2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste 0 Procenty 4 FUNKCJE 9 Podstawowe pojęcia 4 argument, wartość funkcji 4 dziedzina funkcji miejsce zerowe funkcji wykres funkcji Różne sposoby określania funkcji 7 Przekształcenia wykresu funkcji 4 Zadania z kontekstem realistycznym 4 Zadania różne 4 Nibymatura po rozdziale 4 4 FUNKCJA LINIOWA FUNKCJA f () = a 47 Równania i nierówności liniowe Równania wymierne 0 Równanie prostej Układy równań liniowych Funkcja liniowa Funkcja f () = a Zadania z kontekstem realistycznym 7 zadania prowadzące do równań i układów równań liniowych 7 funkcja liniowa 9 Nibymatura po rozdziale 4 9 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcja kwadratowa Parabola 4 Równania i nierówności kwadratowe 70 Zadania z kontekstem realistycznym 7 Zadania optymalizacyjne 74 Zadania różne 74 Nibymatura po rozdziale 77 POTĘGI I LOGARYTMY 79 Działania na potęgach 8 Funkcja wykładnicza 84 Definicja logarytmu Obliczanie logarytmu 8 Twierdzenia o logarytmach 8 Zadania różne 87 Nibymatura po rozdziale 90 7 TRYGONOMETRIA 9 Definicje funkcji trygonometrycznych 94 Wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 0, 4, 0 9 Związki między funkcjami trygonometrycznymi 9 Zadania różne 99 Nibymatura po rozdziale 7 0

2 8 CIĄGI 0 Ciąg określony wzorem 09 Inne sposoby określania ciągu Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny 0 Ciąg arytmetyczny + ciąg geometryczny 4 Zadania różne Półmatura I 8 Półmatura II 0 9 ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA Odpowiedzi do zadań wprowadzających Odpowiedzi do zadań maturalnych

3 WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE CZĘŚĆ TEORETYCZNA WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b Np ( + ) = + + ( ) a b = (a + b)(a b) Np 7 = ( + 7)( 7) RODZAJE RÓWNAŃ Równania liniowe Równania kwadratowe Równania iloczynowe Równania wymierne Np =, ( + ) =, = Np =, + = 0, + = 0 Np ( + )( )( ) = 0, ( )( + ) = 0, ( )( + ) = 0 Np =, =, = + RODZAJE NIERÓWNOŚCI Nierówności liniowe Nierówności kwadratowe Np <, ( + ) >, Np <, + > 0, + 0 ROZWIĄZANIA RÓWNANIA KWADRATOWEGO a + b + c = 0 (a 0) Wyróżnik trójmianu kwadratowego a + b + c : = b 4ac b b+ Jeśli > 0, to równanie ma dwa rozwiązania = i = a a Jeśli = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie 0 = b a Jeśli < 0, to równanie nie ma rozwiązań Np wyróżnik trójmianu jest równy: = ( ) 4 ( ) = 7 SUMA I RÓŻNICA ZBIORÓW Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich elementów, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów Sumę zbiorów A i B oznaczamy: A B Np wszystkie liczby należące do zaznaczonego obok zbioru można opisać tak: lub albo tak: ( + ) 0 Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, czyli ze zbioru A wyrzucamy te elementy, które należą również do zbioru B Różnicę zbiorów A i B oznaczamy: A B albo A \ B Np zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od zera można zapisać krótko: R {0} U W A G A Znajomość pojęć suma zbiorów i różnica zbiorów nie jest wymagana nawet od zdających maturę na poziomie rozszerzonym, jednak są one powszechnie używane w praktyce szkolnej, a symbolu sumy zbiorów użyto (o dziwo) w Informatorze o egzaminie naturalnym z matematyki od roku 04/0 w jednym z przykładowych zadań dla poziomu podstawowego

4 80 POTĘGI I LOGARYTMY ZADANIA WPROWADZAJĄCE oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych R Daną liczbę zapisz jako potęgę liczby 7 a) b) c) (7 70 ) 7 d) 4 70 (0,) 70 e) 4 7 : 7 f) R Oblicz a) ( ) 0 0 : 8 b) c) ( ) 9 d) e) 8 Oblicz a) ( ) 0 b) R (0,) c) ( ) d) ( ) 4 4 R Oblicz a) 9 b) 7 c) 4 d) e) 4 8 g) ( ) f) 4 R Daną liczbę zapisz jako potęgę liczby a) ( 4) b) 0, 0, c) d) 8 4 e) f) g) h) Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie a) a a, gdzie a 0 b) ( ), gdzie 0 c) ( y y ), 7 9 a 4 8 y y 8 4 gdzie y > 0 posługuje się własnościami funkcji wykładniczych (A) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw 7 R Czy istnieje taki argument, dla którego funkcja f () = 7 przyjmuje wartość a) 0 b)? 49 8 W wyniku jakich przekształceń wykresu funkcji g() = otrzymamy wykres funkcji f? Podaj zbiór wartości funkcji f a) f () = + b) W f () = 8 c) f () = d) f () = zapisuje liczby w notacji wykładniczej, tzn w postaci a 0 k, gdzie a < 0 oraz k jest liczbą całkowitą (G) 9 Zapisz daną liczbę w notacji wykładniczej a) R 0 0 b) R 0, 0 0 c), 0 0 d) 0,0 0 0

