2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias

Podobne dokumenty
FUNKCJE LICZBOWE. x 1

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania

Funkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.

Indukcja matematyczna

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

Udowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

POZIOM ROZSZERZONY 4 CZERWCA (x 3) 2. Sposób I. x 6.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI

1. Równania i nierówności liniowe

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

Wersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wielomiany podstawowe wiadomości

ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

Zestaw zawiera zadania z wcześniejszych diagnoz. Zadania zaczerpnięto z dostępnych zbiorów zadao różnych wydawnictw oraz arkuszy maturalnych CKE.

= (3x 2)(2x 3). Sta d wnioskujemy, że 6x 3 x 2 20x + 12 = =(x + 2)(3x 2)(2x 3), co kończy zadanie.

1 + c. : c(1+c) b. b c 1+c. ab, b) a, b > 0 ( 1 a + 1 b

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Geometria analityczna

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

Dziedziny Euklidesowe

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:

Promieniowanie cia la doskonale czarnego

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1

Grupy i cia la, liczby zespolone

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

Liczby zespolone. Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona

Funkcja wyk ladnicza, logarytmy, sinus i kosinus

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Transkrypt:

Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a ) a + c = a ( + a ) + c = a ( [ + a ) c przed ( ] a + a ) *, gdzie = c na wspólna ========== kreske ====== nawias zwane jest wyróżnikiem wielomianu kwadratowego. Przyk ladowo + 4 + 3 = ( + ), tu a =, = 4, c = 3. Nie zastosowaliśmy żadnych wzorów widocznych wyżej. Po prostu od razu widzimy, że ( + ) = + 4 + 4, wie c wyrażenie to różni sie od wielomianu + 4 + 3 o. Analogicznie +7+ = ( ) + 7 4 49 6 + = ( ) + 7 4 49 8 8 = ( ) + 7 4 4 8. Z otrzymanego wzoru wynika od razu, że najmniejsza wartościa wyrażenia +7+ = ( + 4) 7 4 8 jest licza 4 8 otrzymana dla = 7 4, owiem ( + 4) 7 0, przy czym ta nierówność staje sie równościa jedynie, gdy = 7, o kwadraty 4 licz rzeczywistych różnych od 0 sa dodatnie, a 0 = 0. Jasne jest również, że jeśli = 7 4 + u i ˆ = 7 4 u, to + 7 + = u 4 8 = ( u) 4 8 = ˆ + 7ˆ +. Innymi s lowy: niezależnie od tego, czy odsuniemy sie of liczy 7 o u w prawo, czy 4 też w lewo, wartość wyrażenia + 7 + e dzie taka sama. Oznacza to, że prosta = 7 4 jest osia symetrii funkcji + 7 +. Jasne jest, że w laśnie przeprowadzone rozumowanie daje sie zastosować w sytuacji ogólnej. Funkcja a + + z = a[ ( ] + a ) przyjmuje te sama wartość dla = a + u i dla ˆ = a u, co oznacza, że prosta o równaniu = a osia symetrii wykresu tej funkcji kwadratowej. Oczywiście najmniejsza wartościa wyrażenia ( + a ) która otrzymujemy przyjmuja c = a. jest jest licza, Sta d wynika od razu, że jeśli a > 0, to najmniejsza wartościa wyrażenia [ ( ] a + + c = a + a ) jest licza a =. Ponieważ mnożenie przez liczy ujemne zmienia kierunek nierówności, wie c w przypadku a < 0 licza ( ] jest najwie ksza wartościa wyrażenia a + + c = a[ + a ). ( ] Jasne jest również, że wyrażenie a + + c = a[ + a ) jest dodatnie zawsze jeśli a > 0 i < 0, zawsze ujemne, jeśli a < 0 i < 0. W przypadku * Zapisaliśmy wielomian kwadratowy w postaci kanonicznej.

