Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi Szoła Główna Handlowa Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji szeregów czasowych 1. Wprowadzenie Współczesne narzędzia z zaresu analizy szeregów czasowych obejmują między innymi zagadnienie deompozycji szeregu czasowego na jego podsawowe sładowe, czyli sładni rendu i sładni cyliczny. Procedura aa nosi nazwę filracji. Meody filracji mogą, zaem posłużyć jao narzędzia umożliwiające poszuiwanie cylu danego szeregu czasowego. Głównym problemem, óry przedsawia niniejsza praca, jes poszuiwanie malejących w czasie wahań cylicznych, o órych mówi eoria impulsu 1. Analiza zosała przeprowadzona na podsawie rzech indesów giełdowych: londyńsiego FT-SE 100, franfurciego era DA oraz warszawsiego WIG. 2. Teoria impulsu Teoria impulsu jes zwana inaczej behawioralną eorią ewolucji rynów apiałowych, óra załada dynamiczny rozwój rynów apiałowych. Teoria a sugeruje isnienie bardzo prosej zależności, óra mówi o ym, że wraz z upływem czasu ażdy ryne apiałowy zmierza do eoreycznego modelu rynu dosonałego, na órym zmiany cen acji są niewielie i oscylują woół warości wewnęrznej acji. Można, zaem zauważyć, iż wraz z upływem czasu, a więc i hisorią procesu, wahania cyliczne maleją, dążąc do rynu dosonałego. Poniższy rysune przedsawia dynamiczny charaer przebiegu rzech faz rozwoju rynu apiałowego. Rysune 1. Teoria impulsu Cena acji Ryne niedojrzaly Ryne dojrzaly Ryne dosonaly Przewarościowanie WWA Czas Bodziec Niedowarościowanie Czynni lumienia WWA - warość wewnęrzna acji Źródło: Jaworsi T. Warość wewnęrzna acji a jej cena na rynu apiałowym, Maeriały dydayczne, Aademia Eonomiczna w Poznaniu, Poznań, s. 146. 1 Jaworsi T. Warość wewnęrzna acji a jej cena na rynu apiałowym, Maeriały dydayczne, Aademia Eonomiczna w Poznaniu, Poznań, s. 146.
2 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi 3. Filry szeregów czasowych Ja już wcześniej wspomniałem filracja umożliwia deompozycję szeregu czasowego na sładowe w posaci sładnia rendu i sładnia cylicznego. W Polsce najchęniej sosowaną meodą filracji szeregów czasowych jes oparcie alulacji na średniej ruchomej 2. Poniżej zosały zaprezenowane dwie najpopularniejsze meody filracji, filr Hodrica-Prescoa oraz filr Baxera-Kinga, óre są sosowane w rajach zachodnioeuropejsich i USA. 3.1. Filr Hodrica-Prescoa Filr Hodrica-Prescoa 3 (1980), zwany eż filrem HP (ang. HP-Filer) jes sosowany szczególnie przez zwolenniów realnego cylu oniunuralnego 4. Filr HP rozbija szereg czasowy n 1 y na jego dwa podsawowe omponeny w posaci długooresowego sładnia rendu oraz sładnia cylicznego. Wyznaczenie sładnia rendu w przypadu meodologii filra HP sprowadza się do rozwiązania poniższego problemu minimalizacyjnego: n d 1 1 n 2 2 y d d d 1 d 1 d 2 min λ Sładni d jes rozumiany jao omponen rendu, y jao warość obserwowana, różnica y d sanowi omponen cyliczny, naomias warość λ odpowiada paramerowi wygładzającemu. Należy dodać, że ażdy szereg czasowy może być zapisany w posaci: y d c. Wówczas c oznacza omponen cyliczny, óry jes odchylony od warości obserwowanej y o warość omponenu rendu d, sąd meoda a nazywana jes aże meodą odchyleń od rendu. Najważniejszy w przypadu meodologii filra HP jes odpowiedni dobór parameru wygładzającego, óry będzie deerminował uzysane wynii. Zgodnie z oryginalnymi założeniami auorów ej meodologii, paramer λ powinien odpowiadać częsoliwości obserwacji badanego szeregu czasowego. Oryginalnie zaproponowanymi warościami parameru wygładzającego są odpowiednio 6,25 dla danych rocznych, 1600 dla danych waralnych oraz 129600 dla danych miesięcznych. Tai dobór paramerów sprawia, że uzysane wynii dla różnych częsoliwości obserwacji są porównywalne. Nie oznacza o wcale, że ai zesaw paramerów jes jedyny i prawidłowy dla wszysich szeregów czasowych. Należy u dodać, że wraz ze spadiem warości λ uzysujemy coraz lepsze dopasowanie omponenu rendu do warości obserwowanych (λ 0), a więc w odwronej syuacji, gdy paramer λ mamy do czynienia z rendem liniowym. W lieraurze raującej o poszuiwaniu cyli w danych eonomicznych, można znaleźć różne warości parameru wygładzającego λ w zależności od częsoliwości obserwacji danego szeregu czasowego. Najczęściej używanymi, oprócz wyżej wymienionych, warościami parameru wygładzającego są 14400 dla danych miesięcznych, oraz 10, 100 i 400 dla danych rocznych 5. Baxer i King w rou proponowali warość λ = 10 dla danych rocznych, ponieważ przybliża ona zw. band pass filer 6, órego aprosymacją jes filr Baxera-Kinga. 2 Piech K. Cyl oniunuralny Polsi a świaowy cyl oniunuralny wniosi dla polsiej poliyi sabilizacyjnej, Szoła Główna Handlowa, Warszawa, s. 3. 3 Hodric R.J. Presco E.C. Poswar U.S. Business Cycles: An Empirical Invesigaion, Discussion Paper, 451, Carnegie Mellon Universiy, 1980, oraz przedru, Hodric R.J. Presco E.C. Poswar U.S. Business Cycles: An Empirical Invesigaion, Journal of Money Credi and Baning, 29,, s. 1-16. 4 Piech K., op. ci., s. 3. 5 Maravall A. del Rio A. Time Aggregaion and he Hodric-Presco filer, Documeno de Trabajo n. o 0108, Servicio de Esudios, Banco de España,, s. 38. 6 Maravall A. del Rio A., op. ci., s. 3.
Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji... / 3 3.2. Filr Baxera-Kinga Filr Baxera-Kinga 7 (), inaczej filr BK (ang. BK-Filer), jes dany jao scenrowana średnia ruchoma o symerycznych wagach, óra onweruje szereg czasowy y na nowy szereg czasowy oczyszczony z rendu, óry dany jes jao 8 : K y~ a y lub y~ K K a K L y W celu znalezienia odpowiednich wag a dla filra BK, należy posłużyć się poniższymi równaniami, óre są rozwiązaniem problemu minimalizacyjnego 9. a b θ dla 0, 1,, K b ω2 ω1 π 1 sin ω π 2 sin ω 1 dla dla 0 1, 2,, K θ K b K 2K 1 Wagi filra BK są symeryczne zn., że spełniają zależność a a dla 1,... K. Ponado wagi e sumują się do zera. W związu z oparciem onsrucji ego filra na bazie scenrowanej średniej ruchomej, należy pamięać, że orzymany szereg czasowy y~ ma obcięych K obserwacji na począu i na ońcu szeregu. Przyładowo, jeżeli mamy dany począowy szereg czasowy y sładający się z n obserwacji, o uzysany dzięi meodologii filra BK nowy szereg czasowy, będzie się sładał z n 2 K obserwacji. Baxer i King proponują dla danych waralnych warość K 12 i wagi odpowiadające częsoliwościom 10 ω 2 32 i ω 2 6. 1 π 2 π 7 Baxer M. King R.G. Measuring Business Cycles: Approximae Band-Pass Filers For Economic Time Series, Universiy of Virginia,. 8 L jes o zw. bacshif operaor, zn.: L y y 9 min Q a π π β ω α ω 2 dω oraz α 0 0. ω β oznacza zw. ideal band-pass filer gain z obcięymi β ω przyjmuje warość 1 w przedziale ω częsoliwościami ω 1 i ω 2. 1,ω 2, oraz 0 poza ym przedziałem. α ω oznacza ransformaę Fouriera filra Baxera-Kinga. 10 Chrisiano L.J. i Fizgerald T.J. z Federal Reserve Ban of Cleveland proponują w Woring Paper 9906 The Band Pass Filer, dosępnym na sronie hp://www.clev.frb.org, sosowanie zw. random wal filer, óry a ja filr Baxera-Kinga jes aprosymacją band-pass filer, filr en jes nazywany zmodyfiowanym filrem Baxera- Kinga. W celu wyizolowania z szeregu czasowego że 2 p l p, należy zasosować filr, dany jao: u x omponenu o oresie oscylacji pomiędzy p i p aimi, l u ŷ B x B x... B x B ~ x B x... B x B ~ x dla 3,4,..., T 2. 0 1 1 T1 T1 T T 1 1 2 2 1 1 Wagi są naomias dane przez poniższe wzory: B 0 b a 2π 2π,a, b π p p sinjb sinja Ponado B ~ T u l B j πj, j 1 oraz spełniają warune: B0 2 Bi 0 i1 jes sumą B j dla j T, T 1,... naomias B ~ 1 jes sumą B j dla j 1,,...
