ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6
Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6
Ukłd rówń liiowych Ukłd rówń liiowych: gdzie: A b A mcierz o m wierszch i kolumch wektor o iewidomych b wektor m dych liczb możliwe rozwiązi: Nieskończeie wiele rozwiązń Dokłdie jedo rozwiązie Brk rozwiązi (ukłd sprzeczy) et.numer. wykłd 6
Pojęcie ormy W przestrzei R [ ], której elemetmi są wektory:..., T + +... +,, ( + + + ) /... {,,..., } m Dl dowolego wektor є R, obowiązują ierówości: et.numer. wykłd 6 4
etody rozwiązywi ukłdów lgericzych rówń liiowych etody dokłde - defiicj Jeśli rozwiązie ukłdu rówń Ab poleg tkim przeksztłceiu dych A i b, że przy złożeiu dokłdie wykoywych dziłń rytmetyczych po skończoej liczbie dziłń otrzymujemy rozwiązie, to tką metodę rozwiązi zywmy metodą dokłdą. et.numer. wykłd 6
etody dokłde etody dokłde - cechy ł liczb obliczeń potrzebych do wyzczei rozwiązi Jeśli zdie jest źle uwrukowe umeryczie, to wyzczoe rozwiązie może być obrczoe dużym błędem. ogą być iestbile ze względu błędy zokrągleń Przeksztłceie mcierzy A obciąż w dużym stopiu pmięć mszyy, zwłszcz jeśli początkowe de A i b leży przechowć celem ostteczego sprwdzei et.numer. wykłd 6 6
etody dokłde - przykłd Przykłd wzory Crmer + + b b b b Sposób : b b Zkłdmy dokłdość do cyfr dziesiętych, kżdy wyik przed dlszymi obliczeimi jest zokrągly,99,7 +,7 +,,99,,7,7,4,8,49,49,,49,,49, et.numer. wykłd 6 7
etody dokłde - przykłd b b,,4,7,8,7,66,7,7 b b,99,8,7,4,76,78,8,8,, Dokłde rozwiązie tego ukłdu rówń dje wyik:,8, 6 et.numer. wykłd 6 8
etody dokłde przykłd cd. Sposób : metod elimicji Guss,7,77,99,99,7,7 +,7 +,,4,8 Elimiujemy iewidomą z drugiego rówi ukłdu rówń. W tym celu możymy pierwsze rówie przez: Otrzymujemy:.7,7 +,4949 +, Odejmując rówi stromi po wcześiejszym zokrągleiu do cyfr:,,8,,88 czyli ukłd ieozczoy, posidjący ieskończeie wiele rozwiązń. et.numer. wykłd 6 9
Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą cierz trójkąt defiicj cierz trójkątą zywmy mcierzą trójkątą dolą (górą), jeżeli wszystkie elemety d (pod) digolą są rówe zeru. cierz trójkąt dol cierz trójkąt gór et.numer. wykłd 6
Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą Obliczeie wyzczik mcierzy trójkątej sprowdz się do wymożei elemetów leżących główej przekątej: det( L ) li, i l, l,... l, i det( U ) ui, i u, u,... u, i et.numer. wykłd 6
Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą Jeżeli mcierz A ukłdu rówń z iewidomymi Ab jest mcierzą trójkątą (dolą lub górą), to rozwiązie tkiego ukłdu rówń moż uzyskć wykoując młą liczbę dziłń rytmetyczych i przy młych błędch zokrągleń + Ogólie b +... + +... +,,, + + +, et.numer. wykłd 6...... + i i ii+ i i ii i b b b b,,..., b
Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą Koszt obliczeiowy: Dl wyzczei wektor leży wykoć możeń i dzieleń orz D dodwń: D + + et.numer. wykłd 6
etod elimicji Guss Etp pierwszy (zwy etpem elimicji do przodu zmieych) + + +... + b + + + +... b... + + +... + b Wymgych jest - kroków elimicji 4 et.numer. wykłd 6 4
etod elimicji Guss Krok. Od drugiego wiersz odejmujemy pierwszy podzieloy przez i pomożoy przez + + +... + b + +... + b + + +... + b + +... b b et.numer. wykłd 6 Otrzymujemy:
etod elimicji Guss Podobie postępujemy z pozostłymi wierszmi: + + +... + b gdzie: + +... + b + +... + b... + + +.... et.numer. wykłd 6 6 b
et.numer. wykłd 6 7 etod elimicji Guss... b + + + Krok. Powtrzmy procedurę kroku dl trzeciego wiersz... b + + +... b + + + Otrzymujemy:... b b + +
Po kroku otrzymujemy etod elimicji Guss + +... + b " " " +... + b... + + b " " "... et.numer. wykłd 6 8
etod elimicji Guss Pod koiec kroku - ukłd rówń przybier postć: + + +... + b + +... + b " " " +... + b ( ) ( ) b... et.numer. wykłd 6 9
et.numer. wykłd 6 etod elimicji Guss ) ( " ) ( " " b b b b L L L L Po przeprowdzeiu - kroków elimicji zmieych otrzyme rówi możemy zpisć w postci mcierzy: Otrzym mcierz jest mcierzą trójkątą!
etod elimicji Guss Etp drugi zwy postępowiem odwrotym (podstwieiem wsteczym) Poiewż otrzym mcierz jest mcierzą trójkątą korzystmy ze wzorów: b ( ) ( ) i b ( i) ( i) ( i) ( i) i i, i+ i+ i, i+ i+... i, ( ) dl i,..., i ii i b ( i) ( i) i j i+ ii ij j ( ) dl i,..., i et.numer. wykłd 6
etod elimicji Guss etod elimicji Guss koszt obliczeiowy Łącz ilość możeń i dzieleń: + Łącz ilość dodwń: D + 6 et.numer. wykłd 6
etod elimicji Guss - przykłd Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) 6.8 8 77. 79. Prędkość rkiety zostł przybliżo wielomiem: v() t t + t +, t. Zleźć współczyiki,, metodą elimicji Guss i prędkość w chwili t 6 s et.numer. wykłd 6
et.numer. wykłd 6 4 etod elimicji Guss - przykłd (). t, t t t v + + v v v t t t t t t 79. 77. 6.8 44 8 64 s m v s t /,8 6 ( ), s m v s t /, 77 ( ), 8 s m v s t /, 79 ( ),
etod elimicji Guss - przykłd 64 44 8 6.8 77. 79. [ 6.8]. 6 Odjąć wyik od rówi r Otrzymujemy Podzielić rówie przez i pomożyć przez 64 [ 64 8 77.] [ 64.8.6 7.48] [ 4.8.6 96.8] 44 4.8.6 6.8 96.8 79. et.numer. wykłd 6 64 [ 64.8.6 7.48].6
etod elimicji Guss - przykłd 6.8 4.8.6 96.8 44 79. [ 6.8]. 76 Podzielić rówie przez i pomożyć przez 44 44 [ 44 8.8.76 6.68].76 Odjąć wyik od rówi r. [ 44 79.] [ 44 8.8.76 6.68] [ 6.8 4.76.968] Po pierwszym kroku elimicji 6.8 4.8.6 96.8 6.8 4.76.968 et.numer. wykłd 6 6
etod elimicji Guss - przykłd 4.8 6.8.6 4.76 6.8 96.8.968 [ 4.8.6 96.8]. Odjąć wyik od rówi r Po drugim kroku elimicji Podzielić rówie przez -4.8 i pomożyć przez - 6.8 [ 6.8 4.76.968] [ 6.8.46 6.78] [.7.76] 4.8.6 6.8 96.8.76 et.numer. wykłd 6 7.7 6.8 4.8 [ 6.8.46 6.78].
etod elimicji Guss - przykłd 4.8.6.7 6.8 96..7 4.8.6.7 6.8 96.8.76 Elimicj wstecz Obliczie.7.76.76.7.87 et.numer. wykłd 6 8
etod elimicji Guss - przykłd 4.8.6.7 6.8 96.8.76 Obliczie 4.8.6 96.8 96.8 +.6 4.8 96.8 +.6.87 4.8 9.69.87 et.numer. wykłd 6 9
etod elimicji Guss - przykłd 4.8.6.7 6.8 96..76.87 9 69. Obliczie + + 6.8 6.8 6.8 9.69.87.947 et.numer. wykłd 6
et.numer. wykłd 6 etod elimicji Guss - przykłd 79 77 8 6 44 8 64....87 9.69.947 Rozwiązie: ().87, 9.69.947 + + + + t t t t t t v ( ) ( ) ( ). 9.686 m/s.87 6 9.69 6.947 6 + + v
etod elimicji Guss Wdy metody: oże stąpić ztrzymie procesu obliczeń w powodu dzielei przez zero. Jest szczególie podt rstie błędu zokrąglei. Zlety metody: Liczb wykoywych dziłń w metodzie elimicji Guss jest bez porówi miejsz iż przy pomocy wzorów Crmer W przypdku rówń: 4 możeń w metodzie elimicji Guss i dl wzorów Crmer szy cyfrow wykoując 6 możeń sekudę:, s w metodzie elimicji Guss i pod rok dl wzorów Crmer et.numer. wykłd 6
et.numer. wykłd 6 etod elimicji Guss Dzieleie przez zero może wystąpić podczs kżdego kroku elimicji zmieych 8 4 4 6 7 6. 9 6. 7 w stępym kroku, dzieleie przez zero
et.numer. wykłd 6 4 etod elimicji Guss 9.7 4 7.49.99999..96 Ukłd rówń: Rozwiązie dokłde Rozwiązie z dokłdością 6 cyfr dziesiętych w kżdym kroku Rozwiązie z dokłdością cyfr dziesiętych w kżdym kroku.9999..6
etod elimicji Guss etod elimicji Guss-Crout (g. prtil pivotig) -z częściowym wyborem elemetu podstwowego Zpobieg dzieleiu przez zero. Zmiejsz błąd umeryczy. Elemetem podstwowym zywmy te elemet mcierzy A, z pomocą którego elimiujemy zmieą z dlszych rówń. Dotychczs jko elemety podstwowe wybierliśmy elemet leżący digoli kk Stosując częściowy wybór elemetu podstwowego wybiermy te z elemetów k-tej kolumy w k-tej mcierzy, który m jwiększy moduł. Przez zmię kolejości wierszy w mcierzy moż uzyskć elemet podstwowy leżący digoli et.numer. wykłd 6
etod elimicji Guss Przykłd : 64 44 8 6. 8 77. 79. Wrtości w pierwszej kolumie to:, 64, 44 64 44 6.8 44 79. 8 77. 64 8 77. 79. 6.8 Zmi wiersz trzeciego z pierwszym et.numer. wykłd 6 6
etod elimicji Guss Przykłd : 64 44 8 6. 8 77. 79. Wrtości w pierwszej kolumie to:, 64, 44 64 44 6.8 44 79. 8 77. 64 8 77. 79. 6.8 Zmi wiersz trzeciego z pierwszym et.numer. wykłd 6 7
etod Guss Crout w oblicziu wyzczików Obliczyć wyzczik mcierzy [A] Po elimicji Guss [ B] [ A] 64 44 4.8.6.7 8 Użytecze twierdzeie: Jeżeli mcierz B powstje z mcierzy A przez dodie lub odjęcie od jedego wiersz iego wiersz pomożoego przez liczbę to ie zmiei to wyzczik det(a)det(b) (-4,8) (.7)-84, et.numer. wykłd 6 8
etod Guss Crout w oblicziu wyzczików Po zstosowiu metody częściowego wyboru elemetu podstwowego otrzymliśmy mcierz[c] [ C] 44.97.864. Użytecze twierdzeie: Jeżeli mcierz B powstje z mcierzy A przez przestwieie jedego wiersz z drugim to zmiei się tylko zk wyzczik det(c)(-)(-)det(b)44 (.97) (-.)-84, tu wystąpiło dwukrote przestwieie wierszy et.numer. wykłd 6 9
44 64 8 etod elimicji Guss 79. 77. 6.8 [ 44 79. ].4444 [ 6.99..4444 4. ] Odjąć rezultt od rówi r Podzielić rówie przez 44 i pomożyć przez 64 [ 64 8 77.] [ 6.99..4444 4.] [.667.6.] 44.667 79.. 6.8 et.numer. wykłd 6 4.6 64 44.4444
etod elimicji Guss 44.667.6 79.. 6.8 [ 44 79.].76 [..8.76 48.47] Odjąć rezultt od rówi r Podzielić rówie przez 44 i pomożyć przez [ 6.8] [.8.76 48.47] [.97.864 8.] et.numer. wykłd 6 4 44.667.97.6.864 44.76 79.. 8.
Nie moż obecie wyświetlić tego obrzu. etod elimicji Guss Wrtości w drugiej kolumie drugiego i trzeciego wiersz to:.667,.97 ksimum to.97 w trzecim wierszu Zmi wiersz trzeciego z drugim 44.667.97.6.864 79.. 8. 44.97.667.864.6 79. 8.. et.numer. wykłd 6 4
etod elimicji Guss 44.97.667.864.6 79. 8.. Podzielić rówie przez.97 i pomożyć przez.667 [.97.864 8.].94 [.667.76.] [.667.6.] Odjąć rezultt od [.667.76.] rówi r [..] 44.97 79..864 8... et.numer. wykłd 6 4.667.97.94.
etod elimicji Guss 44. 97 79.. 864 8... Obliczie.97 +.864 8. 8..864.97 8..864..97 9.67 et.numer. wykłd 6 44
etod elimicji Guss 44. 97 79.. 864 8... Obliczie 44 + + 79. 79. 44 79. 9.67 44.97. et.numer. wykłd 6 4
et.numer. wykłd 6 46 etod elimicji Guss 79 77 8 6 44 8 64.... 9.67.97 Rozwiązie to:
etod Guss Seidl Ukłd rówń z iewidomymi: + + +... + b + + +... + b + + +... +....... b et.numer. wykłd 6 47
et.numer. wykłd 6 48 etod Guss Seidl b KK,,,,,, b b b KK KK KK Przeksztłceie rówń do postci: z rówi z rówi z - z rówi
etod Guss Seidl Postć ogól dl i - tego rówi i b i j j i ii ij j, i,, K,. Jest to metod itercyj et.numer. wykłd 6 49
etod Guss Seidl Zkłdmy początkowe wrtości od do i podstwimy je do wcześiej przeksztłcoych rówń Obliczmy błąd względy uzyskych owych wrtości: i ew i ew i old i - Procedurę powtrzmy itercyjie ż do uzyski odpowiediego wrtości o zdwljącym błędzie. et.numer. wykłd 6
etod Guss - Seidl Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) 6.8 8 77. 79. Prędkość rkiety zostł przybliżo wielomiem: v() t t + t +, t. Zleźć współczyiki,, metodą Guss-Seidl i prędkość w chwili t 6 s et.numer. wykłd 6
et.numer. wykłd 6 etod Guss Seidl v v v t t t t t t 79. 77. 6.8 44 8 64 Postć rówi: Po wstwieiu dych: Wrtości przyjęte do pierwszej itercji:
etod Guss Seidl Przeksztłceie rówń: 6.8 64 44 8 6.8 77. 79. 77. 64 8 79. 44 et.numer. wykłd 6
etod Guss Seidl Pierwsz itercj: 6.8 () ().67 77. 64 79. 44 (.67) ( ) 8 7.8 (.67) ( 7.8).6 et.numer. wykłd 6 4
etod Guss Seidl Zjdowie błędu względego pierwszej itercji: i ew i ew i old i.67..67 7.76% Wyiki pierwszej itercji:.67 7.8.6 7.8..47% 7.8.6..%.6 ksymly błąd względy to.47% et.numer. wykłd 6
etod Guss Seidl Drug itercj: 6.8 ( 7.8).67 7.8.6 Wyiki pierwszej itercji:.6 ( ) 77. 64.6 8.6 79. 44.6 ( ) ( 4.88).6 4.88 798.4 et.numer. wykłd 6 6
etod Guss Seidl Zjdowie błędu względego drugiej itercji:.6.67 69.4%.6 ( 7.8) 4.88 4.88 (.6) 798.4 798.4 8.69% 8.4%.6 4.88 798.4 ksymly błąd względy to 8.7% et.numer. wykłd 6 7
etod Guss Seidl % % Itercj % 4 6.67.6 47.8 9. 8..6 7.767 69.4 74.447 7.9 7.8 7.96 7.8 4.88. 9.4 477. 949.47 8.69 78. 76.6 76. 7.97.6 798.4 448.9 444 67 498. 8.4 76.8 76.6 7.96 7.9 Wyiki kolejych itercji różią się zczie od prwidłowych:.948 9.69.87 Kiedy ztem t metod jest zbież? et.numer. wykłd 6 8
etod Guss Seidl Jeżeli mcierz jest silie digolie domiując to metod Guss-Seidl jest zbież ii ij j, j i dl wszystkich i ii > ij j, j i przyjmiej dl jedego i et.numer. wykłd 6 9
etod Guss Seidl Przykłd mcierzy digolie domiującej 7 + + + 8 4 et.numer. wykłd 6 6
Rozkłd LU Rozkłd LU to kolejy sposób rozwiązie ukłdu rówń z iewidomymi A b cierz A moż przedstwić jko: A LU gdzie: L dol mcierz trójkąt U gór mcierz trójkąt et.numer. wykłd 6 6
Rozkłd LU Zpisując ukłd rówń: Zkłdjąc że: [ A ] [ L][ U ] [ A ][ X ] [ C] [ L ][ U ][ X ] [ C] ożąc przez: le: [ ] [ L ] [ L] [ I ] L [ ] [ ][ ][ ] [ ] L L U X L [ C] [ ][ ][ ] [ ] I U X L [ C ] [ L ] [ C] [ Z ] [ L ][ Z] [ C] mcierz jedostkow le: ztem: [ I ][ U ] [ U ] [ ][ ] [ ] U X L [ C] [ U ][ X] [ Z] et.numer. wykłd 6 6
Rozkłd LU [ ][ ] [ ] U X L [ C] oż zpisć [ U ][ X] [ Z] [ ] L [ C] [ Z ] [ L ][ Z] [ C] et.numer. wykłd 6 6
Rozkłd LU Jeśli dy jest ukłd rówń: [ A ][ X ] [ C] Nleży dokoć dekompozycji mcierzy A mcierze L orz U Rozwiązć ukłd rówń w poszukiwiu mcierzy Z: [ L][ Z ] [ C] Rozwiązć ukłd rówń w poszukiwiu mcierzy X: [ U ][ X] [ Z ] et.numer. wykłd 6 64
Rozkłd LU Dekompozycj mcierzy A L orz U: [ A] [ L][ U ] l l l u u u u u u U jest mcierzą wyzczą podczs pierwszego etpu elimicji Guss L jest mcierzą współczyików użytych podczs pierwszego etpu elimicji Guss et.numer. wykłd 6 6
et.numer. wykłd 6 66 Rozkłd LU 44 8 64 44.6 4.8 (64) wiersz wiersz 4.76 6.8.6 4.8 (44) wiersz wiersz Zjdowie mcierzy U:
Rozkłd LU Zjdowie mcierzy U cd: 4.8 6.8.6 4.76 wiersz wiersz ( 6.8) 4.8 4.8.6.7 [ U ] 4.8.6.7 et.numer. wykłd 6 67
Rozkłd LU Zjdowie mcierzy L: l 64 l. 6 l l z pierwszego kroku zjdowi 44 mcierzy U l.76 z drugiego kroku zjdowi mcierzy U l 6.8 4.8. et.numer. wykłd 6 68