= 0 wyrażenie ma ten sam znak we wszystkich punktach z wyja tkiem = a, o w tym jednym punkcie jego wartościa jest licza 0. Jeśli > 0, to w punktach = + a, = a, symetrycznych wzgle dem =, wartościa funkcji jest 0. Jeśli dodatkowo za lożymy, że a > 0, a to e dziemy mogli stwierdzić, że jeśli [ + ( ] a < a, to a + + c = a + a ) < 0, jeśli [ + ( ] a > a, to a + + c = a + a ) > 0. tak: Jest nieomal oczywiste, że w przypadku a < 0 odpowiedni wniosek wygla da jeśli [ + ( a < a, to a + + c = a + jeśli [ + ( a > a, to a + + c = a + a ) a ) ] > 0, ] < 0. Za lóżmy, że a 0 oraz że a + + c = 0. Wtedy dla dowolnej liczy zachodzi równość a + + c = a + + c ( a + + c ) = a( )( + ) + ( ) = = ( ) [ a( + ) + ] = a( ) [ + + a]. Przyjmijmy = a. Wtedy a + + c = a( )( ). Okazuje sie wie c, że znaja c jeden pierwiastek wielomianu kwadratowego możemy natychmiast znaleźć drugi. Otrzymaliśmy też znany wzór + = a, zwany na ogó l wzorem Viète a. Drugi otrzymujemy zaste puja c we wzorze a + + c = a( )( ) zmienna przez licze 0 : c = a( )( ) = a, czyli = c a. Otrzymaliśmy wzory Viète a nie korzystaja c z wzorów na pierwiastki równania kwadratowego a + + c = 0, choć oczywiście mogliśmy ich użyć. Jednak wyprowadzenie, które pokazaliśmy, dzia la również w przypadku równań wyższego stopnia, a wzory na pierwiastki równania trzeciego oraz czwartego stopnia sa na tyle skomplikowane, że praktycznie nie używane. Wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni w ogóle nie ma, udowodniono na prze lomie XVIII i XIX wieku, że nie istnieja wzory na pierwiastki równania stopnia 5 i wyższych. Można ez trudu udowodnić, że liczy, sa pierwiastkami równania kwadratowego a + + c = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy + = a wyżej udowodniliśmy jedynie wynikanie w jedna strone. i = c a Troche zadań do domu i na ćwiczenia Niektórzy studenci moga różnych rzeczy ze szko ly nie pamie tać z różnych przyczyn. Wiele poniższych zadań nie jest przeznaczonych na ćwiczenia. Umieszczone zosta ly po to, y studenci, którzy maja raki wiedzieli z czym musza soie umieć

poradzić. Należy próować rozwia zywać zadania w domu, a jeśli sie nie uda pytać na konsultacjach. 3. 0 Olicz: a) 4% liczy 58, ) 3 % liczy 30 4, c) 5% liczy 45, d) 04,5% liczy 5 000, e) 0,5% liczy 0, f) a % liczy. 3. 0 Bez wykonywania oliczeń wyjaśnić, która z dwu licz jest wie ksza a) 5 + 6 3 czy 6 3 + 5 3 ) 7 3 3 7 czy 4 6 7 c) 5 5 6 czy 5 3 5 d) 3 7 : ( 5 ) czy 3 7 : ( 5 ) 3. 03 Wykonać oliczenia używaja c jedynie g lowy w lasnej, kartki i o lówka (dwa ostatnie elementy nie sa konieczne, kalkulatory oraz komputery sa chwilowo zakazane) a) 5 3 0 49 9 3,65 + 8 : 7 5 : 0,048 9,8 + 0,65 : 0,75 (,,965) : (, 0,045) ) : 4 0,0035 : 0,03 3 5 5 8 (,4 0,5 c) 5 ( 0,0(6) +, ) ) :,(6) 0,75 0,03 : 00 3. 04 Znaleźć: : 85 00 + 47 9 7 a) licze, której 5% wynosi 4, ) licze, której 0,% wynosi 5, c) licze, której 8% wynosi 5, d) licze, której p % wynosi a. 3. 05 Jakim procentem liczy a jest licza, gdy: a) a = 4, = ; ) a = 5, = 50 ; c) a = 0,5, = 0,75. 3. 06 Zmieszano kg stopu o zawartości 5% miedzi i 3 kg stopu o zawartości 40% miedzi. Ile procent miedzi zawiera otrzymany stop? 3. 07 Zmieszano a kg stopu o zawartości p % miedzi i kg stopu o zawartości q % miedzi. Ile procent miedzi zawiera stop? 3. 08 Cene towaru oniżono o p %. Towar ten kosztuje oecnie a z l. Ile kosztowa l ten towar przed oniżka? 3. 09 Cene towaru oniżono najpierw o 0%, a naste pnie nowa cene podwyższono o 0%. Czy końcowa cena jest równa pocza tkowej? 3. 0 Mleko zawiera (wagowo) % śmietany, ze śmietany uzyskuje sie mas lo, którego waga równa jest 3% użytej śmietany. Ile kilogramów mleka trzea zużyć y otrzymać 483 kilogramy mas la? 3. Ile kilogramów wody należy dodać do 5 kilogramów 90 procentowego spirytusu, y otrzymać spirytus 60 procentowy? 3. W sadzie znajduje sie 860 drzew owocowych. Na każde 0 ja loni przypadaja 3 grusze i dwie śliwy. Licza wiśni to 33 3 % liczy ja loni, grusz i śliw razem wzie tych. Ile drzew każdego rodzaju rośnie w tym sadzie? 3

3. 3 Oliczyć wartość wyrażenia: +a+a +a a 3. 4 Oliczyć wartość wyrażenia: 3. 5 Uprościć: + ++ +, jeśli a = 3 ; = 3. (+y) ( y) 4y, jeśli =,7; y = 0,7. a) (a 3 c) 6 ( a c d) 4, ) (y ) ( 3 y 4 z 5 ) 3 : ( 3 yz) 3, c) ( 3a m+n m n c) : (,5a m n ), d) (8 p y n z n ) : ( 4 p y z n 4 ). 3. 6 Uprościć: a),5 [0,6 (3,5 + ) ( + 3)] + [0, ( 3,5) + ], ),4y +,y,6y [0,6y (,4,4y)] (,4y 6y)}, c),6,8y [, (y 0,6) +,4y] (,6 0,)}, d) 3[5y (7 4y)] 8y[3 (7y 5) + (6 y)], e) [4,8 0,6y(,6,4y)],y [3,6,6(0,8,4y) +,4y ], f) 3 [4 (3 3 4 y 3 )] [3 3 ( 3 7 8 3 y)] 4 5 y. 3. 7 Wymnożyć i zredukować wszystko, co sie da: a) (3 + ) + 5( ) 3( )( + ), ) 4(m + 3n) + 3(4m n) (m + n)(m n), c) (c + 5d)(c 5d) 6(d 5c) + 3(5c + d), d) [(3 + y) ( + 3y) ] y. 3. 8 Uprościć i oliczyć wartość otrzymanego wyrażenia: a) 3(m ) + (m + )(m m + 4) (m + ) 3 dla m = 3, ) (a ) 3 (a + )(a ) + 3(a )(a + a + ) dla a =, 3. 9 Wymnożyć i zredukować wyrazy podone: a) (a 3) 3 (a )(a + 4)(a + ), ) (a 3) 3 (a + 3)(a 3) + (3 a), c) ( )( 4 + + ) ( ) 3. 3. 0 Dla jakich licz (par licz) prawdziwe sa równości a) + 5 = + 5, ) y = y, c) y = 0, d) + =, e) 3 = 4, f) + + = 3. 3. Uprościć wyrażenia a) + +, gdy < < ), + + +, gdy <,3 c) + +, gdy <. 3. Z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że =. Korzystaja c z tego wzoru uprościć a) +, ) ( 5) +, a c) gdy 0, d) 6 + 9 +. 4

3. 3 Zapisać podane wyrażenia ez symolu wartości ezwzgle dnej a) m ;) m n, gdy m < n ;c) m n, gdy m > n ;d) m, gdy m < 0. 3. 4 a) Jakie wartości przyjmuje wyrażenie? ) Wykazać, że a = maa, a}. c) Wykazać, że ma a, } = (a + + a ). d) Wykazać, że mina, } = (a + a ). Definicja: maa, } oznacza wie ksza z licz a,, jeśli a =, to maa, } = a. Analogicznie mina, } oznacza mniejsza z licz a,. 3. 5 Do jakiego przedzia lu liczowego należy, jeśli a) 3 = 3, ) + =, c) 6 = 6, d) ( 4) = 4? 3. 6 Wy la czyć czynnik przed pierwiastek i zredukować a) 3 0 + 5 45 80, ) 0,5 50 + 0,8 7 0, 3, c) 3 + 363 3 9, gdy > 0, d) (0,5 4 3 40) ( 50 + 54 000). 3. 7 Pomnożyć a) ( 3 + )( 3 ), ) (3 5 6)( 6 5), c) (a )(a + ). 3. 8 Dane sa liczy i y. Znaleźć y, + y, y i y wyniki w postaci a + c, jeśli i przedstawić otrzymane a) = 3 + 3, y = 3 3 ; ) =, y = + ; c) = 5 7, y = 7 ; d) = 3 3, y = 3. 3. 9 Oliczyć a z równań a) (a + 3)(3 3) = 9 + 3 ; ) (3 a )( ) = ; c) ( 5)(a + 5) = + 5 ; d) (3 5)(3 + 5) = 4 + a 5. 3. 30 Wykazać, nie używaja c kalkulatora ani komputera, że 3,4 < + 3 < 3,6. 3. 3 Napisać równanie kwadratowe, którego pierwiastkami sa i, i, i 3, i 3, i +, 5 7 i 5 + 7, i 3, π i, i. 3. 3 Rozwia zać równanie kwadratowe sprowadzaja c je trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej + 3 + = 0, + 4 + 3 = 0, 4 + 3 = 0. + 3 + = 0, + 3 + 3 = 0, + 3 + 9 4 = 0, + 3 + = 0, + 3 = 0, + 3 9 8 = 0. 3. 33 Napisać wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji 5

y = 5 + 6 wzgle dem: a) osi, ) osi y, c) prostej =, d) prostej y =. 3. 34 Napisać wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji y = 4 wzgle dem: a) osi, ) osi y, c) punktu (0, 0), d) prostej y =. 3. 35 Jakie należy wykonać przesunie cie wykresu funkcji y =, ay otrzymać wykresy funkcji: a) y = 4, ) y = ( 3), c) y = ( + 3) 6, d) y = ( + ) 6, e) y = + 6, f) y = + 6 8? 3. 36 Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 4, ) y = 5 + 6, c) y = +, d) y =, e) y = 3 + +, f) y = + + +. 3. 37 Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 4 + 3, ) y = + 5 + 6, c) y = +, d) y = +, e) y = +, f) y = +, g) y = 4 4, h) y =, i) y = + +, j) y = 5 + 6. 3. 38 Znaleźć odleg lość punktu (, ) od prostej 3y + 5 = 0. 3. 39 Znaleźć odleg lość prostej y + 7 = 0 od prostej 4 y + 0 = 0. 3. 40 Znaleźć kosinus ka ta ostrego utworzonego przez proste 3y + = 0 i + 3y 5 = 0. 3. 4 Dla jakich m IR równanie ( m)9 +4 3 = m+ ma dwa różne rozwia zania rzeczywiste? 3. 4 Dla jakiej liczy rzeczywistej a 0} suma kwadratów pierwiastków równania a ( + a) + = 0 jest wie ksza niż? 3. 43 Niech A e dzie ziorem z lożonym ze wszystkich punktów, których odleg lość od punktu (, 4) jest równa ich odleg lości od prostej y = 4. Wykazać, że A jest wykresem funkcji kwadratowej (paraola ). Znaleźć wierzcho lek i oś symetrii tej paraoli. 3. 44 Dane sa równania 4p p = 0 i (k + ) + (k + 8) + = 0. a) Dla jakich p, k te równania maja pierwiastki rzeczywiste? ) Dla jakich p, k suma pierwiastków każdego z tych równań równa jest iloczynowi pierwiastków drugiego równania? 6

