Dynamika nieliniowych równań ewolucyjnych w rezonansie

UNIWERSYTET MIKO LAJA KOPERNIKA W TORUNIU Piotr Kokocki Dynamika nieliniowych równań ewolucyjnych w rezonansie Rozprawa doktorska przygotowana na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Miko laja Kopernika w Toruniu Promotorzy: prof. dr hab. Wojciech Kryszewski, dr Aleksander Ćwiszewski TORUŃ 2011

Spis treści Wst ep 3 Oznaczenia 9 1 Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha 11 1.1 Pojecia ogólne.................................... 11 1.2 Spektrum i rozk lady spektralne.......................... 13 1.2.1 W lasności spektralne operatorów zwartych............... 16 1.2.2 W lasności spektralne operatorów o zwartych rezolwentach....... 17 1.3 Pó lgrupy operatorów liniowych.......................... 20 1.4 Operatory wycinkowe............................... 23 1.5 Operator hiperboliczny............................... 29 1.5.1 Spektrum.................................. 29 1.5.2 Rozk lady spektralne............................ 31 2 Zagadnienia poczatkowe 45 2.1 Istnienie i jednoznaczność rozwiazań....................... 45 2.2 Ciag la zależność od warunków poczatkowych.................. 47 2.3 W lasności zwartości i ciag lości dla równań pierwszego rzedu.......... 52 2.4 W lasności zwartości i ciag lości dla równań drugiego rzedu........... 55 3 Wzory indeksowe dla równań pierwszego rzedu w rezonansie 61 3.1 Wprowadzenie do rozdzia lu............................ 61 3.2 Wzór indeksowy dla rozwiazań ograniczonych.................. 62 3.3 Orbity l acz ace punkty równowagi......................... 69 3.4 Zasada uśredniania................................. 73 3.5 Wzór indeksowy dla rozwiazań okresowych................... 77 4 Wzory indeksowe dla równań drugiego rzedu w rezonansie 87 4.1 Wprowadzenie do rozdzia lu............................ 87 4.2 Wzór indeksowy dla orbit ograniczonych..................... 89 4.3 Orbity l acz ace punkty równowagi......................... 99 4.4 Wzór indeksowy dla rozwiazań okresowych................... 104 5 Modele równań różniczkowych 119 5.1 Wprowadzenie do rozdzia lu............................ 119 5.2 W lasność jednoznacznej kontynuacji....................... 121 5.3 Operator Niemyckiego............................... 122 1

5.3.1 W lasności rezonansowe.......................... 124 5.4 Równania paraboliczne............................... 128 5.4.1 Kryteria na istnienie rozwiazań okresowych............... 129 5.4.2 Kryteria na istnienie orbit ograniczonych................ 130 5.5 Równania hiperboliczne.............................. 131 5.5.1 Kryteria na istnienie rozwiazań okresowych............... 133 5.5.2 Kryteria na istnienie orbit ograniczonych................ 134 6 Dodatek 137 6.1 Zwartość i zbieżność w przestrzeniach metrycznych............... 137 6.1.1 Miary niezwartości............................. 137 6.1.2 Zbieżność w przestrzeniach funkcyjnych................. 138 6.2 Indeks Conley a na przestrzeniach metrycznych................. 139 6.2.1 Pó lpotoki na przestrzeniach metrycznych................ 139 6.2.2 Pary indeksowe i bloki izolujace...................... 141 6.2.3 Typy homotopii i przestrzenie ilorazowe................. 141 6.2.4 Wersja Rybakowskiego indeksu Conley a................. 143 6.2.5 Nieredukowalne zbiory niezmiennicze................... 144 6.3 Stopień topologiczny................................ 145 6.3.1 Stopień Leray-Schaudera i stopień Brouwera.............. 145 6.3.2 Stopień dla pól kondensujacych...................... 147 Literatura 148 Skorowidz 154 2

Wst ep W naukach fizycznych przez rezonans rozumie sie sk lonność uk ladów do oscylacji o dużych amplitudach przy wybranych czestotliwościach specyficznych dla danego uk ladu, zwanych czestotliwościami rezonansowymi. W takich uk ladach nawet bardzo ma le oddzia lywanie zewnetrzne może wygenerować znaczne oscylacje lub odchylenia od stanów równowagi. Zjawisko to jest powszechnie wykorzystywane na przyk lad w odbiornikach radiowych i telewizyjnych, w obrazowaniu MRI w medycynie, w instrumentach muzycznych czy zegarkach elektronicznych. Efekty rezonansu maja również fundamentalne znaczenie w teoriach dotyczacych kszta ltowania sie i ewolucji uk ladu s lonecznego jako czynnik odpowiedzialny za formowanie jego planet lub wyrzucanie drobnych cia l niebieskich poza jego granice. Dziedzina życia, w której rezonans odgrywa duża role sa wielkogabarytowe konstrukcje inżynieryjne takie jak mosty drogowe czy wiadukty kolejowe czego dowodza katastrofy takie jak zawalenie sie mostu Tacoma Narrows Bridge na skutek rezonansu wywo lanego przez silne podmuchy wiatru (patrz [21], [40]). Tak jak ogrom zjawisk fizycznych i technicznych modeluje sie za pomoca równań różniczkowych tak również zjawisko rezonansu można ujać w ścis le matematyczne ramy. Dla przyk ladu rozważmy nieliniowe równanie ciep la u t (x, t) = u(x, t) + λu(x, t) + f(t, x, u(x, t)) dla t 0, x Ω (1) oraz nieliniowe równanie falowe z silnym t lumieniem u tt (x, t) = u(x, t) + c u t (x, t) + λu(x, t) + f(t, x, u(x, t)) dla t 0, x Ω (2) gdzie c > 0 oraz w obydwóch powyższych równaniach λ jest liczba rzeczywista, Ω jest otwartym podzbiorem przestrzeni R n (n 1), jest operatorem Laplace a z warunkami Dirichleta, zaś f : [0, + ) Ω R R jest odwzorowaniem ciag lym. Wówczas powyższe równania sa w rezonansie w nieskończoności, jeśli λ jest wartościa w lasna operatora, zaś f jest odwzorowaniem ograniczonym. Za lóżmy, że A : X D(A) X jest operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X oraz niech X α dla α (0, 1), bedzie przestrzenia u lamkowa dana jako X α := D((A + δi) α ), gdzie δ > 0 jest takie, że A + δi jest operatorem dodatnio określonym. Równania (1) oraz (2) sa szczególnym przypadkiem abstrakcyjnych równań postaci u(t) = Au(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0 (3) ü(t) = Au(t) ca u(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0 (4) gdzie F : [0, + ) X α X jest odwzorowaniem ciag lym. Aby to zauważyć wystarczy przyjać Au := u oraz F (t, u) = f(t,, u( )). Przedmiotem niniejszej pracy jest badanie istnienia rozwiazań T -okresowych (T > 0) oraz badanie istnienia orbit l acz acych punkty stacjonarne dla powyższych równań w przypadku gdy sa one w rezonansie w nieskończoności, czyli, Ker (λi A) {0} oraz F jest odwzorowaniem ograniczonym. 3

4 Wst ep Wśród metod używanych do badania rozwiazań okresowych (lub punktów stacjonarnych) dla równań w rezonansie należy wyróżnić metody oparte na redukcji Lyapunova. Stosowane by ly miedzy innymi przez Mawhina oraz Fučíka w pracach [44], [23] oraz Brezisa i Nirenberga w pracy [8] w odniesieniu do równania telegrafistów. Z kolei w przyk ladowych pracach [8], [31], [4] redukcja Lyapunova by la stosowana w przypadku równania ciep la. W przypadku, gdy Ω jest dziedzina jednowymiarowa, wyniki dotyczace istnienia orbit ograniczonych dla równania (2) bed acego w rezonansie w nieskończoności zosta ly podane przez Mawhina i Warda w pracy [45], Ortege i Tineo w pracy [49] oraz Ahmada w pracy [2]. W pracach tych autorzy używali metod nad i podrozwiazań. Ponadto problem istnienia orbit ograniczonych dla równania (3) oraz równania hiperbolicznego (4) bez t lumienia (c = 0), by l rozpatrywany przez Karpińska w pracach [35] oraz [34] przy za lożeniu, że A jest operatorem samosprzeżonym i ograniczonym. Metody, których użyjemy w niniejszej pracy bed a polegać na zastosowaniu niezmienników homotopijnych takich jak stopień topologiczny oraz indeks Conley a odpowiednio do operatora Poincaré oraz pó lpotoku stowarzyszonego z równaniem. Aby wyjaśnić te metody zauważmy, że równanie drugiego rzedu (4) możemy sprowadzić do nastepuj acego równania pierwszego rzedu ẇ(t) = Aw(t) + F(t, w(t)), t > 0, (5) gdzie operator liniowy A : E D(A) E określony w przestrzeni Banacha E := X α X dany jest wzorem D(A) := {(x, y) E x + cy D(A)} A(x, y) := ( y, A(x + cy) λx) dla (x, y) D(A), zaś F : [0, + ) E E jest odwzorowaniem danym jako F(t, (x, y)) := (0, F (t, x)) dla t [0, + ), (x, y) E. Za lóżmy, że dla dowolnego warunku poczatkowego x X α istnieje (s labe) rozwiazanie u(, x) : [0, + ) X α równania (3) take, że u(0, x) = x i analogicznie za lóżmy, że dla dowolnego (x, y) E istnieje odwzorowanie w : [0, + ) E bed ace rozwiazaniem równania (5) takim, że w(0, (x, y)) = (x, y). Rozwiazania T -okresowe dla równań (3) oraz (5) możemy utożsamiać odpowiednio z punktami sta lymi operatorów przesunieć wzd luż trajektorii (lub operatorów Poincaré) Φ T : X α X α oraz Φ T : E E, które definiujemy jako Φ T (x) := u(t ; x) dla x X α oraz Φ T (x, y) := w(t ; (x, y)) dla (x, y) E. Efektywnymi narzedziami s lużacymi do wyznaczania punktów sta lych operatora przesuniecia wzd luż trajektorii sa tak zwane zasady uśredniania, wyrażajace stopień topologiczny operatorów Φ lub Φ za pomoca uśrednienia prawej strony równania (3) lub (5). Wówczas nietrywialność stopnia topologicznego tego uśrednienia implikuje nietrywialność stopnia topologicznego operatora Poincaré i tym samym istnienie rozwiazania T -okresowego. Zasada uśredniania dla równań określonych na rozmaitościach skończenie wymiarowych by la badana przez Furi oraz Pere w pracy [24]. Jej uogólnienie na przypadek równań określonych na dowolnej przestrzeni Banacha by lo rozważane przez Ćwiszewskiego w pracy [12], gdy prawa strona równania jest nieliniowym zaburzeniem generatora zwartej C 0 pó lgrupy oraz w pracy [15], gdy prawa strona jest zaburzeniem operatora m-akretywnego. W pracy [14] Ćwiszewski wraz z autorem rozważali zasade uśredniania w przypadku gdy operator A jest generuje C 0 pó lgrupe kontrakcji, zaś F jest odwzorowaniem kondensujacym wzgledem miary

Wst ep 5 niezwartości Hausdorffa. Rezultaty w przypadku, gdy prawa strona równania jest kondensujacym zaburzeniem zależnej od czasu rodziny operatorów {A(t)} t 0 zosta ly zawarte przez Ćwiszewskiego oraz autora w pracy [17]. Rezonansowa wersja zasady uśredniania zosta la przedstawiona przez autora w pracy [37] w przypadku równania (3) oraz przez Ćwiszewskiego w pracy [13] w przypadku równania hiperbolicznego z t lumieniem (równanie (4) z α = 0). W obydwu przypadkach otrzymana zasada uśredniania znalaz la zastosowanie do wyprowadzenia wzorów indeksowych, wyznaczajacych indeks punktów sta lych operatora przesuniecia wzd luż trajektorii, w zależności od odpowiednich warunków Landesmana-Lazera na lożonych na nieliniowość f. W przypadku autonomicznym, gdy odwzorowanie F jest niezależne od czasu, z równaniami (3) oraz (5) możemy stowarzyszyć pó lpotoki Φ : [0, + ) X α X α oraz Φ : [0, + ) E E dane jako Φ(t, x) := u(t; x) dla t [0, + ), x X α, Φ(t, (x, y)) := w(t; (x, y)) dla t [0, + ), (x, y) E. Wówczas pe lne rozwiazania równania (3) możemy utożsamiać z pe lnymi rozwiazaniami pó lpotoku Φ, czyli odwzorowaniami u : R X α takimi, że Φ(s, u(t)) = u(t + s) dla s 0, t R. Analogicznie pe lne rozwiazania równania (5) utożsamiamy z odwzorowaniami w : R E takimi, że Φ(s, w(t)) = w(t + s) dla s 0, t R. Narzedziem, które bedziemy używać do szukania zwartych pe lnych rozwiazań dla pó lpotoków Φ oraz Φ jest indeks homoptopijny, którego wersja dla potoków określonych na lokalnie zwartych przestrzeniach metrycznych zosta la wprowadzona przez Conley a (patrz [11], [57], [59]). Nastepnie Rybakowski rozszerzy l teorie tego indeksu na dowolne przestrzenie metryczne (patrz [55], [54]), co da lo podstawy do badania dynamiki równań różniczkowych czastkowych. W szczególności w pracach [52], [53] by lo rozważane zagadnienie istnienia orbit ograniczonych oraz orbit l acz acych punkty stacjonarne dla równań (3) oraz (5), przy czym wyniki nie obejmowa ly równań bed acych w rezonansie w nieskończoności. W pracy [51] rezultaty te zosta ly przeniesione na przypadek nieograniczonej dziedziny Ω = R n, ponownie przy za lożeniu braku rezonansu w nieskończoności. G lówna trudność pojawiajaca sie przy badaniu istnienia rozwiazań okresowych lub pe lnych orbit ograniczonych przypadku równań bed acych w rezonansie w nieskończoności polega na tym, że zagadnienia te moga nie mieć rozwiazań przy dowolnej nieliniowości F. Zosta lo to szczegó lowo wyjaśnione w Uwagach 3.2.1, 3.5.1, 4.2.1 oraz 4.4.1. Celem niniejszej pracy jest podanie nowych twierdzeń rozstrzygajacych istnienie rozwia- zań T -okresowych oraz orbit ograniczonych dla równań (3) oraz (5) bed acych w rezonansie w nieskończoności, w zależności od odpowiednich warunków geometrycznych charakteryzujacych nieliniowość F. W Rozdziale 1 wprowadzimy podstawowe pojecia i definicje dotyczace operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha. W szczególności zostana omówione C 0 pó lgrupy, operatory wycinkowe oraz przestrzenie u lamkowe, które sa przez nie wyznaczane. Najważniejsza cześci a tego rozdzia lu bedzie zbadanie w lasności spektralnych operatora A. Kolejny rozdzia l poświecony bedzie omawianiu klasycznych w lasności dotyczacych rozwia- zań równań (3) oraz (5). Wprowadzona zostanie definicja s labego rozwiazania oraz przypomniane zostaja twierdzenia dotyczace jego istnienia i regularności. Nastepnie przy za lożeniu, że operator A posiada zwarte rezolwenty, zostanie zbadana ciag la zależność rozwiazań od