4 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi 3.3. Przyład zasosowania filra HP i filra BK W raporach o inflacji 11, publiowanych przez Narodowy Ban Polsi, można znaleźć m.in. wyres uazujący rend CPI wyznaczony przy użyciu filra Hodrica-Prescoa. Poniższy rysune prezenuje wsaźni CPI (analogiczny miesiąc poprzedniego rou = 100) oraz jego omponen rendu i omponen cyliczny w laach. Dla filra Hodrica-Prescoa zosała użya warość λ = 14400, naomias przy filrze Baxera-Kinga dla K = 36 zosały użye wagi, wyniające z częsoliwości ω1 2π 96 i ω2 2π 18, óre odpowiadają specyfice danych miesięcznych. Rysune 2. Zasosowanie filra Hodrica-Prescoa i filra Baxera-Kinga przy deompozycji wsaźnia CPI w laach (dane miesięczne) 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 25 20 15 10 5 0-5 -10-15 -20 CPI rend CPI (filr HP) sładni cyliczny CPI (filr HP) sładni cyliczny CPI (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych NBP (www.nbp.pl). Na rysunu po prawej sronie w przypadu meodologii filra BK, można zaobserwować, że uzysany szereg czasowy jes rószy o 72 obserwacje. Obydwie meody dały podobny wyni zachowania się sładnia cylicznego CPI w rozparywanym oresie. 4. Teoria impulsu na podsawie filra Hodrica-Prescoa i filra Baxera-Kinga W analizie zosały wyorzysane rzy indesy giełdowe FT-SE 100, era DA i WIG. Przyjęe dane hisoryczne o noowania na zamnięcie osaniego dnia danego miesiąca (dane miesięczne) oraz na zamnięcie osaniego dnia danego warału (dane waralne 12 ). Wyesponowanie sładnia cylicznego badanych indesów giełdowych zosało przeprowadzone na podsawie szeregów czasowych oparych na dwóch ujęciach sopy zwrou. Pierwszy rodzaj prezenowanego ujęcia sopy zwrou opiera się na indesie jednopodsawowym 13, w órym noowanie na zaończenie pierwszego miesiąca (warału) działania giełdy = 100, w przypadu sopy zwrou. Drugie ujęcie opiera się na indesie łańcuchowym ro do rou, czyli noowanie na zaończenie analogicznego miesiąca (warału) poprzedniego rou = 100 (w przypadu sopy zwrou ). 11 Na przyład: Rapor o inflacji w III warale rou, Narodowy Ban Polsi, Warszawa, s. 46. 12 Obliczenia na danych waralnych zosały przeprowadzone jedynie dla indesu FT-SE 100. 13 Jes o sumulowana sopa zwrou. Ujęcie o zosało zasosowane ylo dla indesu FT-SE 100.
1984 1984 Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji... / 5 W przypadu wszysich indesów giełdowych zosała wyorzysana formuła arymeycznej sopy zwrou 14, jedynie w przypadu indesu WIG użyo formuły logarymicznej sopy zwrou 15, przypade en zosanie szerzej objaśniony w podrozdziale odnoszącym się bezpośrednio do analizy indesu WIG. 4.1. FT-SE 100 Indes Financial Times Soc Eexchange 100 (FT-SE 100) jes głównym indesem giełdy papierów warościowych w Londynie (ang. London Soc Exchange). Pierwsze noowanie ej średniej giełdowej 100 najwięszych spółe na LSE miało miejsce 2 wienia 1984 rou. Indes en jes obecnie, obo ameryańsiego DJIA (Dow Jones Indusrial Average) czy S&P 500 (Sandard & Poor s 500) jednym z najważniejszych wsaźniów giełdowych na świecie. Rysune 3. FT-SE 100 w laach 1984 (dane miesięczne) 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5-5 sumulowana sopa zwrou rend (filr HP) 125% 10 75% 5 25% -25% -5-75% -10-125% -15 sładni cyliczny (filr HP) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). 14 I r 1, gdzie r oznacza arymeyczną sopę zwrou w oresie od do, I odpowiada I warości indesu giełdowego w oresie, naomias I warości indesu giełdowego w oresie. 15 I r ln, gdzie r odpowiada logarymicznej sopie zwrou w oresie od do. I
1984 1984 6 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi Rysune 3 (s. 5) prezenuje hisorię indesu FT-SE 100, jao sumulowaną sopę zwrou. Filr HP zosał użyy z warością λ = 129600, a filr BK z wagami dla K 36, ω 2 96 i ω 2 18. 1 π 2 π Wraz z rozwojem giełdy londyńsiej od wienia 1984 rou do ońca rou indes FT-SE 100 odchylał się od rendu masymalnie o ooło 50 pp w górę i o ooło 30 pp w dół. Od począu rozpoczął się eap zwięszającej się zmienności, óra w przypadu obu zasosowanych filrów zosała wychwycona w zbliżony sposób. Poniższy rysune prezenuje ujęcie indesu giełdowego FT-SE 100 na podsawie formuły indesu ro do rou. Warości paramerów filra HP i filra BK są idenyczne ja w przypadu ujęcia sumulowanej sopy zwrou. Rysune 4. Sopa zwrou indesu giełdowego FT-SE 100 mierzona ro do rou w laach 1984 (dane miesięczne) 6 5 4 3 2 1-1 -2-3 sopa zwrou ro do rou rend (filr HP) 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 sładni cyliczny (filr HP) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). Wynii uzysane dzięi meodologii filra HP i filra BK są w ym przypadu również bardzo zbliżone. Zachowanie omponenu cylicznego w czasie świadczy o bardzo podobnym przebiegu do ujęcia sugerowanego przez eorię impulsu. Należy u zauważyć, że isnieją odsępswa od reguły, óre w ym przypadu są widoczne w posaci wybić omponenów cylicznych, uzysanych meodą filra HP i filra BK, poza linię łumienia wyniającą z eorii. Zgodnie z zależnością sugerowaną przez eorię impulsu, w oresie do połowy rou mamy do czynienia z ryniem niedojrzałym, naomias od połowy rou do ońca rou rwa eap rynu dojrzałego.
1984 1984 Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji... / 7 Od począu rou do ońca rou obserwowany szereg czasowy reprezenuje ryne dosonały. Równocześnie w ym oresie możemy zaobserwować najwięsze wybicia szeregu czasowego poza linię łumienia, óre w przypadu filra HP są najbardziej widoczne. Fa en jes bezpośrednio związany z syuacją widoczną w ym oresie na rysunu 3 (s. 5). Od rou mamy do czynienia z narasającą zmiennością warości indesu FT-SE 100 w ujęciu sumulowanej sopy zwrou. Zaczynają narasać odchylenia od rendu, czyli omponen cyliczny zaczyna przyjmować warości coraz bardziej zmieniające się w czasie. Nasępuje wówczas przyspieszenie empa wzrosu warości indesu oraz załamanie rwającej od począu isnienia indesu endencji wzrosowej na począu rou. Te czynnii mają bezpośredni wpływ na wynii uzysane na indesie sopy zwrou ro do rou. W przypadu filra BK (rys. 4) nie mamy do czynienia z a dużymi i częsymi wybiciami poza linię łumienia ja ma o miejsce w przypadu filra HP. Wyłumaczeniem ego zjawisa jes również przebieg omponenu cylicznego w przypadu sumulowanej sopy zwrou. Komponen en nie jes a zmienny ja en uzysany w przypadu filra HP, a więc w onsewencji na sopie zwrou ro do rou, nie obserwujemy a dużych wybić poza linę łumienia. Należy u przypomnieć, że filr HP daje jedna wynii bardziej zbliżone do przebiegu realnego cylu. Wygląd omponenu cylicznego uzysanego dzięi meodologii filra BK wynia z onsrucji ego narzędzia, óre ja ażda średnia ruchoma powoduje wygładzanie obserwowanego szeregu czasowego. Rysune 5. FT-SE 100 w laach 1984 (dane waralne) 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5-5 sumulowana sopa zwrou rend (filr HP) 15 10 5-5 -10-15 sładni cyliczny (filr HP) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com).
