ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z tej populacji. a Wyzacz ilość iformacji Fishera o parametrze λ z próby X. b Pokaż, że statystyka ĝx = X jest estymatorem efektywym fukcji parametryczej gλ = λ. Zadaie. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład wykładiczy Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X, > będzie próbą prostą z tej populacji. a Wyzacz ilość iformacji Fishera o parametrze λ z próby X. b Pokaż, że statystyka ĝx = mi{x 1, X,..., X } ie jest estymatorem efektywym fukcji parametryczej gλ = 1 λ. Wskazówka: Zmiea losowa Y = mi{x 1, X,..., X } ma rozkład wykładiczy Exλ. c Oblicz effĝx. d Korzystając z waruku a rówość w ierówości Cramera-Rao wyzacz estymator efektywy fukcji parametryczej gλ. Estymatory zgode Zadaie 3. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie zerojedykowym bp, gdzie p 0, 1 jest parametrem. Pokaż zgodość estymatora fukcji parametryczej gp = p postaci ĝx = X. Zadaie 4. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie Rayleigha Rλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Pokaż zgodość estymatora fukcji parametryczej gλ = λ l postaci: ĝx = l π X. Zadaie 5. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie wykładiczym Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Pokaż zgodość estymatora fukcji parametryczej gλ = λ postaci: ĝx = 1 X. Wskazówka: Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji parametru λ jest statystyka 1 X. Przedziały ufości w dużych próbach Zadaie 6. W celu oszacowaia siły kiełkowaia pewej owej odmiay grochu procetu ziare które wykiełkują, wykoao doświadczeie polegające a wysadzeiu losowo wybraych 800 ziare grochu tej owej odmiay i badaiu ilości ziare które wykiełkują. Na 800 wysadzoych ziare wykiełkowało 78. Jako rozkład teoretyczy badaej cechy przyjęto rozkład zero-jedykowy bp, gdzie p 0, 1 jest parametrem. Wyzacz 95% przybliżoy przedział ufości siły kiełkowaia, tz. dla parametru p. Porówaj otrzymay wyik z przedziałem ufości uzyskaym w klasyczy sposób postaci x x1 x z 1 α, x + gdzie zp ozacza kwatyl rzędu p z rozkładu N0, 1. 1 x1 x z 1 α,
Zadaie 7. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Za pomocą metody delta i Cetralego twierdzeia graiczego wyzacz 1001 α% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Wskazówka: Z Cetralego twierdzeia graiczego otrzymuje, że X AN λ, λ. Zadaie 8. Iwestorzy i projektaci turbi w pewej owopowstającej elektrowi wiatrowej potrzebują iformacji o szybkości wiatru, aby oszacować dochody z produkcji eergii elektryczej i zmiimalizować koszty jej wytwarzaia. W tym celu wykoao 5 pomiarów średiej szybkości wiatru w 15 miutowych odstępach czasu. Uzyskao astępujące wyiki w m/s: 0,9 6,,1 4,1 7,3 1,0 4,6 6,4 3,8 5,0,7 9, 5,9 7,4 3,0 4,9 8, 5,0 1, 10,1 1,,8 5,9 8, 0,5 Jako rozkład teoretyczy badaej cechy przyjęto rozkład Rayleigha Rλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Wyzacz 95% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Wskazówka: Na podstawie powyższych daych obliczoo, że x i = 885,5. Zadaie 9. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie wykładiczym Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Stosując kostrukcję opartą a asymptotyczej ormalości ENW, wyzacz 1001 α% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Wskazówka: ENWλ = 1/ X. Zadaie 10. W celu zbadaia czasu bezawaryjej pracy urządzeń po wykoaiu kapitalego remotu, wybrao 50 urządzeń i obserwowao czas bezawaryjej pracy. Wyiki w h. są astępujące: 69 35 15 518 97 79 34 66 18 46 378 676 133 110 81 450 1177 189 641 31 66 587 190 1471 1891 1878 3 415 1634 483 668 311 916 61 3301 1181 3153 580 155 1608 961 504 1770 359 145 1096 973 61 841 49 Jako rozkład teoretyczy badaej cechy przyjęto rozkład wykładiczy Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Wyzacz 95% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Porówaj otrzymay wyik z dokładym przedziałem ufości otrzymaym przy użyciu rozkładu chi-kwadrat postaci χ α, X, χ 1 α, X, gdzie χ p, m jest kwatylem rzędu p z rozkładu chi-kwadrat z m stopiami swobody. Wskazówka: Na podstawie powyższych daych obliczoo, że x i = 55068. Testy ilorazu wiarogodości dla dwóch prób prostych Zadaie 11. Zebrao iformacje dotyczące ilości czasu w godziach poświecoego a wykoywaie zadań domowych przez amerykańskich ucziów prywatych oraz publiczych szkół średich. Na podstawie tych iformacji po piętastu ucziów wylosowaych z obu aalizowaych grup obliczoo, że: dla ucziów szkół prywatych: 15 x 1i = 79, 15 x 1i = 545, dla ucziów szkół publiczych: 15 x i = 4, 15 x i = 3648. Czy rzeczywiście ucziowie szkół prywatych poświęcają istotie więcej czasu a wykoywaie zadań domowych iż ucziowie szkół publiczych? Przyjmij założeie ormalości rozkładu badaej cechy oraz poziom istotości procedury testowej α = 0, 05.
Zadaie 1. Zebrao iformacje dotyczące czasu w latach bezawaryjej pracy urządzeń starego i owego typu. Na podstawie tych iformacji po dwadzieścia urządzeń daego typu obliczoo, że: dla urządzeń starego typu: 0 x 1i = 78, dla urządzeń owego typu: 0 x i = 86. Czy wartość oczekiwaa bezawaryjego czasu pracy owych urządzeń jest istotie dłuższa iż urządzeń starego typu? Przyjmij założeie wykładiczości rozkładu czasu bezawaryjej pracy urządzeń oraz poziom istotości procedury testowej α = 0, 05. Wskazówka: Niech X 1 = X 11, X 1,..., X 1, X = X 1, X,..., X m będą iezależymi próbami prostymi z populacji o rozkładach wykładiczych Exλ 1 i Exλ, odpowiedio, gdzie λ 1 i λ są parametrami. Obszar krytyczy testu ilorazu wiarogodości hipotezy zerowej 3 przeciwko hipotezie alteratywej H 0 : λ 1 = λ a poziomie istotości α ma postać { B = x 1, x : H 1 : λ 1 > λ } X 1 F α,, m, X gdzie F p, r, s jest kwatylem rzędu p z rozkładu F r, s. Zadaie 13. Niech X 1 = X 11, X 1,..., X 1, X = X 1, X,..., X m, m > 1 będą iezależymi próbami prostymi z populacji o rozkładach ormalych Nµ 1, σ 1 i Nµ, σ, odpowiedio, gdzie µ 1, µ, σ 1 i σ są parametrami. Wyzacz obszar krytyczy testu ilorazu wiarogodości a poziomie istotości α hipotezy zerowej przeciwko hipotezie alteratywej H 0 : σ 1 = σ Wskazówki: a Moża pokazać, że gdzie H 1 : σ 1 > σ. sup L = π +m S 1 S m exp Θ sup L = π +m ˆσ +m exp Θ 0 S 1 = 1 1i X X 1, S = 1 m b Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa F X 1, X = S 1 S ma rozkład F 1, m 1, gdzie S 1 = 1 1 + m + m,, m X i X, ˆσ = 1 S 1 + m S. + m X 1i X 1, S = 1 m X i m 1 X.
Nieparametrycze testy zgodości i jedorodości Zadaie 14. Pokaż, że statystykę testową w teście zgodości χ -Pearsoa dla jedej próby moża zapisać w postaci k χ Oi =. E i Zadaie 15. W klasyczych doświadczeiach dotyczących selekcji grochu, Medel obserwował liczebości występowaia różych rodzajów asio otrzymaych przy krzyżowaiu rośli z okrągłymi i żółtymi asioami oraz rośli z pomarszczoymi i zieloymi asioami. Poiższa tabela zawiera otrzymae wyiki. Rodzaj Liczebość pomarszczoe i zieloe 3 okrągłe i zieloe 108 pomarszczoe i żółte 101 okrągłe i żółte 315 Według teoretyczych rozważań prawdopodobieństwa występowaia wymieioych rodzajów asio wiy być w stosuku 1:3:3:9. Czy wyiki doświadczeia są zgode z rozważaiami teoretyczymi? Zweryfikuj odpowiedią hipotezę a poziomie istotości 0,05. Zadaie 16. Losowo wybraym grupom ucziów szkół gimazjalych, zadao pytaie: Jak oceiasz sytuację materialą swojej rodziy? Do wyboru były astępujące odpowiedzi: dobra, przecięta, zła. Pierwszą grupę staowili chłopcy, drugą grupę dziewczęta. Wyiki przedstawia poiższa tabela. Dziewczęta Chłopcy dobra 0 39 przecięta 85 95 zła 5 6 Czy a podstawie uzyskaych odpowiedzi moża stwierdzić istote różice w rozkładzie opiii dotyczącej sytuacji materialej rodzi wśród chłopców i dziewcząt. Zweryfikuj odpowiedią hipotezę a poziomie istotości 0,05. Zadaie 17. W celu weryfikacji geeratora liczb pseudolosowych z rozkładu jedostajego U0, 1 wygeerowao 50 liczb. Wyiki eksperymetu w postaci szeregu rozdzielczego zawiera poiższa tabela. Na poziomie istotości 0,05, zweryfikuj hipotezę o poprawości działaia geeratora. Wartość Liczebość 0,0-0, 7 0, - 0,4 6 0,4-0,6 16 0,6-0,8 14 0,8-1,0 7 Zadaie 18. Przeprowadzoo eksperymet a dwóch próbach świek morskich. Zaobserwoway ciężar świek w g w pierwszej próbie wyosił: 80, 35, 70, 385, 75, 90, 400, 330, 300, 345, a w drugiej próbie wyosił: 60, 380, 30, 350, 85, 395, 370, 340, 310, 390, 355. Na poziomie istotości 0,05 zweryfikuj hipotezę, że rozważae próby pochodzą z tej samej populacji. 4
5 Testy ieparametrycze - zakowaie i ragowaie Zadaie 19. Niech X = X 1, X,..., X 10 będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie ze ściśle rosącą dystrybuatą F. Na poziomie istotości α = 0,05, weryfikujemy hipotezę zerową H 0 : Me = 0, przeciwko hipotezie alteratywej H 1 : Me 0. a Wyzacz obszar krytyczy testu zaków. b Czy odrzucimy hipotezę zerową, gdy x = 1,, 5, 3, 1, 5, 4,, 0, 4, 3? Wskazówka: Niech X b10; 0,5. x PX = x 0 0,0010 1 0,0098 0,0439 3 0,117 4 0,051 5 0,461 6 0,051 7 0,117 8 0,0439 9 0,0098 10 0,0010 Zadaie 0. W grupie 14 studetów drugiego roku, 54 miało średią oce z drugiego roku studiów lepszą, trzech taką samą, a pozostali gorszą iż z pierwszego roku. Czy a podstawie tych daych moża stwierdzić, że istieje istota różica w rezultatach uzyskiwaych a pierwszym i a drugim roku studiów? Przyjmij poziom istotości procedury testowej rówy 0,05. Zadaie 1. Niech X = X 1, X, X 3, Y = Y 1, Y, Y 3 będą dwiema iezależymi próbami prostymi z populacji o ciągłych dystrybuatach F µ1 i F µ odpowiedio, gdzie µ 1, µ R są iezaymi parametrami oraz dystrybuata F µ spełia waruek F µ x = F x µ dla pewej ciągłej dystrybuaty F. Za pomocą testu W Wilcoxoa, weryfikujemy hipotezę H 0 : µ 1 = µ przy alteratywie H 1 : µ 1 < µ. a Wyzacz obszar krytyczy testu W Wilcoxoa przy α = 0,1. b Czy a poziomie istotości 0,1 możemy odrzucić hipotezę zerową, jeżeli x = 9, 3, 8 oraz y = 11, 5, 1? Zadaie. Wylosowao po 15 kobiet i mężczyz zatrudioych w pewym dużym zakładzie pracy i otrzymao astępujące dae o ich płacy. Kobiety: 4500, 4400, 700, 5100, 5150, 4500, 4550, 4400, 500, 3900, 400, 4300, 3950, 3950, 4000. Mężczyźi: 4400, 4700, 300, 4800, 5000, 5000, 4800, 300, 300, 4700, 4700, 4800, 4700, 5000, 300. Czy a podstawie zebraych daych moża stwierdzić, że poziom płac wśród zatrudioych w tym zakładzie kobiet jest istotie iższy od poziomu płac mężczyz? Dokoaj wioskowaia a poziomie istotości 0,05.