5 POTĘGI I LOGARYTMY 8 wykorzystuje definicję logarytmu stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym 0 W Znajdź liczbę p, jeśli a) log p = b) log p = 0 c) log 0, p = d) log p =, e) R log (log p) = f) R log p (p 4) = R Oblicz a) log b) log c) log 8 d) log e) log 0, f) log 000 g) log 0, 4 h) log 0,4, R Oblicz a) log + log 0 b) log 8 log c) log log d) 7 log e) f) log log log 4 g) log h) log 8 0, ZADANIA MATURALNE DZIAŁANIA NA POTĘGACH z a d a n i a z a m k n ięte 4 Liczba 7 9 jest równa A B 8 C 7 D 8 4 Iloczyn 9 8 jest równy A 4 B 9 C 9 D 9 9 CKE, matura poziom podstawowy, sierpień 0 4 Liczba jest równa A B C D Liczba jest równa A 0 B C D 4 Liczba jest równa A B 4 C D CKE, matura poziom podstawowy, sierpień 0 4 R Iloczyn 7 7 jest równy A 7 B 7 C ( 7) D 49

6 9 ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI I ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ WPROWADZAJĄCYCH WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE a) b) c) d) + e) + 7 a) 4 + y + 9y b) a 0ab + 4b c) 49 + y + y d) p + 0 pq + q e) a + b + ab + a + b + Wskazówka W a) d) skorzystaj z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia, na kwadrat sumy: (a + b) = a + ab + b lub na kwadrat różnicy: (a b) = a ab + b W e) sumę trzech składników a + b + można potraktować jako sumę dwóch składników, np (a + b) + i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy a) 7a b b) y 4 c) ab Wskazówka a), b) Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a b = (a + b)(a b) 4 a) ( )( + ) b) ( ) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) ( + ) e) ( + ) f) ( ) g) ( + )( + ) h) ( + ) ( )( + ) i) (a b)(a + b)(a + b ) j) (a b c)(a b + c) Wskazówka Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia: w a) d) oraz g) i) ze wzoru na różnicę kwadratów: a b = (a + b)(a b), w e) ze wzoru na kwadrat sumy: (a + b) = a + ab + b, w f) ze wzoru na kwadrat różnicy: (a b) = a ab + b Rozwiązanie a) =, skorzystamy teraz ze wzoru a b = (a + b)(a b): = ( + )( ) e) = + +, skorzystamy teraz ze wzoru (a + b) = a + ab + b : + + = ( + ) j) a + b ab c = (a b) c = (a b c)(a b + c) a) ( + 4) b) ( )( + ) c) ( + ) d) ( )( + 9) e) ( )( + ) Rozwiązanie b) 9 = ( 9) = ( ) = ( )( + ) d) Wyłączamy czynnik poza nawias: ( ) + 9( ) = ( )( + 9) a) ( + ) b) ( c) ( 0 ) d) ( ) 4 + ) e) ( ) f) ( g) ( + ) h) nie istnieją liczby spełniające podane warunki 7 a) = b) = c) d) < 8 a) = b) = 7 c) y = 7 d) = e) równanie nie ma rozwiązań f) rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista Rozwiązanie b) Mnożąc obie strony równania przez, otrzymujemy równanie ( ) = 4 8 Stąd mamy = i ostatecznie = 7 d) =, wyłączamy przed nawias ( ) =, dzieląc obie strony równania przez, otrzymujemy ( ) = = = f) Po wymnożeniu, otrzymujemy = Po redukcji wyrażenia, otrzymujemy równość = i widzimy, że dla każdej liczby rzeczywistej lewa strona równania jest równa prawej, czyli każda liczba spełnia to równanie 9 a) ( + ) b) ( ) c) nierówność spełnia każda liczba rzeczywista d) ( + + ) Rozwiązanie d) <, wyłączamy przed nawias: ( ) <, dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ( jest liczbą ujemną, więc zmieniamy znak nierówności): > Liczbę + ( + ) postaci: = = ( + ) Zatem > + + można zapisać w nieco prostszej 0 a) = lub = b) = lub = c) m = lub m = d) równanie nie ma rozwiązań e) a = 0 lub a = 8 f) = lub = g) = 0, h) = 4 lub = i) k = 0, lub k = j) = lub = + Rozwiązanie a) = 0 lub + = 0, stąd = lub = d) + 4 > 0 dla każdej liczby R (bo 0), więc równanie nie ma rozwiązań e) a 8a = 0 a(a 8) = 0, stąd a = 0 lub a = 8

7 90 POTĘGI I LOGARYTMY NIBYMATURA PO ROZDZIALE Proponowany czas pracy: 40 minut Liczba punktów do uzyskania: 0 z a d a n i a z a m k n ięte Zadanie (0 ) Iloczyn wyrażeń 4a 4ab + b i b a można zapiać w postaci A (a b) B (a b) C (a + b) D (a + b) Zadanie (0 ) Liczba 7 8 jest równa A 9 B 9 9 C 9 D 9 Zadanie (0 ) Iloczyn log 4 log 9 jest równy A B 4 C D, Zadanie 4 (0 ) Po obniżce ceny o % telewizor kosztował 890 zł Jaka była cena telewizora przed obniżką? A 9,40 zł B 00 zł C 0 zł D 0 zł z a d a n i a o t w a r t e Zadanie (0 ) Wykres funkcji kwadratowej f przecina osie układu współrzędnych w punktach A = (0, 4), B = (, 0) i C = (, 0) Zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej Zadanie 4 (0 ) Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 0 Zadanie (0 ) Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a + jest liczbą całkowitą, to a + a a całkowitą też jest liczbą SUMA PUNKTÓW: WYNIK PROCENTOWY: