Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę wyszedł, pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg sklepów w cetrum hdlowym. Jeżeli elemetmi ciągu są liczby, ie smochody, ludzie czy sklepy, to mówimy o ciągu liczbowym. Ztem: Ciąg liczbowy skłd się z liczb. Smochodom ulicy moż przyporządkowć ich pojemość silik, umer rejestrcyjy (bez liter) lub rok produkcji. Ludziom w kolejce moż przypisć ich wzrost, wgę lub wiek. Sklepom możemy przyporządkowć ich powierzchię, wielkość czyszu lub liczbę prcowików. Powyższe przykłdowe ciągi z smochodmi, ludźmi czy sklepmi zostły opise słowie, bez użyci wzorów mtemtyczych. Sposób opisowy jest jedą z możliwości słowej chrkteryzcji ciągów liczbowych, ie dje się jedk do obliczeń mtemtyczych. Ciąg smochodów, ludzi czy sklepów jest ogół przypdkowy. Zjomość pojemości silik dl pięciu początkowych smochodów ie pozwoli określeie pojemości szóstego; wiedz o wzroście dziesięciu pierwszych ludzi w kolejce ie umożliwi przewidywi wzrostu jedestej osoby itd. Uwg Ciąg liczbowy musi zostć opisy symbolmi mtemtyczymi w tki sposób, by umożliwić obliczeie dowolego elemetu ciągu.
7 W iektórych dziedzich uki opercje wykoywe są zbiorze liczb cłkowitych, w szczególości zbiorze liczb turlych. Tki dził mtemtyki zyw się mtemtyką dyskretą. Np. w iformtyce współrzęde puktu (piksel) ekrie de są liczbmi turlymi, w kombitoryce istieją wzory obliczeie liczby permutcji, kombicji lub wricji dl kokretych dych turlych, w logice klsyczej i w systemie dwójkowym (birym) wykorzystuje się wrtości 0 i, w rchuku prwdopodobieństw wyiki rzutu kostką czy moetą mją ustloe wrtości turle, strożyte pojęcie rówń dioftyczych dotyczy rówń o rozwiązich będących liczbmi cłkowitymi., 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0 0 Rys... Ciąg dwudziestu początkowych liczb turlych umieszczoych jko pukty o współrzędej x = 0,,,,9 w ukłdzie współrzędych prostokątych dl współrzędej y = (wykres puktowy). Odwieczą dyskusję, czy zero jest liczbą turlą, rozstrzyg stępujące ozczeie zbiorów: liczby turle N = {0,,,,,99, }, liczby turle dodtie N + = {,,,,99, }. Są to zbiory ieskończoe, poiewż mją ieskończoą liczbę elemetów. Zbiory N i N + są ogriczoe z dołu (posidją kres doly), poiewż istieje jmiejszy elemet zbioru (odpowiedio 0 i ); ie są tomist ogriczoe z góry (ie posidją kresu górego), poiewż koleje elemety zbioru rosą do ieskończoości (+ ). W zleżości od kokretego pojęci lub zdi wykorzystywe będą zbiory N lbo N +. Elemety ciągów będą umerowe (ideksowe) liczbmi turlymi.
8 Defiicj. Jeżeli kżdemu elemetowi zbioru N (bądź N + ) zostie przyporządkow liczb rzeczywist obliczo wg ustloego wzoru wyzczjącego, to mówi się, że określoy zostł ciąg liczbowy. Zpis : N A ozcz, iż kżdej liczbie N przyporządkow jest liczb ze zbioru A (p. A = R, bądź A = N czy A = N + ). Zpis : N + A ozcz, iż kżdej liczbie N + przyporządkow jest liczb ze zbioru A (p. A = R lub A = N, lbo A = N + ). Zbiór liczb rzeczywistych R zwier zbiór liczb turlych (zbiór liczb turlych zwrty jest w zbiorze liczb rzeczywistych, jest jego podzbiorem), czyli kżd liczb turl jest liczbą rzeczywistą, le ie kżd liczb rzeczywist jest liczbą turlą (p. ½ N, N + ). Fkt zwieri zbiorów zpisuje się stępująco: N + N R. Przykłdy ciągów liczbowych i ich włsości: ) : N R, =. Elemetmi ciągu są koleje liczby turle: 0 = 0, =, =, =, 4 = 4, =... Jest to ciąg rosący: kżdy kolejy elemet + = + jest większy od poprzediego elemetu =, ogriczoy z dołu przez liczbę 0 (kres doly zbioru wrtości ciągu), ieogriczoy z góry (koleje elemety rosą do ieskończoości). ) : N N, =. Elemetmi ciągu są koleje liczby turle podziele przez (czyli liczby przyste): 0 = 0, =, = 4, = 6,
9 4 = 8, = 0... Jest to ciąg rosący: kżdy kolejy elemet + = (+) = + jest większy od poprzediego elemetu =, ogriczoy z dołu przez liczbę 0 (kres doly zbioru wrtości ciągu), ieogriczoy z góry (koleje elemety rosą do ieskończoości). ) : N N +, = +. Elemetmi ciągu są koleje liczby turle iepodziele przez (czyli liczby ieprzyste): 0 =, =, =, = 7, 4 = 9, =... Jest to ciąg rosący: kżdy kolejy elemet + = (+)+ = + jest większy od poprzediego elemetu = +, ogriczoy z dołu przez liczbę (kres doly zbioru wrtości ciągu), ieogriczoy z góry (koleje elemety rosą do ieskończoości). 4) : N R, =. Kilk początkowych elemetów: 0 = 0 = 0, = =, = (w przybliżeiu,44), = (w przybliżeiu,7), 4 = 4 =, = (w przybliżeiu,6). Jest to ciąg rosący: kżdy kolejy elemet + = jest większy od poprzediego elemetu =, ogriczoy z dołu przez liczbę 0 (kres doly zbioru wrtości ciągu), ieogriczoy z góry (koleje elemety rosą do ieskończoości). ) : N + R, = /. Kilk początkowych elemetów: = / =, = / = 0., = / = 0., 4 = ¼ = 0., = / = 0., 6 = /6 = 0.6666 Jest to ciąg mlejący: kżdy kolejy elemet + = jest miejszy od poprzediego elemetu = ogriczoy z dołu przez liczbę 0 (kres doly zbioru wrtości ciągu) pomimo iż żde elemet ie przyjmie wrtości 0; ogriczoy z góry przez liczbę (kres góry zbioru wrtości ciągu).,
0 Dotychczs rozptrzoe ciągi były mootoicze. 6) : N R, = (-). Kilk początkowych elemetów: 0 = (-) 0 =, = (-) = -, = (-) =, = (-) = -. Nie jest to ciąg mootoiczy (i rosący, i mlejący, i stły), przyjmuje przemi dwie wrtości orz -, które są odpowiedio kresem górym i dolym zbioru wrtości ciągu). Defiicje.-.0: D.. Ciąg jest rosący, jeżeli : (koleje wyrzy są corz większe). Ciągi w przykłdch ) - 4) są przykłdmi ciągów rosących (podj trzy ie przykłdy ciągów rosących). W celu udowodiei, iż ciąg jest rosący, leży wykzć: 0. Przykłd: =. ( ) 0. D.. Ciąg jest mlejący, jeżeli : (koleje wyrzy są corz miejsze). Ciąg w przykłdzie ) jest ciągiem mlejącym (podj trzy ie przykłdy ciągów mlejących). W celu udowodiei, iż ciąg jest mlejący, leży wykzć: 0. Przykłd: = -.
( ) ( ). 0 D..4 Ciąg jest ierosący, jeżeli : (kżdy stępy wyrz jest ie większy od poprzediego). W szczególości ciągi mlejące są tkże ciągmi ierosącymi W celu udowodiei, iż ciąg jest ierosący, leży wykzć: 0. D.. Ciąg jest iemlejący, jeżeli : (kżdy stępy wyrz jest ie miejszy od poprzediego). W szczególości ciągi rosące są tkże ciągmi iemlejącymi W celu udowodiei, iż ciąg jest iemlejący, leży wykzć: 0. D..6 Ciąg jest stły, jeżeli : (wszystkie wyrzy ciągu mją tką smą wrtość). Przykłdy ciągów stłych: =, = -. Ciąg stły jest szczególym przypdkiem ciągu ierosącego i ciągu iemlejącego. W celu udowodiei, iż ciąg jest stły, leży wykzć: 0.
Ciąg zyw się mootoiczym, jeżeli spełi jedą z def. D.. do D..6 (ciąg mootoiczy jest rosący, mlejący, ierosący, iemlejący lub stły). Ciąg w przykłdzie 6) ie jest ciągiem mootoiczym (podj trzy przykłdy ciągów mootoiczych i trzy przykłdy ciągów, które ie są mootoicze). D..7 Ciąg jest ogriczoy z dołu, jeżeli t R t. : Ciągi w przykłdch ) - 6) są przykłdmi ciągów ogriczoych z dołu (podj trzy ie przykłdy ciągów ogriczoych z dołu). D..8 Ciąg jest ogriczoy z góry, jeżeli T R T. : Ciągi w przykłdch ) - 6) są przykłdmi ciągów ogriczoych z góry (podj trzy ie przykłdy ciągów ogriczoych z góry). D..9 Kresem dolym zbioru wrtości ciągu zyw się jwiększą liczbę spośród ogriczjących ciąg z dołu. D..0 Kresem górym zbioru wrtości ciągu zyw się jmiejszą liczbę spośród ogriczjących ciąg z góry.
Zdie: Jkie cechy posid ciąg : N R, = (-)? Kilk początkowych elemetów: 0 = (-) 0 =, = (-) = -, = (-) = 4, = (-) = -8. Nie jest to ciąg mootoiczy, przyjmuje przemi wrtości dodtie i ujeme, ie jest ogriczoy z dołu i z góry, brk kresu górego i dolego zbioru wrtości ciągu. Mówimy wtedy, że mmy do czyiei z ciągiem ieogriczoym z dołu i z góry. Ciąg rytmetyczy Złóżmy, iż co miesiąc wpłcmy książeczkę oszczędościową stłą kwotę K. Wrtości szych oszczędości koiec kżdego miesiąc tworzą ciąg rytmetyczy o wyrzie początkowym rówym 0 i stłej różicy r = K. Defiicj. Jeżeli kżdy kolejy elemet ciągu powstje poprzez dodie do elemetu poprzediego liczby rzeczywistej r, to tki ciąg zwy jest rytmetyczym. Liczb r jest stłą różicą dego ciągu rytmetyczego. Istieje koieczość określei pierwszego elemetu ciągu ( 0 lub ). Włsości ciągu rytmetyczego moż zpisć stępująco: : r, (.) r 0.... Tk zdefiiowy (.) ciąg rytmetyczy może być uwży z przykłd ciągu rekurecyjego (wyliczeie kolejego elemetu + wymg zjomości elemetu poprzediego ).
4 Uwg Jeżeli r > 0, to ciąg rytmetyczy jest rosący; ozcz to, iż koleje wyrzy ciągu są corz większe. Jeżeli r < 0, to ciąg rytmetyczy jest mlejący; ozcz to, iż koleje wyrzy ciągu są corz miejsze. Jeżeli r = 0, to ciąg rytmetyczy jest stły; ozcz to, iż koleje wyrzy ciągu są tkie sme. Przykłdy zstosowi ciągów rytmetyczych: ) Co tydzień zjętość dysku twrdego zwiększ się o 00MB (r = 00). Cłkowit wielkość plików i folderów koiec kżdego tygodi tworzy rosący ciąg rytmetyczy: = MB (początkow pojemość zbiorów dysku), 00 dl =,,. Oczywiście zjętość ie może wzrstć w ieskończoość i w prktyce ogriczo jest cłkowitą pojemością dysku twrdego. ) Miesięcz rt kredytu wyosi 00 zł. Cłkowit wielkość kwoty do spłty początku kżdego miesiąc tworzy mlejący ciąg rytmetyczy (r = -00): 0 = 0000 zł (kredyt), 00 dl = 0,,. Koleje elemety ciągu są oblicze ż do osiągięci wrtości 0. Kiedy to stąpi? Po 0 miesiącch, czyli 0 = 0. ) Sum stu kolejych liczb cłkowitych od do 00 (szkole zdie księci mtemtyków Guss - porówj wzór sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego) wyosi: +++ +0++ +98+99+00 = 0 00/ = 0 0 = 00.
Wzory dl ciągów rytmetyczych: ) Obliczie dowolego wyrzu ciągu rytmetyczego: Zstówmy się d stępującymi dwom zleżościmi: zleżością (.) orz poiższą. 0 r, jeżeli wyrz początkowy to 0 ; (.) ( ) r, jeżeli wyrz początkowy to. (.) Tk określoe (.,.) ciągi rytmetycze ie są rekurecyje (w celu wyzczei dowolego - tego elemetu ciągu leży zć wielkości określjące ciąg rytmetyczy: wyrz początkowy i stłą różicę r), ie jest wykorzysty poprzedi elemet ciągu -. Uzsdieie wzoru dowoly wyrz ciągu rytmetyczego jest proste: kżdy kolejy wyrz powstje poprzez dodie do wyrzu poprzediego stłej różicy r, czyli dl obliczei elemetu dodjemy - rzy wrtość r (w przypdku wyrzu początkowego 0 ) lub - krotie wrtość r (w przypdku wyrzu początkowego ). Przykłdy: Jeżeli 0 =, r =, to 0 = +0 = 4. Jeżeli b = -, r = -0., to b 0 = - +9 (-0.) = -4.. ) Sum początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego: S... i i, jeżeli początkowy wyrz to ; (.4) S 0... i, jeżeli początkowy wyrz to 0 0. i 0
6 Uzsdieie wzoru (.4) sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego: ułmek we wzorze ozcz średią rytmetyczą liczoą dl wyrzu początkowego i osttiego, wszystkich wyrzów jest. Wrto tkże zuwżyć, że:, bo r r i tkich pr wyrzów ciągu jest /. Przykłdy: Jeżeli 0 =, r =, to 0 = 4 orz S 0 48.... 0 0 i 0 i 7... 4 0 0 Jeżeli b = -, r = -0., to b 0 = -4. orz S 0 ( b b 9.) 0... b 0 9. 0 i b i. 6... 4. b b 0 0 Ciąg geometryczy Złóżmy, iż dziesięć lt temu miłeś jedą płytę z muzyką i co roku liczb płyt w Twojej kolekcji wzrst trzykrotie. Liczb płyt koiec kżdego roku tworzy ciąg geometryczy o wyrzie początkowym rówym i stłym ilorzie q =. Defiicj. Jeżeli kżdy kolejy elemet ciągu powstje poprzez pomożeie elemetu poprzediego przez liczbę rzeczywistą q, to tki ciąg zwy jest geometryczym. Liczb q jest stłym ilorzem dego ciągu geometryczego.
7 Istieje koieczość określei pierwszego elemetu ciągu ( 0 lub ). Włsości ciągu geometryczego moż zpisć stępująco: : q, (.) q 0... dl 0,,, 0. Tk zdefiiowy (.) ciąg geometryczy może być uwży z przykłd ciągu rekurecyjego (wyliczeie kolejego elemetu + wymg zjomości elemetu poprzediego ). Uwg Jeżeli: ) q > i początkowy wyrz ciągu jest dodti, to ciąg geometryczy jest rosący; ) q > i początkowy wyrz ciągu jest ujemy, to ciąg geometryczy jest mlejący; ) q (0;) i początkowy wyrz ciągu jest dodti, to ciąg geometryczy jest mlejący; 4) q (0;) i początkowy wyrz ciągu jest ujemy, to ciąg geometryczy jest rosący; ) q < 0, to ciąg geometryczy ie jest mootoiczy (przyjmuje przemi wrtości dodtie i ujeme); 6) q =, to ciąg geometryczy jest stły; 7) q = 0, to wszystkie elemety ciągu geometryczego (z wyjątkiem być może pierwszego) rówe są 0. Jeżeli pierwszy elemet ciągu geometryczego rów się 0, to wszystkie elemety tego ciągu rówe są 0.
8 Przykłdy występowi ciągu geometryczego: ) Trzydzieści lt temu wyspie X było 0 komputerów. Co roku liczb komputerów wyspie X wzrst dwukrotie. Ile komputerów jest obecie? Ile będzie z lt? = 0, q =, + =. = 0, = 40, 4 = 80, = 60, ) Siedem lt temu w mieście Y było milio osób bez telefou komórkowego. Co roku liczb t zmiejsz się trzykrotie. Ile osób obecie jest bez telefou komórkowego? 0 = 000000, q = /, + = /. =, =, = 7040, 4 = 0, Wzory dl ciągów geometryczych ) Obliczie dowolego wyrzu ciągu geometryczego: 0 q, jeżeli wyrz początkowy to 0 ; (.6) q, jeżeli wyrz początkowy to. (.7) Tk określoe (.6,.7) ciągi geometrycze ie są rekurecyje (w celu wyzczei dowolego - tego elemetu ciągu leży zć wielkości określjące ciąg geometryczy: wyrz początkowy i stły ilorz q), ie jest wykorzysty poprzedi elemet ciągu -. Uzsdieie wzoru dowoly wyrz ciągu geometryczego jest proste: kżdy kolejy wyrz powstje poprzez pomożeie wyrzu poprzediego przez ilorz q, czyli dl obliczei elemetu możymy - rzy wrtość q
9 (w przypdku wyrzu początkowego 0 ) lub - krotie wrtość q (w przypdku wyrzu początkowego ). Przykłdy: Jeżeli 0 =, q =, to 0 = 0 = 07. Jeżeli b = -, q = 0., to b 7 = - (0.) 6 = -0.078. ) Sum początkowych wyrzów ciągu geometryczego: S q..., jeżeli początkowy wyrz to i ; i q S 0 q... i q i 0 0, jeżeli początkowy wyrz to 0. (.8) Przykłdy: Jeżeli 0 =, q =, to 0 = 07 orz S 0... 0 i 0 0 i 6... 07 64. Jeżeli b = -, q = 0., to b 7 = -0.078 orz S 7 b 6 64 b... b 7 9.987. 7 b i i 4... 64 (0.) 0. 7 ( ) * Dl dociekliwych pozostwim udowodieie wzorów (.8), p. z pomocą idukcji mtemtyczej. Wrto zuwżyć, iż q ( q)( q q... q ) q q i 0 q.
0. Defiicj i włsości gricy ciągu N początku rozdziłu. omówioo przykłdy ciągów liczbowych:, /, (-). Pierwszy z ich jest rosący do ieskończoości dl corz większych (mówi się, że m gricę + ), drugi mleje do zer dl kolejych (jego gricą jest 0), trzeci ie jest mootoiczy i przyjmuje przemi dwie wrtości (ie m gricy)., 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0 0 0 Rys... Ciąg trzydziestu jede początkowych liczb postci / umieszczoych jko pukty w ukłdzie współrzędych prostokątych o współrzędej x =,,, orz o wrtościch dążących do zer (zbliżjących się do osi OY) - przykłd wykresu puktowego. Pojęcie gricy ciągu dotyczy zchowi kolejych elemetów ciągu dl corz większych liczb (dl dążących do ieskończoości, czyli ). Defiicj. Liczb g jest gricą ciągu (ciąg jest zbieży do g), jeżeli: 0 m N m: g.
Defiicj. zwier w sobie iformcję, iż dl dostteczie dużych wrtości (dl większych od pewego m) elemety ciągu leżą brdzo blisko gricy, czyli g dl dowolie młej dodtiej wrtości. N przykłd elemety ciągu = / leżą corz bliżej liczby g = 0 dl corz większych. Zuwżmy, że zmi stępe wyrzy ciągu leżą bliżej iż w odległości. m wpływ miejsce m, od którego wszystkie Notcj. Symbol gricy ciągu to: lim = g lub g dl (przy symbolu gricy ciągu zwsze będzie ciche złożeie, iż ). Przykłd wyzczei gricy ciągu z defiicji: czy / 0? Dl dowolego > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m: g dl = / orz g = 0. Wybierzmy i sprwdźmy, od którego miejsc wyrzy ciągu leżą bliżej iż od gricy g = 0. czyli dl g 0 m będącego pierwszą (mówimy - jmiejszą) liczbą turlą, dl m, jk przekrcz liczbę rzeczywistą. Wtedy m : g. * Przykłd wyzczei gricy ciągu z defiicji: czy Dl dowolego > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by? m: g dl = orz g =. Wybierzmy i sprwdźmy, od którego miejsc wyrzy ciągu leżą bliżej iż od gricy g =.
g dl log m, czyli dl m log będącego pierwszą (mówimy - jmiejszą) liczbą turlą, jk przekrcz liczbę rzeczywistą log. Wtedy m : g. Włsości gric dwóch ciągów zbieżych ) Sum ciągów zbieżych: jeżeli g orz b h, to ( + b ) (g+h). Jeżeli dw ciągi mją gricę, to sum tych ciągów tkże posid gricę rówą sumie gric. Przykłd: lim / = 0, lim =, ztem lim (+/) = +0 =. ) Różic ciągów zbieżych: jeżeli g orz b h, to ( -b ) (g-h). Jeżeli dw ciągi mją gricę, to różic tych ciągów tkże posid gricę rówą różicy gric. Przykłd: lim 6/ = 0, lim / = 0, ztem lim (/-6/) = 0-0 = 0. ) Iloczy ciągów zbieżych: jeżeli g orz b h, to ( b ) (g h). Jeżeli dw ciągi mją gricę, to iloczy tych ciągów tkże posid gricę rówą iloczyowi gric. Przykłd: lim 9/ = 0, lim (-/) = 0, ztem lim (9/) (-/) = 0 0 = 0. W szczególości, gdy b = b = cost. (ciąg stły), to ( b) (g b).
Przykłd: lim (9/) = 0, lim 7 = 7, ztem lim 7 (9/) = 7 0 = 0. 4) Ilorz ciągów zbieżych: jeżeli g orz b h, to ( / b ) (g / h) o ile b 0 i h 0. Jeżeli dw ciągi mją gricę, to ilorz tych ciągów tkże posid gricę rówą ilorzowi gric pod wrukiem, iż ciąg z miowik m iezerowe wyrzy orz gricę różą od zer. Przykłd: lim 9/ = 0, lim =, ztem lim 9/() = 0/ = 0. Rozwżmy ciągi mootoicze i ogriczoe. Jeżeli dy ciąg jest rosący i jedocześie ogriczoy z góry (p. koleje pokoywe wysokości w lekkotletyczym skoku wzwyż są corz większe, lecz ogriczoe możliwościmi zwodików i wysokością stojk z poprzeczką), to ie może rosąć do ieskończoości, lecz musi posidć skończoą gricę. Alogiczie jeżeli ciąg jest mlejący i jedocześie ogriczoy z dołu, to ie może mleć do mius ieskończoości, lecz musi posidć skończoą gricę. Nsuw się więc pytie: Czy istieje związek pomiędzy mootoiczością i ogriczoością ciągu istieiem gricy? Odpowiedź zwrt jest w stępującym twierdzeiu: Twierdzeie. Ciąg mootoiczy i ogriczoy jest zbieży, czyli ciąg rosący i ogriczoy z góry (p. -/ 0) lbo ciąg mlejący i ogriczoy z dołu (p. /) posid gricę.
4 Iy przykłd ciągu mlejącego i ogriczoego z dołu: = (½) dl N. Koleje wyrzy ciągu to:, ½, ¼, /8, /6 Jest to ciąg mlejący, ogriczoy z dołu przez 0 i zbieży do zer. Ogólie: ciąg postci = s dl s [0;) dąży do zer. Istieją tkże ciągi, które ie są mootoicze, le są ogriczoe i zbieże, p. = (-½) dl N. Koleje wyrzy ciągu to:, -½, ¼, -/8, /6 Jest to ciąg ogriczoy z góry przez i ogriczoy z dołu przez -½, wyrzy przemi przyjmują wrtości dodtie i ujeme, zbiegją do 0. Ogólie: ciąg postci = s dl s (-;0) dąży do zer. Wiosek: Ciąg = q dl q (-;) dąży do zer. Wiosek te zostie wykorzysty do wzoru sumę początkowych wyrzów ciągu geometryczego dl, czyli otrzymmy wzór sumę wszystkich wyrzów ciągu geometryczego pod wrukiem, iż ilorz q (-;). q Dy jest wzór: S... i q. i Jeżeli q 0 dl q (-;), to 0 S q q. W szczególości dl q = 0 wszystkie wyrzy (z wyjątkiem pierwszego ) rówe są zero i S. q
Uwg Wyprowdzoy wzór sumę wszystkich wyrzów ciągu geometryczego S dl q (-;) (.9) q posłuży do zmiy dowolego ułmk okresowego ułmek zwykły. Przykłd zmiy ułmk okresowego zwykły (z wykorzystiem wzoru.9): dy jest ułmek okresowy 0,(). 0,() = 0, = 0,+0,00+0,0000+... S. Jest to ciąg geometryczy o pierwszym wyrzie = 0, orz ilorzie q = 0,0 S q (-;). Podstwimy do wzoru: 0, 0,0 0, 0,99 99. Czyli 0,(). 99 Zdie: zmień ułmek okresowy,() ułmek zwykły. Uwg: 0 90,()=,+0,0(). Dlczego,()...? A co z ułmkiem,(789)? Co powiesz o zpisie,0()? Spróbujmy terz wyjśić, jk jest ide brdzo wżego twierdzei o trzech ciągch. Złóżmy, iż trzy obiekty wyruszją z tego smego puktu z różą prędkością: obiekt A z jmiejszą prędkością, obiekt B ze średią prędkością, obiekt C z jwiększą prędkością: v(a)<v(b)<v(c). Złóżmy rówież, iż w wyzczoym przedzile czsowym [t, t ] obiekty A orz C mogą osiągąć pukt docelowy P. Wyik z tego, iż tkże obiekt B może osiągąć pukt docelowy P w wyzczoym przedzile czsowym [t, t ]. Jeżeli dodtkowo z jkiegoś powodu (p. iezbd do końc ieskończoość w kosmosie) różic pomiędzy t t mleje i w końcu t = t = t, to rówież obiekt B może osiągąć pukt docelowy P w czsie t.
6 Twierdzeie o trzech ciągch Złożei Dl ciągów, b, c spełioe jest: ) m N m : b c (ierówość dl elemetów ciągów zchodzi od pewego ideksu m); ) lim = lim c = g (skrje ciągi są zbieże i mją tką smą gricę). Tez Ciąg b jest zbieży orz lim b = g. Przykłdy zstosowi tw. o trzech ciągch: ) / < / < / dl N + ; / 0 i / 0 ; czyli / 0. Uwg: spróbuj wykzć gricę ciągów / i / z defiicji (tk jk powyżej dl ciągu /). ) Dlczego = (½) 0? Nierówość 0 ( ) zchodzi dl kżdego N. Skrje ciągi dążą do zer, więc środkowy rówież. Moż tkże posłużyć się ierówością ( ) 0 dl kżdego N +. ) Zjdź gricę ciągu 6 dl N +. Spełio jest ierówość dl kżdego N + : 6 6 6 6 6. Ztem zchodzi rówież : 6 6 6. Ciąg 6 6, tomist ciąg 6 6 6 6, poiewż ciąg jest mlejący (wykż to*), ogriczoy z dołu i kres doly wrtości
7 elemetów ciągu wyosi, więc jest zbieży do gricy (gricę tę wykzliśmy wcześiej z defiicji). N mocy twierdzei o trzech ciągch: Wyik te moż skometowć stępująco: w ieskończoości (czyli przy oblicziu gricy ciągu) jbrdziej istotą rolę odgryw jwiększy skłdik (w tym przypdku elemet 6 pod pierwistkiem -tego stopi). 6 6. Ciągi zbieże do ieskończoości Często w literturze mtemtyczej używe jest pojęcie ciągi rozbieże do ieskończoości. Rozsądiej jest jedk zrezerwowć pojęcie ciąg rozbieży dl ciągu, który ie m gricy (p. (-) ) i trktowć gricę jko pełoprwą wrz z gricmi liczbowymi. Kiedy ciąg może mieć gricę w ieskończoości: ) Ciąg rosący i ieogriczoy z góry pewo rośie (zbieg) do plus ieskończoości. ) Ciąg mlejący i ieogriczoy z dołu pewo mleje (zbieg) do mius ieskończoości. Defiicj.4 Ciąg jest zbieży do +, jeżeli: s 0 m N m : s. Ozcz to, iż dl dowolie dużej liczby rzeczywistej s moż zleźć tki ideks m, by m : s.
8 Defiicj.4b Ciąg jest zbieży do -, jeżeli: s 0 m N m : s, Ozcz to, iż dl dowolie młej liczby rzeczywistej s moż zleźć tki ideks m, by m : s. Przykłd wyzczei gricy ciągu = z defiicji.4. Czy? Dl dowolego s > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m : s. s ; s m ; m s. Czyli m s orz m s :. Przykłd wyzczei gricy ciągu = - z defiicji.4b. Czy -? Dl dowolego s < 0 zlezioy zostie ideks m tki, by s ; s m ; m s. m : s. Czyli m s orz m: s. W przypdku ciągów o gricy ieskończoej twierdzeie o trzech ciągch może zostć zredukowe do dwóch twierdzeń o dwóch ciągch. Oto dwie wersje twierdzei o dwóch ciągch: Twierdzeie. Jeżeli dl ciągów, b spełioe jest: ) m N m : b (ierówość dl elemetów ciągów zchodzi od pewego m); ) lim = + (ciąg o miejszych wyrzch dąży do ieskończoości). Wówczs: lim b = +.
9 Przykłd zstosowi tw..: dl kżdego N; lim =, więc lim =. Twierdzeie. Jeżeli dl ciągów, b spełioe jest: ) m N m : b (ierówość dl elemetów ciągów zchodzi od pewego m); ) lim b = - (ciąg o większych wyrzch dąży do mius ieskończoości). Wówczs: lim = -. Przykłd zstosowi tw..: - - dl kżdego N; lim ( ) = -, więc lim (-) = -. Włsości gric ciągów w ieskończoości i zerze (symbole ozczoe i ieozczoe) Symbolmi ozczoymi zywmy tkie dziłi ciągch zbieżych do i do 0, których wyik moż przewidzieć tychmist, bez długich przeksztłceń i obliczeń. Przykłdy symboli ozczoych: ) Jeżeli lim =, to lim (/ ) = 0. Przykłd: =, = -, = (-). Symbol ozczoy: 0.
0 ) Jeżeli lim = 0 orz m N m 0, to lim ( / ) = +. : Przykłd: = 6/, = (½). Symbol ozczoy: 0. Symbol 0 + ozcz zbieżość ciągu do zer od stroy liczb dodtich. ) Jeżeli lim = 0 orz m N m 0, to lim ( / ) = -. : Przykłd: = -8/, = -(½). Symbol ozczoy: 0. Symbol 0 - ozcz zbieżość ciągu do zer od stroy liczb ujemych. Uwg Jeżeli lim = 0 orz wyrzy ciągu ie mją stłego zku (z wyjątkiem skończoej liczby początkowych elemetów), to lim (/ ) ie istieje. Przykłd: = (-½), lim / ie istieje. 4) Jeżeli lim = orz lim b =, to: lim ( b ) =, lim ( + b ) =, lim ( b ) = dl > 0 począwszy od pewego. Przykłd: =, b =.
Symbole ozczoe: =, + =, =. ) Jeżeli lim = - orz lim b =, to: lim ( b ) = -, lim ( - b ) = -, lim (b ) = 0 dl b > 0 począwszy od pewego. Przykłd: = -, b = 7. Symbole ozczoe: (- ) = -, - - = -, - =0. 6) Jeżeli lim = - orz lim b = -, to: lim ( b ) =, lim ( + b ) = -, lim ( b ) = 0. Przykłd: = -4, b = - 9. Symbole ozczoe: (- ) (- ) =, (- ) + (- ) = -, (- ) - =0. Symbole ieozczoe - dziłi ciągch zbieżych do i do 0, których wyiku ie moż przewidzieć tychmist: wyik dziłi zleży od kokretych ciągów i wymg obliczei dl dego przypdku. Przykłdy symboli ieozczoych: ) Jeżeli lim = orz lim b =, to: lim ( - b ) =?, lim ( / b ) =?. Przykłdy: lim ( - ) = 0, lim ( - ) = lim (-) =. lim (/) =, lim ( /) = lim =.
Symbole ieozczoe: -, /. ) Jeżeli lim = 0 orz lim b = 0, to lim ( / b ) =? Przykłdy: lim (/)/(/) =, lim (/ )/(/) = lim (/) = 0. Symbol ieozczoy: 0 / 0. ) Jeżeli lim = 0 orz lim b =, to lim ( b ) =? Przykłdy: lim (/) =, lim (/ ) = lim (/) = 0. Symbol ieozczoy: 0. 4) Jeżeli lim = orz lim b =, to lim ( b ) =? Przykłdy: lim =, lim ) podstw logrytmu turlego). ( =,788 = e (liczb Euler Symbol ieozczoy:. ) Jeżeli lim = orz lim b = 0, to lim ( b ) =? Przykłdy: lim 0 =, lim, le 6 6.
Symbol ieozczoy: 0. Przy wyzcziu gricy ciągu będącej symbolem ieozczoym w wielu przypdkch dokouje się dozwoloych przeksztłceń lgebriczych i sprowdz się wyrz ciągu do postci symbolu ozczoego lub wykorzystuje się ze już grice (przykłdy poiżej).. Wyzczie gricy ciągu Przykłdy obliczeń gricy ciągu (jwięcej przykłdów dotyczy oczywiście ciągów, których grice tworzą symbole ieozczoe). Przy kżdej gricy zstów się, jki symbol ieozczoy przedstwi: ) lim ( ) ) lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) = c = dl c > 0. = c = - dl c < 0. ) lim (8 7 ) 4) lim = lim8. = lim 7 lim 8 ( ) 8 ( ( ) ) = lim 7 8 lim 8 ( ( ) ) =. lim 8 ( 0) Uwg Jeżeli w licziku i miowiku występują wyrżei wielomiowe orz jwiększ potęg jest tk sm, to gricą ciągu jest ułmek złożoy ze współczyików przy jwiększej potędze z liczik i miowik.
4 7 ) lim = lim 7 6) lim = lim 8 ( ( 7 ) ) = lim 7 ) (8 ) ( 7 = lim = 7. ( 7 ) 8 = 8. Uwg Jeżeli w licziku i miowiku występują wyrżei wielomiowe orz w licziku występuje większ potęg iż w miowiku i współczyiki przy jwiększych potęgch w licziku i miowiku mją te sm zk, to gricą ciągu jest. 7) lim = lim Uwg 7 = lim 8 ( 7 ) 8 ( 7 ) ( 8 ) 8 Jeżeli w licziku i miowiku występują wyrżei wielomiowe orz w licziku występuje większ potęg iż w miowiku i współczyiki przy jwiększych potęgch w licziku i miowiku mją iy zk, to gricą ciągu jest -.. =
7 8) lim 4 8 7 = lim (8 (7 = lim 4 (8 ) 7 = 0. ) ) = Uwg Jeżeli w licziku i miowiku występują wyrżei wielomiowe orz w miowiku występuje większ potęg iż w licziku, to gricą ciągu jest 0. 9) lim (-) ie istieje (dlczego?). ) 0) lim ( = lim[( ) ) lim ( = lim [( ) ] = e. ) ] = e - =/e. ) lim ( ) = lim = lim[( ) ] [( ) ) lim (-) = (ciąg rytmetyczy dlczego?). 4) lim (-+) = - (ciąg rytmetyczy dlczego?). = e e. ) lim ( ) = lim ( ) = = lim = lim 0.
6 6) lim ( 4) = lim ( 4) = 4( = lim 7) lim ) si( 4 4 4 = lim 0. 4 4 = lim = lim =0. 4 4 8) lim ) (gric tego typu pojwi się w rozdzile ). si( 9) lim ) lim si( ). 0) lim. ) lim dl kżdego >0. ) 4 (tw. o trzech ciągch). ) 0.4 8 9 0. 9 (tw. o trzech ciągch). 4) lim ) lim 4 lim 4 9 4 7 4 lim 9 4 ( ) lim 4 9 9 4 ( ) 4 7 4 4 4 lim 9 4 (7 ( lim ) 4 9 ) 4 4 4 lim. 7 4 4 7.
7.4 Przykłdowe zstosowi ciągów ) Jk przybliżyć dl dowolej liczby rzeczywistej > 0? Niech x 0. Dy jest ciąg przeksztłceń: x /:, x x x x x /:x>0, x, x x x, ( x, ) x x. Osttie rówie jest podstwą do utworzei ciągu kolejych przybliżeń dl dowolej liczby rzeczywistej > 0. Ciąg kolejych przybliżeń x jest stępujący: x o, x ( x ), x dl N orz > 0. (.0) x Uzsdieie zbieżości ciągu.0 (zsd idukcji mtemtyczej): x o, jeżeli x, x leży bliżej od iż x 0 ; x, to x ( x ) ( ) x ;
8 ztem: x x 0. Jest to (.0) ciąg rekurecyjy do obliczei kolejej wrtości x + potrzeby jest elemet poprzedi x, wymg jest wrtość początkow (x 0 lub x ). Przykłd: =,? Wrtość strtow (początkow) x o ; Pierwsze przybliżeie: x ( x0 ), (ie do przyjęci). x 0 Uwg W prktyce obliczei moż zcząć od wrtości początkowej x. 7 Drugie przybliżeie: x ( x ),4(6) - jeżeli do dlszych x obliczeń wystrczjąc jest jed cyfr po przeciku, to już mmy wyik:,4. Trzecie przybliżeie: x ( x ), 44686, co dje dobre x przybliżeie już do czwrtej cyfry po przeciku:,44. Oblicz czwrte przybliżeie: x 4 ( x ). A piąte? x Kżde koleje przybliżeie pierwistk gwrtuje większą dokłdość obliczeń. Kiedy zkończyć obliczei pierwistk? Możliwości są co jmiej dwie: lbo podmy, dl jkiego chcemy zkończyć przybliżeie x (gorsze rozwiązie dlczego?); lbo dl dowolego > 0 podmy dokłdość, z jką chcemy zkończyć obliczei (lepsze rozwiązie dlczego?).
9 Gric ciągu kolejych przybliżeń: x ( x dl x o 0 orz N. x ) Dl = 0 podjemy oddzielie: 0 0. Zdie: Wyzcz przybliżeie przeciku), oblicz przybliżeie przeciku). z dokłdością 0,00 (do trzeciej cyfry po z dokłdością 0,0 (do drugiej cyfry po ) Ciąg liczb Fibocciego. Leordo z Pizy (zwy Fiboccim) w. wieku określił szczególy ciąg liczb turlych, w którym kżdy elemet jest sumą dwóch poprzedich. Czyli jest to rekursj, któr do wyzczei ktulej wrtości ciągu ie wykorzystuje tylko jedego poprzediego elemetu (jk p. w przybliżiu pierwistk), lecz dw osttie wyrzy ciągu. Defiicj liczb Fibocciego F(0) = 0, F() =, F(+) = F(+) + F() dl N. Czyli jest to ciąg liczb rosący do ieskończoości: 0,,,,,, 8,,, 4,, 89 Njwiększą iedogodością defiicji rekurecyjej jest koieczość wyzczei wszystkich liczb od F() do p. F(999), podczs gdy iteresuje s tylko F(000). Pojwi się tutj brdzo istote zgdieie elimicji rekursji, czyli wyzczeie tych smych elemetów ciągu w sposób jwy bez obliczi elemetów poprzedich. W przypdku liczb Fibocciego otrzymo stępujący wzór (.) dowoly wyrz ciągu (Dlczego włśie tki wzór? Odpowiedź przedmiocie Mtemtyk dyskret i logik ):
40 F [( ) ( ) ] dl N. (.) Jest to wzór jwy, wymgjący podstwiei dowolego. Oblicz podstwie tego wzoru kilk początkowych elemetów ciągu. ) Kwdrt dowolej liczby turlej Do czego może być przydt sum kolejych liczb ieprzystych: +++7+? Zdefiiowo ciąg: ( i ). Początkowe elemety i ciągu : 0 (i ) 0 ; 0 Uwg i Przyjmuje się, że zwsze, gdy gór gric sumowi jest miejsz od dolej gricy, wyik sumowi jest 0. (i ) ; i (i ) 4 ; i (i ) 9 ; i 4 4 i (i ) 7 6 i tk dlej sumuje się koleje liczby ieprzyste.
4 Co otrzymo jko wyik sumowi? Kwdrty kolejych liczb turlych. Wzór ciąg moż zpisć (.) w wersji rekurecyjej: ( ) dl 0 orz N. (.) 0 Otrzymo więc wzory (.,.4) kwdrty kolejych liczb turlych: ( i ) dl N, (.) i dl 0 orz N +. (.4) 0 Z drugiej stroy koleje liczby ieprzyste dodtie tworzą ciąg rytmetyczy b o pierwszym wyrzie b = i stłej różicy r =. Moż więc wykorzystć wzór sumę kolejych elemetów ciągu rytmetyczego: b b b b. (.)... b b i Czyli fktyczie sum kolejych liczb ieprzystych rów jest (uzsdieie.). Iym dowodem tego stwierdzei może być dowód idukcyjy (ptrz: Mtemtyk dyskret i logik ). Otrzymo więc sposób obliczi kwdrtu liczby turlej wykorzystujący tylko dodwie. Moż tkże zpisć: i (i )... ( ) ( ) ( 4)... ( ) ( i ) i i i ( i ) i ( i ) orz
4 ( i ) i i i. i i i i i Otrzymo wzory.6 orz.7 wykorzystujące sumy kolejych liczb przystych: ( i ), (.6) i i. (.7) i 4) Przybliżeie liczby e N końcu rozdziłu., jko przykłd gricy będącej symbolem ieozczoym r 4, określoo liczbę Euler e = lim Iym sposobem wyzczei liczby e jest obliczeie sumy: ) ( =,788 e! 0!!!...! 0... (.8) Pochodzeie wzoru.8 wiąże się ze wzorem Tylor (ptrz rozdził 4) w lizie mtemtyczej. Przypomijmy defiicję fukcji sili :! i i... dl N. (.9) Ze wzoru.9 wyik, iż 0! = (jeżeli gór gric iloczyu od dolej gricy, to wrtość iloczyu wyosi ). Ztem: jest miejsz
4 e 6 4... 0 Większ dokłdość przybliżei wymg więc dodi kolejego wyrzu ciągu!.. Zdi ) Zbdj mootoiczość i ogriczoość ciągu. ) Zbdj mootoiczość i ogriczoość ciągu. ) Wyzcz siódmy elemet ciągu rytmetyczego, jeżeli 0, i r =,. Oblicz sumę pierwszych siedmiu elemetów tego ciągu. 4) Wyzcz piąty elemet ciągu geometryczego, jeżeli 8 i q = 0,. Oblicz sumę pierwszych pięciu elemetów tego ciągu. ) Udowodij z defiicji gricy ciągu, że 0. 6) Udowodij z defiicji gricy ciągu, że 0. 7) Zmień ułmek okresowy 0,() ułmek zwykły. 8) Zmień ułmek okresowy,() ułmek zwykły. 9) Pokż z defiicji gricy ciągu, że. 0) Pokż z defiicji gricy ciągu, że. ) Pokż z defiicji gricy ciągu, że. ) Pokż z defiicji gricy ciągu, że. ) Oblicz lim ( ).
44 4) Oblicz lim. 7 4 ) Oblicz lim 8. 6 6 6) Oblicz lim. 7 8 7 ) 7) Oblicz lim (. 9 8 9 8) Oblicz lim ( ). 9) Oblicz lim ( 7 9). 0) Oblicz lim si( ). ) * Wyzcz szóste przybliżeie. ) *Wyzcz przybliżeie 7 z dokłdością 0,0. ) *Wyzcz przybliżeie liczby e z dokłdością 0,00. 4) Wyzcz jwiększą trzycyfrową liczbę Fibocciego. ) Wyzcz jmiejszą trzycyfrową liczbę Fibocciego, któr jest liczbą pierwszą. 6) *Oblicz z pomocą smych dodwń. 7) Podj przykłd ciągu mlejącego, którego gricą jest liczb. 8) Podj przykłd ciągu rosącego, którego gricą jest liczb -6. 9) Podj przykłd ciągu ogriczoego, który jest rozbieży. 0) Podj przykłd ciągu, który jest jedocześie rytmetyczy i geometryczy. ) Udowodij z defiicji gricy, iż ciąg stły zwsze jest zbieży. ) Zstosuj tw. o trzech ciągch w przypdku ciągu ) Zstosuj tw. o trzech ciągch w przypdku ciągu 6 8. 0. 9 4.
4 4) lim 9? ) lim ( 0.9)? 6) lim ( 9 9 ) =? 7) lim ( 4 9 6 ) =? 8) *Czy ciąg mlejący może dążyć do? Uzsdij odpowiedź. 9) *Czy ciąg rosący może dążyć do? Uzsdij odpowiedź. 40) *Czy ciąg ieogriczoy może mieć skończoą gricę? 4) lim 4) lim 8? 9? 4 4) lim ( ) =? 44) lim ( 4 9 6 9) =? Odpowiedzi ) Ciąg mlejący o wrtościch z przedziłu (0;]. ) Ciąg mlejący o wrtościch z przedziłu (0;]. ) 9,. 4) q. 7 ) Dl dowolego > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m: g dl i g = 0. g 0 4, m.
46 Czyli 4 m i m : g. 6) Dl dowolego > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m: g dl i g = 0. g 0, m. Czyli m i m : g. 99 7) 0,(). 9) Dl dowolego s > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m : s. s ; s m ; m s. Czyli m s orz m s :. 0) Dl dowolego s > 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m : s. s ; log s m. Czyli log s orz m : s. m ) Dl dowolego s < 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m : s. s ; ( s) m ; m ( s). Czyli m ( s) orz m : s. ) Dl dowolego s < 0 zlezioy zostie ideks m tki, by m : s. s ; s m. Czyli m s orz m s :. ). 4). ). 6) 0. 7) e 7. 8) 9 e 8. 9) 0. 0). 4) 987.
47 ). 7) 89. 8) 689 6. 9) 0). ) Dl dowolego > 0 : g 0 ) (.. ) 8. 9 ) 4. 4). ) 0. 6) 0. 7). 8) Nie. 9) Nie. 40) Nie. 4). 4 4). 4). 44).