W. Np. pole prędkości cieczy lub gazu, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne.
|
|
- Ludwik Sokołowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 1 Wielkości fizyczne można klasyfikować na podstawie różnych kryteriów. Istnieją wielkości, które przy wyznaczonej jednostce miary są w zupełności określone przez jedną liczbę. Nazywamy je wielkościami skalarnymi, a liczby wyznaczające je skalarami. Należą do nich np. masa, tempertura, potencjał elektrostatyczny. Inne wielkości nie mogą być jednoznacznie wyznaczone przez ich miary, gdyż zależne są jeszcze od kierunku (kierunku i zwrotu). Nazywamy je wielkościami wektorowymi. Są to np. prędkość, przyspieszenie, siła. Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy wartość liczbową, to ten obszar nazywamy polem skalarnym. Np. gęstość poszczególnych punktów danego ciała. Jeżeli każdemu punktowi obszaru przyporządkujemy wektor, to obszar ten nazywamy polem wektorowym. Np. prędkość poszczególnych punktów danego ciała, natężenie pola elektrycznego. Pole skalarne przyjmuje nazwę w zależności od sensu fizycznego funkcji ϕ. Np. pole gęstości danego ciała, pole temperatur danego ciała, pole potencjału elektromagnetycznego. Pole wektorowe przyjmuje nazwę w zależności od sensu fizycznego wektora W. Np. pole prędkości cieczy lub gazu, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne. Przyjmijmy teraz oznaczenia. Niech M(x, y, z) będzie punktem należącym do obszaru V oraz niech będzie dane pole skalarne ϕ = ϕ(m) = ϕ(x, y, z), M V oraz pole wektorowe lub krótko W = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, W = [ P, Q, R ] przy czym funkcje P, Q, R są określone na pewnym obszarze V. Symbol (nabla) oznacza wektorowy operator różniczkowy (operator Hamiltona) = x i + y j + z k.
2 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 2 Gradientem pola skalarnego ϕ nazywamy pole wektorowe określone następująco Własności gradientu grad ϕ = ϕ = ϕ x i + ϕ y j + ϕ z k. Niech ϕ, ψ będą różniczkowalnymi polami skalarnymi. Wtedy 1. grad(a ϕ + b ψ) = a gradϕ + b gradψ, gdzie a, b R; 2. grad(ϕψ) = ϕ gradψ + ψ gradϕ; 3. grad(ϕ 2 ) = 2ϕ gradϕ. Funkcja ϕ klasy C 1 wzrasta najszybciej w kierunku swego gradientu. Czyli grad ϕ wskazuje kierunek, w którym ϕ(x, y, z) najszybciej rośnie, przy czym prędkość tego wzrostu dana jest przez długość wektora grad ϕ. Podobnie, wektor grad ϕ wskazuje kierunek, w któym funkcja ϕ(x, y, z) najszybciej maleje. Załóżmy, że potencjał elektrostatyczny dany jest wzorem ψ(x, y, z) = 100 x 2 y 2 z 2. W jakim kierunku w punkcie (3, 4, 5) rośnie on najszybciej. Kierunek, w którym potencjał elektrostatyczny rośnie najszybciej, to grad ψ = 2x i 2y j 2z k. Czyli w punkcie (3, 4, 5) wynosi on grad ψ(3, 4, 5) = 6 i + 8 j 10 k. Załóżmy, że temperatura T w pewnym ciele zmienia się zgodnie ze wzorem T (x, y, z) = x 2 +yz. Wyznacz kierunek, w którym najszybciej maleje.
3 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 3 Kierunek, w którym temperatura maleje najszybciej, to grad T = (2x i + z j + y k). Czyli np. w punkcie (1, 1, 1) kierunek ten wynosiłby grad T (1, 1, 1) = 2 i j k. Natomiast prędkość, z jaką maleje w tym kierunku wynosi grad T (1, 1, 1) = 6. Powierzchnię o równaniu ϕ(x, y, z) = c, (c = const) nazywamy powierzchnią równopotencjalną (lub ekwiskalarną lub ekwipotencjalną) pola skalarnego ϕ. Nadając stałej c różne wartości, otrzymamy różne powierzchnie ekwipotencjalne. Jak widać przy poruszaniu się po takiej powierzchni nie zmienia się wartość funkcji pola, więc jej różniczka dϕ(x, y, z) = 0. Jeżeli weźmiemy pod uwagę dwa sąsiednie punkty, to różniczka ta przy przejściu od jednego punktu do drugiego wynosi Jak widać jest to iloczyn skalarny: dϕ = dϕ = ϕ x dx + ϕ y dy + ϕ z dz. ( ϕ x i + ϕ y j + ϕ ) ( ) z k dx i + dy j + dz k. Czyli gradient jest jednym z czynników różniczki funkcji pola. Drugi czynnik, to tzw. wektor infinitezymalny. Jeżeli ϕ C 1, to grad ϕ jest wektorem prostopadłym w punkcie M do powierzchni ekwipotencjalnej pola o równaniu ϕ(x, y, z) = c przechodzącej przez punkt M.
4 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 4 Interpretacja fizyczna gradientu Zakładamy oczywiście, że funkcja f jest różniczkowalna - w przeciwnym razie nie istniałby grad f. Wstęp Funkcję z = f(x, y) możemy przedstawić w kartezjańskim trójwymiarowym układzie współrzędnych. Na przykład z = 4x 2 + 9y 2 utworzy nam powierzchnię zwaną paraboloidą eliptyczną. Gdy ustalimy kolejno wartości x, y, z, to otrzymamy odpowiednio: x : parabolę z = 9y 2 + const w płaszczyźnie równoległej do Y Z, y : parabolę z = 4x 2 + const w płaszczyźnie równoległej do XZ, z : elipsę 4x 2 + 9y 2 = const w płaszczyźnie równoległej do XY. Przecięcie z = c z powierzchnią z = f(x, y) nazywamy krzywą konturową, a rzut krzywej konturowej na płaszczyznę XY nazywamy poziomicą. W wypadku funkcji z = 4x 2 + 9y 2 krzywe konturowe i poziomice są elipsami opisanymi równaniami 4x 2 + 9y 2 = c. Krzywe konturowe i poziomice odgrywają ważną rolę w zastosowaniach. Na przykład mapy konturowe (topograficzne) przedstawiają trójwymiarowe cechy terenu na płaszczyźnie, z kolei mapy pogody pokazują poziomice temperatury (izotermy) lub ciśnienia (izobary). 1. Rozważmy teraz poziomice funkcji z = f(x, y), czyli krzywe na płaszczyźnie XY dane wzorem z = c. Jeżeli rozpatrzymy teraz różniczkę zupełną funkcji f(x, y) = c w punkcie, to otrzymamy df = 0. Oznacza to, że wektory grad f = f x i + f y j
5 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 5 oraz dx i + dy j. są prostopadłe w tym punkcie (o ile grad f 0). Wektor dx i + dy j jest styczny do poziomicy f(x, y) = c, zatem wektor grad f jest prostopadły do poziomicy. Czyli styczne do grad f wskazują kirunek najszybszego spadku. Czyli w wypadku krzywych ekwipotencjalnych, wektor grad f wyznacza odpowiadające im natężenie pola elektrycznego i wskazuje drogę, po której będzie poruszała się cząstka naładowana. 2. W mechanice klasycznej, jeżeli przez V (x, y, z) oznaczymy energię potencjalną, to odpowiadające jej pole sił jest dane wzorem F (x, y, z) = grad V (x, y, z). 3. W elektromagnetyźmie, jeżeli przez V (x, y, z) oznaczymy potencjał elektrostatyczny, to natężenie pola elektrycznego jest równe E(x, y, z) = grad V (x, y, z). 