Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze

Transkrypt

1 Równania kwadratowe Zad : Dany jest wielomian W(x) = x mx + m m + a) Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa pierwiastki, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? *b) Przyjmij, Ŝe m jest wartością parametru znalezioną w punkcie a), i naszkicuj wykres funkcji g(x) = [W(x)] dla x ;, gdzie [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od a Odp: a) m = Zad : Sprawdź, czy istnieje taka wartość parametru k, dla której równanie: (k )x + ( k)x + k = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest równa iloczynowi ich kwadratów Odp: Nie istnieje taka wartość parametru k Zad : Zbadaj liczbę rozwiązań równania: (m )x (m )x = 0 w zaleŝności od wartości parametru m Dla jakich wartości parametru m równanie to ma dwa pierwiastki róŝnych znaków? Odp: Równanie nie ma rozwiązania dla m (0;, ma jedno rozwiązanie dla m = i dla m = 0, ma dwa rozwiązania dla m ( ; ) ( ;0) (;+ ) Równanie ma dwa pierwiastki róŝnych znaków dla m ( ; ) (;+ ) Zad : (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx + x + m = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze od? Odp: m ( 0 + ) ; Zad 5: Dla jakich wartości parametru m równanie x + mx m + m = 0 ma dwa pierwiastki x, x spełniające warunek x + x = x x +? Odp: m = Zad 6: Dla jakich wartości parametru m równanie x mx + m = 0 ma dwa pierwiastki x, x spełniające warunek x x =? Odp: m {,5} dla x < x lub m { 5, } dla x > x Zad 7: Dla jakich wartości parametru m równanie x (m )x + m 7m + = 0 ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest równy połowie sumy tych pierwiastków? Odp: m =,5 Zad 8: a) Dla jakich wartości parametru m równanie x (m 5)x + m 6m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest większa od siedmiu? 9

2 *b) Naszkicuj wykres funkcji, która kaŝdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków powyŝszego równania Odp: a) m ( ; ) Zad 9: Współrzędne punktu P = (x, x ) są pierwiastkami równania x (m )x + m = 0 a) Dla jakich wartości parametru m punkt P leŝy w pierwszej lub trzeciej ćwiartce układu współrzędnych? b) Dla jednej ze znalezionych w punkcie a) wartości m zaznacz punkt P w układzie współrzędnych Odp: a) m ( ) ( ; ; 7 Zad 0: Znajdź zbiór tych wartości parametru p, dla których: a) równanie (p + )x px + = 0 ma dwa rozwiązania; b) równanie (p + )x px + = 0 ma dwa rozwiązania dodatnie albo dwa ujemne; c) kaŝda liczba rzeczywista spełnia nierówność (p + )x px + > 0 Odp: a) p ( ; ) ( ; ) (;+ ), b) p ( ; ) (;+ ), c) p ( ;) Zad : a) Dla jakich wartości parametru m równanie x xlog m log m = 0 ma jedno rozwiązanie? *b) Dla jakich wartości parametru m powyŝsze równanie ma dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest równa? Odp: a) m = lub m = ; b) m = Zad *: Dla jakich wartości parametru m równanie mx x + m = 0 ma pierwiastki naleŝące do przedziału (0;)? Odp: m ( + ) ; Zad : Dane jest równanie (m 5)x mx + m = 0 a) Ustal liczbę rozwiązań tego równania w zaleŝności od wartości parametru m b) Dla jakich wartości parametru m powyŝsze równanie ma dwa pierwiastki róŝnych znaków? *c) Dla jakich wartości parametru m liczba zawiera się między róŝnymi pierwiastkami tego równania? Odp: a) RozwaŜane równanie nie ma rozwiązania dla m ( ; ), ma jedno rozwiązanie dla m { ; ; 5}, ma dwa rozwiązania dla m ( ; ) ( 5 ; ) ( 5; + ) c) m ( ; ) ( 5; + ) ; b) m (;5); Zad : Dla jakich wartości parametru p równanie x + ( p)x + p 5p = 0 a) ma dwa pierwiastki; b) ma dwa dodatnie pierwiastki? Odp: a) p ; b) p (; + ) 0

