Przekształcenia liniowe

Podobne dokumenty
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Pierwiastek z liczby zespolonej

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

Wymagania kl. 2. Uczeń:

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wymagania edukacyjne z matematyki

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

1 Definicja całki oznaczonej

Własności wyznacznika

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Temat 1. Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę. Karol Bator. GGiIŚ, II rok, niestac. grupa 1

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Pierwiastek z liczby zespolonej

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Matematyka II dla Wydziału Zarządzania

Transkrypt:

Przeksztłceni liniowe Niech V i W ędą przestrzenimi liniowymi określonymi nd tym smym ciłem K. Przeksztłcenie f :V W nzyw się liniowe, gdy dl kżdych wektorów u, v V i wszystkich sklrów K jest f (u+v) f (u) + f (v) f ( v) f (v)

Przeksztłcenie liniowe f : V W Funkcj ddytywn, to tk, któr spełni pierwszy z tych wrunków : f (u+v) f (u) + f (v) f ( v) f (v) Wrunkiem koniecznym i dosttecznym n to, y f yło przeksztłceniem liniowym jest, y dl kżdych wektorów u, v V i wszystkich sklrów, K yło /f ( u + v ) f (u) + f (v) Dowód konieczności. Jeżeli spełnione są wrunki, to f ( u + v ) f ( u) + f ( v) f (u) + f (v). Dowód dostteczności. Jeśli w wrunku / podstwimy,, to otrzymmy pierwszy z wrunków, jeśli podstwimy, 0, to otrzymmy drugi.

Przeksztłcenie wyznczone przez mcierz Niech A ędzie mcierzą o m wierszch i n kolumnch. Przeksztłcenie o mcierzy A to funkcj K n K m dn wzorem v A v. Jest to przeksztłcenie liniowe, o z prw rchunku n mcierzch mmy A (u + v) A u +A v, A ( v ) A v Przykłd: + + y x y x y x 3 3

Przeksztłcenie liniowe o mcierzy{{,},{0,}} Przeksztłcenie liniowe przeksztłc odcinki równoległe n odcinki równoległe

Mcierze n giełdzie A study of the London stock mrket, using the London Finncil Times over period of 097 trding dys ws found to fit the following trnsition mtrix P: Mcierz przejści

Jk dziłją przeksztłceni liniowe? Przeksztłcenie o mcierzy 5 4 3-4 - 4

Przeksztłcenie o mcierzy złożenie

Przeksztłcenie o mcierzy Symetri względem prostej y x 0 0

Jk dziłją prz. liniowe? 0 0 0 0 Symetri względem osi x Orót o +90 stopni

Jednokłdność (homoteti) o skli N płszczyźnie: f ( x, y) (x, y). Ogólnie: f ( x, x,..., x n ) (x, x,..., x n ). Mcierz jednokłdności 0 0... 0 0 0... 0 0 0... 0... 0 0 0... 4 0 8 6 4 0 0 30 40 Jednokłdność o skli 3-0 -0-0 -4-6 -8 Jednokłdność o skli -

Przeksztłcenie nożycowe f (x,y) (x + y, y) 4 3 4 6 8 0 4 0,5 Nie zmieni się współrzędn y 4 3 5 0 5 0 4 3 -.5 5 7.5 0.5

Orót płszczyzny o kąt α Mcierz orotu płszczyzny o kąt α cos sin α α sin cos α α 0 8 6 4 -.5.5 5 7.5 0.5 Orót o 60 stopni Orz wektor [,0] m współrzędne [cos α, sin α]. Orz wektor [0,] m współrzędne [-sin α, cos α]

Włsności przeksztłceń liniowych f (0) 0 ; f zchowuje proste i środki odcinków. Orzem podprzestrzeni jest podprzestrzeń. Njwżniejsz włsność: Przeksztłcenie liniowe jest wyznczone przez swoje wrtości n zie przestrzeni. Niech v, v, v 3,..., v n ędą zą, v dowolnym wektorem przestrzeni. Wtedy v v + v + 3 v 3 +... + n v n Ztem f ( v ) f ( v + v + 3 v 3 +... + n v n ) f ( v ) + f ( v ) + 3 f ( v 3 ) +... + n f ( v n ).

Mcierz przeksztłceni liniowego w zie (zch) Niech f ędzie przeksztłceniem liniowym f : V W, Niech v, v, v 3,..., v n ędzie zą V, Niech w, w, w 3,..., w m ędzie zą W Mcierz przeksztłceni liniowego m w kolumnch współrzędne orzów wektorów zy.

W kolumnch mcierzy są współrzędne orzów wektorów zy. Niech v [,], w [,]. Wyznczmy ich orzy. f (v) [ +, 3 ] [ 5, 8 ], f (w) [ +, 3 ] [ 4, 7 ]. Terz musimy wyrzić wektory [ 5, 8 ] i [ 4, 7 ] przez wektory zy v [,], w [,]. [ 5, 8 ] [,] + [,] [ 4, 7 ] c [,] + d [,] -7-6 7, 6 6 5 c 6, d 5 W kolumnch mcierzy są współrzędne orzów wektorów zy.

Mcierzą f w zie stndrdowej jest {{,}, {-,,-3}} - -3 Orzem [,0] jest [, ], pierwsz kolumn mcierzy Orzem [,-] jest [-,] [, ] [,0] + [, ] [, ] 0 [,0] [, ] Ztem mcierzą przeksztłceni w tej zie jest

A 3 Posłużmy się tym, że w zie [, 0], [, ] m ono niezłą mcierz. Orzem [, 0] jest [, ], orzem [, ] jest [, ]. Jk soie wyorzić dziłnie tego przeksztłceni?

Orz płszczyzny przy przeksztłceniu o zerowym wyznczniku Zdnie. Wyznczyć orz płszczyzny przy przeksztłceniu liniowym o mcierzy 3 6

Jedno zdnie potrójn treść Znleźć liniową zleżność między funkcjmi f(x) x + x +, g(x) x + 3x +, h(x) x x + Znleźć liniową zleżność między wektormi α [,, ], β [, 3, ], γ [,, ] Wyznczyć orz przestrzeni R 3 przy przeksztłceniu o mcierzy Rozwiąznie: szukmy zleżności między wektormi [,,], [,3,], [,-,]. Znjdujemy: 4 [,,] 3 [,3,] [,-,] 0. Odpowiedź: orzem jest płszczyzn o równniu 4x 3y z 0

Mnożenie mcierzy skłdnie przeksztłceń Mcierz złożeni przeksztłceń to iloczyn ich mcierzy. Tożsmość m mcierz jednostkową. Ztem przeksztłcenie odwrotne m mcierz odwrotną.

3-0 Jk wyrć njlepszą zę (jeśli się d)? Niech f ędzie przeksztłceniem płszczyzny o mcierzy {{3,},{, 0}} w zie stndrdowej. Wyznczymy mcierz w zie α [, 3], β [, ]. 4 3 4 3.. 3 3 0 0

Jk wyrć njlepszą zę (przykłd )? Niech f ędzie przeksztłceniem płszczyzny o mcierzy {{,},{, }} w zie stndrdowej. Wyznczymy mcierz w zie α [, ], β [, ]... 3 3 3 0 0

W zie [,0] 0 To smo przeksztłcenie liniowe f w różnych zch [,0], [0,] 3 0 0 W zie α [, ], β [, ] 4 5 3 0 5 5 0 5 0 5-3 Powinowctwo osiowe: w kierunku wektor α [, ] rozciągnięcie (jednokłdność) ze współczynnikiem 3, W kierunku wektor β [, ] ez zmin. Wektory α orz β nzywją się wektormi włsnymi dl f.

Wrtość włsn, wektor włsny: f(v) λv, gdzie λ jest liczą, v nie jest zerowy. Wyzncznie wrtości i wektorów włsnych det (A λi) 0 Niech A ędzie mcierzą przeksztłceni. Wektor włsny v odpowidjący wrtości włsnej λ spełni równnie Av λv, tj. (A λi)v 0, I jednostkow. A ztem mcierz (A λi) m zerowy wyzncznik, swój wielomin chrkterystyczny. Równniem, z którego wyznczmy wrtości włsne jest det (A λi) 0

Wyznczyć wrtości, wektory i podprzestrzenie włsne Oliczmy wielomin chrkterystyczny: 0-0 0 0 0 0 0 0 0 ( λ) λ λ ( λ) ( λ λ + ) Po przyrównniu tego wielominu do zer otrzymujemy równnie chrkterystyczne, z którego wyznczmy wrtości włsne. Jest tylko jedn wrtość włsn λ. Szukmy odpowidjących jej wektorów włsnych.

Wyzncznie wrtości, wektorów i podprzestrzeni włsnych Wyznczmy wrtości włsne. 0-0 0 0 0 0 0 0 0 Jest tylko jedn wrtość włsn λ. Szukmy odpowidjących wektorów włsnych. Odpowiednim równniem jest

Wyzncznie wrtości, wektorów i podprzestrzeni włsnych Wyznczmy wrtości włsne. Są dwie wrtości włsne λ, λ 4 Szukmy odpowidjących wektorów włsnych. Odpowiednim ukłdem równń dl λ 4 jest

Mcierze n giełdzie A study of the London stock mrket, using the London Finncil Times over period of 097 trding dys ws found to fit the following trnsition mtrix P : Zdć, czy istnieje stn stilny, tj. czy mcierz P m wektory włsne o dodtnich współrzędnych. P x x [0,57, 0,54, 0,689]

Alger Przestrzenie liniowe

Dodwnie różnych oiektów Wektory: [,,3,4] + [5,6,7,8] [6,8,0,] Mcierze: Funkcje: y sin (x) + 4 cos(x) + x + 0 8 6 8 7 6 5 4 3

8 + 6 8:0 + 3:50 :0 Dodwnie Pęk prostych generowny przez dwie, l, l to wszystkie proste postci l +l, gdzie, R

Liner spce, vector spce Addition is commuttive: v + v v + v Addition is ssocitive; v + (v + v 3 ) (v + v ) + v 3 There exists neutrl element O v + O v For ech v there is negtive : v + ( - v ) O Multipliction: (v + v ) v + v (+) v v + v ( ) v ( v) v v This vector spce (liner spce) The most importnt exmple: R n

Komincj liniow Do kżdego wiersz mcierzy możn dodć komincję liniową innych wierszy, nie zmienijąc jej wyzncznik: 4 5 3 3 0 3w w + w3 8 5 9 0 4 7 n j j v j

Liniow zleżność wektorów [,0], [,] i [,-]

Liniow (nie)zleżność Czwrty wiersz jest zleżny od trzech pierwszych, o + 4 3 3 7 4 0 9 5 8 0 3 3 5 4 w w w w n j j v j

Liniow (nie)zleżność Czy wiersze (wektory) są liniowo zleżne? 4 3 7 4 0 7 5 8 0 3 3 5 4 w w w w n j j v j 0 0 5 3 5 0 8 0 3 4 + + + + + + + c c c c

[, ] + [3,] + c[,3] [0,0] + 3 + 3 4, c 5 5

Bzy Niech v [,-], w [,3] yw xv + ], [ 3, 3 3 3 + + y x y x y x

Generownie Płszczyzn jest rozpięt (generown) przez dowolne dw wektory niezleżne, przestrzeń R 3 przez trzy.

Współrzędne wektor w zie Jeżeli v, v,..., v n tworzą zę przestrzeni, wektor w jest ich komincją liniową, więc w Σ i v i, to sklry,..., n nzywją się współrzędnymi wektor w w zie v, v,..., v n. Zwykłe współrzędne krtezjńskie to współrzędne w zie stndrdowej R n. Wektor x m w zie u, t współrzędne, w zie v, w współrzędne,.

Wyznczyć współrzędne wektor w [, 5, 6] w zie v [,,], v [0,,], v 3 [-,0,] Sprwdzenie, że są zą: wyzncznik 0. [, 5, 6 ] x [,, ] + y [0,, ] + z [-,0,] Stąd ukłd równń: x -z, x +y 5, x +y + z 6.... z którego wyznczmy x 3, y -, z. Współrzędnymi wektor w [, 5, 6] w zie v [,,], v [0,,], v 3 [-,0,] są 3, -,. Sprwdzenie: 3 [,,] - [0,,] + [-,0,] [,5,6].

Przestrzeń liniow i podprzestrzeń Podprzestrzeń liniow przestrzeni V to podziór W tki, że 0 W orz v_, v_ W v_ + v_ W, v W v W, dl kżdego sklr. Njwżniejszy przykłd: ziór rozwiązń ukłdu równń liniowych jednorodnych od n niewidomych jest podprzestrzenią liniową w przestrzeni R n. Njwżniejsze zdnie: znleźć zę tej podprzestrzeni (gdy dny jest ukłd równń).

Przestrzeń liniow i podprzestrzeń Podprzestrzeń liniow przestrzeni V to podziór W tki, że 0 W orz v_, v_ W v_ + v_ W, v W v W, dl kżdego sklr. Njwżniejsze zdnie lgery liniowej: wyznczyć zę (pod)przestrzeni. Przykłd: prost x + y 0 jest podprzestrzenią liniową, proste x + y c, nzywmy podprzestrzenimi finicznymi. Prmetryczne przedstwienie prostej. Prost x + y + 0 Przykłd. Funkcje tkie, że f(005) 0 tworzą podprzestrzeń,...o (rysunek):

Przestrzeń rozwiązń ukłdu równń Ziór rozwiązń jednorodnego ukłdu równń liniowych o n niewidomych o współczynnikch z cił K jest podprzestrzenią liniową K n. Dowód. Wektor zerowy jest rozwiązniem. Sum rozwiązń jest rozwiązniem. Iloczyn rozwiązni przez liczę jest rozwiązniem. Bz to ukłd lnz i generujący. Kżdy wektor d się jednozn. wyrzić przez wektory zy! + + + + + + + + + + + + n mn m m n n n n n n x x x x x x x x x x x x K K K K 3 3 3...

Przestrzeń rozwiązń ukłdu równń Dlczego sum rozwiązń ukłdu jednorodnego jest rozwiązniem? Jeżeli np. x + 3y + 4z 0 i x` + 3y` + 4z` 0 to (x+x`) + 3(y+y`) + 4(z+z`) 0 + 0 0. Rozwiąznie: x+y z, więc rozwiązni to trójki (x,y, x y) x [,0, ] + y [0,, ]. Bz p-ni rozwiązń to np. [,0, ], [0,, ]. Kżde inne rozwiąznie jest ich komincją. Geometrycznie: znleźliśmy dw wektory w R 3 rozpinjące płszczyznę o równniu x + y + z 0.

Jk się zorientowć w ntłoku informcji? x + 4 y + 7 z + 3 t + 5 u 3 x + 5 y + 8z + 5 t + 3 u - x + y + z + t u -3 4 x + 6 y + 9 z + 7t + u -4 5 x + 9 y + 5 y + 8 t + 8u

Wyzncznik mcierzy niezleżność wierszy/kolumn Wiersze i kolumny trktujemy jko wektory. Które z nich są niezleżne? 3 4 Det{{,3,4},{,,},{4,0,}} 0, 3 więc trzy pierwsze są niezleżne. 4 0 5 5 3 4 6 - - 0 - Wyznczniki te to minory (podwyznczniki) mcierzy. W tej mcierzy jest 5 minorów 4x4. Wszystkie są równe 0. Ztem nie m czterech liniowo niezleżnych wierszy. Nie m też 4 niezleżnych kolumn. Rząd mcierzy 3. Rz d mcierzy 3.

Rząd mcierzy Nstępujące liczy są równe: Licz liniowo niezleżnych kolumn, Licz liniowo niezleżnych wierszy, Rozmir njwiększego niezerowego minor (podwyzncznik). Tę liczę nzywmy rzędem mcierzy. Wyznczmy ją przez przeksztłceni elementrne i/lu olicznie wyznczników. x + y + z x + 4y + 5z 5x + 0y + 3z c 4 5 5 0 3 K.-C.

Twierdzenie (Kronecker, Cpelli) Ukłd równń liniowych AX B m rozwiązni wtedy i tylko wtedy, gdy rząd mcierzy A jest równy rzędowi mcierzy rozszerzonej A B. Wtedy wymir przestrzeni rozwiązń jest równy liczie liczie odjąć niewidomych odj rząd mcierzy.

Jednorodny ukłd równń liniowych...to tki ukłd, w którym wyrzy wolne są 0 Twierdzenie. Jednorodny ukłd kwdrtowy o niezerowym wyznczniku m tylko rozwiąznie zerowe x 0, x 0,..., x n 0. Dowód. Jeśli wyzncznik jest 0, to możemy stosowć wzory Crmer. Widzimy, że wszystkie liczniki są równe 0. + + + + + + + + + n nn n n n n n n n x x x x x x x x x..........................., 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0 4 3 x x x x

Jednorodny ukłd o zerowym wyznczniku... m zwsze rozwiąznie niezerowe, tj. tkie, że nie wszystkie niewidome są równe zero. x + y 3z t 0 x + z t 0 x + y + z t 0 x + 3y 4z 4t 0 Wyzncznik jest 0, o czwrty wiersz jest sumą trzech pierwszych. Wyierzmy podwyzncznik 0. -3 0 - - Rozwiązujmy normlnie : x + y 3z t x + z t x + y + z t 0 0 0 0 4 4 3 0 3 t z y x t z t y t x 4 9, 5, 4

Przestrzeń rozwiązń ukłdu równń x + y + z + t + u 7 3x + 3y + z + t + u y + z + t + 6u 3 5x + 4y + 3z + 3t u Oliczmy rząd mcierzy ukłdu i uzupełnionej, wykonując opercje elementrne n wierszch, njlepiej: sprowdzjąc do postci schodkowej. 7 - - - 3-3 - 7-30 0 6 3

Rozwiązywnie ogólnego ukłdu równń liniowych, c.d. Stosując przeksztłceni elementrne, doprowdzmy do prostej postci... 7 - - - 3-3 - 7-30 0 6 3 7 0 0-4 - 9 0 6 3 x + y + z + t + u 7 x + y 4u 9 7 0 0-4 - 9 - - 0 0 4 9

Przedstwienie prmetryczne przestrzeni rozwiązń x + y + z + t + u 7 3x + 3y + z + t + u y + z + t + 6u 3 5x + 4y + 3z + 3t u Przestrzeń rozwiązń: m wymir 3; m ogólną postć (-6,3,0,0,0) + +z[,-,,0,0] + +t[,-6,0,,0] + +u[,-,0,0,]

Bz (ukłd fundmentlny) przestrzeni rozwiązń x + y + z + t + u 0 3x + 3y + z + t + u 0 y + z + t + 6u 0 5x + 4y + 3z + 3t u 0 Przestrzeń rozwiązń: m wymir 3; m ogólną postć +z[,-,,0,0] + +t[,-6,0,,0] + +u[,-,0,0,] B A Z A przestrzeni rozwiąz zń

Płszczyzn w przestrzeni Zdnie. Wyznczyć wektory rozpinjące płszczyznę x + y + 3z 0 Podone zdnie już rozptrywliśmy, tylko miło inne, lgericzne sformułownie: Wyznczyć zę przestrzeni rozwiązń równni x + y + z 0. Rozwiąznie. Szukmy zy przestrzeni rozwiązń ukłdu ( jednego równni) x + y + 3z 0. Mcierz współczynników [ 3] m rząd. Z tw. Kronecker-Cpellego wiemy, że wymir przestrzeni rozwiązń jest równy. Bzą może yć yć [O,-3, ], [ 3,O,-] lo np. [,-, O], [,,-] lo np. [,4,-3], [-5,,]...

Bzę przestrzeni rozwiązń ukłdu x + y + t + 4u v 0 x + 4y + 3t + u v 0 x + t + 6u v 0 dopełnić do zy cłej przestrzeni. Rząd? 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 4 3 0 6 0 6 0 6 0 6-0 0 0 6 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 4 4 0 0 0 0 0 6 0 3 4 4

Bzę przestrzeni rozwiązń ukłdu x + y + t + 4u v 0 x + 4y + 3t + u v 0 x + t + 6u v 0 dopełnić do zy cłej przestrzeni. x + 4y 3t u + v, x t 6u + v y t / + u t, u, v są prmetrmi Dopełnić do zy cłej przestrzeni możn n wiele sposoów... Rząd 4 4 3 0 6 - Bz przestrzeni rozwiązń: [-,- /,,0, 0] [-6,, 0,, 0] [, 0, 0, 0, ]

Ukłd liniowo niezleżny dopełnić do zy [-,- /,,0, 0] [-6,, 0,, 0] [, 0, 0, 0, ] Jest to mcierz trójkątn ( o postci schodkowej) Wyzncznik jest równy iloczynowi elementów n przekątnej, tj.. Pięć wektorów niezleżnych w R 5 tworzy zę. Poniższy ukłd jest liniowo niezleżny i tworzy zę: [, 0, 0, 0, 0] [0,, 0, 0, 0 ] [-,- /,,0, 0] [-6,, 0,, 0] [, 0, 0, 0, ]

Jedno zdnie podwójn treść Znleźć liniową zleżność między wierszmi mcierzy Znleźć jedno z równń, które jest spełnione przez wektory przestrzeni generownej przez [,,, 4, ] [, 4, 3,, ] [, 0,, 6, ]

Jedno zdnie podwójn treść Znleźć liniową zleżność między funkcjmi f(x) x + x + g(x) x + 3x + h(x) x x + Wspólne rozwiąznie: szukmy zleżności liniowej Znleźć liniową zleżność między wektormi α [,, ] β [, 3, ] γ [,, ] pierwszy + drugi + c trzeci. Prowdzi to do ukłdu równń + + c 0, + 3 c 0, + + c 0. Wyznczmy stąd 3 + 4 0, c --. Rozwiązniem ukłdu są trójki postci (,-3/ /4, -/ /4) To jest ogóln postć szuknej zleżności. N przykłd może yć 4, -3, c -. Łtwo sprwdzić, że 4f(x) 3g(x) h(x) jest funkcją zerową, zś 4α 3β γ jest wektorem zerowym.

[,] to 3, 3, - Współrzędne wektor [,- ] w zie strej [,], Współrzędne wektor [,- ] w zie nowej [-,0], [3,-] to, Zmin zy Mcierz zminy zy... Przelicznie współrzędnych (mcierz przejści od jednej z jednej zy n drugą zy do drugiej). Str: [, ], [, ] Now: [-, O], [3, -]. [-, O] -[, ] + [, ] 7 4 [3, -] 7[, ] -4[, ] Otrzymliśmy mcierz 3 zminy zy (mcierz przejści) 7 4

Zmin zy 7 4 Współrzędne wektor [,-] ] w strej [,], [,] to 3, - Współrzędne wektor [,-] ] w nowej [-,0], [3,-] to, 7 3 4 Jeżeli M jest mcierzą zminy zy, to współrzędne w strej zie są równe iloczynowi mcierzy M T przez współrzędne w nowej. Inczej: nowe (M T ) stre

Wyprowdzenie ogólnego wzoru n zminę współrzędnych przy zminie zy W zie nowej : w, w,..., w n W zie strej : v, v,..., v n

Alger Wyznczniki, równni liniowe, przestrzenie liniowe

Równni liniowe x + 3 y 8 Jk nrysowć tką linię prostą? N przykłd tk: dl x mmy y, Dl y 0 mmy x 4.

Ukłdy równń liniowych x + 3y 8 x y

{ Metod elimincji (Guss) doprowdzenie do postci schodkowej... trójkątnej x 3 y + z 0 3 x + y 4 z 4 x +5 y z 0 Od drugiego odejmuję 3 rzy pierwsze Od trzeciego odejmuję rzy pierwsze r 3r ; r3 r; x 3 y + z 0 y 7z 6 y 3 z 30 r3 r ; x 3 y + z 0 y 7z 6 4z 4 Postć schodkow To smo możn n mcierzch

Dw równni, dwie niewidome Proszę zwrócić uwgę n udowę tych wzorów:

Trzy równni, trzy niewidome

Cztery równni LinerSolve[{{,,c,d},{e,f,g,h}, {i,j,k,l},{m,n,o,p}}, {r,s,t,u}]

{(h k n r-g l n r-h j o r+f l o r+g j p r-f k p r-d k n s+c l n s+d j o s- l o s-c j p s+ k p s+d g n t-c h n t-d f o t+ h o t+c f p t- g p t-d g j u+c h j u+d f k u- h k u-c f l u+ g l u)/(-d g j m+c h j m+d f k m- h k m-c f l m+ g l m+d g i n-c h i n-d e k n+ h k n+c e l n- g l n-d f i o+ h i o+d e j o- h j o- e l o+ f l o+c f i p- g i p-c e j p+ g j p+ e k p- f k p),(-h k m r+g l m r+h i o r-e l o r-g i p r+e k p r+d k m s-c l m s-d i o s+ l o s+c i p s- k p s-d g m t+c h m t+d e o t- h o t-c e p t+ g p t+d g i u-c h i u-d e k u+ h k u+c e l u- g l u)/(-d g j m+c h j m+d f k m- h k m-c f l m+ g l m+d g i n-c h i n-d e k n+ h k n+c e l n- g l n-d f i o+ h i o+d e j o- h j o- e l o+ f l o+c f i p- g i p-c e j p+ g j p+ e k p- f k p),(-h j m r+f l m r+h i n r-e l n r-f i p r+e j p r+d j m s- l m s-d i n s+ l n s+ i p s- j p s-d f m t+ h m t+d e n t- h n t- e p t+ f p t+d f i u- h i u-d e j u+ h j u+ e l u- f l u)/(d g j m-c h j m-d f k m+ h k m+c f l m- g l m-d g i n+c h i n+d e k n- h k n-c e l n+ g l n+d f i o- h i o-d e j o+ h j o+ e l o- f l o-c f i p+ g i p+c e j p- g j p- e k p+ f k p),(-g j m r+f k m r+g i n r-e k n r-f i o r+e j o r+c j m s- k m s-c i n s+ k n s+ i o s- j o s-c f m t+ g m t+c e n t- g n t- e o t+ f o t+c f i u- g i u-c e j u+ g j u+ e k u- f k u)/(-d g j m+c h j m+d f k m- h k m- c f l m+ g l m+d g i n-c h i n-d e k n+ h k n+c e l n- g l n-d f i o+ h i o+d e j o- h j o- e l o+ f l o+c f i p- g i p-c e j p+ g j p+ e k p- f k p)}

Wyzncznik mcierzy x Det ( {{_, _}, {_, _}})

Wyznczniki 3 x 3

Znk sumy, znk iloczynu Σ + + 3 +... + n + + 3 +... + n Π

Alger mcierzy Ukłd równń: x + 3y 9, 5x 4 y zpisujemy mcierzowo w postci AX B 9 4 5 3 y x Mnożenie mcierzy przez wektor kolumnowy: + + + + + + + + + + + + 4 4 4 3 4 4 4 44 3 43 4 4 4 34 3 33 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 3 44 43 4 4 34 33 3 3 4 3 4 3 4 j j j j j j j j j j j j

3 4 Mnożenie mcierzy 3 4 3 3 33 43 4 4 34 44 3 4 3 4 3 3 33 43 4 4 34 44 Mnożymy wiersze przez kolumny 4 3 3-0 0 0-9 4 6 8 -

Mcierz odwrotn A A - A - A I -

Mcierz odwrotn do mcierzy n A A c A A d d c det det det det Rozwiązć ukłd równń 6x + 5y 3 8x+7y 5 Odp. A - B - 3

Wyzncznie mcierzy odwrotnej, A -, det A <> 0 Do mcierzy A dostwimyi i dziłmy n wierszch, tk, y A I. Wtedy I A - 0 0 0 3 0 0 0 0 0 Dn, A Jednostkow w : w w w3 : w3 w. To dje: 0 0 0 0 0 0 0 3 0 w3 : w3 3w. To dje : 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 w : w+ w; w: w 0 0 3 0 0 0 0 0 0 5 3 Jednostkow Odwrotn,A -

Sitk znków

Pierre Simon de LPlce Wyznczniki rozwijmy względem wierszy lu kolumn. Tu ędzie według drugiego wiersz: 34 + 53 37 456 + + ( 3 +56 3 543) + 30 0 + + 0 0 99 Sposó oliczni (przez przeksztłceni elementrne)

Przeksztłceni elementrne Od trzeciego wiersz odejmujemy czwrty Od pierwszego wiersz odejmujemy drugi K4 : K4 K Rozwijmy względem drugiego wiersz

Do pierwszej kolumny dodjemy dwie pozostłe, czyli wzorem: k : k + k + k3 ; Od pierwszego wiersz (wyniku) odejmujemy drugi i dodjemy trzeci; w : w w + w3 ; Otrzymny wyzncznik rozwijmy względem wiersz. 0 0 3 3 4 0 3

Mcierz odwrotn z pomocą wyznczników Sitk znków: Oliczmy dopełnieni ij ij wyzncznik powstły przez skreślenie i-tego wiersz i j-tej kolumny N przykłd 3 to 3 3

Mcierz odwrotn, c.d Tworzymy mcierz dopełnień ij Nkłdmy n to sitkę znków... Trnsponujemy, to znczy zmienimy wiersze i kolumny... A T mcierz trnsponown. i dzielimy przez wyzncznik... N przykłd dl mcierzy

Mcierz odwrotn do

Rozwiązywnie ukłdów równń WZORY CRAMERA. Oznczmy przez W wyznczniki mcierzy ukłdu, przez W x, W y, W z itd... wyznczniki powstłe przez zstąpienie odpowiednich kolumn przez kolumny wyrzów wolnych Jeżeli ukłd równń liniowych AX B m niezerowy wyzncznik, to x W W x Wy, y, z W W W Rozwiąznie przez mcierz odwrotną: Jeżeli AX B, to X A - B Algorytm Guss (przez postć schodkową...) z... itd

Mcierze n giełdzie A study of the London stock mrket, using the London Finncil Times over period of 097 trding dys ws found to fit the following trnsition mtrixp: Zdć zchownie się giełdy w długim okresie czsu.

Kwdrt mcierzy prwdopodoieństw Out[3]//MtrixForm p +pp +p3p3 pp +pp pp +pp +p3p3 pp +p pp3 +pp3 +p3p33 pp3 +pp3

Kwdrt mcierzy prwdopodoieństw P to mcierz prwdopodoieństw przejści od stnu j do stnu i po nstępnym dniu giełdowym. P n to mcierz prwdopodoieństw przejści od stnu j do stnu i po nstępnych dnich giełdowych. Niech n. Oliczmy kolejne potęgi P n i przejdźmy do grnicy. Otrzymmy wektor prwdopodoieństw, że w długim okresie czsu n giełdzie ędzie hoss, ess, stn stilny. Wynik [ 0,57, 0,54, 0,689 ]. Do oliczeni potęg posłużmy się Excelem

Wyznczniki 3 x 3

Pole równoległooku i pole trójkąt Pole nieieskiego prostokąt 3 Pole żółtego trójkąt 5 / Pole zielonego trójkąt 3 Rzem kolorowe 7 Prostokąt 4 R-ok: 4 7 7

Pol figur Oliczyć pole trójkąt:

(0,-) punkt zczepieni Lini prost n płszczyźnie punkt [3,4] wektor kierunkowy (0,-) + t [3,4] (3t, -+4t) przedst. prmetr.

Lini prost n płszczyźnie x + y 3 x 3y + 3 0

Równnie wyzncznikowe prostej Lini prost przechodząc przez punkty (, ) i (c, d) Lini prost m równnie x y 0 x c 0 c d y d

Npisć równni prostych AB, AC, BC Prost AB: x y - -3 3

Prost w przestrzeni Równnie krwędziowe prostej: x + y + 3z - płszczyzn x 3y z 4 - płszczyzn Przejście do przedstwieni prmetrycznego: Rozwiązujemy ukłd równń: x + y 3z, x 3y 4 + z ; 5y 3z ( 4 + z) 5 5z ; P P y z x y 3z z Prost skłd się z punktów (x, y, z) ( z, z, z ) (-,, 0) + z [-,-,]. l

Rozkłd n ułmki proste Rozłożyć n ułmki proste 6 6 0 3 3 + + x x x x x??,?,, 3 + + c x c x x 3 0 3 4 5 3 6 c 3 0 4 3