4. Gradient jest również związany z przepływem ciepła. Niech w pewnym ciele temperatura w punkcie (x, y, z) jest równa T (x, y, z). Jeżeli rozkład temperatury nie jest jednorodny, energia w postaci ciepła przepłynie z obszarów o wyższej temperaturze do obszarów o niższej temperaturze, w kierunku jej najszybszego spadku. Przepływ energii q w postaci ciepła przez jednostkę powierzchni (prostopadłej do q) na jednostkę czasu, zgodnie z prawem Fouriera przpływu ciepła, dany jest wzorem q(x, y, z) = kgrad T (x, y, z), 5. gdzie współczynnik k nazywamy przewodnością cieplną substancji. Równanie zwane prawem dyfuzji Ficka J(x, y, z) = Dgrad c(x, y, z)
6 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 6 opisuje dyfuzję substancji w roztworze zgodnie z gradientem stężeń, gdzie J jest szybkością dyfuzji substancji przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do J, c(x, y, z) oznacza stężenie substancji, a zaś D jest współczynnikiem dyfuzji (wartość D zależy zarówno od sybstancji dyfundującej, jak i od roztworu, w którym zachodzi dyfuzja). Wielkości q i J występujące w dwóch ostatnich równaniach nazywamy strumieniami lub gęstościami strumieni. Linią wektorową pola W = [ P, Q, R ] nazywamy linię, której kierunek w każdym punkcie pokrywa się z kierunkiem wektora pola w tym punkcie. Linie wektorowe pola W = [ P, Q, R ] są rozwiązaniami układu równań różniczkowych dx P = dy Q = dz R. Dywergencją pola wektorowego W nazywamy pole skalarne określone następująco Własności dywergencji div W = W = P x + Q y + R z. Niech W, F będą różniczkowalnymi polami wektorowymi, a ϕ będzie różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy 1. div(a W + b F ) = a div W + b div F, gdzie a, b R; 2. div(ϕ W ) = ϕ div W + gradϕ W. Pole wektorowe, którego dywergencja jest w każdym punkcie równa zeru, nazywamy polem bezźródłowym lub solenoidalnym. Nazwa pola solenoidalnego pochodzi stąd, że pole elektryczne wytworzone w wyniku przepływu stałego prądu przez solenoid (cewkę) ma właśnie rozbieżność równą zeru. Jeśli wektory pola W przedstawiają prędkości cząsteczek cieczy nieściśliwej, to gdy w pewnym punkcie pola przybywa cieczy, to taki punkt nazywamy źródłem dodatnim, jeżeli ubywa cieczy,
7 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 7 to taki punkt nazywamy źródłem ujemnym. Źródła mogą znajdować się w punktach odosobnionych, pokrywać w sposób ciągły pewną powierzchnię lub wypełniać całkowicie pewną objętość. Niech przez rurę przepływa woda, tak że całkowicie wypełnia jej wnętrze. Woda jest mało ściśliwa, więc przyjmijmy, że jest nieściśliwa. Rozważmy w tej cieczy powierzchnię zamkniętą ograniczającą objętość V. Jeśli pominiemy tarcie zachodzące wewnątrz cieczy, to prędkość cząstek wody będzie przy wchodzeniu i wychodzeniu z rozpatrywanej objętości taka sama. Zatem w V nie może przybywać ani ubywać cieczy, więc dywergencja jest równa zero. Niech przez rurę przepływa powietrze, które początkowo, w zamkniętej objętości V, będzie sprężone. Jeśli w pewnej chwili usuniemy ściany poprzeczne objętości V i równocześnie spowodujemy przepływ powietrza przez rurę, to zjawisko przepływu będzie przebiegać inaczej niż w poprzednim przykładzie. Prędkość cząstek powietrza będzie wzrastała, dopóki ściśnięte powietrze będzie się rozprężać. Z rury wypływa więc więcej powietrza niż do niej wchodzi. Wynika z tego więc, że dywergencja pola prędkości jest różna od zera. Rotacją pola wektorowego W nazywamy pole wektorowe określone następująco rot W = W = i j k y x z P Q R = = ( R y Q z ) i + ( P z R x ) j + ( Q x P y ) k.
8 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 8 Własności rotacji Niech W, F będą różniczkowalnymi polami wektorowymi, a ϕ będzie różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy 1. rot(a W + b F ) = a rotw + b rotf, gdzie a, b R; 2. rot(ϕw ) = ϕ rotw + (gradϕ) W. Pole wektorowe W jest bezźródłowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wektor W 1, że W = rotw 1. Jeżeli funkcje P, Q, R są klasy C 2, to div(rot W ) = 0. Pole wektorowe nazywamy bezwirowym na pewnym obszarze V, jeżeli w każdym punkcie tego obszaru rotacja wektora pola równa się zeru: rotw = 0. Nie każdy ruch obrotowy np. cieczy, jest ruchem rotacyjnym. A. B. Na rysunku A. przedstawiono dwa położenia elementu objętościowego cieczy poruszającego się po okręgu. Z ruchem postępowym jest związany ruch obrotowy elementu, rotacja prędkości jest więc różna od zera. Taki ruch nazywamy ruchem rotacyjnym bądź wirowym. Na rysunku B. element objętościowy również porusza się po okręgu, ale bez obrotu. Czyli nie ma prędkości kątowej. W tym przypadku rotacja jest równa zero. Mamy tu do czynienia z ruchem bezwirowym.
9 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 9 Rozważmy ruch cieczy w zagięciu kanału. Mogą tu zachodzić dwa przypadki. A. B. Jeśli przędkość cieczy przy zagięciu wewnętrznym jest mniejsza niż przy zagięciu zewnętrznym (rysunek A.), to element objętościowy cieczy podczas ruchu obróci się. Jest to zatem ruch wirowy. W przypadku, gdy prędkość cieczy przy zagięciu wewnętrznym jest odpowiednio większa od prędkości przy zagięciu zewnętrznym, to element objętościowy nie obróci się i ruch jest bezwirowy. Ruch wirowy może także wystąpić przy ruchu prostoliniowym cieczy. W przypadku, gdy poszczególne warstwy cieczy mają inne prędkości. Ruch taki zachodzi na przykład przy ruchu wody w rzekach i kanałach. Wskutek różnicy prędkości w poszczególnych warstwach, element objętościowy wykonuje pewien obrót z prędkością kątową. Zatem rotacja jest różna od zera i ruch jest wirowy. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] nazywamy potencjalnym, jeżeli istnieje funkcja U zwana potencjałem pola wektorowego W, dla której gradu = W.
10 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 10 Czyli pojęcia gradient i potencjał pozostają we wzajemnym związku (podobnie jak pojęcia pochodna i funkcja pierwotna ). Jeżeli U jest potencjałem pola wektorowego W, to jednocześnie W jest gradientem funkcji U. Dowolne pole wektorowe można rozłożyć na sumę pola bezwirowego i bezźródłowego. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz jest różniczką zupełną pewnej funkcji U. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki Uwaga Q x = P y, P z = R x, R y = Q z. Pole wektorowe W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest bezwirowe wtedy i tylko wtedy, gdy Q x = P y, P z = R x, R y = Q z. Uwaga Pole wektorowe jest potencjalne. W = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] jest bezwirowe wtedy i tylko wtedy, gdy Uwaga rot grad U = 0. Laplasjanem funkcji skalarnej ϕ nazywamy funkcję skalarną określoną wzorem ϕ = 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2.
11 Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 11 Jeżeli pole wektorowe W ma potencjał U, to div(grad U) = U. Bibliografia I. Dziubiński, L. Siewierski Matematyka dla wyższych szkół technicznych, PWN M. Gewert, Z. Skoczylas Elementy analizy wektorowej, GiS E. Karaśkiewicz Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN D. McQuarrie Mathematical Methods for Scientists and Engineers, USB W. Stankiewicz, J.Wojtowicz Zadania z matematyki dla wyższych szkół technicznych, PWN
Analiza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoŁadunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych
6 czerwca 2013 Ładunek elektryczny Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoRóżniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...
Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Niech ładunek będzie rozłożony w objętości V z ciągłą gęstością ρ(x,y,z). Wytworzone przez ten ładunek pole elektryczne będzie również zmieniać się w przestrzeni
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowo1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 1 Rachunek wektorowy Co to jest,,pole? Matematyka: odwzorowanie Rn Rm które przypisuje każdemu punktowi wartość (skalarną lub wektorową). Fizyka: Własność przestrzeni
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa
opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa 1. Funkcje wektorowe 1.1. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie Wektor r = x i + y j nazywamy wektorem wodzącym punktu (x, y). Jeśli x oraz y są funkcjami czasu,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów
J. Szantyr -ykład Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów Stany skupienia materii: ciała stałe płyny, czyli ciecze i gazy -Ciała stałe przenoszą obciążenia zewnętrzne w taki sposób, że ulegają deformacji
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14
dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoPotencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie
Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
Bardziej szczegółowo1. Podstawy matematyki
1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoSIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,
IMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, 2012-06-03 Całka powierzchniowa efinicja gładkiego płata powierzchni Gładkim płatem powierzchni nazywamy zbiór : = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) }, gdzie R 2 jest
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoAerodynamika i mechanika lotu
Prędkość określana względem najbliższej ścianki nazywana jest prędkością względną (płynu) w. Jeśli najbliższa ścianka porusza się względem ciał bardziej oddalonych, to prędkość tego ruchu nazywana jest
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowocz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 14: Pole magnetyczne cz.. dr inż. Zbigniew zklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoŁadunki elektryczne. q = ne. Zasada zachowania ładunku. Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz materii. Ładunki jednoimienne odpychają się
Ładunki elektryczne Ładunki jednoimienne odpychają się Ładunki różnoimienne przyciągają się q = ne n - liczba naturalna e = 1,60 10-19 C ładunek elementarny Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz
Bardziej szczegółowoWymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C
Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
Fizyka w poprzednim odcinku Obliczanie natężenia pola Fizyka Wyróżniamy ładunek punktowy d Wektor natężenia pola d w punkcie P pochodzący od ładunku d Suma składowych x-owych wektorów d x IĄGŁY ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia
Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha F.Żarnecki Praca Rozważamy
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoKsięgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki
Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoPDE. czyli równania różniczkowe cząstkowe [Partial Differential Equation(s)] wstęp do wstępu. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016
PDE czyli równania różniczkowe cząstkowe [Partial Differential Equation(s)] wstęp do wstępu Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 WSTĘP Motywacja Dotychczas zajmowaliśmy się równaniami
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne. Równania Maxwella
Pole elektromagnetyczne (na podstawie Wikipedii) Pole elektromagnetyczne - pole fizyczne, za pośrednictwem którego następuje wzajemne oddziaływanie obiektów fizycznych o właściwościach elektrycznych i
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego
Elektrostatyka Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego 1 Prawo Coulomba odpychanie naelektryzowane szkło nie-naelektryzowana miedź F 1 4 0 q 1 q 2 r 2 0 8.85
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 12 Procesy transportu Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Zjawiska transportu Zjawiska transportu są typowymi procesami nieodwracalnymi zachodzącymi w przyrodzie. Zjawiska te polegają
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoPotencjał pola elektrycznego
Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoElektrostatyczna energia potencjalna U
Elektrostatyczna energia potencjalna U Żeby zbliżyć do siebie dwa ładunki jednoimienne trzeba wykonać pracę przeciwko siłom pola nadając ładunkowi energię potencjalną. Podobnie trzeba wykonać pracę przeciwko
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z FIZYKI W SEMESTRZE ZIMOWYM Elektronika i Telekomunikacja oraz Elektronika 2017/18
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z FIZYKI W SEMESTRZE ZIMOWYM Elektronika i Telekomunikacja oraz Elektronika 2017/18 1. Czym zajmuje się fizyka? Podstawowe składniki materii. Charakterystyka czterech fundamentalnych
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoBardziej formalnie, wektor to wielkość, której współrzędne zmieniają się w określony sposób przy obrót prostokątnego układu współrzędnych.
Rachunek wektorowy (fragmenty z Wikipedii) Zastosowanie wektorów w matematycznym opisie pola elektromagnetycznego umożliwia przedstawienie równań w postaci bardzo zwięzłej i niezależnej od przyjętego układu
Bardziej szczegółowoFizyka współczesna Co zazwyczaj obejmuje fizyka współczesna (modern physics)
Fizyka współczesna Co zazwyczaj obejmuje fizyka współczesna (modern physics) Koniec XIX / początek XX wieku Lata 90-te XIX w.: odkrycie elektronu (J. J. Thomson, promienie katodowe), promieniowania Roentgena
Bardziej szczegółowowymiana energii ciepła
wymiana energii ciepła Karolina Kurtz-Orecka dr inż., arch. Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Dróg, Mostów i Materiałów Budowlanych 1 rodzaje energii magnetyczna kinetyczna cieplna światło dźwięk
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY
MODUŁ MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 8
Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Ładunek elektryczny Grecy ok. 600 r p.n.e. odkryli, że bursztyn potarty o wełnę przyciąga inne (drobne) przedmioty. słowo
Bardziej szczegółowogazów lub cieczy, wywołanym bądź różnicą gęstości (różnicą temperatur), bądź przez wymuszenie czynnikami zewnętrznymi.
WYMIANA (TRANSPORT) CIEPŁA Trzy podstawowe mechanizmy transportu ciepła (wymiany ciepła): 1. PRZEWODZENIIE - przekazywanie energii od jednej cząstki do drugiej, za pośrednictwem ruchu drgającego tych cząstek.
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para
Rozdział 6 Równania Maxwella Podstawą elektrodynamiki klasycznej są równania Maxwella, które wiążą pola elektryczne E i magnetyczne B ze sobą oraz z ładunkami i prądami elektrycznymi. Pola E i B są funkcjami
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoElektrostatyka ŁADUNEK. Ładunek elektryczny. Dr PPotera wyklady fizyka dosw st podypl. n p. Cząstka α
Elektrostatyka ŁADUNEK elektron: -e = -1.610-19 C proton: e = 1.610-19 C neutron: 0 C n p p n Cząstka α Ładunek elektryczny Ładunek jest skwantowany: Jednostką ładunku elektrycznego w układzie SI jest
Bardziej szczegółowoABC matematyki dla początkujących fizyków. Elementy analizy wektorowej
AB matematyki dla początkujących fizyków Elementy analizy wektorowej polewektoroweipoleskalarne różniczkowaniefunkcjiwektorowej operatornabla gradient, dywergencja,rotacja gradient,laplasjanwukładziesferycznym
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności
Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące
Bardziej szczegółowoLinie sił pola elektrycznego
Wykład 5 5.6. Linie sił pola elektrycznego Pamiętamy, że we wzorze (5.) określiliśmy natężenie pola elektrycznego przy pomocy ładunku próbnego q 0, którego wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania/problemy egzaminacyjne. Wszystkie bezwymiarowe wartości liczbowe występujące w treści zadań podane są w jednostkach SI.
Przykładowe zadania/problemy egzaminacyjne. Wszystkie bezwymiarowe wartości liczbowe występujące w treści zadań podane są w jednostkach SI. 1. Ładunki q 1 =3,2 10 17 i q 2 =1,6 10 18 znajdują się w próżni
Bardziej szczegółowoZasada zachowania pędu
Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu Układ izolowany Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu, ale brak jest oddziaływań
Bardziej szczegółowoRozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:
Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoElektryczność i Magnetyzm
Elektryczność i Magnetyzm Reinhard Kulessa II semestr r. akademickiego 2006/2007 Literatura E.M. Purcell, Berkeley Physics Course, Elektryczność i Magnetyzm David J. Griffiths:, "Podstawy Eelektrodynamiki",
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści. Przedmowa 11
Podstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce? 13 1. Analiza wektorowa 19
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA PROCESOWA
TERMODYNAMIKA PROCESOWA Wykład III Podstawy termodynamiki nierównowagowej Prof. Antoni Kozioł Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Uwagi ogólne Większość zagadnień związanych z przemianami różnych
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoWykład 7: Pola skalarne i wektorowe Katarzyna Weron
Wykład 7: Pola skalarne i wektorowe Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Zwykła pochodna Pytanie: Mam funkcję jednej zmiennej f(x). O czym mówi pochodna df? dx Odpowiedź: Jak szybko zmienia się f(x),
Bardziej szczegółowoQ t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.
Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoWektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz
Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowo