Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest z = a bi. Poadto cześci a rzeczywista liczby z jest liczba (rzeczywista) re(z) = a, zaś cześci a urojoa liczby z jest liczba (rzeczywista) im(z) = b. Modu lem liczby z postaci (1) azywamy liczbe rzeczywista ieujema Z tych określeń mamy od razu, że z = a b. () re(z) z oraz im(z) z, (3) z z = z. (4) Twierdzeie.1. wzory: Dla dowolych liczb zespoloych z, w, z 1,..., z zachodza astepuj ace z 1 z... z = z 1 z... z (5) z 1 z... z = z 1 z... z () z = (z) (7) ( z ) = z, w 0. (8) w w Dowód. (5). Istieja liczby rzeczywiste a 1,..., a, b 1,..., b takie, że z k = a k b k i dla k = 1,...,. Zatem z 1...z = (a 1 b 1 i)...(a b i) = (a 1...a )(b 1...b )i, skad z 1... z = (a 1...a ) (b 1...b )i oraz z 1...z = (a 1 b 1 i)...(a b i) = (a 1... a ) (b 1... b )i, skad mamy wzór (5). (). Dla = istieja liczby rzeczywiste a 1, a, b 1, b takie, że z 1 = a 1 b 1 i oraz z = a b i. Stad z 1 z = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i, czyli z 1 z = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i oraz z 1 z = (a 1 b 1 i) (a b i) = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i, czyli teza zachodzi dla =. Za lóżmy teraz, że teza zachodzi dla pewego aturalego. Wówczas dla liczb zespoloych z 1,..., z, z 1 a mocy pierwszej cześci dowodu mamy, że z 1... z z 1 = (z 1... z ) z 1 = z 1... z z 1, wiec a mocy za lożeia idukcyjego z 1... z z 1 = z 1... z z 1. Stad a mocy zasady idukcji mamy teze. (7). Wystarczy w poprzedim wzorze podstawić z = z 1 =... = z. 1
(8). Poieważ w 0, wiec też w 0 (dlaczego?). Z (5) mamy, że z = w z w = w ( ) z w, sk ad po podzieleiu obu stro przez w uzyskamy teze. Twierdzeie.. Dla dowolych liczb zespoloych z, w, z 1,..., z zachodza astepuj ace wzory: z 1 z... z = z 1 z... z (9) z = z w w, w 0 (10) z = z (11) z 1 z... z z 1 z... z (1) z w = odleg lość puktu z od puktu w. (13) Dowód. (9). Na mocy wzorów (4) i (5): z 1... z = (z 1... z ) (z 1... z ) = z 1... z z 1... z = (z 1 z 1 )... (z z ) = z 1... z, skad po spierwiastkowaiu obu stro uzyskamy teze. (10). Poieważ w 0, wiec też w 0 (dlaczego?). Na mocy wzoru (9) z = w z w = w z w, wiec po podzieleiu obu stro przez w uzyskamy teze. (11). Wystarczy podstawić z = z 1 =... = z we wzorze (9). (1). Stosujemy idukcje wzgledem. Niech =. Jeśli z 1 z = 0, to asz wzór zachodzi. ( Za lóżmy dalej, że z 1 z 0. Wtedy z 1 z > 0. Poadto 1 = re z1 z 1 z z = ( ) ( ) re z1 z 1 z re z z z 1 z 1 z 1 z z z 1 z = z 1 z 1 z z z 1 z, sk ad po pomożeiu obu stro przez z 1 z uzyskamy teze dla =. Za lóżmy teraz, że asza ierówość zachodzi dla pewej liczby aturalej i iech z 1,..., z 1 bed a dowolymi liczbami zespoloymi. Wówczas z pierwszej cześci dowodu i z za lożeia idukcyjego mamy, że z 1... z 1 = (z 1... z ) z 1 z 1... z z 1 z 1... z z 1, czyli asza ierówość zachodzi dla liczby 1. Stad a mocy zasady idukcji mamy teze. (13). Istieja liczby rzeczywiste a 1, a, b 1, b takie, że z = a 1 b 1 i (a 1, b 1 ) oraz w = a b i (a, b ). Poadto z w = (a 1 a ) (b 1 b )i, wiec z w = (a 1 a ) (b 1 b ). Zatem z geometrii aalityczej mamy teze. Przyk lad.3. Wyzaczymy wszystkie liczby zespoloe z takie, że z z = i. z 1 z ) W tym celu zapiszmy liczbe z w postaci algebraiczej z = x yi, gdzie x, y sa szukaymi liczbami rzeczywistymi. Poieważ z = x y, z = x yi, wiec asze rówaie przybiera postać x y x yi = i, czyli ( x y x) ( y)i = i.
Zatem x y x = oraz y = 1. Stad y = 1 oraz x 1 = x. Po podiesieiu stroami do kwadratu ostatiej rówości uzyskamy, że x 1 = 4 4x x, skad x = 3 4. Zatem jedyym rozwiazaiem aszego rówaia jest z = 3 4 i. Postać trygoometrycza liczby zespoloej Niech z 0 bedzie dowola liczba zespoloa. Wtedy istieja liczby rzeczywiste a, b takie, że z = a bi oraz a 0 lub b 0. Liczbe z możemy traktować jako pukt (a, b) p laszczyzy, którego odleg lość od puktu (0, 0) jest rówa z = a b. Ozaczmy przez φ miare kata skierowaego jaki tworzy wektor Oz z osia OX w orietacji p laszczyzy przeciwej do ruchów wskazówek zegara. Wtedy mamy, że φ 0, π) oraz cos φ = si φ = a a b b. a b Otrzymujemy stad wzór z = z (cos φ i si φ), (14) który azywamy postacia trygoometrycza liczby zespoloej z. Liczbe φ azywamy argumetem g lówym liczby z i ozaczamy przez Arg(z). Natomiast każda liczbe rzeczywista α = φ kπ dla ca lkowitych k azywamy argumetem liczby z i ozaczamy przez arg(z). Oczywiście dla takich α mamy, że z = z (cos α i si α). Możemy wiec apisać wzór z = z [cos arg(z) i si arg(z)]. Na odwrót, iech r bedzie dodatia liczba rzeczywista i iech β bedzie liczba rzeczywista taka, że z = r(cos β i si β). Wówczas z = r cos β i si β = r si β cos β = r, skad cos β = cos φ oraz si β = si φ, wiec z trygoometrii mamy, że istieje liczba ca lkowita k taka, że β = φ kπ. Dla iezerowych liczb zespoloych z, w rówość arg(z) = arg(w) bedziemy dalej rozumieli w te sposób, że liczby arg(z) i arg(w) różia sie jedyie o ca lkowita wielokrotość liczby π. Przyk lad.4. Zauważmy, że 1 = cos 0i si 0, i = cos π i si π, 1i = (cos π 4 i si π 4 ), 3 i = (cos π i si π ). Twierdzeie.5. Dla dowolych iezerowych liczb zespoloych z, w zachodza wzory: arg(z w) = arg(z) arg(w) (15) ( z ) arg = arg(z) arg(w). (1) w Dowód. (15). Ozaczmy arg(z) = α, arg(w) = β. Wtedy z = z (cos α i si α) oraz w = w (cos β i si β). Zatem z w = z w ((cos α cos β si α si β) i(cos α si β cos β si α)) = z w [cos(α β) i si(α β)], a mocy zaych wzorów trygoometryczych. Stad rzeczywiście arg(z w) = arg(z) arg(w). 3
(1). Poieważ z = w z w, wiec ze wzoru (15), arg(z) = arg(w) arg( z w ), sk ad arg ( ) z w = arg(z) arg(w). Z twierdzeia.5 przez prosta idukcje uzyskujemy astepuj ace Twierdzeie. (Wzór de Moivre a). Dla dowolej liczby rzeczywistej α i dla dowolej liczby aturalej zachodzi wzór: (cos α i si α) = cos α i si α. (17) Przyk lad.7. Obliczymy ( 3 i) 003. Poieważ 3 i = (cos π i si π ), wi ec ze wzoru de Moivre a ( 3i) 003 = 003 (cos 003 π π π 11π i si 003 ). Ale 003 = 33π, wiec cos 003 π 11π = cos = cos(π π Zatem ( 3 i) 003 = 00 ( 3 i). π ) = cos( ) = 3 oraz si 003 π = si ( π ) = 1. Ze wzorów (9) i (15) otrzymujemy atychmiast, że aby pomożyć iezerowe liczby zespoloe ależy pomożyć ich modu ly i dodać ich argumety. Niech z 0 bedzie ustaloa iezerowa liczba zespoloa. Wówczas ze wzoru (15) wyika, że przekszta lceie z z 0 z dla zespoloych z jest z lożeiem obrotu o kat o mierze Arg(z 0 ) i jedok ladości o środku O i skali z 0. 3 Pierwiastkowaie liczb zespoloych Pierwiastkiem -tego stopia z liczby zespoloej z azywamy każda taka liczbe zespoloa w, że w = z. Piszemy wtedy: w = z. Jedyym pierwiastkiem -tego stopia z liczby 0 jest 0. Pierwiastki kwadratowe z liczby z = abi (gdzie a, b sa liczbami rzeczywistymi) zajdujemy w postaci w = x yi, gdzie x i y sa szukaymi liczbami rzeczywistymi. Sprowadza sie to do rozwiazaia uk ladu rówań { x y = a xy = b. (18) Jeżeli z 0 i w = z, to wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: w, w. Przyk lad.8. Obliczymy pierwiastki kwadratowe z liczby z = 11 0i. W tym celu rozwiazujemy uk lad rówań: { x y = 11 xy = 0. Najpierw próbujemy wyzaczyć ca lkowite rozwiazaie tego uk ladu (gdyby to zawiod lo, to z drugiego rówaia wyliczamy y i podstawiamy do rówaia pierwszego). W tym celu z drugiego rówaia otrzymujemy, że xy = 30. Zatem liczby x, y maja te sam zak i możemy za lożyć, że x, y N. Teraz wyzaczamy wszystkie dzieliki aturale liczby 30: 1,,3,5,,10,15,30. Po uwzgledieiu pierwszego rówaia mamy, że x > y, wiec x {, 10, 15, 30}, skad x = i y = 5. Zatem wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: 5i oraz 5i. 4
Przy wyzaczaiu pierwiastków kwadratowych z liczb zespoloych możemy też pos lugiwać sie astepuj acym twierdzeiem: Twierdzeie.9. Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby zespoloej z = a bi dae sa wzorami: a jeśli b = 0 i a 0 ω = a i jeśli b = 0 i a < 0 a. (19) a b a sg(b) b a i jeśli b 0 Przy czym 1 jeśli b > 0 sg(b) = 0 jeśli b = 0 1 jeśli b < 0. (0) Dowód. Dla a 0 i b = 0 mamy, że ( a) = a = a bi. Dla a < 0 i b = 0 jest a > 0 oraz ( a i) = ( a) ( 1) = a = a bi. Dla b 0 mamy, że a b a > 0. Ozaczmy a b a. Wtedy x y = a b a a b a = a oraz a x = b a, y = sg(b) a xy = sg(b) b a a b a = sg(b) b = sg(b) b = b. Zatem (x yi) = (x y ) xyi = a bi. Kończy to dowód pierwszej cześci twierdzeia. Zauważmy, że ( ω) = ω = a bi. Jeśli zaś z C jest takie, że z = a bi, to z = ω, skad 0 = z ω = (z ω) (z ω), wiec z = ω lub z = ω. Zatem wzór (19) jest udowodioy. Przyk lad.10. Wyzaczymy wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby z = 3i. Mamy tutaj b = 3 > 0, wiec sg(b) = 1. Poadto a =, wiec a b = 4 9 = 13. Zatem a a 13 13 b a sg(b) b a i = i. Stad wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: 13 13 i oraz 13 13 i. Pierwiastki wyższych stopi 3 z liczby zespoloej z 0 obliczamy zapisujac ajpierw te liczbe w postaci trygoometryczej (14). Wówczas zachodzi astepuj ace Twierdzeie.11. Jeśli z jest iezerowa liczba zespoloa oraz z = z (cos φ i si φ), to istieje dok ladie różych pierwiastków -tego stopia z liczby z i wszystkie te pierwiastki daja sie ujać wzorem ω k = ( z cos φ kπ i si φ kπ ), k = 0, 1,..., 1. (1) Dowód. Ze wzoru de Moivre a dla k = 0, 1,..., 1 mamy, że ωk = z [cos(φ kπ) i si(φkπ)] = z (cos φi si φ) = z, wiec liczby (1) sa pierwiastkami -tego stopia z liczby z. Niech teraz k, l {0, 1,..., 1} bed a takie, że ω k = ω l. Wówczas istieje liczba ca lkowita t taka, że φkπ φlπ = tπ, skad k l = t. Ale < k l <, wiec t = 0 i k = l. Zatem liczby (1) sa parami róże. Niech teraz ω bedzie pierwiastkiem -tego stopia z liczby z. Poieważ z 0, wiec też ω 0. Zatem istieje liczba rzeczywista α taka, że ω = ω (cos α i si α). Stad ze wzoru de Moivre a 5