6 Wst ep parametru oraz warunków poczatkowych. Ponieważ metody niezmienników homotopijnych, którymi bedziemy sie pos lugiwać bed a wymaga ly pewnej zwartości dla operatora przesuniecia wzd luż trajektorii lub stowarzyszonego pó lpotoku, zak ladajac zwartość rezolwent operatora A udowodnimy, że dla dowolnego t > 0 operator Poincaré Φ t jest odwzorowaniem pe lnociag lym skad wywnioskujemy, że dowolny zbiór ograniczony zawarty w przestrzeni X α jest dopuszczalny wzgledem pó lpotoku Φ. W przypadku równania (5) sytuacja jest inna, gdyż operator A nie ma zwartych rezolwent. Dlatego też twierdzenia o zwartości dla operatora Poincaré Φ t sformu lujemy w terminach miar niezwartości. Mianowicie pokażemy, że na przestrzeni E istnieje norma równoważna z norma standardowa taka, że dla dowolnego t > 0 odwzorowanie Φ t jest kondensujace wzgledem miary niezwartości Hausdorffa wyznaczonej przez te norme. Jako wniosek otrzymamy, że dowolny zbiór ograniczony w zawarty w przestrzeni E jest dopuszczalny wzgledem pó lpotoku Φ. Rozdzia l 3 jest poświecony omówieniu otrzymanych wyników dotyczacych równania (3). Najpierw wprowadzam warunki geometryczne dla równań pierwszego rzedu charakteryzujace odwzorowanie F, a nastepnie dowodze nastepuj acych dwa twierdzenia: wzór indeksowego dla orbit ograniczonych wykorzystujacy te warunki geometryczne do wyznaczenia indeksu homotopijnego pó lpotoku Φ na dostatecznie dużej kuli oraz wzór indeksowego dla rozwiazań okresowych wykorzystujacy wprowadzone warunki do wyrażenia stopnia Leray-Schaudera operatora I Φ T, (T > 0) wzgledem kuli o dostatecznie dużym promieniu. Otrzymane wzory indeksowe stosuje do otrzymania kryteriów stwierdzajacych istnienie rozwiazań T -okresowych oraz istnienie orbit l acz acych punktu stacjonarne dla równania (3). W Rozdziale 4 przedstawimy wyniki dotyczace równania (5). Podobnie jak w poprzednim rozdziale wprowadzam warunki geometryczne dla równań drugiego rzedu charakteryzujace odwzorowanie F oraz dowodze nastepuj ace dwa twierdzenia: wzór indeksowy dla orbit ograniczonych, który wykorzystuje wprowadzone warunki do wyznaczenia indeksu homotopijnego pó lpotoku Φ na dostatecznie dużej kuli oraz wzór indeksowych dla rozwiazań okresowych wykorzystujacy te warunki do wyznaczenia stopnia topologicznego pola kondensujacego I Φ T, (T > 0) wzgledem kuli o dostatecznie dużym promieniu. Podobnie jak w poprzednim rozdziale otrzymane wzory indeksowe użyjemy do udowodnienia kryteriów rozstrzygajacych istnienia rozwiazań T -okresowych oraz orbit l acz acych punkty stacjonarne dla równania (5). Rozdzia l 5 jest poświecony zastosowaniom wyników otrzymanych w Rozdzia lach 3 oraz 4 do badania istnienia rozwiazań okresowych oraz orbit l acz acych punkty stacjonarne. Interesować nas bedzie sytuacja, w której operator A jest symetrycznym operatorem różniczkowym drugiego rzedu na przestrzeni X := L p (Ω), gdzie Ω R n jest zbiorem ograniczonym, zaś F jest operatorem Niemyckiego pochodzacym od odwzorowania f : [0, + ) Ω R R. Udowodnimy, że jeśli odwzorowanie f spe lnia warunki Landesmana-Lazera lub warunki z silnym rezonansem, to operator Niemyckiego F spe lnia sformu lowane w Rozdzia lach 3 oraz 4 warunki geometryczne dla równań pierwszego i drugiego rzedu. Na zakończenie udowodnimy kryteria stwierdzajace istnienie rozwiazań okresowych i orbit l acz acych punkty stacjonarne dla parabolicznych oraz hiperbolicznych równań różniczkowych czastkowych w rezonansie. Rozdzia l 6 stanowi dodatek, w którym zosta ly omówione narzedzia istotne dla naszych rozważaniach. Zawarte sa w nim miedzy innymi fakty dotyczace miar niezwartości oraz zbieżności w przestrzeniach metrycznych, jak również zarys teorii i w lasności niezmienników homotopijnych takich jak stopień topologiczny oraz wersja Rybakowskiego indeksu Conley a.

Wst ep 7 Zdaniem autora do najistotniejszych wyników pracy należa: 1. wyniki dotyczace równań pierwszego rzedu w rezonansie: wprowadzenie warunków geometrycznych (G1) (G4) (patrz strony 63 oraz 78) charakteryzujacych nieliniowe zaburzenie w równaniach w rezonansie Twierdzenie 3.2.2 wzór indeksowy dla orbit ograniczonych, Twierdzenie 3.5.2 wzór indeksowy dla rozwiazań okresowych, Twierdzenia 3.3.1, 5.4.8, 5.4.9 kryteria na istnienie orbit ograniczonych, 2. wyniki dotyczace równań drugiego rzedu w rezonansie: wprowadzenie warunków geometrycznych (G5) (G8) (patrz strony 90 oraz 105) charakteryzujacych nieliniowe zaburzenie w równaniach w rezonansie Twierdzenie 4.2.2 wzór indeksowy dla orbit ograniczonych, Twierdzenie 4.4.2 wzór indeksowy dla rozwiazań okresowych, Twierdzenia 4.3.2, 5.5.10, 5.5.11 kryteria na istnienie orbit ograniczonych, Twierdzenia 5.5.5, 5.5.7 kryteria na istnienie rozwiazań T -okresowych. W tym miejscu chcia lbym podziekować dr Aleksandrowi Ćwiszewskiemu za zainteresowanie mnie tematyka niezmienników homotopijnych, a także za cenne dyskusje naukowe prowadzone podczas studiów doktoranckich i magisterskich. Chcia lbym również podziekować prof. dr hab. Wojciechowi Kryszewskiemu za dyskusje i cenne uwagi dotyczace przedstawionych w pracy zagadnień. Wielka Nieszawka Toruń, luty 2012 Piotr Kokocki

Oznaczenia Przestrzenie liniowe N zbiór liczb naturalnych Z zbiór liczb ca lkowitych Q cia lo liczb wymiernych R cia lo liczb rzeczywistych C cia lo liczb zespolonych x cześć ca lkowita liczby rzeczywistej x Re z cześć rzeczywista liczby zespolonej z Im z cześć urojona liczby zespolonej z z modu l liczby zespolonej z, czyli, z 2 := (Re z) 2 + (Im z) 2 B(x, r) kula w przestrzeni unormowanej X z norma dana jako zbiór {y X x y < r} gdzie x X, r 0. U V suma algebraiczna zbiorów U E 1 oraz V E 2 zawartych w podprzestrzeniach liniowych E 1, E 2 E przestrzeni liniowej E takich, że E 1 E 2 = {0} Operatory liniowe L(X, Y ) K(X, Y ) D(A) Gr(A) Ker A Im A ϱ(a) σ(a) σ p (A) przestrzeń liniowa ciag lych operatorów liniowych określonych na przestrzeni Banacha X o wartościach w przestrzeni Banacha Y przestrzeń liniowa zwartych operatorów liniowych określonych na przestrzeni Banacha X o wartościach w przestrzeni Banacha Y dziedzina operatora liniowego A : X X określonego w przestrzeni X wykres operatora liniowego A : X D(A) X na przestrzenie X dany jako zbiór {(x, y) X X x D(A) oraz Ax = y} jadro operatora liniowego A obraz operatora liniowego A zbiór rezolwenty operatora A spektrum operatora A spektrum punktowe operatora A Przestrzenie funkcyjne α = α 1 + α 2 +... + α n dla multi-indeksu α N n ξ α = ξ α 1 1... ξn αn, gdzie ξ R n, α N n D α = α 1 x α αn 1 x αn dla dowolnego multi-indeksu α N n 1 n i u = u xi = u x i 9

10 Oznaczenia u u u t u tt = (u x1, u x2,..., u xn ) t = n i=1 u x i x i = t u = u t = du dt = tt u = 2 u = d2 u t 2 dt 2 dla prawie wszystkich dla p.w. L p (Ω) przestrzeń Banacha funkcji mierzalnych u : Ω R takich, że u L p <, gdzie ( 1/p u(x) dx) p jeśli p < u L p = Ω u(x) jeśli p =. W m,p (Ω) C k (Ω) C k (Ω) C 0 (Ω) ess sup x Ω Jeśli p = 2 to przez, L 2 oznaczamy standardowy iloczyn kartezjański na L 2 (Ω), czyli, u, v L 2 := u(x)v(x) dx dla u, v L 2 (Ω) Ω (m N, 1 p + ) przestrzeń Banacha funkcji mierzalnych u : Ω R takich, że D α u L p (Ω) w sensie dystrybucji, dla dowolnego multi-indeksu α od d lugości α m. Na przestrzeni W m,p (Ω) zadana jest norma u W m,p := α m D α u L p dla liczny ca lkowitej 0 k, przestrzeń funkcji u : Ω R dla których ciag le sa pochodne D α u, gdzie α k dla liczny ca lkowitej 0 k, przestrzeń funkcji u : Ω R dla których pochodne D α u, dla α k, sa jednostajnie ciag le na ograniczonych podzbiorach dziedziny Ω. Na przestrzeni tej zadana jest norma u C k := D α u α k zbiór funkcji g ladkich u : Ω R o zwartym nośniku zawartym w Ω Topologia i niezmienniki homotopijne int A wnetrze zbioru A zawartego w przestrzeni topologicznej X A, cl A domkniecie zbioru A zawartego w przestrzeni topologicznej X A brzeg zbioru A zawartego w przestrzeni topologicznej X, czyli, A = A \ int A id X odwzorowanie identycznościowe na przestrzeni topologicznej X f g odwzorowania homotopijne [(X, x 0 )] typ homotopii przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem (X, x 0 ) deg LS stopień topologiczny Leray Schaudera deg C stopień topologiczny dla pól kondensujacych deg B stopień topologiczny Brouwera h(k, ϕ) indeks Conley a zbioru niezmienniczego K wzgledem pó lpotoku ϕ S(X, ϕ) := S(X) klasa izolowanych zbiorów niezmienniczych wzgledem pó lpotoku ϕ, zawartych w przestrzeni metrycznej X, dla których istnieje otoczenie izolujace dopuszczalne wzgledem ϕ.

Rozdzia l 1 Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha W tym rozdziale zajmiemy sie operatorami liniowymi określonymi na przestrzeni Banacha. Zaczniemy od przypomnienia podstawowych pojeć i wprowadzenia potrzebnej notacji po czym bazujac na [27] oraz [9], przedstawimy fakty dotyczace teorii Riesza-Schaudera dla operatorów zwartych. Nastepnie przejdziemy do sformu lowania twierdzeń spektralnych dotyczacych operatorów o zwartych rezolwentach. W dalszej cześci omówione zostana C 0 pó lgrupy ograniczonych operatorów liniowych, operatory wycinkowe oraz przestrzenie u lamkowe, które sa przez nie wyznaczone. Bedziemy tutaj wykorzystywać fakty zawarte w [3], [10], [7], [50], [30], [32]. Na zakończenie, przejdziemy do g lównej cześci rozdzia lu, która poświecona jest zbadaniu w lasności spektralne operatora hiperbolicznego. 1.1 Poj ecia ogólne Niech A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym określonym na rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni X, na której mamy zadana norme. Powiemy, że operator A jest gesto określony, jeśli jego dziedzina D(A) jest gestym podzbiorem X, czyli D(A) = X. Wykresem operatora A nazywamy podzbiór Gr (A) iloczynu kartezjańskiego X X dany jako Gr (A) := {(x, y) X X y = Ax, x D(A)}. Bedziemy mówić, że operator A jest domkniety, jeśli jego wykres Gr (A) jest domknietym podzbiorem przestrzeni X X, wyposażonej w norme produktowa. Zauważmy, że dziedzine D(A) operatora A możemy w naturalny sposób traktować jako przestrzeń unormowana z norma wykresowa D(A) zadana wzorem x D(A) := x + Ax dla x D(A). Wówczas nietrudno dowieść, że prawdziwe jest nastepuj ace Stwierdzenie 1.1.1. Operator liniowy A : X D(A) X określony na przestrzeni Banacha X jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń liniowa D(A) wyposażona w norme wykresowa D(A) jest przestrzenia Banacha. 11

12 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha Jadrem operatora A bedziemy nazywać zbiór Ker A := {x D(A) Ax = 0}, zaś jego obrazem zbiór dany jako Im A := {Ax x D(A)}. Jeśli operator A jest różnowartościowy, to przez operator odwrotny rozumiemy operator liniowy A 1 : D(A 1 ) X dany jako D(A 1 ) := Im A, A 1 x := y gdzie Ay = x dla x D(A 1 ). Niech B : X D(B) X b edzie kolejnym operatorem liniowym w przestrzeni X. Z lożeniem operatora A z operatorem B jest operator liniowy AB : X D(AB) X zdefiniowany jako D(AB) := {x D(B) Bx D(A)}, ABx := A(Bx) dla x D(AB). Niech Y X bedzie podprzestrzenia liniowa przestrzeni X. Cześci a operatora A w przestrzeni Y nazywamy operator liniowy A Y : Y D(A Y ) Y dany wzorem D(A Y ) := {x D(A) Ax Y } (1.1) A Y x := Ax dla x D(A Y ) (1.2) Niech A : X D(A) X oraz B : Y D(B) Y bed a operatorami liniowymi zadanymi odpowiednio na przestrzeniach X oraz Y. Powiemy, że operatory A oraz B sa ze soba sprzeżone, jeśli istnieje homeomorfizm liniowy U : X Y taki, że D(A) = {x X Ux D(B)} oraz UAx = BUx dla x D(A). Szczególnym przypadkiem operatorów liniowych sa operatory ograniczone. Operator A : X Y, gdzie X, Y sa przestrzeniami Banacha odpowiednio z normami X oraz Y bedziemy nazywać ograniczonym, jeśli jego norma jest skończona A := sup{ Ax Y x D(A), x X 1} < +. Jeśli A = + to operator A bedziemy nazywać nieograniczonym. Ponadto powiemy, że operator T : X Y jest zwarty, jeśli, dla dowolnego zbioru ograniczonego V X, zbiór T (V ) jest relatywnie zwarty w Y. Symbolami L(X, Y ) oraz K(X, Y ) bedziemy oznaczać odpowiednio zbiór ograniczonych i zbiór zwartych operatorów liniowych określonych na przestrzeni X o wartościach w przestrzeni Y. W dalszym ciagu dla wygody zapisu bedziemy przyjmować L(X) := L(X, X) oraz K(X) := K(X, X). Zauważmy, że każdy operator zwarty jest ograniczony, czyli K(X, Y ) L(X, Y ). Niech A : H D(A) H bedzie operatorem liniowym określonym na rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni Hilberta H z iloczynem skalarnym,. Operatorem (hilbertowsko) sprzeżonym z operatorem A bedziemy nazywać bedziemy operator A : H D(A ) H dany w nastepuj acy sposób D(A ) := {y H istnieje z H takie, że Ax, y = x, z dla x D(A)}, A y := z dla y D(A ), gdzie Ax, y = x, z dla x D(A). Powiemy, że operator A jest symetryczny, jeśli A A. Nie trudno sprawdzić, że operator A jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy Ax, y = x, Ay dla x, y D(A). Operator A bedziemy nazywać samosprzeżonym, jeśli A = A. Dobrze znany jest fakt, że operator samosprzeżony jest domkniety. Ponadto latwo sprawdzić, że ma miejsce nastepuj ace

1.2. Spektrum zespolone 13 Stwierdzenie 1.1.2. Jeśli operator A : H D(A) H jest symetryczny oraz istnieje liczba rzeczywista λ taka, że Im (λi A) = H, to A jest operatorem samosprz eżonym. Niech teraz X bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem liczb rzeczywistych. Kompleksyfikacja przestrzeni X nazywamy przestrzeń liniowa X C := X X nad cia lem liczb zespolonych C, na której dzia lania dodawania i mnożenia przez skalar określone sa w nastepuj acy sposób (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) dla (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) X C, λ (x, y) = (λ 1 x λ 2 y, λ 1 y + λ 2 x) dla λ = (λ 1 + λ 2 i) C, (x, y) X C. Przyjmujac oznaczenie x + iy := (x, y) dla (x, y) X C, powyższe dzia lania przyjma nastepu- jac a naturalna postać (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) dla x 1 + iy 1, x 2 + iy 2 X C, λ (x + iy) = (λ 1 x λ 2 y) + i(λ 1 y + λ 2 x) dla λ = (λ 1 + λ 2 i) C, x + iy X C. Jeśli X jest przestrzenia unormowana z norma, to funkcja C : X C R dana wzorem z C := sup (sin θ)x + (cos θ)y dla z = x + iy X C (1.3) θ [0,2π] określa norme na przestrzeni zespolonej X C. Ponadto, jeśli (X, ) jest przestrzenia Banacha, to przestrzeń zespolona X C wraz z norma (1.3) jest również przestrzenia Banacha. Jeśli H jest rzeczywista przestrzenia Hilberta wraz z iloczynem skalarnym,, to funkcja, C : H C H C C dana wzorem z 1, z 2 C := x 1, x 2 + y 1, y 2 + i y 1, x 2 i x 1, y 2 dla z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2 H C jest iloczynem skalarnym na H C. Norma wyznaczona przez ten iloczyn skalarny z, z C = x, x + y, y dla z = x + iy D(A C ) jest równoważna z norma zadana wzorem (1.3). Niech teraz A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym na rzeczywistej przestrzeni X. Kompleksyfikacja operatora A nazywamy operator liniowy A C : X C D(A C ) X C dany wzorem D(A C ) := {x + iy X C x, y D(A)}, A C z := Ax + iay dla z = x + iy D(A C ). Jeśli A : H D(A) H jest operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta H, to (A ) C = (A C ). W szczególności wynika stad, że jeśli operator A jest symetryczny, to również operator A C jest symetryczny oraz jeśli operator A jest samosprzeżony, to operator A C też jest samosprzeżony. 1.2 Spektrum i rozk lady spektralne Niech A : X D(A) X b edzie operatorem liniowym określonym na przestrzeni liniowej X nad cia lem K, przy czym b edziemy przyjmować, że K = R lub K = C. Za lóżmy, że na przestrzeni tej zadana jest norma. Zbiorem rezolwenty operatora A nazywamy zbiór ϱ(a, K) := {λ K Ker (λi A) = {0}, Im (λi A) = X oraz (λi A) 1 L(X)}.

14 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha Jeśli λ ϱ(a, K) to ograniczony operator liniowy (λi A) 1 nazywamy rezolwenta operatora A. Dobrze znanym faktem jest tzw. tożsamość rezolwenty czyli, że dla dowolnych λ, µ ϱ(a, K) prawdziwa jest nastepuj aca równość (λi A) 1 (µi A) 1 = (µ λ)(λi A) 1 (µi A) 1. (2.4) Powiemy, że operator A ma zwarte rezolwenty, jeśli ϱ(a, K) oraz dla dowolnego λ ϱ(a, K) operator (λi A) 1 : X X jest zwarty. Na podstawie równości (2.4) operator A ma zwarte rezolwenty, o ile ϱ(a, K) oraz dla pewnego λ ϱ(a, K) operator (λi A) 1 : X X jest zwarty. Lemat 1.2.1. Niech A : X D(A) X b edzie operatorem liniowym określonym na przestrzeni Banacha X takim, że ϱ(a, K). Wówczas operator A ma zwarte rezolwenty wtedy i tylko wtedy, gdy w lożenie (D(A), D(A) ) (X, ) jest zwarte. Dowód. Za lóżmy, że operator A ma zwarte rezolwenty oraz niech (x n ) n 1 bedzie ciagiem w D(A), ograniczonym w normie D(A). Niech λ ϱ(a, K). Wtedy ciag (y n ) n 1 dany jako y n := λx n Ax n (n 1) jest ograniczony w X, a to na mocy zwartości rezolwent operatora A implikuje, że ciag (x n ) n 1 jest relatywnie zwarty w X gdyż x n = (λi A) 1 y n dla n 1. Za lóżmy teraz, że w lożenie D(A) X jest zwarte. Aby pokazać implikacje przeciwna, czyli, że operator A ma zwarte rezolwenty, weźmy λ ϱ(a, K) oraz ciag (y n ) n 1, który jest ograniczony w X. Wtedy, nietrudno sprawdzić, że ciag (x n ) n 1 dany jako x n = (λi A) 1 y n dla n 1 jest ograniczony w normie D(A), a zatem jest relatywnie zwarty w X. Lemat 1.2.2. Niech A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym na przestrzeni Banacha X, na której mamy zadany rozk lad na sume prosta X = X X 0 X + przestrzeni domknietych o tej w lasności, że X 0, X D(A), A(X 0 ) X 0, A(X ) X oraz A(D(A) X + ) X +. Niech dla dowolnego i = 0,, + operator A i : X i D(A i ) X i bedzie cześci a operatora A w przestrzeni X i. Wówczas prawdziwe sa nastepuj ace stwierdzenia. (a) Dla dowolnego i = 0,, + mamy inkluzje ϱ(a, K) ϱ(a i, K) i ponadto, jeśli ρ ϱ(a, K) to (ρi A i ) 1 x = (ρi A) 1 x dla x X i. (2.5) (b) Jeśli A ma zwarte rezolwenty, to dla dowolnego i = 0,, + operator A i ma również zwarte rezolwenty. Dowód. (a) Niech ρ ϱ(a) oraz niech i {0,, +}. Aby sprawdzić, że ρ ϱ(a i ) zauważmy, że Ker (ρi A i ) Ker (ρi A) = {0}, a zatem operator ρi A i jest różnowartościowy. Aby sprawdzić, że jest surjekcja weźmy y X i. Wtedy istnieje x D(A) takie, że ρx Ax = y. Zauważmy, że x = x + x + + x 0, gdzie x 0 X 0, x X oraz x + X +. Skoro x D(A) to zgodnie z za lożeniami x 0, x, x + D(A) oraz ρx j Ax j X j dla j = 0,, +. Ponieważ y X i mamy w szczególności, że ρx i Ax i = y oraz ρx j Ax j = 0 dla j i. Oznacza to, że x j = 0 dla j i, a stad x = x i i dlatego ρx i Ax i = y. Wtedy x i D(A i ) oraz ρx i A i x i = y, co pokazuje, że Im (ρi A i ) = X i oraz (ρi A i ) 1 y = (ρi A) 1 y dla y X i. W konsekwencji pokazaliśmy punkt (a). (b) Niech i {0,, +} bedzie ustalone. Jeśli operator A ma zwarte rezolwenty, to na podstawie punktu (a) mamy, że ϱ(a i ), a ponieważ spe lniona jest równość (2.5) mamy również, że dla dowolnego ρ ϱ(a i ) operator (ρi A i ) 1 jest zwarty, co uzasadnia punkt (b).

1.2. Spektrum zespolone 15 Uwaga 1.2.3. Jeśli operator A : X D(A) X określony na rzeczywistej przestrzeni Banacha X ma zwarte rezolwenty, to operator A C : X C D(A C ) X C też ma zwarte rezolwenty. Aby to sprawdzić weźmy ρ ϱ(a, R). Wtedy nietrudno sprawdzić, że operator ρi A C : X C D(A C ) X C jest bijekcja oraz (ρi A C ) 1 (x + iy) = (ρi A) 1 x + i(ρi A) 1 y dla x + iy X C. (2.6) Ponadto zauważmy, że zachodzi nastepuj aca nierówność 1/2( x + y ) x + iy C x + y dla x + iy X C. (2.7) Wtedy dla dowolnego x + iy X C mamy (ρi A C ) 1 (x + iy) C (ρi A) 1 x + (ρi A) 1 y (ρi A) 1 ( x + y ) 2 (ρi A) 1 x + iy C, co dowodzi, że operator (ρi A C ) 1 jest ograniczony i dlatego ρ ϱ(a C ). Niech teraz (z n ) n 1 bedzie ciagiem w X C ograniczonym w normie C. Jeśli z n = x n + iy n dla n 1, to na podstawie nierówności (2.7) ciagi (x n ) n 1 oraz (y n ) n 1 sa ograniczone w przestrzeni X. Niech ciagi (a n ) n 1, (b n ) n 1 w X oraz ciag (c n ) n 1 w X C bed a dane jako a n := (ρi A) 1 x n, b n := (ρi A) 1 y n, c n := (ρi A C ) 1 z n dla n 1. Wtedy na podstawie (2.6) mamy c n = a n + ib n dla n 1. Z faktu, że operator A ma zwarte rezolwenty istnieja podciagi (a nk ) k 1 oraz (b nk ) k 1, które sa zbieżne w X. Na podstawie prawej nierówności (2.7) mamy, że ciag (c nk ) k 1 jest zbieżny w X C, co dowodzi zwartości operatora (ρi A C ) 1. Spektrum operatora liniowego A : X D(A) X określonego na przestrzeni liniowej X nad cia lem K definiujemy jako σ(a, K) := {λ K λ ϱ(a, K)}. Z kolei spektrum punktowym operatora A nazywamy zbiór σ p (A, K) := {λ K Ker (λi A) {0}}. Uwaga 1.2.4. Niech X oraz Y bed a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K. Za lóżmy, że operatory liniowe A : X D(A) X oraz B : Y D(B) Y sa sprzeżone, czyli, istnieje homeomorfizm K-liniowy U : X Y taki, że UA = BU. (a) Wtedy σ p (A, K) = σ p (B, K) oraz dla dowolnego λ σ p (A, K) mamy nastepuj aca równość Ker (λi B) = UKer (λi A) = {Ux x Ker (λi A)}. (b) Ponadto σ(a, K) = σ(b, K) oraz ρ(a, K) = ρ(b, K). Dla operatora liniowego A : X D(A) X określonego na rzeczywistej przestrzeni Banacha X, możemy zdefiniować jego spektrum zespolone, zespolone spektrum punktowe oraz zespolony zbiór rezolwenty odpowiednio jako σ(a) := σ(a C, C), σ p (A) := σ p (A C, C) oraz ϱ(a) := ϱ(a C, C).

16 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha Uwaga 1.2.5. (a) Nie trudno zauważyć, że maja miejsce nastepuj ace równości ϱ(a) R = ϱ(a, R), σ(a) R = σ(a, R) oraz σ p (A) R = σ p (A, R). (b) Można sprawdzić, że jeśli operator A : H D(A) H jest symetrycznym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta H, to jego zespolone spektrum punktowe σ p (A) sk lada si e z liczb rzeczywistych. Uwaga 1.2.6. Za lóżmy, że operatory liniowe A : X D(A) X oraz B : Y D(B) Y, określone na rzeczywistych przestrzeniach X oraz Y sa sprzeżone, czyli, istnieje homeomorfizm liniowy U : X Y taki, że UA = BU. (a) Wtedy σ p (A) = σ p (B) oraz dla dowolnego λ σ p (A) mamy nastepuj aca równość Ker (λi B) = UKer (λi A) = {Ux x Ker (λi A)}. (b) Ponadto σ(a) = σ(b) oraz ρ(a) = ρ(b). 1.2.1 W lasności spektralne operatorów zwartych W dalszym ciagu zak ladamy, że T : X X jest operatorem zwartym określonym na przestrzeni Banacha X nad cia lem K, (K = R lub K = C) takiej, że dim X =. Przejdziemy teraz do charakteryzacji widma operatora T. Twierdzenie 1.2.7. (patrz [9]) Prawdziwe sa nastepuj ace stwierdzenia. (i) 0 σ(t, K), (ii) σ(t, K) \ {0} = σ p (T, K) \ {0}, (iii) zbiór σ(t, K)\{0} jest skończony albo sk lada sie z wyrazów pewnego ciagu zbiegajacego do zera. Przejdziemy teraz do opisu przestrzeni w lasnych operatorów zwartych. Nietrudno zauważyć, że dla dowolnej liczby ca lkowitej n 1 zachodza nastepuj ace inkluzje Ker (I T ) n Ker (I T ) n+1 oraz Im (I T ) n+1 Im (I T ) n. Dla dowolnego λ K przez jadro uogólnione N λ (T ) oraz obraz uogólniony R λ (T ) operatora λi T bedziemy rozumieć przestrzenie określone jako N λ (T ) := Ker (λi T ) n, R λ (T ) := Im (λi T ) n. n=1 n=1 Nastepuj ace twierdzenie charakteryzuje jadra i obrazy uogólnione. Twierdzenie 1.2.8. (patrz [27], [9]) Niech λ K bedzie takie, że λ 0. Wówczas prawdziwe sa nastepuj ace stwierdzenia. (i) Ker (λi T ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λi T ) = X. (ii) Dla dowolnej liczby ca lkowitej n 1 przestrzeń Im (λi T ) n jest domknieta w X oraz dim N λ (T ) <. (iii) Istnieje liczba ca lkowita ρ 1 taka, że Im (λi T ) n Im (λi T ) n+1 dla n < ρ oraz Im (λi T ) n = Im (λi T ) n+1 dla n ρ. (iv) Istnieje liczba ca lkowita ν 1 taka, że Ker (λi T ) n Ker (λi T ) n+1 dla n < ν oraz Ker (λi T ) n = Ker (λi T ) n+1 dla n ν. (v) Jeśli ρ oraz ν sa liczbami odpowiednio z punktów (iii) oraz (iv), to ρ = ν oraz X = Ker (λi T ) ρ Im (λi T ) ρ. W szczególności przestrzeń X rozk lada sie na sume prosta X = N λ (T ) R λ (T ).

1.2. Spektrum zespolone 17 Kolejne twierdzenie mówi nam o rozk ladzie spektralnym operatora zwartego. Twierdzenie 1.2.9. (patrz [9]) Niech T : X X bedzie operatorem liniowym zwartym określonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X oraz niech (λ i ) i 1 bedzie ciagiem rzeczywistych wartości w lasnych operatora T. Wtedy dla dowolnego k 1, istnieje rozk lad przestrzeni X na sume prosta podprzestrzeni domknietych X = X 1 X 2 takich, że X 1 = k k N λl (T ) oraz X 2 = R λl (T ). l=1 l=1 Ponadto maja miejsce nastepuj ace stwierdzenia. (i) T (X 1 ) X 1 oraz T (X 2 ) X 2, (ii) σ p (T X1, R) = {λ 1, λ 2,..., λ k } oraz σ p (T X2, R) = {λ i i k + 1}. 1.2.2 W lasności spektralne operatorów o zwartych rezolwentach Niech teraz A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym o zwartych rezolwentach określonym na przestrzeni Banacha X nad cia lem K (K = C lub K = R). Przechodzimy do podania twierdzeń o postaci spektrum i rozk ladów spektralnych dla operatorów o zwartych rezolwentach. Jeśli λ K to jadrem uogólnionym operatora λi A nazywamy podprzestrzeń N λ (A) dana jako N λ (A) := Ker (λi A) i. Nast epnie definiujemy obraz uogólniony operatora λi A jako podprzestrzeń R λ (A) := i=1 Im (λi A) i. i=1 Nastepuj acy lemat przedstawia relacje miedzy jadrami i obrazami uogólnionymi operatora liniowego i jego rezolwenty. Lemat 1.2.10. Niech A : X D(A) X b edzie operatorem liniowym na przestrzeni unormowanej X oraz niech ρ ϱ(a). Jeśli λ ρ to, dla dowolnej liczby ca lkowitej n 1, (i) Ker (λi A) n = Ker ((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n ), (ii) Im (λi A) n = Im ((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n ). Dowód. Zauważmy na poczatek, że dla dowolnego x D(A) prawdziwe sa nastepuj ace równości Wynika z nich odpowiednio, że (ρi A)(I (ρ λ)(ρi A) 1 )x = (λi A)x oraz (I (ρ λ)(ρi A) 1 )(ρi A)x = (λi A)x. Ker (λi A) = Ker (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) oraz (2.8) Im (λi A) = Im (I (ρ λ)(ρi A) 1 ). (2.9)

18 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha Aby dowieść punktu (i) b edziemy rozumować przez indukcj e. Za lóżmy, że równość z tego punktu ma miejsce dla pewnego n 1. Pokażemy, że Ker (λi A) n+1 = Ker ((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n+1 ). (2.10) Wykorzystujac za lożenie indukcyjne mamy równoważnie x Ker (λi A) n+1 (λi A)x Ker (λi A) n (λi A)x Ker (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n (λi A)x = 0. Dalej na podstawie komutatywności otrzymujemy, że ostatnia równość jest równoważna z tym, że x D(A) oraz (λi A)(I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n x = 0. To zaś na podstawie (2.8) jest równoważne z tym, że (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n+1 x = 0 i w ten sposób dowodzimy (2.10) i punktu (i). Aby dowieść punktu (ii) za lóżmy, że równość w nim przedstawiona ma miejsce dla pewnego n 1. Pokażemy, że Im (λi A) n+1 = Im ((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n+1 ). (2.11) W tym celu weźmy najpierw x Im (λi A) n+1. Wówczas istnieje y D(A) Im (λi A) n takie, że (λi A)y = x. Zatem na podstawie za lożenia indukcyjnego istnieje z X takie, że (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n z = y. Ponieważ y D(A), nietrudno sprawdzić, że również z D(A). Zatem, korzystajac z komutatywności otrzymujemy x = (λi A)y = (λi A)(I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n z = (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n (λi A)z. Z równości (2.9) istnieje z 0 X takie, że (λi A)z = (I (ρ λ)(ρi A) 1 )z 0, co w konsekwencji oznacza, że x = (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n+1 z 0. Pokazaliśmy zatem inkluzje Im (λi A) n+1 Im ((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n+1 ). Aby dowieść inkluzji przeciwnej weźmy x Im (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n+1. Wówczas istnieje y Im (I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n takie, że (I (ρ λ)(ρi A) 1 )y = x. Na podstawie za lożenia indukcyjnego y Im (λi A) n, a zatem istnieje z D(A n ) takie, że y = (λi A) n z i dlatego x = (I (ρ λ)(ρi A) 1 )y = (I (ρ λ)(ρi A) 1 )(λi A) n z. Korzystajac z komutatywności mamy x = (λi A) n (I (ρ λ)(ρi A) 1 )z, co na mocy (2.9) oznacza, że istnieje z 0 D(A) takie, że (λi A)z 0 = (I (ρ λ)(ρi A) 1 )z. Zatem z 0 D(A n+1 ) oraz x = (λi A) n+1 z 0, co kończy dowód równości (2.11) oraz punktu (ii). Nastepuj ace twierdzenie jest wnioskiem z Twierdzenia 1.2.8 oraz Lematu 1.2.10. Twierdzenie 1.2.11. Niech A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym o zwartych rezolwentach oraz niech λ K. Wówczas prawdziwe sa nastepuj ace stwierdzenia. (i) Ker (λi A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λi A) = X. (ii) Dla dowolnej liczby ca lkowitej n 1 przestrzeń Im (λi A) n jest domknieta oraz dim N λ (A) <. (iii) Istnieje liczba ca lkowita ρ 1 taka, że Im (λi A) n Im (λi A) n+1 dla n < ρ oraz Im (λi A) n = Im (λi A) n+1 dla n ρ.

1.2. Spektrum zespolone 19 (iv) Istnieje liczba ca lkowita ν 1 taka, że Ker (λi A) n Ker (λi A) n+1 dla n < ν oraz Ker (λi A) n = Ker (λi A) n+1 dla n ν. (v) Jeśli ρ oraz ν sa liczbami odpowiednio z punktów (iii) oraz (iv), to ρ = ν oraz X = Ker (λi A) ρ Im (λi A) ρ. W szczególności przestrzeń X rozk lada sie na sume prosta X = N λ (A) R λ (A). Jeśli operator A ma zwarte rezolwenty, na podstawie punktu (ii) Twierdzenia 1.2.11 wiadomo, że dim N λ (A) < + dla dowolnego λ K i dlatego możemy zdefiniować krotność geometryczna n geo (λ) oraz krotność algebraiczna n alg (λ) wartości w lasnej λ odpowiednio jako n geo (λ) := dim Ker (λi A) oraz n alg (λ) = dim N λ (A). Nastepuj ace twierdzenie mówi nam o postaci widma operatora o zwartych rezolwentach. Twierdzenie 1.2.12. Jeśli operator liniowy A : X D(A) X ma zwarte rezolwenty, to σ(a, K) = σ p (A, K) oraz dla dowolnego ρ ϱ(a, K) mamy σ p (A, K) = {ρ µ 1 µ σ p ((ρi A) 1 )}. (2.12) Ponadto zbiór σ p (A, K) jest skończony lub sk lada sie z wyrazów ciagu (λ n ) w K takiego, że λ n + przy n +. Dowód. Niech µ σ(a, K). Wtedy Ker (µi A) {0}, bo w przeciwnym wypadku, na mocy punktu (i) Twierdzenia 1.2.11 mielibyśmy, że Im (µi A) = X. Wobec tego, że operator A jest domkniety, twierdzenie o domknietym wykresie implikowa loby, że µ ϱ(a, K), co jest sprzecznościa. Dlatego σ(a, K) σ p (A, K), czyli σ(a, K) = σ p (A, K). Sprawdzimy teraz równość (2.12). W tym celu weźmy ρ ϱ(a, K) i zauważmy, że 0 σ p ((ρi A) 1 ). Zatem jeśli λ := ρ µ 1 gdzie µ σ p ((ρi A) 1 ), to z punktu (i) Lematu 1.2.10 otrzymujemy, że Ker (λi A) = Ker ((ρ µ 1 )I A) = Ker (µi (ρi A) 1 ) {0}, czyli λ σ p (A, K). Podobnie, jeśli weźmiemy λ σ p (A, K), to korzystajac ponownie z punktu (i) Lematu 1.2.10 mamy, że (ρ λ) 1 σ p ((ρi A) 1 ). Zatem k ladac µ := (ρ λ) 1 mamy w konsekwencji, że λ {ρ µ 1 µ σ p ((ρi A) 1 )} i w ten sposób dowodzimy równości (2.12). Z punktu (iii) Twierdzenia 1.2.7 otrzymujemy, że σ p ((ρi A) 1 ) jest zbiorem skończonym lub σ p ((ρi A) 1 ) = {µ k k 1}, gdzie (µ k ) w K jest ciagiem takim, że µ k 0 gdy k +. Zatem na podstawie równości (2.12) mamy, że σ p (A, K) jest zbiorem skończonym lub σ p (A, K) = {λ k k 1}, gdzie λ k := ρ µ 1 k dla k 1. Ponieważ (µ k ) k 1 jest ciagiem zbieżnym do zera mamy, że λ k + gdy n +, co kończy dowód twierdzenia. Kolejne twierdzenie mówi o rozk ladzie spektralnym operatora zwartych rezolwentach. Twierdzenie 1.2.13. Niech A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym o zwartych rezolwentach określonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X oraz niech (λ i ) i 1 bedzie ciagiem rzeczywistych wartości w lasnych operatora A. Wtedy dla dowolnego k 1, istnieje rozk lad przestrzeni X na sume prosta podprzestrzeni domknietych X = X 1 X 2 takich, że X 1 = k N λl (A), oraz X 2 = l=1 k R λl (A). Ponadto maja miejsce nastepuj ace stwierdzenia: (i) zachodza inkluzje X 1 D(A), A(X 1 ) X 1 oraz A(X 2 D(A)) X 2, l=1

20 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha (ii) jeśli A 1 oraz A 2 sa cześciami operatora A odpowiednio w przestrzeniach X 1 oraz X 2, to σ(a 1, R) = {λ 1, λ 2,..., λ k } oraz σ(a 2, R) = {λ i i k + 1}. Dowód. Niech ρ ϱ(a, R). Na podstawie Twierdzenia 1.2.12 mamy, że λ i = ρ µ 1 i dla i 1, gdzie σ p ((ρi A) 1, R) = {µ i i 1}. Na podstawie Twierdzenia 1.2.9 istnieje rozk lad przestrzeni X na sume prosta podprzestrzeni domknietych X = X 1 X 2 takich, że k k X 1 = N µl ((ρi A) 1 ) oraz X 2 = R µl ((ρi A) 1 ). l=1 Ponadto (ρi A) 1 (X 1 ) X 1, (ρi A) 1 (X 2 ) X 2 oraz σ p ((ρi A) 1 X 1, R) = {µ 1, µ 2,..., µ k }, σ p ((ρi A) 1 X 2, R) = {µ i i k + 1}. (2.13) Na podstawie Lematu 1.2.10 wnosimy, że N λi (A) = N µi ((ρi A) 1 ) oraz R λi (A) = R µi ((ρi A) 1 ) dla i 1, skad otrzymujemy, że X = X 1 X 2 gdzie k X 1 = N λl (A) oraz X 2 = l=1 Nietrudno sprawdzić, że w tej sytuacji l=1 k R λl (A). l=1 X 1 D(A), A(X 1 ) X 1 oraz A(D(A) X 2 ) X 2. Powo luj ac sie na punkt (a) Lematu 1.2.2 otrzymujemy, że ρ ϱ(a i, R) oraz (ρi A i ) 1 = (ρi A) 1 X i dla i = 1, 2. (2.14) Ponadto na podstawie punktu (b) tego lematu wnosimy, że operatory A 1 oraz A 2 maja zwarte rezolwenty. Zatem na mocy Twierdzenia 1.2.12 σ(a i, R) = σ p (A i, R) = {ρ µ 1 µ σ p ((ρi A i ) 1, R)} dla i = 1, 2, co po po l aczeniu z (2.13) oraz (2.14) daje co kończy dowód twierdzenia. σ(a 1, R) = {ρ µ 1 i 1 i k} = {λ i 1 i k} oraz σ(a 2, R) = {ρ µ 1 i i k + 1} = {λ i i k + 1}, 1.3 Pó lgrupy operatorów liniowych Definicja 1.3.1. Rodzine {S(t)} t 0, ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha X bedziemy nazywać C 0 pó lgrup a, jeśli S(0)x = x oraz S(t + s)x = S(t)S(s)x dla t, s 0, x X oraz spe lniony jest warunek ciag lości lim S(t)x = x dla x X. t 0 +

