Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012
Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja. Ośrodkowość procesu Proces (X (t)) t T nazywamy ośrodkowym, jeśli istnieje zbiór przeliczalny S T oraz zbiór N, P(N) = 0, taki, że dla ω / N i dla dowolnego t T zachodzi X t (ω) X (I S, ω) I ;I t gdzie I przebiega zbiór J odcinków relatywnie otwartych w T. S nazywamy zbiorem ośrodkowości procesu (X (t)) t T. Równoważnie: Proces (X (t)) t T jest ośrodkowy dla dowolnego ω / N i dowolnego u / S istnieje ciąg S s j u taki, że X (u, ω) = lim j X (s j, ω).
Ośrodkowość procesów Wniosek. Proces o trajektoriach ciągłych (prawostronnie, lewostronnie ciągłych) jest ośrodkowy. Tw. 1. Niech (X (t)) t T będzie procesem ośrodkowym oraz S zbiorem ośrodkowości procesu. Istnieje zbiór N, P(N) = 0 taki, że dla dowolnego domkniętego zbioru K R oraz dowolnego relatywnie otwartego przedziału I T zachodzi {X (t) K, t I S} \ {X (t) K, t I } N. Stąd wynika, że zbiory {X (t) K, t I } są zdarzeniami ( Σ) oraz P(X (t) K, t I ) = P(X (t) K, t I S) = inf P(X (t) K, t I U). U I gdzie U przebiega wszystkie przeliczalne podzbiory I T.
Ośrodkowość procesów Wniosek. Dla ω / N zachodzi lim sup t u sup I X (t, ω) = sup X (t, ω), inf X (t, ω) = inf X (t, ω); I S I I S X (t, ω) = lim sup S t u X (t, ω), lim inf t u Stąd, powyższe wzory określają zmienne losowe. X (t, ω) = lim inf X (t, ω). S t u Analogiczne wzory zachodzą dla granic jednostronnych. Dowód Tw. 1. Z definicji ośrodkowości zachodzi X (u, ω) X (I S, ω), dla dowolnego u I J oraz ω / N. Zatem X (I, ω) = X (I S, ω), I J, ω / N. Pierwszy z wzorów wynika teraz z następującej równoważności: {X (t) K, t T 0 } X (T 0, ω) K, K domkn. R, T 0 T.
Ciągłość stochastyczna, środkowość procesów Definicja. Ciągłość stochastyczna procesu Proces (X (t)) t T nazywamy ciągłym stochastycznie, gdy odwzorowanie t X (t) jest ciągłe w sensie zbieżności wg. prawdopodobieństwa. Tw. 2. Jeśli (X (t)) t T jest ciągły stochastycznie i ośrodkowy to dowolny zbiór przeliczalny gęsty w T jest zbiorem ośrodkowości procesu. Lemat. Niech (X (t)) t T będzie ciągły stochastycznie oraz niech S będzie zbiorem przeliczalnym, gęstym w T. Istnieje rodzina {N u ; u T } zbiorów zerowych, taka, że dla dowolnego u T oraz ω / N u X (u, ω) I u X (I S, ω)
Ciągłość stochastyczna, ośrodkowość procesów Dowód Lematu. Dla dowolnego u T i dowolnego {s j }, s j S, s j u zachodzi X sj X u wg. prawdopodobieństwa. Istnieje wiec podciąg {s k } taki, że dla ω / N u zachodzi X sk X u więc X (u, ω) X (I S, ω). I u Dowód Tw. 2. Niech S 0 - zbiór ośrodkowości procesu oraz N - zbiór zerowy z definicji ośrodkowości. Jeśli S jest zbiorem przeliczalnym gęstym w T, to na podstawie lematu X (I S 0, ω) X (I S, ω), dla ω / S 0 N u. Stąd X (u, ω) X (I S, ω), dla dowolnego u I J i dowolnego ω / N S 0 N u.
Stochastyczna równoważność i ośrodkowość procesów Definicja. Stochastyczna równoważność procesów Procesy X i Y nazywamy stochastycznie równoważnymi jeśli dla każdego t T zachodzi P(X (t) = Y (t)) = 1. Procesy stochastycznie równoważne mają te same rozkłady skończenie wymiarowe więc ten sam rozkład procesu. Tw. Stochastyczna równoważność z procesem ośrodkowym Dla dowolnego procesu X istnieje stochastycznie równoważny proces ośrodkowy Y o wartościach w R.
Proces Wienera R. Brown (1827) - chaotyczny ruch pyłku unoszącego się w cieczy; A. Einstein (1827) - równanie dyfuzji; N. Wiener (1918) - istnienie i podstawowe własności procesu Wienera (ruchu Browna). Postulaty procesy Wienera W (t) (i) W (0) = 0, (ii) W jest jednorodnym procesem o przyrostach niezależnych, (iii) W (t + s) W (s) ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji t, (iv) trajektorie procesu W są z prawdopodobieństwem 1 ciągłe.
Proces Wienera, lematy pomocnicze Lemat 1. Niech J a = a e v 2 /2 dv. Dla a > 0 zachodzi: Stąd Dowód. J a = a a 1 + a 2 e a2 /2 J a 1 a e a2 /2. J a 1 a e a2 /2. 1 v v e v 2 /2 ( 1) dv = d(e v 2 /2 ) = a v = 1 /2 e v 2 /2 dv a e a2 v 2. a
Proces Wienera, lematy pomocnicze Ponieważ a e v2 /2 dv v 2 1 a e a2 /2 = J a + a J a /a 2 więc e v 2 /2 dv v 2 J a + 1 a 2 = 1 + a2 a 2 J a, Stąd otrzymujemy lewą część nierówności. Prawa wynika bezpośrednio z pierwszego wzoru. Lemat 2. Niech ξ 1,..., ξ n będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Połóżmy U 0 = V n = 0, U k = ξ 1 +... + ξ k, V k = ξ k+1 +... + ξ n, k = 0,......, n 1. Jeśli P(V k b) p > 0 dla każdego k, b 0 a, to p P(max U k > a) P(U n > a + b). k Jeśli P( V k b) q > 0 dla wszystkich k, b 0, to P(max U k > a + b) P( U n > a). k
Proces Wienera, lematy pomocnicze Dowód Lematu 2. Oznaczmy A 0 = {U 0 > a}, B k = {V k b} oraz A k = {U 0 a,..., U k 1 a, U k > a}. Dowód pierwszej nierówności: P(U n > a + b) k P(A k B k ) = k P(A k ) P(B k ) = p k P(A k ) = p P(max U k > a). k Dla dowodu drugiej, niech A 0 = { U 0 > a + b}, B k = { V k b}, A k = { U 0 a + b,..., U k 1 a + b, U k > a + b}. U n U k V k więc A k B k { U n > a}. Stąd P( U n > a) k P(A k B k ) = k P(A k ) P(B k ) = q P(max k U k > a + b).
Oszacowanie maksimum w procesie Wienera Tw. 3. P(sup 0 s t W s > a) 2 P( W t > a) Niech W = (W (t)) 0 będzie procesem ośrodkowym spełniającym postulaty (i)-(iii). Oznaczmy M t = sup 0 s t W s, m t = inf 0 s t W s. Dla a 0 zachodzi P(M t > a) 2 P(W t > a), P( sup W s > a) 2 P( W t > a). 0 s t P(m t < a) 2 P(W t < a), Dowód. Udowodnimy pierwszą nierówność. Z ośrodkowości i ciągłości stochastycznej wynika, że wystarczy pokazać nierówność dla sup s [0t] S W s dla dowolnego zbioru S = {s 1, s 2,...}, przeliczalnego i gęstego w [0, t]. Niech s 1 = 0, s 2 = t oraz niech 0 = t 0 < t 1 <... < t n = t będzie układem n pierwszych wyrazów tego zbioru, uporządkowanym rosnąco. Kładąc ξ k = W tk W tk 1 otrzymujemy U k = ξ 1 +... + ξ k = W tk, V k = ξ k+1 +... + ξ n = W t W tk oraz P(V k 0) 1/2.
Oszacowanie maksimum w procesie Wienera Stosując Lemat 2 dla b = 0 oraz p = 1/2 otrzymujemy P( sup W tk 0 k n > a) 2 P(W t > a). Gdy n otrzymujemy dowodzoną nierówność. Ponieważ { sup W s > a} { sup W s > a} { inf W s < a} 0 s t 0 s t 0 s t więc pierwsze dwie nierówności pociągają za sobą trzecią. Druga nierówność wynika z pierwszej i z symetrii W t : sup W s = inf ( W s); 0 s t 0 s t ( W s ) s 0 ma taki sam rozkład jak (W s ) s 0.
Ciągłość trajektorii procesu Wienera Tw. 4. Ciągłość trajektorii procesu Wienera Niech (W t ) t 0 będzie ośrodkowym procesem spełniającym postulaty (i)-(iii) procesu Wienera. Trajektorie procesu (W t ) t 0 są ciągłe z prawdopodobieństwem 1. Dokładniej, dla każdego 0 < p < 1/2 istnieje N p = N p (ω) takie, że gdy n N p to z prawd. 1 zachodzi W s W t < 4/n p dla s t < 1/n, s, t [0, n]. Dowód. Wystarczy udowodnić ostatnią nierówność. Niech Y n = sup s t <1/n W s W t, s, t [0, n] oraz niech Z k = sup t Jk W t W (k 1)/n, J k = [(k 1)/n, k/n], k = 1,..., n 2. Z nierówności trójkąta mamy Y n 3 max k Z k. Rzeczywiście, gdy s t < 1/n, s J k to W s W t 2 Z k + Z k+1 3 max k Z k. Z k mają jednakowe rozkłady, więc
Ciągłość trajektorii procesu Wienera Na mocy Tw. 3 p n = P(max Z k > ε) = P( {Z k > ε}) P(Z k > ε) = n 2 P(Z k > ε). k P(Z k > ε) 2 P( W 1/n > ε) = 2 2 π ε e v 2 /2 dv, n więc z Lematu 1 otrzymujemy p n 2 n 2 2 P( W 1/n > ε) 2 π n3/2 e nε2 /2 /ε. Kładąc ε = ε n = 1/n p dla p < 1/2 otrzymujemy p n <. Z lematu Borella - Cantelliego z prawdopodobieństwem 1 zachodzi n > N p = max k Z k 1/n p czyli Y n 3/n p.