3. 45 Niech W () = 3 + (m 6) + (m 7). a) Dla jakich m IR pierwiastki wielomianu W tworza cia g arytmetyczny? ) Niech m e dzie najmniejsza z licz spe lniaja cych warunek z punktu a. Rozwia zać równanie; W () = = 3 + przyjmuja c, że to najwie ksza licza ca lkowita. 3. 46 Niech W () = m + m m +. a) Dla jakich m IR wielomian W ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest wie ksza od iloczynu? ) Niech m IR e dzie ta wartościa parametru m, dla której spe lniony jest warunek a. Naszkicować wykres funkcji g() = W (), przyjmuja c, że to najwie ksza licza ca lkowita. 3. 47 Dane jest równanie ( + m) log ( + 4) + ( m) log ( + 4) + m = 0. Dla jakich licz m IR pierwiastki tego równania sa ujemne? 3. 48 Rozwia zać 4 sin π 4 + 5 = 0. 3. 49 Rozwia zać równanie 3 + =. 3. 50 Rozwia zać równanie 4 + 9 + 5 + =. 3. 5 Rozwia zać równanie + + 4 = +. 3. 5 Rozwia zać równanie 5 5 5 + 5 = 4. 3. 53 Rozwia zać równanie 3 + 5 + = 3 + 7. 3. 54 Rozwia zać równanie 3 3 6 = 0. 3. 55 Rozwia zać równanie 3 =. 3. 56 Rozwia zać równanie + + + = 34. 3. 57 Rozwia zać równanie + 3 + = 3 4 + 3. 3. 58 Rozwia zać równanie + 3 = 9 + 4 9 +. 3. 59 Rozwia zać równanie 3 8 + 3 8 + = 3. 3. 60 Rozwia zać równanie 3 + + 3 + + 3 + 3 = 0. 3. 6 Rozwia zać równanie 3 + 5 + 8 3 + 5 + =. 3. 6 Rozwia zać równanie + = 4. 3. 63 Rozwia zać równanie + 4 49 + 4 49 = 4. 3. 64 Rozwia zać równanie + + = 4 3. 3. 65 Rozwia zać równanie + = 4 3. 3. 66 Rozwia zać równanie + = + 7 +.

3. 67 Rozwia zać uk lad uk lad równań 3. 68 Rozwia zać uk lad uk lad równań 3 +y y + 3 +y = 8 8 ; 3 y y 3 y = 8. + 3 y = 80; y + y 3 y = 5. y + y = 34 5 ; 3. 69 Rozwia zać uk lad uk lad równań ( ) + y(y + ) y = 7. 3. 70 Rozwia zać uk lady równań 3 a) y = 648; 8 3 y ) = 0y; = 43. = 5y. c) y = y ; 3 = y d) y+ = 7;. y 5 = 3. log ( + y) log e) 3 ( y) = ; logy ( y) = ; y f) =. log y ( + y) = 0. log +log y = ; g) log(+y) + y = 8. log( + y ) = log 3; h) log( + y) log( y) = 3 log. y = 40; i) log y = 4. k) 3 + y = 33; 3 log + log y = + log. 3 l) y = 77; 3 y = 7. log + log 4 y + log 4 z = ; n) log 3 y + log 9 z + log 9 = ; log 4 z + log 6 + log 6 y =. logy log j) y = 8 3 ; y = 6. 9 5 l) + 7 +y = 457; 6 5 4 +y = 890. log( y) log log(+y) = ; m) log log 3 log y log 7 =. log4 log o) y = 0; 5y + 4 = 0. 8