Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v = ϕ, w = naywamy współrędnymi walcowymi P. rdϕ dr P d ^ ϕ^ ϕ r^ r M dϕ y x Międy współrędnymi walcowymi a kartejańskimi istnieje następujący wiąek: x = r cos ϕ y = r sin ϕ. = Ortogonalność. Jeżeli ustalimy współrędną r, to otrymamy powierchnię bocną walca o osi głównej pokrywającej się osią. Jeżeli następnie ustalimy ϕ poostawiając poostałe współrędne mienne, otrymamy półpłascynę awierającą oś. Ocywiście obie te powierchnie są prostopadłe. Jeżeli natomiast ustalimy, to dostaniemy płascynę równoległą do xy, która jest prostopadła do w/w powierchni. Zatem wsystkie powierchnie utworone pre ustalenie jednej e współrędnych są prostopadłe. ynika powyżsego, że współrędne walcowe są ortogonalne. 1
spółcynniki Lamego. Pryrosty skalarne wektora wodącego w kierunkach wersorów ˆr, ˆϕ, ẑ są równe odpowiednio ds r = dr, ds ϕ = rdϕ, ds = d. Zatem d r = ˆrds r + ˆϕds ϕ + ẑds = ˆrUdr + ˆϕV dϕ + ẑ d, gdie U, V, to współcynniki Lamego. Z równości tej wynika postać współcynników Lamego układu walcowego: U = 1, V = r, = 1. Element objętości we współrędnych walcowych dτ = ds r ds ϕ ds = rdrdϕd. 2. spółrędne sferycne. Definicja. spółrędnymi sferycnymi punktu P naywamy mienne u = r, v = ϑ, w = ϕ takie, że r - odległość P od pocątku układu współrędnych, ϑ - kąt pomiędy promieniem OP a dodatnią cęścią osi, ϕ - kąt pomiędy płascyną awierającą punkt P i oś a dodatnią cęścią osi x. rsinϑdϕ rsinϑ dr ϑ r dϑ P rdϑ ϑ^ r^ ϕ^ y dϕ x ϕ Międy współrędnymi sferycnymi a kartejańskimi istnieje następujący wiąek: x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ. = r cos ϑ Ortogonalność. Jeżeli ustalimy współrędną r to otrymamy sferę o środku w pocątku układu. Jeżeli natomiast ustalimy ϑ to otrymamy powierchnię bocną stożka o wierchołku w 0, 0, 0, która jest ocywiście prostopadła do powierchni sfery. Jeżeli następnie ustalimy ϕ to dostaniemy półpłascynę awierającą oś. Płascyżna ta jest prostopadła arówno do sfery, jak i do stożka. Z powyżsego wynika, że współrędne sferycne są ortogonalne. 2
spółcynniki Lamego. Pryrosty skalarne wektora wodącego w kierunku wersorów ˆr, ˆϑ, ˆϕ są równe odpowiednio ds r = dr, ds ϑ = rdϑ, ds ϕ = r sin ϑdϕ. Zatem współcynniki Lamego U = 1, V = r, = r sin ϑ. Elemnet objętości we współrędnych sferycnych dτ = r 2 sin ϑdrdϑdϕ. 3. Operatory różnickowe we współrędnych krywoliniowych. Gradient we współrędnych krywoliniowych. Jeżeli u, v, w są ortogonalnymi współrędnymi krywoliniowymi, to pryrost funkcji skalarnej Φu, v, w można apisać jako natomiast pryrost wektora wodącego dφ = Φ u Φ Φ du + dv + v w dw, d r = r r r du + dv + u v w dw = ˆt 1 Udu + ˆt 2 V dv + ˆt 3 dw, gdie ˆt 1, ˆt 2, ˆt 3 są wersorami osi odpowiednio u, v, w, a U = r r r u, V = v, = w to współcynniki Lamego. Mając powyżse na wlędie można apisać różnickę upełną Φ w postaci ˆt 1 Φ dφ = U u + ˆt 2 Φ V v + ˆt 3 Φ ˆt 1 Φ ˆt 1 Udu + ˆt 2 V dv + ˆt 3 dw = w U u + ˆt 2 Φ V v + ˆt 3 Φ d r. w Ponieważ dφ d r = Φ, mamy Φ = ˆt 1 Φ U u + ˆt 2 Φ V v + ˆt 3 Φ w. Zatem operator we współrędnych krywoliniowych jest postaci = ˆt 1 u + ˆt 2 V v + ˆt 3 Mnożąc różnickę upełną wektora wodącego d r kolejno pre u, v ora w można otrymać ależności typu d r u = r u udu. Z drugiej jednak strony d r u = du, ponieważ jest to rut pryrostu d r na kierunek wrostu u. Ostatecnie otrymujemy relacje r u u = 1 r v v = 1 r w w = 1 Pry takich onaceniach operator można apisać w. u = ˆt 1U v = ˆt 2 V. w = ˆt 3 = u u + v v + w w. 3
Dywergencja we współrędnych krywoliniowych. ektor Ā we współrędnych krywoliniowych u, v, w można apisać jako Ā = A uˆt 1 + A vˆt 2 + A wˆt 3, gdie A u, A v, A w to ruty wektora Ā na kierunki wersorów odpowiednio ˆt 1, ˆt 2, ˆt 3. Jeżeli wersory te apisemy w postaci ˆt 1 = ˆt 2 ˆt 3 = V v w ˆt 2 = ˆt 3 ˆt 1 = U w u ˆt 3 = ˆt 1 ˆt 2 = UV u v to wektor Ā = V A u v w + UA v w u + UV A w u v. Taki apis wektora Ā jest prydatny dlatego, że dywergencja cłonów postaci v w jest równa 0, co udowodnimy kożystając notacji sumacyjnej: div v w = ε ijk v j w k = ε ijk v j w k + ε ijk w k v j. x i x i x i Dokonując miany indeksów w pierwsej sumie cyklicnie, a w drugiej amieniając miejscami i i j otrymujemy ε jki v k w i + ε jik w k v i = ε ijk v k w i ε ijk w k v i, x j x j x j x j ale ε ijk x j v k = rot grad v i = 0, a ε ijk x j w k = rot grad w i = 0, atem obie sumy nikają. Kożystając powyżsego można dywergencję Ā apisać jako div V Ā = Ā = A u v w + UA v w u + UV A w u v. Pierwsy składnik po uwględnieniu we współrędnych krywoliniowych: V A u v w = u V A u u + v V A u v + w V A u w v w = = u V A u u v w. Postępując podobnie poostałymi składnikami sumy ora auważając, że u v w = 1 UV jako objętość prostopadłościanu ropiętego na wektorach u, v, w otrymujemy ostatecnie div Ā = 1 UV u V A u + v UA v + w UV A w. Rotacja we współrędnych krywoliniowych. Zapisując wektor Ā w postaci Ā = A uˆt 1 +A vˆt 2 + A wˆt 3 = UA u u + V A v v + A w w i uwględniając rot u = rot v = rot w = 0, mamy rot UA Ā = Ā = u u + V A v v + A w w. Ropismy pierwsy składnik tej sumy; otrymamy: UA u u = u UA u u + v UA u v + w UA u w u. Ocywiście u UA u u u = 0. Zatem v UA u v u + w UA w w u = v UA u 1 V U ˆt 2 ˆt 1 + w UA 1 u U ˆt 3 ˆt 1, 4
ale ˆt 2 ˆt 1 = ˆt 3 ora ˆt 3 ˆt 1 = ˆt 2 : UA u u = w UA 1 u U ˆt 2 v UA u 1 UV ˆt 3. Postępując podobnie można otrymać analogicne wiąki dla poostałych cynników: V A v v = A w u V A v 1 UV ˆt 3 w V A 1 v V ˆt 1 w = v A 1 w V ˆt 1 u A 1 w V ˆt 2. Ostatecnie po pogrupowaniu wyraów pry odpowiednich wersorach rotacja wektora Ā prybiera postać rot Ā = ˆt 1 V v A w w V A v + ˆt 2 U + ˆt 3 UV lub w bardiej więłej postaci symbolicnego wynacnika rot Ā = 1 Uˆt 1 V ˆt 2 ˆt 3 UV u v w. UA u V A v A w w UA u u V A v v UA u u A w Laplasjan we współrędnych krywoliniowych. Laplasjan to dywergencja gradientu; astosujemy więc wyprowadone wyżej wory na gradient i dywergencję we współrędnych krywoliniowych: ˆt Φ 2 1 Φ Φ = div grad Φ = div U u + ˆt 2 Φ U v + ˆt 1 Φ = w 1 V Φ = + U Φ + UV Φ. UV u U u v V v w w Literatura [1] Zarys teorii tensorów i wektorów - Edmund Karaśkiewic + 5