ZESZYTY NAOWE AADEMII MAYNAI WOJENNEJ O LI N 3 (94) 03 Edta Ładżńska-odraś Politechnika Warsaska Wdiał Mechatroniki, Insttut Mikromechaniki i Fotoniki 0-55 Warsaa, ul. ś. A. Boboli 8 e-mail: edtalad@pocta.onet.pl DO I: 0.5604/0860889X/08698 Ó W N A N IA MAGGIEGO W M O D E LO WANI C TOPED Y N A P O WADZA N E J M E TO DĄ TÓJPNTOWĄ N A OĘT PODWODNY STESZCZENIE W artkule apreentoano modeloanie dnamiki ora smulację numercną kieroania pocisku torpedoego naproadanego metodą trójpunktoą na okręt pododn. Model matematcn opracoan ostał pr astosoaniu rónań Maggiego dla układó mechanicnch o ięach nieholonomicnch. Pokaano, jak stosując ogóln model matematcn steroanego obiektu i proadając praa steroania jako ię nieholonomicne, można steroać automatcnie pociskiem torpedom. Wproadone praa steroania stanoią iąki kinematcne uchbó, to nac różnic międ parametrami adanmi i realioanmi ruchu torped. Otrmane praa steroania potraktoano jako ię nieholonomicne ogranicające ruch pocisku tak, ab spełniał on żądan maner steroan. Ziąki kinematcne i krteria naproadania stanoią koordnację ruchu steroanej torped. Preproadona smulacja numercna potierdiła popraność opracoanego modelu matematcnego. Słoa klucoe: modeloanie, smulacja, rónania Maggiego, model matematcn, torpeda, okręt pododn, metoda trójpunktoa. WSTĘP Badania teoretcne stanoią niebędn element procesie ponaania i modeloania jaisk ficnch. Według A. Einsteina []: umsł ludki musi 0
Edta Ładżńska-odraś najpier samodielnie budoać poscególne form, anim dołam je krć śiecie rec ( ) samej empirii nie doła kitnąć ponanie, lec jednie konfrontacji tego, co mślim, tm, co aobserujem. Teoria i dośiadcenie są doma elementami niebędnmi do retelnego i kompletnego ponania ora anali otacającego nas śiata. Poinn one e sobą spółpracoać i uupełniać się ajemnie. Teoria umożliia jaśnienie jaisk obseroanch dośiadcalnie, a pre to poala nakreślać schemat kolejnch ekspermentó ora preidać ich niki i konsekencje. Podcas teoretcnch badań łaściości dnamicnch obiektu recą bardo istotną są łaście metod modeloania. Ab popranie budoać model ficn i odpoiadając mu model matematcn, należ nać nie tlko strukturę obiektu ficnego, ale rónież strukturę sstemu, którego elementem jest ten obiekt. Następnie badania sproadają się do anali utoronego modelu matematcnego, najcęściej popre badania numercne. ażda smulacja numercna jest potaralna, dięki cemu na jej podstaie można preanalioać różne możlie stuacje, naet te ekstremalne, które normalnch arunkach są niejednokrotnie trudne do badania. W artkule apreentoano model matematcn pocisku torpedoego naproadanego metodą trech punktó, która jest jedną metod stosoanch sstemach kieroania dalnego (automatcnch lub półautomatcnch) []. Metoda trech punktó charakteruje się tm, że procesie naproadania określane jest położenie prestreni trech punktó: punktu naproadania, pocisku i celu. Wię na ruch pocisku są nakładane pośrednio popre poiąanie ruchu linii naconej popre punkt naproadania i cel (t. linii obseracji celu LOC) ruchem pocisku. Dąż się pr tm do tego, ab pocisk podcas naproadania stale najdoał się na LOC. Opracoane kinematcne rónania ięó automatcnie steroanego pocisku torpedoego ostał poiąane artkule popre astosoanie rónań Maggiego [3, 5] rónaniami dnamiki torped. ónania te proadono układie odniesienia O stno iąanm okrętem-baą, którego ostał strelon pocisk torpedo. Założono, że steroanie ruchem pocisku torpedoego odba się sposób automatcn a pomocą chlenia poierchni steroch steru kierunku i steru sokości odpoiednio o kąt δ i δ. Praa 0 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped steroania stanoią kinematcne iąki uchbó adanch i realioanch parametró ruchu, stabiliując ruch pocisku torpedoego na adanej trajektorii. MODEL FIZYCZNY ŁAD OTOCZENIE TOPEDA STEOWANIE opatrono pocisk torpedo naproadan okrętu-ba metodą trech punktó na manerując okręt pododn. Model ficn układu sformułoano następując sposób: torpedę potraktoano jak brłę nieodkstałcalną stną, o seściu stopniach sobod, całkoicie anuroną odie; steroanie pocisku torpedoego odba się popre chlenie steró kierunku i głębokości uględnieniem giroskopoego sstemu stabiliującego; odie nie stępują żadne prąd lub ir i ma ona sędie jednakoą gęstość; ałożono istnienie potencjału prędkości dla ciec; astosoano hdrodnamikę quasi-stacjonarną; siłami diałającmi na pocisk torpedo są sił hdrodnamicne, graitacjne g, pornościoe W ora sił od napędu T i od steroania δ. s.. Prjęte układ odniesienia, prędkości linioe i kątoe pocisku torpedoego Źródło: opracoanie łasne. 3 (94) 03 03
Edta Ładżńska-odraś ZWIĄZI INEMATYCZNE ZACODZĄCE MIĘDZY TOPEDĄ A CELEM W FAZIE NAPOWADZANIA Naproadanie pocisku torpedoego odba się okrętu-ba pr astosoaniu metod trech punktó, dlatego też prjęto inercjaln układ odniesienia O jako układ podstao i nacono nim iąki kinematcne ora rónania ruchu badanego obiektu. W prpadku metod trójpunktoch arunkiem trafienia pocisku cel jest dążenie do utrmania steroanego obiektu (punkt O) na linii obseracji celu (LOC), będącej linią łącącą punkt kieroania (punkt O ) celem, do spotkania którego steroan obiekt dąż (punkt O C ) (rs..). Pθ 0 sinγ P η P C O Pr γ γ P P γ P 0 Pε C sinγ C Cθ η C Cε γ C O C Cr 0 0 sinγ P Pθ γ P Pr C Pε O. ε θ O ε. θ ε Źródło: opracoanie łasne. s.. trmanie pocisku torpedoego na LOC 04 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped Warunek osiągalności celu tm prpadku jest następując: cos γ C 0 > C, () cos γ P gdie: γ C, γ P kąt określające położenie ektora prędkości odpoiednio celu i pocisku torpedoego ględem LOC. Prjęta metoda naproadania musa istnienie ięó nałożonch na ruch torped popre poiąanie jej ruchu ruchem linii naconej pre punkt naproadania i cel. W ten sposób prędkości kątoe pochlania i odchlania LOC stanoią musenie kinematcne dla ruchu steroanego pocisku torpedoego [5, 6]: & ε = r C C θ& = r C C sin γ C cos η cos θ sin γ C sin η C C. () ónania położenia LOC nacono ależności trgonometrcnch na podstaie rsunku. Wnikają one chiloego położenia celu [5, 6]: ε = arctg C C θ = arcsin r C C. (3) Stanoią one podstaę do nacenia parametró adanch pocisku torpedoego, uależnionch ten sposób od ruchó celu, na któr naproadana jest torpeda. PAAMETY ZADANE I EALIZOWANE W POCESIE NAPOWADZANIA POCIS TOPEDOWEGO Parametr adane pocisku torpedoego proadono globalnm układie odniesienia O, korstując ależności określające położenie () i prędkość (3) LOC, której ruch kulist ależn jest od maneró celu. 3 (94) 03 05
Edta Ładżńska-odraś Wektor adanego położenia torped: r = i j k, (4) gdie: = r cosε = r sin ε (5) = r. Wektor adanej prędkości linioej torped pr idealnm naproadaniu: = i j W k = i j k r = & θ sin ε & θ cosε & ε t r cosε r sin ε r. (6) Wektor adanej prędkości kątoej torped: cosψ cosψ = sinψ cosψ sinψ Ω = P i j k = sinψ sinψ cosψ sinψ cosψ & θ sin ε & θ cosε. (7) & ε Parametr realioane pre pocisk torpedo opisują achoanie się obiektu ruchomego na tore podcas naproadania. Są to funkcje określające iąki międ położeniem ora prędkością linioą i kątoą badanego obiektu, które to ależności iąane są bepośrednio prjętm układem odniesienia. W układie globalnm O ektor chiloej prędkości linioej torped 0 raża się ależnością (rs. ): 0 = i j W k, (8) 06 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped gdie: = & = & (9) W = &. Składoe chiloej prędkości kątoej P,, są iąkami prędkości uogólnionch & φ, & θ, ψ& i funkcji trgonometrcnch spółrędnch uogólnionch φ, θ, ψ. Wrażają się następującmi ależnościami [5, 6]: P = 0 0 0 & φ & θ. (0) ψ& Zrot ektora prędkości prepłu ględem układu nieruchomego określają kąt natarcia α i śligu β, które definioano następując sposób [5, 6]: W kąt natarcia: α = arctan θ ; () kąt śligu: β = arcsin ψ. () 0 PAWA STEOWANIA TOPEDY Pr ałożeniu, że pocisk torpedo steroan jest dóch kanałach: pochlania pre chlenie steru głębokości δ i odchlania pre chlenie steru kierunku δ, praa steroania obiektu ruchomego predstaiono jako iąki uchbó międ parametrami realioanmi pre pocisk torpedo (jego położeniem, prędkością linioą i kątoą) i parametrami adanmi, nikającmi prjętej metod naproadania (parametr onacone indeksem ) [3, 5]. P r a o s t e r o a n i a k a n a l e p o c h l a n i a : T δ = ( ( ) ) ( θ ( θ θ ) δ 0 ) ( ) W ( W W ). (3) 3 (94) 03 07
Edta Ładżńska-odraś P r a o s t e r o a n i a k a n a l e o d c h l a n i a : gdie: i i T δ = ( ( ) ( ) ψ ( ψ ψ ) δ 0 ) ( ) spółcnniki mocnienia kanale pochlania; spółcnniki mocnienia kanale odchlania; T, T stałe casoe układu konacego steroania. ( ), (4) Otrmane praa steroania określają iąki międ chleniami steró głębokości ora kierunku a parametrami adanmi nikającmi naproadania i bieżącmi parametrami opisującmi achoanie się pojadu pododnego. Wstąpienie różnic międ parametrami realioanmi i adanmi naca chlenie steró głębokości δ i kierunku δ, co kolei pooduje mianę sił sterującch i porót steroanej torped na adan tor ruchu. Wnacone praa steroania stanoią da rónania ięó nieholonomicnch, ponieaż są one niecałkoalne (można je scałkoać dopiero ra rónaniami ruchu) ora nakładają ogranicenia na ruch obiektu. Ogranicenia te stanoą: bepośrednio prędkość kątoa LOC, a pośrednio położenie i prędkość celu, na któr naproadan jest pocisk torpedo. Wra rónaniami ruchu nacają one tor ruchu pocisku ora jego achoanie się na tore. MODEL DYNAMII POCIS TOPEDOWEGO WYOZYSTANIE ÓWNAŃ MAGGIEGO Zażs na fakt, iż pocisk torpedo naproadan jest układie inercjalnm O, a praa steroania (3), (4) potraktoano jako ię nieholonomice nałożone na ruch układu, dnamicne rónania ruchu proadono, posługując się rónaniami mechaniki analitcnej postaci rónań Maggiego [3, 5]. k σ = C iσ [ d dt T ( q& * σ T ) q * σ ] = k σ = C iσ σ σ =,..,k i =,.., l, (5) 08 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped gdie: k l b licba nieależnch spółrędnch uogólnionch; licba nieależnch prędkości uogólnionch; licba rónań ięó nieholonomicnch; T* energia kinetcna układu rażona quasi-prędkościach; σ C iσ q i / i sił uogólnione rażone quasi-spółrędnch; = & e& spółcnniki rónań Maggiego. Zachoanie się badanego modelu torped naproadanej na cel opisane jest seścioma nieależnmi spółrędnmi uogólnionmi (k = 6). Na prędkości uogólnione nałożone są da rónania ięó nieholonomicnch (b = ). Tak ięc cter prędkości uogólnione są nieależne, tn. istnieją cter charakterstki kinematcne, oparciu o które nacono cter rónania Maggiego silnie sprężone doma rónaniami ięó nieholonomicnch postaci pra steroania. Wektor sił i momentó sił enętrnch diałającch na pocisk torpedo ruchu prestrennm jest sumą oddiałań ośrodka, którm porusa się obiekt. Toron jest on pre sił graitacjne g, poru W, od napędu T, od steroania δ ora sił hdrodnamicne, którch składoe ropisano graitacjnm układie odniesienia O g g g W g T σ = 3 4 5 6 = δ. (6) Ponieaż torpeda porusa się środoisku o dużej lepkości, jej całkoitą * energię kinetcną potraktoano jako sumę energii kinetcnej brł stnej T b ora energii kinetcnej mas dołąconej T * d cąstecek ciec praianej ruch pre pocisk torpedo pod odą [4, 7] * * b * T d T = T, (7) pr cm, energia kinetcna cąstek ciec praionch ruch pre torpedę, traktoaną jako ciało osioosmetrcne, licona układie O g g g jest następująca: 3 (94) 03 09
Edta Ładżńska-odraś * T d = [ λ λ λ 66 35 & λ & λ33& λ (& 44 φ ψ& ) λ (& 55 θ ψ& ) (& θ ψ& ) ] λ6 & ( & θ ψ& ) & (& θ ψ& ), (8) gdie: λ ij spółcnniki mas dołąconej; miar spółcnnikó jest następując: λ, λ, λ33 [kg], 44, λ55, λ66 λ [kgm ], λ 6,λ35 [kgm]. Po podstaieniu do rónań Maggiego (5) różnickoanch ależności na energię kinetcną pocisku torpedoego (7) ora po uględnieniu osioej smetrii badanego pocisku (geometrcnej, masoej, aerodnamicnej), a także ależności na sił enętrne otrmano rónania ruchu torped, które stanoią poiąanie cterech rónań Maggiego silnie sprężonch doma rónaniami ięó nieholonomicnch, dając sumie układ seściu rónań różnickoch cajnch seścioma nieiadommi funkcjami casu,,, φ, θ, ψ: ó n a n i e r u c h ó p o d ł użn c h ( m λ ) & ( )[( J λ W& ) [( J λ44 ) P ( J λ55 ) cos ( S λ )( W sin φ )] 6 55 ) & ( S φ] ( λ 6 cos θ ) & sin φ )[ ( J λ44) P& [( J λ44) sin θ (9) cosψ cosψ ( J λ55 ) cos θ ) & ( S λ6 )( & W& ( ) 5 ( cosψ )] = ) cosψ 6 0 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped ó n a n i e p r e m i e s c eń bocnch ( m λ ) & ( S ( S ( J ( S λ ) W& 6 [( J λ ) P ( S 55 )[ ( J cosψ 6 λ )( & & 6 ) 55 λ ) ( J 6 55 λ ) P& [( J λ ) cos λ )( & W& )] = 55 66 [( J φ) λ )sin θ ( J cos θ λ )( W )] ó n a n i e p r e m i e s c eń pionoc h ( J W ( m λ ) W& ( S ( S 33 λ6 )( & & ) λ6)( & W& (( λ ) P ( S 44 [ ( J cosψ 44 J λ ) ( J 44 W 66 λ ) & 66 λ )cos θ ) & 5 [( J λ )) 55 cosθ λ )( W )] 6 44 55 cosψ λ ) & 55 (0) P & ) sin [( J )sin ( J )cos ] & () λ θ λ θ λ θ W W ( S λ6 )( & W& )] = 3 5 cosψ Z i n t e g r o a n e r ó n a n i e m o m e n t ó 6 6 ( J ( S λ 44 λ )( P& & sin θ ) ( S 6 )( W sin φ W ) = λ 6 )( sin φ ) 4 () P r a o s t e r o a n i a k a n a l e p o c h l a n i a ( W T δ = ) ( W W ) ( ) θ ( θ θ ) (3) P r a o s t e r o a n i a k a n a l e o d c h l a n i a ( T δ = ) ( ) ( ) ψ ( ψ ψ ) (4) 3 (94) 03
Edta Ładżńska-odraś skane rónania po dołąceniu iąkó kinematcnch (8) (), iąkó naproadania () (3) ora parametró adanch (4) (7) stanoią podstaę do dalsch badań łaściości dnamicnch pocisku torpedoego i pełnej smulacji jego ruchu. SYMLACJA NMEYCZNA NAPOWADZANIA TOPEDY NA CEL Stosując predstaione pożej dnamicne rónania ruchu, preproadono smulację numercną obraującą popraność opracoanego modelu matematcnego na prkładie torped kalibru 553 mm (fot..), której model ostał konan arstatach Wdiału Mechanicnego Energetki i Lotnicta Politechniki Warsaskiej [7]. onstrukcja modelu poala na mianę cęści dioboej ora steró i statecnikó torped. Preproadono badania tunelu aerodnamicnm, gdie mierono sił diałające na torpedę, a następnie nacono bemiaroe spółcnniki sił nośnej, oporu i momentu pochlającego [4, 7]. Ponieaż spółcnniki są bemiaroe, mogą bć astosoane nieależnie od środoiska, jakim porusa się torpeda. Źródło: fot. E. Ładżńska-odraś. Fot.. Model torped stosoanej badaniach Współcnniki mas prłąconej dla omaianej torped nacono prac [7]. Wnosą one odpoiednio: λ = 6 kg, λ = λ 33 = 334,6 kg, λ 44 = 470,6 kgm, λ 55 = λ 66 = 7367,6 kgm, λ 6 = λ 35 = 600 kgm. Prjęto, iż stałe casoe układu konacego steroania róne są jedności, natomiast spółcnniki mocnień praach steroania (3), (4) dobrano, stosując całkoe krterium jakości steroania: Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped J i t k = ( X i X i ) dt, (5) 0 gdie: X i, X i odpoiednio recist i ałożon prebieg i-tej miennej ależnej od casu. Otrmujem ócas następujące artości: = 0,0006 =,7 θ = 0,0004 = 3,8 = 0,005 = 0,0005 W = 0,0003 = 0,0004 = 0,0004 = 0,00054 = 3,5 ψ = 3, Zasmuloano prestrenn atak torped na anuron na głębokość ględną 40-metro okręt pododn, któr chili oddania strału najduje się odległości 400 metró i porusa się prędkością 0 ęłó. sunki 3 4 obraują trajektorię pocisku torpedoego rutoaną odpoiednio na płascnę poiomą i pionoą. Źródło: opracoanie łasne. s. 3. Odchlenie bocne torped naproadanej na cel 3 (94) 03 3
Edta Ładżńska-odraś Źródło: opracoanie łasne. s. 4. Zanurenie naproadanej na cel torped Źródło: opracoanie łasne. s. 5. ąt chlenia steru anurenia funkcji casu 4 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped Źródło: opracoanie łasne. s. 6. ąt chlenia steru kierunku funkcji casu Na predstaionch kresach (rs. 3 6) idać, że torpeda ara po opusceniu rutni okrętu pododnego ropocna namieranie manerującego celu. Proces naproadania prebiega praidłoo. Drgania torped są sbko tłumiane pre układ steroania i już pocątkoej faie następuje stabiliacja jej ruchu. Pre cał cas pocisk torpedo utrmuje parametr adane nikające prjętego naproadania metodą trech punktó. Steroanie jest precjne. Po upłie 48 s cel ostaje osiągnięt. Otrmane niki smulacjne śiadcą o popraności opracoanego modelu matematcnego. uch torped prebiega sposób praidło. trmuje ona parametr nikające prjętej metod naproadania. WNIOSI Stosując praa steroania jako kinematcne iąki uchbó od adanch parametró steroania idealnego, iąano praa steroania dnamicnmi rónaniami ruchu automatcnie steroanego obiektu. Zastosoanie rónań Maggiego dla mechanicnch układó o ięach nieholonomicnch pooliło na proadenie noego podejścia pr opracoaniu modelu dnamiki ruchu pocisku torpedoego, któr pracach innch autoró [7, 8] traktoan bł jako obiekt ięami holonomicnmi. 3 (94) 03 5
Edta Ładżńska-odraś Opracoan model matematcn pocisku torpedoego aierając sprężenie dnamiki steroanego obiektu nałożonm naproadaniem cechuje się uniersalnością i może ostać prost sposób aadaptoan dla doolnego obiektu naproadanego aróno środoisku odnm, jak i po rugoaniu spółcnnikó mas od prłąconej poietrnm. BIBLIOGAFIA [] Einstein A., Mój obra śiata, Wd. M. Fruchtmana, Warsaa 935. [] Ilustroan lekskon lotnic ubrojenie, Wdanicto omunikacji i Łącności, Warsaa 99. [3] Ładżńska-odraś E., Application of the Maggi equations to mathematical modeling of a robotic underater vehicle as an object ith superimposed non-holonomic constraints treated as control las, Solid State Phenomena Mechatronics Sstems, Mechanics and Materials, 0, ol. 80, pp. 5 59. [4] Ładżńska-odraś E., Marniak J., Modeloanie dnamiki torped lotnicch po rucie samolotu, [:] ieroanie ogniem sstemó obron poietrnej (precilotnicej), red. J. W. obierski, Gdnia 00, s. 37 5. [5] Ładżńska-odraś E., Modeloanie i smulacja numercna ruchomch obiektó mechanicnch skrępoanch ięami nieholonomicnmi postaci pra steroania, Prace naukoe: Mechanika,. 37, Oficna Wdanica Politechniki Warsaskiej, Warsaa 0. [6] Ładżńska-odraś E., The control las having a form of kinematic relations beteen deviations in the automatic control of a fling object, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 009, 47,, pp. 363 38. [7] Marniak J., Oskroba B., Zagadnienia modeloania matematcnego dnamiki ruchu torped, Smpojum Wojskoej Techniki Morskiej, t., OB Centrum Techniki Morskiej, Gdnia 995. [8] Żak B., itoski Z., The control of motion of unmanned underater vehicle operated near to the bottom sea, Proceedings of the 9th WSEAS International Conference on Sstems, Publisher World Scientific and Engineering Academ and Societ (WSEAS), 005. 6 Zest Naukoe AMW
ónania Maggiego modeloaniu ruchu torped APPLICATION OF MAGGI EATIONS TO TAFFIC MODELING OF TOPEDO GIDED WIT TEE-POINT METOD TO SBMAIME ABSTACT The paper presents the modeling and numerical simulation of the dnamics of a guided torpedo. A mathematical model as developed using the Maggi equations for mechanical sstems ith non-holonomic constraints. A relativel simple method for automatic control as presented based on introducing the control las into a general model of an object. The paper shos ho, using general mathematical model of the object guided and introducing control las as nonholonomic constraints, a torpedo can be automaticall guided. The control las introduced constitute he constitute kinematic relations, i.e. differences beteen parameters set and realied in torpedo s motion. The resulting control las ere treated as non-holonomic constraints of the torpedo motion so that it eecuted the controlled maneuver epected. inematic relations combined ith homing criteria represent the coordination of movement of the automaticall guided torpedo. A numerical simulation proved the correctness of the mathematical model developed. eords: modeling, simulation, Maggi equations, mathematical model, torpedo, submarine, three-point method. 3 (94) 03 7