mamy, że z = ω = ω (cos α i si α). Zatem ω = z oraz α = φ sπ dla pewego ca lkowitego s. Dzielac s przez z reszta uzyskamy, że istieje liczba ca lkowita q i istieje k {0, 1,..., 1} takie, że s = q k. Zatem α = φkπ qπ, skad wyika, że ω = ω k. Kończy to dowód aszego twierdzeia. 4 Rówaie kwadratowe Rówaie kwadratowe az bz c = 0, a 0 () posiada zawsze rozwiazaie w liczbach zespoloych z dla dowolych ustaloych liczb zespoloych a, b, c. Miaowicie obliczamy ajpierw = b 4ac. Nastepie wyzaczamy w =. Wówczas wszystkimi zespoloymi pierwiastkami rówaia () sa: z 1 = b w a Bardzo waża w lasość liczb zespoloych wyraża astepuj ace, z = b w. (3) a Twierdzeie.1 (Zasadicze twierdzeie algebry). Dla dowolej liczby aturalej i dla dowolych liczb zespoloych a 0, a 1,...,a, takich że a 0 rówaie algebraicze posiada pierwiastek zespoloy. a z a 1 z 1... a 1 z a 0 = 0 Dowód zasadiczego twierdzeia algebry jest dość d lugi i ie bedzie tu przedstawioy. Warto zazaczyć, że pierwszy pe ly dowód tego twierdzeia by l treścia rozprawy doktorskiej s lyego matematyka iemieckiego K. F. Gaussa. Ciekawostka jest też to, że tego twierdzeia ie da sie udowodić czysto algebraiczymi metodami bez odwo lywaia sie do pojeć aalizy matematyczej! 5 Zadaia do samodzielego rozwiazaia Zadaie.13. Udowodij tożsamości: a) z 1 z z 1 z = ( z 1 z ), b) 1 z 1 z z 1 z = (1 z 1 ) (1 z ), ( ) c) z 1 z = z 1 re(z 1 z ) z, d) 1 z z z = 1 z. 1z z z 1 z Zadaie.14. Rozwiaż rówaia: a) z z = 1 i, b) z z = i, c) zz (z z) = 3 i, d) i(z z) i(z z) = i 3, e) z = z, f) z iz = 11 8i. Odp. a) z = 3 i. b) z = 3 4 1. c) z = 5 1 z = 51 51 5 1 5 1 i. 51 i lub z = 51 5 1 i lub i lub z = d) z = 1 3 i. e) z = 0 lub z = 1 lub z = 1 3 i lub z = 1 3 i. f) z = 4 35 3 i lub z = 4 3i.
Zadaie.15. Przedstaw w postaci algebraiczej pierwiastki kwadratowe z astepuj acych liczb zespoloych: a) i, b) i, c) 8 i, d) 8 i, e) 8 i, f) 8 i, g) 3 4i, h) 11 0i, i) 15 8i. i oraz i. b) i oraz Odp. a) 3 i oraz 3 i. e) 1 3i oraz 1 3i. f) 1 3i oraz 1 3i. g) i oraz i. h) 5 i oraz 5 i. i) 1 4i oraz 1 4i. i. c) 3 i oraz 3 i. d) 7
Zadaie.1. Rozwiaż rówaia kwadratowe: a) z 3z 3 i = 0, b) z (1 4i)z (5 i) = 0, c) (4 3i)z ( 11i)z (5 i) = 0, d) z (1 i)z i = 0, e) z 5z 4 10i = 0, f) z z = i 1. Odp. a) z 1 = 1 i oraz z = i. b) z 1 = 3i oraz z = 1 i. c) z 1 = 1 5 3 5 i oraz z = 4 5 7 5 i. d) z 1 = z = 1 i. e) z 1 = i oraz z = 5 i. f) z 1 = i oraz z = i. Zadaie.17. Przedstaw w postaci trygoometryczej (bez pomo-cy tablic) astepuj ace liczby zespoloe: a) 1, 1, i, i, b) 1 i, 1 i, 1 i, 1 i, c) 1 i 3, 1 i 3, 1 i 3, 1 i 3, d) 3 i, 3 i, 3 i, 3 i. Odp. a) 1 = 1 (cos 0 i si 0), 1 = 1 (cos π i si π), i = 1 (cos π i si π ), i = 1 (cos 3π i si 3π ). b) 1 i = (cos π 4 i si π 4 ), 1 i = (cos 5π i si 5π ), 1 i = (cos 3π 4 i si 3π 4 ), 1 i = (cos 5π 4 i si 5π 4 ). c) 1 i 3 = (cos π 3 i si π 3 ), 1 i 3 = (cos 5π 3 i si 5π 3 ), 1i 3 = (cos π 3 i si π 3 ), 1 i 3 = (cos 4π 3 i si 4π 3 ). d) 3 i = (cos π i si π ), 3 i = (cos 11π 3 i = (cos 7π i si 7π ). Zadaie.18. trygoometryczej: a) (1 i) 10, b) (1 i 3) 15, c) Odp. a) 3i. b) 378. c) 1 989 i si 11π ), 3 i = (cos 5π i si 5π ), Wykoaj dzia laia, stosujac przedstawieie liczb zespoloych w postaci ( ) 1i 199, 1i 3 d) ( 1i 3) 15 (1 i) 0 3 989 i. d) 4. ( 1 i 3) 15. (1i) 0 Zadaie.19. Oblicz bez pomocy tablic pierwiastki 3-go stopia z astepuj acych liczb zespoloych: a) 1, b) 1, c) i, d) i. Odp. 1, 1 i 3, 1 i 3. b) 1, 1 i 3, 1 i 3. c) 3 1 i, 3 1 i, i. d) 3 1 i, 3 1 i, i. 8