3 Zad 5: 5 m Dla jakich wartości parametru m równanie x x + = 0 ma dwa pierwiastki, które są m + jednakowych znaków i których suma kwadratów jest nie mniejsza niŝ? Odp: m ; 5) Zad 6: Dla jakich wartości parametru a równanie ax ( + a)x + = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest liczbą z przedziału ;? Odp: a ( ; ( ; + ) Zad 7: Dane są równania px x p = 0 i ( k + ) x + ( k + 8) x + = 0 a) Dla jakich wartości parametrów p i k dane równania mają te same niepuste zbiory rozwiązań? b) Dla jakich wartości parametrów p i k suma pierwiastków kaŝdego równania jest równa iloczynowi pierwiastków drugiego równania? x *c) RozwiąŜ równanie x x sin π + 5 = 0 Odp: a) p =, k = ; b) p = 8, k = 0; c) x = Zad 8: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru a równanie ax ( + a)x + = 0 ma dwa pierwiastki, dla których stosunek sumy do wartości bezwzględnej ich róŝnicy jest większy od? Odp: a (0;) (;+ ) Zad 9: a) Dla jakich wartości parametru p równanie x +( + p)x + p(p + ) = 0 ma dwa pierwiastki ujemne? *b) Dla jakich wartości parametru p równanie to ma dwa pierwiastki, z których jeden jest sinusem, a drugi cosinusem tego samego kąta? Znajdź ten kąt Odp: a) p (0;) (;+ ); b) p = lub p = 5 Dla p = mamy α = 0 lub α = 90 Dla p = 5 mamy sin α = 5, cosα = 5, więc α 8 lub sin α = 5, cosα = więc α 6 5 Zad 0: x mx+ 0, 5m, 5 Dla jakich wartości parametru m równanie 0, 5 ( 8) a) dwa pierwiastki dodatnie; b) dwa pierwiastki jednakowych znaków? Odp: a), b) m ( ; ) ( 6; + ) + m = ma: Zad : a) Znajdź te wartości parametru k, dla których wszystkie pierwiastki równania (k + )x (k + )x + k + 9 = 0 są nieujemne *b) Dla jakich wartości parametru k pierwiastki tego równania są dwiema róŝnymi współrzędnymi punktu leŝącego na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 5,

4 8? Odp: a) k ; { } ; b) k =, Zad : Dla jakich wartości parametru m równanie x (m + )x + m 8 = 0 ma dwa pierwiastki x i x, które spełniają warunek x x > x + x? Odp: m ( 5 8 ; 7 ) Zad : Dla jakich wartości parametru m równanie x (m )x + m = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest nie większa od ich iloczynu? Odp: m ( ; ; ) 7 Zad : Dla jakich wartości parametru a równanie x = a a Odp: a ( 6 ; 5) ( + 5; + 6) ma dwa pierwiastki dodatnie Zad 5: Dla jakich wartości parametru m równanie ( m ) x + mx + m = 0 ma dwa rozwiązania x i x spełniające warunek x + x > mx x? Odp: m ( ; ) ( 5 ; + ) Zad 6: a) Dla jakich wartości parametru a równanie ( a ) x ( a ) x + a + a = 0 ma jedno rozwiązanie? Dla znalezionych wartości parametru a oblicz pierwiastki danego równania *b) Dla jakich wartości parametru a powyŝsze równanie ma dwa rozwiązania x i x spełniające warunek x x a? Odp: a) a {, 5, + 5} Dla a = - rozwiązaniem jest x = 0, dla a = 5 rozwiązaniem jest x = 5, dla a = + 5 rozwiązaniem jest x = + 5 *b) a ( + 5 ; + ) Zad 7: Dla jakich wartości parametru m równanie ( m ) x + ( m ) x + 5m 6 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest liczbą ujemną? Odp: m ( ; 6 ) ( ; ) ( ; ) 5 Zad 8: a) Dla jakich wartości parametru k równanie ( k ) x ( k + ) x k = 0 ma tylko ujemne rozwiązania?

5 *b) Znajdź zbiór wartości parametru k, dla których powyŝsze równanie ma dwa rozwiązania x i x spełniające warunek x + x Odp: a) k ( 0; 5 ; b) k ; 5 Zad 9: Dla jakich wartości parametru m równanie spełniające nierówność + < m +? x x m ; ( 0; ) Odp: ( ) mx m x m + + = + ma dwa pierwiastki x i x x Zad 0: Dane jest równanie: x mx + m = 0 a) Określ liczbę rozwiązań tego równania w zaleŝności od parametru m b) Dla jakich wartości parametru m równanie to ma dwa pierwiastki naleŝące do przedziału (-; )? Odp: a) dla m R równanie ma dwa rozwiązania; b) m ( ; ) Zad: Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania ( m + ) x ( m + ) x + m + = 0 spełniają warunek + >? x x Odp: m ( ; Zad Dane jest równanie mx + ( m ) x + m = 0Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie to ma: a) co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, b)* rozwiązanie x i x spełniające warunek: x + x 9 Odp: a) m ( + ) 9 ; 5 ; b)* m 5 ; ( 7 + ) Zad : Dla jakich wartości parametru m równanie x -(m - 5)x + m - 6m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste róŝnych znaków? Odp: m ( ; 5) Zad : Dla jakich wartości parametru m równanie (m + m - )x +(5 - m)x - 6 = 0 ma dwa róŝne pierwiastki jednakowych znaków? Odp: m ( ) { 7} ; \

6 Zad 5: Dla jakich wartości parametru m równanie (m + )x - mx + m - = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie? Odp: m ( ) ( ; ; 7 Zad 6: Dla jakich wartości parametru m równanie x + (m - 5)x + m + m + = 0 ma dwa róŝne pierwiastki dodatnie? Odp: m ; 7 7 Zad 7: Dla jakich wartości parametru k równanie kx + k + = x + kx ma dwa rózne pierwiastki dodatnie? Odp: k ( ; ) ( ; ) Zad 8: Dla jakich wartości parametru m równanie -x + mx - m + m - = 0 ma dwa rzeczywiste pierwiastki takie, Ŝe ich suma jest o większa od ich iloczynu? Odp: m = m = Zad 9: Dla jakich wartości parametru m kwadrat róŝnicy pierwiastków równania x + mx + 0 = 0 jest równy 9? Znajdź te pierwiastki Odp: jeŝeli m = 7 x = -5 x = -, jeŝeli m = -7 x = 5 x = Zad 0*: Dla jakich wartości parametru k róŝnica rozwiązań równania x -(k + )x +(k - ) = 0 jest równa ich iloczynowi? Odp: k = Zad : Dla jakich parametru t pierwiastki równania x + t x + t = 0 są odpowiednio równe sinusowi i cosinusowi tego samego kąta ostrego? Odp: t = Zad : Dane jest równanie x -(m + )x m = 0 a)dla jakich m jeden pierwiastek tego równania jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego samego kąta ostrego? *b) Przy wyznaczonym m podaj miarę kąta ostrego spełniającego warunek zadania sin α = Odp: a) m = 5 sin α = 5 5, *b) cosα = 5 cosα = 5

7 Zad : Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x i x równania x + mx + = 0 spełniają warunek x + x = ( x + x )? Odp: m = - Zad : Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania x + 5 mx + m + m + = 0 spełniają warunek x + x x x? Odp: m ( ; Zad 5: Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania x + (k - )x + k - 5 = 0 jest najmniejsza? Odp: k = Zad 6: Dla jakich wartości parametru m równanie x + x - m = 0 ma rozwiązanie? Wyznacz m wartość parametru m, dla której suma sześcianów pierwiastków tego równania jest równa -9 Odp: m = Zad 7: Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x + (m - )x + m+ = 0 ma wartość dodatnią? Odp: m ( ; 9 Zad 8: Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania mx - ( - m)x + 9m - 8 = 0 spełniają warunek +? x x Odp: m 8 0) ( 0 ) { } 5 ; ; 9 Zad 9: Zbadaj, dla jakich wartości m równanie (m - )x -(m + )x + m + = 0 ma cztery róŝne pierwiastki Odp: m > Zad 50*: Dla jakich wartości parametru m równanie (m + )x - x + m - = 0 ma dwa róŝne pierwiastki naleŝące do przedziału (0;)? Odp: m ( ; ) 5

8 Zad 5: Dane jest równanie (m - 5)x - mx + m - = 0 a) W jaki sposób liczba rozwiązań danego równania zaleŝy od parametru m? *b) Dla jakich wartości parametru m liczba zawiera się między róznymi pierwiastkami tego równania? Odp: a) równanie ma 0 rozwiązań dla m ( ) m =; rozwiązania dla m ( ; ) ( 5 ; ) ( 5; + ) *b) ( ) ;, rozwiązanie dla m= 5 m = m ; ( 5; + ) Zad 5: Zbadaj w jaki sposób liczba pierwiastków równania (m-)x +(m+)x+(m-)=0 zaleŝy od parametru m a) Dla jakich wartości m równanie ma dwa róŝne pierwiastki dodatnie? *b) Dla jakich wartości m oba pioerwiastki równania zawarte są między - i? Odp: a) równanie ma 0 rozwiązań dla m ( ; ) ( ; + ) m = m = ; rozwiązania dla m ( ; ) ( ; ) *b) m ( 5 ) ( ) ; rozwiązanie dla m= ; ; Zad 5: Podaj definicję równania kwadratowego Wyprowadź wzory na pierwiastki równania kwadratowego RozwiąŜ równanie: x 7 x + = 0 Zad 5: RozwiąŜ równania: a) x + 5 = x + ; b) + x x = x ; c) 6 9 5x = x + x 6