23 > 0 oraz f xx(3, 3) = 18 > 0, co oznacza, że f(3, 3) = f min = 27. 3

11 Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) minumum warunkowe z warunkiem g 0, gdy g(x 0, y 0 ) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x, y) > f(x 0, y 0 ) dla każdego punktu P = (x, y) S(P 0, δ) spe lniaj acego warunek g 0. Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) maksimum warunkowe z warunkiem g 0, gdy g(x 0, y 0 ) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x, y) < f(x 0, y 0 ) dla każdego punktu P = (x, y) S(P 0, δ) spe lniaj acego warunek g 0. Znajdowanie ekstremów warunkowych funkcji dwóch zmiennych z warunkiem g 0 odbywa siȩ wed lug nastȩpuj acego algorytmu: 1. krzyw a Γ : g 0 dzielimy na luki, które s a wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie x I R lub postaci x = k(y), gdzie y J R, 2. szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej H(x) = f(x, h(x)) w przedziale I lub funkcji K(y) = f(k(y), y) w przedziale J, 3. porównujemy wartości otrzymanych ekstremów na krzywej Γ i ustalamy ekstrema warunkowe. Przyk lad Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f xy z warunkiem x + y = 2. Mamy Γ : y = 1 x, gdzie x R. Wobec tego rozważmy funkcjȩ H(x) = x(2 x) = 2x x 2, gdzie x R. Ponieważ H max = H(1) = 1, to f max war. = f(1, 1) = 1. Uwaga Jeżeli krzywa Γ ma opis parametryczny: x = α(t), y = β(t), gdzie t T R, to szukamy ekstremów funkcji F (t) = f(α(t), β(t)) w przedziale T. Przyk lad Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f xy z warunkiem x 2 + y 2 =. Mamy tutaj Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, t [0, 2π]. Rozważmy funkcjȩ F (t) = sin t cos t = 2 sin 2t, t [0, 2π]. Ponieważ F (t) = cos 2t, to F (t) = 0, gdy t = π, 3π, 5π, 7π. Ponadto F (t) = 8 sin 2t, wobec tego mamy kolejno: ( π ) ( π ) F = 8 < 0 = F = F max = f( 2, 2) = f max war. = 2 3π 3π F = 8 > 0 = F = F min = f( 2, 2) = f min war. = 2 5π 5π F = 8 < 0 = F = F max = f( 2, 2) = f max war. = 2 7π 7π F = 8 > 0 = F = F min = f( 2, 2) = f min war. = 2 12 Wartość najmniejsza i najwiȩksza funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkniȩtym Znajdowanie wartości najmniejszej f inf i najwiȩkszej f sup funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkniȩtym odbywa siȩ wed lug nastȩpuj acego algorytmu:

1. we wnȩtrzu obszaru szukamy punktów, w których funkcja może mieć esktremum (w których gradient funkcji jest równy zero), 2. na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstremum warunkowe. 3. porównujemy wartości funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy wartość najwiȩksz a i najmniejsza a funkcji. Przyk lad Wyznaczymy najwiȩksz a i najmniejsz a wartość funkcji f x 2 + y 2 w obszarze D : 1 x 3, y 2. Ponieważ gradf [2x, 2y], wiȩc gradf(0, 0) = 0 oraz f(0, 0) = 0 (punkt (0, 0) należy do wnȩtrza obszaru D). Brzeg obszaru D stanowi a cztery odcinki (boki prostok ata D). Rozważmy każdy z nich: Γ 1 : y =, 1 x 3. Mamy tutaj H 1 (x) = f(x, ) = x 2 + 16, st ad f(0, ) = 16. Γ 2 : x = 3, y 2. Mamy tutaj K 2 (y) = f(3, y) = 9 + y 2, st ad f(3, 0) = 9. Γ 3 : y = 2, 1 x 3. Mamy tutaj H 3 (x) = f(x, 2) = x 2 +, st ad f(0, 2) =. Γ : x = 1, y 2. Mamy tutaj K (y) = f( 1, y) = 1 + y 2, st ad f( 1, 0) = 1. Obliczymy jeszcze wartości f w wierzcho lkach prostok ata D: f( 1, ) = 17, f(3, ) = 25, f(3, 2) = 13, f( 1, 2) = 5. Zatem ostatecznie mamy: f inf = f(0, 0) = 0, f sup = f(3, ) = 25. 5