Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.

Transkrypt

1 Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro nam ale to zadanie również nie wymaga wskazówki Zadanie 3 Znajdź resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian Jakiego stopnia jest reszta?

2 Ponieważ dzielimy przez wielomian drugiego stopnia, reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego Mamy gdzie jest pewnym wielomianem Wstawiając do ostatniej równości kolejno i otrzymujemy i Czyli, Szukaną resztą jest Jak widać przy znajdowaniu reszty nie jest potrzebna znajomość wyniku dzielenia Zadanie 4 Znajdź resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian Podstaw Zadanie sprowadza się do dzielenia wielomianu przez wielomian Reszta z takiego dzielenia jest wielomianem stopnia co najwyżej 0 i wynosi ona Zadanie 5 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian

3 Przypomnieć definicję podzielności wielomianów i twierdzenie Bezoute'a Zadanie 6 Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej Przećwiczyć przesuwanie wykresu funkcji! Zadanie 7 Rozwiąż równanie Zamiast wskazówki zakaz: nie wolno wykonywać mnożenia

4 Zadanie 8 Znajdź środek symetrii wykresu funkcji Sprowadź wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej Środek symetrii znajduje się w punkcie (dlaczego?) Sprowadzamy wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej [Error parsing LaTeX formula Error 6: dimension error: 914x50] [Error parsing LaTeX formula Error 6: dimension error: 903x50] Położenie środka symetrii to Zadanie 9 Dla jakich wartości parametru równanie kwadratowe (na ) ma dwa (różne) pierwiastki ujemne Skorzystaj ze wzorów Viete'a

5 Aby istniały dwa pierwiastki rzeczywiste trójmianu kwadratowego jego wyróżnik musi być dodatni, aby pierwiastki te były ujemne potrzeba i wystarcza by po pierwsze suma pierwiastków była ujemna tzn po drugie iloczyn pierwiastków był dodatni odpowiedź Zbierając otrzymane wyniki otrzymujemy Zadanie 10 Wielomian ma cztery pierwiastki rzeczywiste i Znajdź wartości następujących wyrażeń: a) b) c) Wyprowadź wzory Viete'a dla równania czwartego stopnia Wielomian można przedstawić w postaci iloczynowej Po wymnożeniu otrzymujemy Porównując współczynniki otrzymujemy a), b), c)

6 Zadanie 11 Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania Rozwiązań szukamy pośród liczb Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy Podkreślić należy, że twierdzenia podane na wykładzie dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych Ponadto pomimo, że podstawowe twierdzenie algebry zostanie omówione później można już w tym miejscu korzystać z faktu iż wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków Zadanie 12 Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania Rozwiązań szukamy pośród liczb znalezieniu trzech pierwiastków Poszukiwania przerywamy po Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy

7 Patrz uwagi do poprzedniego zadania Zadanie 13 Dla funkcji znaleźć zbiór wartości, dla którego Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być ujemny tzn Odpowiedź: Zadanie 14 Rozwiąż nierówność Naszkicuj pomocniczy wykresy wielomianu ich krotności, z uwzględnieniem miejsc zerowych i Odpowiedź:

8 Omówić zachowanie asymptotyczne wielomianów Zadanie 15 Rozwiąż nierówność Podstaw Podstawienie daje nierówność, która jest spełniona dla Ponieważ funkcja jest rosnąca otrzymujemy wynik