1.3. Pó lgrupy operatorów liniowych 21 Stwierdzenie 1.3.2. (patrz [50], [32]) Jeśli rodzina {S(t)} t 0 jest C 0 pó lgrupa, to istnieja sta le M 1 oraz ω R takie, że S(t) Me ωt dla t 0. Przyk lad 1.3.3. Niech X bedzie przestrzenia Banacha oraz niech A : X X bedzie ograniczonym operatorem liniowym określonym na X. Dobrze znanym faktem jest, że nastepuj acy szereg exp(ta) := (ta) i /i!, jest zbieżny dla dowolnego t R w jednostajnej topologii operatorów. Wówczas dla dowolnego t R jego granica exp(ta) jest elementem przestrzeni L(X) oraz rodzina operatorów ograniczonych {exp(ta)} t 0 jest C 0 pó lgrupa na X generowana przez operator A i ponadto spe lniona jest nastepuj aca równość i=1 exp(ta) exp(sa) = exp((t + s)a) dla t, s R. Jeśli dla dowolnego t > 0 operator S(t) : X X jest zwarty, to b edziemy mówić, że C 0 pó lgrupa jest zwarta. Jeśli dla dowolnego zbioru ograniczonego V X rodzina funkcji {(0, + ) t S(t)x x V } jest równociag la w każdym punkcie zbioru (0, + ), to rodzine operatorów {S(t)} t 0 bedziemy nazywać równociag l a C 0 pó lgrupa. Dobrze znany jest fakt, że jeśli C 0 pó lgrupa jest zwarta, to jest równociag la. Generatorem C 0 pó lgrupy nazywamy operator liniowy A : X D(A) X dany wzorem { } S(t)x x D(A) := x X istnieje granica lim, t 0 + t S(t)x x Ax := lim dla x D(A). t 0 + t Poniższe twierdzenie Hille Yosidy podaje warunki konieczne i wystarczajace na to aby operator liniowy by l generatorem C 0 pó lgrupy. Twierdzenie 1.3.4. (patrz [50, Theorem 1.5.2]) Operator liniowy A : X D(A) X jest generatorem C 0 pó lgrupy {S(t)} t 0, spe lniajacej oszacowanie S(t) Me ωt (M 1) dla t 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (i) A jest domkni ety oraz D(A) jest g estym podzbiorem przestrzeni X, (ii) zbiór rezolwenty ϱ(a) operatora A zawiera przedzia l (ω, + ) oraz (λi A) n M/(λ ω) n dla λ > ω, n = 1, 2,.... W dalszym ciagu przez {S A (t)} t 0 bedziemy oznaczać C 0 pó lgrupe generowana przez operator A. Nastepuj ace twierdzenie jest wersja wzoru Eulera przeniesiona na przypadek generatorów C 0 pó lgrup. Twierdzenie 1.3.5. (patrz [50, Theorem 1.8.3]) Niech A : X D(A) X operatorem liniowym na przestrzeni Banacha X oraz niech {S A (t)} t 0 bedzie C 0 pó lgrup a generowana przez operator A. Wtedy dla dowolnego t 0 mamy nastepuj acy wzór ( S A (t)x = I + t ) n n A x dla x X. lim n +

22 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha Lemat 1.3.6. Niech A : X D(A) X bedzie operatorem liniowym na przestrzeni Banacha X, na której mamy zadany rozk lad na sume prosta przestrzeni domknietych X = X X 0 X + taki, że X 0, X D(A), A(X 0 ) X 0, A(X ) X oraz A(D(A) X + ) X +. Niech operator A i : X i D(A i ) X i bedzie cześci a operatora A w przestrzeni X i dla i = 0,, +. Jeśli A jest generatorem C 0 pó lgrupy {S A (t)} t 0, to S A (t)x i X i dla t 0, i = 0,, + oraz dla dowolnego dla dowolnego i {0,, +} operator A i generuje C 0 pó lgrupe {S Ai (t)} t 0 na X i taka, że S A (t)x = S Ai (t)x dla t 0, x X i. Dowód. Pokażemy najpierw, że jeśli λ ϱ(a) jest liczba rzeczywista oraz i {0,, +} jest ustalone, to (λi A) 1 X i X i. W tym celu weźmy y X i oraz niech x j X j, dla j = 0,, +, bed a takie, że x 0 + x + x + = x := (λi A) 1 y. Skoro x, x, x 0 D(A) mamy również, że x + D(A) oraz (λi A)x 0 + (λi A)x + (λi A)x + = y. Ponadto na podstawie za lożenia λx j Ax j X j dla j = 0,, +, a ponieważ y X i, mamy w konsekwencji, że λx i Ax i = y oraz λx j Ax j = 0 dla j i. W szczególności implikuje to, że x j = 0 dla j i, gdyż λ ϱ(a). Dlatego (λi A) 1 y = x i X i, czyli (λi A) 1 X i X i dla i = 0,, +. Korzystajac teraz z domknietości przestrzeni X i i Twierdzenia 1.3.5 otrzymujemy, że S A (t)x i X i. Niech teraz rodzina {T i (t)} t 0 bedzie C 0 pó lgrupa operatorów ograniczonych na przestrzeni Banacha X i dana jako T i (t)x = S A (t)x dla t 0, x X i oraz niech B i : D(B i ) X i b edzie jej generatorem. Dla x D(B i ) mamy T i (t)x x B i x = lim. t 0 + t Oznacza to, że x D(A) oraz Ax = B i x. Zatem D(B i ) D(A) X i. Niech teraz x D(A) X i. Wtedy S A (t)x x T i (t)x x Ax = lim = lim, t 0 + t t 0 + t co implikuje, że x D(B i ) oraz B i x = Ax. W konsekwencji A i = B i oraz S A (t)x = S Ai (t)x dla t 0 oraz x X i, co kończy dowód. Na zakończenie przytoczymy nastepuj ace twierdzenie spektralne dla C 0 pó lgrup. Twierdzenie 1.3.7. (patrz [32, Theorem 16.7.2]) Niech {S A (t)} t 0 bedzie C 0 pó lgrupa na zespolonej przestrzeni Banacha X, generowana przez operator A. Wtedy e tσp(a) σ p (S A (t)) e tσp(a) {0} dla t > 0. Ponadto, jeśli λ C jest dowolne, to ( ) Ker (e λt I S A (t)) = span Ker (λ k,t I A), (3.15) gdzie λ k,t = λ + (2kπ/t)i dla k Z. k Z

1.4. Operatory wycinkowe 23 1.4 Operatory wycinkowe Definicja 1.4.1. Niech A : X D(A) X bedzie domknietym gesto określonym operatorem w przestrzeni Banacha X. Operator A bedziemy nazywać operatorem wycinkowym, jeśli istnieja sta le M 0 > 0, a R oraz sta la 0 < ϕ < π 2 taka, że: (a) zbiór rezolwenty ϱ(a) operatora A zawiera wycinek Σ a,ϕ dany jako Σ a, ϕ = {λ C λ a, ϕ < Arg(λ a) π}, (b) (λi A) 1 L(X) M 0 / λ a dla λ Σ a,ϕ. Σ a,ϕ a ϕ ϕ O σ(a) Rysunek 1.1: Spektrum operatora wycinkowego A Kolejne dwa stwierdzenia sa pomocne przy konstruowaniu przyk ladów operatorów wycinkowych. Stwierdzenie 1.4.2. (patrz [10, Proposition 1.3.2]) Niech A : X D(A) X bedzie dodatnio określonym operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X. Jeśli B : X X jest operatorem ograniczonym, to operator A + B z dziedzina D(A + B) := D(A) jest operatorem wycinkowym na X. Stwierdzenie 1.4.3. (patrz [10, Proposition 1.3.3]) Niech A : X D(A) H bedzie operatorem samosprzeżonym na rzeczywistej przestrzeni Hilberta H z iloczynem skalarnym, i norma takim, że spe lniona jest nierówność Ax, x m x 2 dla x D(A), (4.16) gdzie m R jest pewna sta l a. Wówczas A jest operatorem wycinkowym. W powyższym stwierdzeniu A jest operatorem samosprzeżonym i dlatego jego spektrum mieści sie na osi liczb rzeczywistych. Dodatkowo spe lniona jest nierówność (4.16), która implikuje, że zawiera sie ono w pó lp laszczyźnie {z C Re z m} i tym samym σ(a) {z C Re z m, Im z = 0} (patrz Rysunek 1.2). Rozważania te prowadza nas do nastepuj acej definicji. Definicja 1.4.4. Powiemy, że operator wycinkowy A jest dodatnio określony, jeśli Re σ(a) > 0, czyli Re z > 0 dla dowolnego z σ(a).