Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0 i piszemy lim f(x) = g lub f(x) x x 0 g x x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy n xn x 0 lim f(x n ) = g x n x 0 dla każdego ciągu (x n) zbieżnego do punktu x 0 odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(x n)) jest zbieżny do liczby g XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 2 / 21
Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Cauchyego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0 i piszemy lim f(x) = g lub f(x) x x 0 g wtedy i tylko wtedy, gdy x x 0 ε>0 δ > 0 x x0 x x 0 < δ f(x) g < ε dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla wszystkich x x 0 spełniających nierówność x x 0 < δ zachodzi nierówność f(x) g < ε XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 3 / 21
Granica funkcji Definicje Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą (lub ) lim f(x) = (lub ), f(x) x x 0 (lub ) x x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wg Heinego xn n x 0 lim f(x n ) = ( ) x n x 0 dla każdego ciągu (x n) zbieżnego do x 0, ciąg (f(x n)) jest rozbieżny do ( ) wg Cauchy ego M>0 δ>0 x x0 x x 0 < δ f(x) > M (lub f(x) < M) dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla wszystkich x x 0 spełniających nierówność x x 0 < δ zachodzi nierówność f(x) > M (lub f(x) < M) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 4 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 ( ) f(x) lim = lim x x 0 f(x), o ile lim g(x) 0 x x 0 g(x) lim x x0 g(x) x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 ( ) f(x) lim = lim x x 0 f(x), o ile lim g(x) 0 x x 0 g(x) lim x x0 g(x) x x 0 ( lim (f(x)) g(x) = x x 0 lim f(x) x x 0 ) limx x0 g(x) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 ( ) f(x) lim = lim x x 0 f(x), o ile lim g(x) 0 x x 0 g(x) lim x x0 g(x) x x 0 ( lim (f(x)) g(x) = x x 0 lim f(x) x x 0 ) limx x0 g(x) Jeżeli lim x x 0 f(x) = y 0 i lim y y 0 h(y) = q to lim x x 0 h(f(x)) = q XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic - tak praktycznie 1 Skorzystaj z def. Heinego, czyli najpierw podstaw x = x 0 z nadzieją, że wyjdzie liczba (lub ± ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 6 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic - tak praktycznie 1 Skorzystaj z def. Heinego, czyli najpierw podstaw x = x 0 z nadzieją, że wyjdzie liczba (lub ± ) 2 A co jeżeli wyjdzie symbol nieoznaczony? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 6 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic - tak praktycznie 1 Skorzystaj z def. Heinego, czyli najpierw podstaw x = x 0 z nadzieją, że wyjdzie liczba (lub ± ) 2 A co jeżeli wyjdzie symbol nieoznaczony? uprość wyrażenie wykorzystaj jedną ze znanych granic sin x lim = 1, lim x 0 x (1 + x) 1 a x 1 x = e, lim = ln a x 0 x 0 x użyj twierdzenia o trzech funkcjach XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 6 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Twierdzenie o dwóch policjantach i pijaku Jeżeli funkcje f, g i h są takie, że f(x) g(x) h(x) dla x w sąsiedztwie x 0 oraz lim f(x) = lim h(x) = g x x 0 x x 0 to lim g(x) = g x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 7 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Twierdzenie o dwóch policjantach i pijaku Jeżeli funkcje f, g i h są takie, że f(x) g(x) h(x) dla x w sąsiedztwie x 0 oraz lim f(x) = lim h(x) = g x x 0 x x 0 to lim g(x) = g x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 7 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Granice w nieskończoności Definicje w skrócie (reszta słów jest w książkach) granica właściwa dla każdego ciągu x n (x n ), f(x n ) L ( ) lim f(x) = L x lim f(x) = L x Prostą y = L nazywamy asymptotą poziomą prawostronną (lewostronną). XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 8 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Granice w nieskończoności Definicje w skrócie (reszta słów jest w książkach) granica niewłaściwa dla każdego ciągu x n (x n ), f(x n ) ± ( ) lim f(x) = ± x lim f(x) = ± x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 9 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Asymptoty ukośne, y = ax + b asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna a = f(x) lim x ± x, b = lim [f(x) ax] x ± XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 10 / 21
Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic w nieskończoności Postępujemy tak jak przy obliczaniu granic ciągów Redukujemy (dzielimy przez) największe wyrazy licznika i mianownika Korzystamy z tw. o trzech i dwóch ciągach Korzystamy ze znanych granic ( 1 + x) 1 x = e lim x Twierdzenie: Iloczyn funkcji zbieżnej do zera i funkcji ograniczonej jest funkcją zbieżną do zera. Uwaga na granice w XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 11 / 21
Granice jednostronne funkcji Granice jednostronne funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 12 / 21
Granice jednostronne funkcji Definicje granicy Granice jednostronne XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 13 / 21
Granice jednostronne funkcji Definicje granicy Granice jednostronne Definicje wg Heinego w skrócie granica lewostronna w pkcie x 0 dla każdego ciągu x n x 0 ciąg f(x n ) g ( lub ) lim f(x) = g ( lub ) x x 0 granica prawostronna w pkcie x 0 dla każdego ciągu x n x + 0 ciąg f(x n) g ( lub ) lim f(x) = g ( lub ) x x + 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 13 / 21
Granice jednostronne funkcji Przykłady Związek pomiędzy granicami Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy lim f(x) = g lim f(x) = g i lim f(x) = g x x 0 x x + 0 x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 14 / 21
Granice jednostronne funkcji Przykłady Związek pomiędzy granicami Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy Przykład lim f(x) = g lim f(x) = g i lim f(x) = g x x 0 x x + 0 x x 0 lim f(x) = x 1 + lim f(x) = x 1 lim f(x) = x 1 f(1) = lim f(x) = x 3 + lim f(x) = x 3 lim f(x) = x 3 f(3) = XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 14 / 21
Granice jednostronne funkcji Przykłady Czy granica jednostronna zawsze istnieje? lim cos 1 x 0 + x =? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 15 / 21
Granice jednostronne funkcji Przykłady Czy granica jednostronna zawsze istnieje? lim cos 1 x 0 + x =? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 15 / 21
Granice jednostronne funkcji Asymptota pionowa Jeżeli granica jednostronna jest niewłaściwa... Asymptoty pionowe, x = x 0 asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x 0 asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x + 0 aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 16 / 21
Ciągłość funkcji Ciągłość funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 17 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Ciągłość funkcji w punkcie Definicja Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu x 0. Funkcja jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Inaczej mówimy, że funkcja jest nieciągła w punkcie x 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 18 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Ciągłość funkcji w punkcie Definicja Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu x 0. Funkcja jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Inaczej mówimy, że funkcja jest nieciągła w punkcie x 0. Jeżeli funkcja jest określona tylko w lewostronnym (lub prawostronnym) otoczeniu punktu x 0, wówczas mówimy o ciągłości lewo i prawostronnej. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 18 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : f(2) = 3 lim x 2 f(x) = 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : f(2) = 3 lim x 2 f(x) = 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 Rodzaje punktów nieciągłości XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 Rodzaje punktów nieciągłości x = 2, x = 3 : pierwszego rodzaju, XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 Rodzaje punktów nieciągłości x = 2, x = 3 : pierwszego rodzaju, x = 5 : drugiego rodzaju XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Jeżeli f i g są ciągłe w punkcie x 0, to następujące funkcje są ciągłe w x 0. f ± g c f f g f g, o ile g(x 0) 0 f n/m, f(x 0 ) 0 dla m parzyst. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 20 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Jeżeli f i g są ciągłe w punkcie x 0, to następujące funkcje są ciągłe w x 0. f ± g c f f g f g, o ile g(x 0) 0 f n/m, f(x 0 ) 0 dla m parzyst. Jeżeli g is jest ciągła w x 0 i f jest ciągła w g(x 0 ), to funkcja złożona (f g)(x) = f(g(x)) jest ciągła w x 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 20 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła w dziedzinie jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła w dziedzinie jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Funkcje ciągłe w swoich dziedzinach wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, pierwiastkowe, trygonometryczne, cyklometryczne, wykładnicze, logarytmiczne XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła w dziedzinie jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Funkcje ciągłe w swoich dziedzinach wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, pierwiastkowe, trygonometryczne, cyklometryczne, wykładnicze, logarytmiczne Ciągłość funkcji odwrotnej Jeżeli f jest ciągła i rosnąca (lub malejąca) w przedziale A R to funkcja odwrotna f 1 (A) jest ciągła i rosnąca (lub malejąca) w przedziale f(a). XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21