1984 1984 8 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi Rysune 5 (s. 7) prezenuje ujęcie indesu FT-SE 100 jao sumulowanej sopy zwrou, bazując na danych waralnych. W przypadu filra HP zosał użyy paramer wygładzający λ = 1600, odpowiadający danym waralnym. Uzysany w en sposób omponen rendu i omponen cyliczny jes porównywalny z wyniiem uzysanym dla danych miesięcznych. Filr BK zosał również sonfigurowany w sposób odpowiadający danym waralnym, co aże zapewnia porównywalność z wyniami uzysanymi na danych miesięcznych. Poniższy rysune prezenuje syuację analogiczną do ej na rysunu 4 (s. 6), bazując na danych waralnych. Użye warości paramerów dla filra HP i filra BK są idenyczne ja w przypadu sumulowanej sopy zwrou na danych waralnych. Rysune 6. Sopa zwrou indesu giełdowego FT-SE 100 mierzona ro do rou w laach 1984 (dane waralne) 6 5 4 3 2 1-1 -2-3 sopa zwrou ro do rou rend (filr HP) 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 sładni cyliczny (filr HP) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). Wynii uzysane na danych waralnych dla sopy zwrou ro do rou nie odbiegają od syuacji zaprezenowanej na bazie danych miesięcznych. Dzięi zasosowaniu usawień, óre odpowiadają specyfice danych waralnych, w przypadu obu narzędzi, mamy również do czynienia z omponenami cylicznymi, óre są porównywalne z wyniami uzysanymi dla danych miesięcznych. Ważnym aspeem w powyższej analizie jes problem związany z ilością dosępnych danych hisorycznych. Należy pamięać, że isnieje prawdopodobieńswo, iż widoczne zachowanie omponenu cylicznego sanowi jedynie wycine bardziej rozbudowanego i złożonego procesu.
1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 4.2. era DA Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji... / 9 Franfurci indes giełdowy era DA o obo londyńsiego FT-SE 100 i parysiego CAC 40, jeden z najważniejszych europejsich wsaźniów giełdowych. W porównaniu z indesem Financial Times, DA obejmuje o wiele bardziej rozległy horyzon czasowy. Pierwsze noowanie ego indesu miało miejsce 2 sycznia 1970 rou, a więc 14 la wcześniej niż FT-SE 100. Poniższy rysune prezenuje indes era DA na danych miesięcznych jao sopę zwrou mierzoną ro do rou. Oazuje się, że zasosowanie zarówno filra BK i filra HP nie daje w przypadu ego indesu a zadowalających rezulaów, ja ma o miejsce w przypadu FT-SE 100. Zasosowana do obliczeń omponenu rendu przy meodologii filra HP warość parameru λ wynosi 129600. Usawienia filra BK są analogiczne do poprzednich przypadów odnoszących się do danych miesięcznych. Rysune 7. Sopa zwrou indesu giełdowego era DA mierzona ro do rou w laach 1970 (dane miesięczne) 8 7 6 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 sopa zwrou ro do rou rend (filr HP) 6 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 sladni cyliczny (filr HP) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). W zasadzie, malejące w czasie wahania cyliczne, w przypadu indesu era DA można zaobserwować od rou, a więc dwa laa po rozpoczęciu noowań indesu FT-SE 100. Należy jedna dodać, że omponeny cyliczne uzysane dzięi meodologii filra HP i filra BK, w przypadu niemieciego rynu apiałowego, nie wyazują a wyraźnie malejących wahań w czasie, ja ma o miejsce w przypadu giełdy londyńsiej.
10 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi Jeżeli chodzi o odniesienie orzymanych wyniów do eorii impulsu, o należy podreślić, że uzysane rezulay są w ym przypadu dosyć dysusyjne i obarczone dużym błędem. Nie mamy u do czynienia z a jasną syuacją, jaa ma miejsce w przypadu analizy FT-SE 100. Poniższy rysune odnosi się do przedziału czasowego, óry można uznać za odpowiadający eorii impulsu. Współczynni orelacji dla omponenu cylicznego uzysanego przez meodologię filra HP i filra BK, w dosępnym onie czasowym, óre można uznać za ores odpowiadający wysępowaniu malejących wahań cylicznych, zn. od począu rou do ońca rou 16, wynosi 89,96%. Rysune 8. Sładni cyliczny sopy zwrou ro do rou indesu era DA w laach (dane miesięczne) 6 4 2-2 -4-6 sładni cyliczny (filr HP) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). W przypadu głównego wsaźnia giełdy we Franfurcie pojawiają się duże problemy z wyodrębnieniem poszczególnych faz rozwoju ego rynu apiałowego. W szczególności faza rynu niedojrzałego, a w zasadzie bodziec, po órym powinny pojawić się malejące wahania cyliczne, charaeryzuje się w ym przypadu wyjąowo długim przebiegiem. Równocześnie duże wąpliwości budzi zachowanie się sładnia cylicznego od rou, iedy o mamy do czynienia z dużymi wybiciami ponad rajeorię wyniającą z założeń eorii impulsu. Doyczy o przede wszysim cylu wyniającego z zasosowania filra HP (rys. 8). Analogicznie do wniosów przedsawionych w odniesieniu do FT-SE 100, należy się zasanowić, czy w przypadu dosępności więszej liczby danych hisorycznych, isniałaby możliwość lepszej idenyfiacji i inerpreacji poszczególnych faz rozwoju franfurciej giełdy. 4.3. WIG Polsi ryne apiałowy ma znacznie rószą hisorię niż londyńsi czy franfurci. Głównym wsaźniiem Giełdy Papierów Warościowych S.A. w Warszawie jes Warszawsi Indes Giełdowy (WIG), óry jes noowany od 16 wienia rou. W związu z powyższym dosępna liczba danych hisorycznych jes o wiele mniejsza niż w przypadu analizowanych wcześniej FT-SE 100 i era DA. Przy analizie WIG-u należy zwrócić również uwagę na fa, iż indes en cechował się wyjąowo wysoą zmiennością w laach. Powoduje o, że zasosowanie arymeycznej formuły sopy zwrou oazuje się mało przydane, ponieważ uzysane ą meodą poziomy sóp zwrou, przyjmują w począowym oresie isnienia GPW bardzo wysoie i odmienne od pozosałych poziomy. 16 Z uwagi na oparcie onsrucji filra Baxera-Kinga na formule scenrowanej średniej ruchomej.
Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji... / 11 Rysune 9. Różnica pomiędzy arymeyczną i logarymiczną sopą zwrou indesu giełdowego WIG mierzoną ro do rou w laach - (dane miesięczne) 160 140 120 100 80 60 40 20 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). W celu wyeliminowania aiego sanu rzeczy, obliczenia zosały opare na formule logarymicznej sopy zwrou. Rysune 9 poazuje ja duże różnice można zaobserwować w poziomach sóp zwrou oparych na arymeycznej i logarymicznej formule sopy zwrou. Różnica przyjęła najwięszy poziom w lisopadzie rou i wynosiła 1472,08 pp. Jedynie ro oraz pierwsza połowa rou charaeryzują się dużymi różnicami pomiędzy obiema formułami sopy zwrou. Laa późniejsze, a ja ro, przyniosły zbliżone poziomy sóp zwrou według obu formuł. W celu lepszego wyesponowania omponenu cylicznego przy analizie wsaźnia WIG, dalsze obliczenia zosały opare na formule logarymicznej sopy zwrou. Tai uład daje o wiele bardziej zadowalające wynii ońcowe. O ile w przypadu FT-SE 100 i era DA zasosowanie logarymicznej sopy zwrou nie zmieniałoby w widocznym sopniu uzysanych wyniów, o yle w przypadu WIG-u, ma ono zasadnicze znaczenie. Rysune 10 (s. 12) prezenuje sopę zwrou indesu WIG mierzoną ro do rou, w laach, bazując na danych miesięcznych. Z uwagi na małą liczbę danych hisorycznych, usawienia filra BK są w ym przypadu odmienne od sugerowanych usawień dla danych miesięcznych i odpowiadają paramerom przyjęym przez auorów filra dla danych waralnych 17. Oczywiście w ej syuacji zasosowanie λ na poziomie 129600, powoduje, iż uzysany omponen cyliczny odbiega w dość znacznym sopniu od omponenu wyniającego z zasosowania filra BK. Jes o szczególnie widoczne w rou i, a więc w laach, iedy wysępowała wysoa zmienność indesu WIG. Również w rou mamy do czynienia z podobną syuacją. Jeżeli chodzi o alernaywne usawienia filra HP, o dobrym rozwiązaniem jes nauralnie przyjęcie λ na poziomie 1600, ponieważ jes o poziom odpowiadający danym waralnym, a więc usawienia obydwu filrów byłyby wówczas podobne. Możliwe jes również zasosowanie parameru wygładzającego o nieco niższej warości, ja na przyład λ = 1000. W związu z przyjęciem aiego parameru wygładzającego, pozbywamy się wysoich wybić omponenu cylicznego poza linię łumienia, co ma zasadnicze znaczenie dla rozparywanej eorii impulsu. W przypadu obliczeń dla parameru λ na poziomie 129600, współczynni orelacji omponenów cylicznych filra HP i filra BK, w dosępnym onie czasowym od wienia rou do grudnia rou, wynosi 93,3. Dla parameru wygładzającego o warości 1000, współczynni orelacji uszałował się na poziomie 95,58%. 17 W przypadu zasosowania filra BK z usawieniami odpowiadającymi specyfice danych miesięcznych, uzysany szereg czasowy dla sopy zwrou ro do rou indesu WIG w laach, sładałby się jedynie z 57 obserwacji.
12 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi Rysune 10. Sopa zwrou indesu giełdowego WIG mierzona ro do rou w laach (dane miesięczne) 35 30 25 20 15 10 5-5 -10-15 sopa zwrou ro do rou rend (filr HP, 129600) rend (filr HP, 1000) 25 20 15 10 5-5 -10-15 -20 sładni cyliczny (filr HP, 1000) sładni cyliczny (filr HP, 129600) sładni cyliczny (filr BK) Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). Podobnie ja w przypadu wcześniej analizowanych indesów, należy poddać rozważaniom możliwość isnienia błędu w wyciągnięych wniosach, związaną z niedosaeczną liczbą danych hisorycznych. Problem en wydaje się być szczególnie isony w przypadu Giełdy Papierów Warościowych S.A. w Warszawie, óra isnieje dopiero od rou. Ponado szybie empo zmian WIG-u na począu isnienia GPW sało się głównym deerminanem wysoich warości omponenu cylicznego w pierwszej połowie la 90. Od rou można zaobserwować znacznie łagodniejszy przebieg cylu indesu WIG. 5. Podsumowanie Rysune 11 (s. 13) prezenuje zesawienie cyli uzysanych dla sopy zwrou ro do rou indesów FT- SE 100 i era DA według filra BK w dosępnym onie czasowym, zn. od wienia rou do grudnia rou. Cyl sopy zwrou ro do rou indesu WIG według filra BK nie zosał zamieszczony na rysunu 11, ponieważ nie jes on porównywalny z pozosałymi przypadami, w związu z przyjęciem odmiennych usawień filra BK przy analizie ego wsaźnia giełdowego.
Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji... / 13 Rysune 11. Cyle indesów FT-SE 100 i era DA według meodologii filra Baxera- Kinga (dane miesięczne) 4 3 2 1-1 -2-3 -4 DA_BK FTSE_BK Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). Rysune 12. Cyle indesów FT-SE 100, era DA i WIG 18 według meodologii filra Hodrica-Prescoa (dane miesięczne) 6 4 2-2 -4-6 DA_HP FTSE_HP WIG_HP Źródło: opracowanie własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). Porównując cyle rozparywanych indesów według filra BK, można dojść do wniosu, iż indes era DA odznacza się wyższą zmiennością niż indes FT-SE 100, órego przebieg na podsawie dosępnych danych hisorycznych, jes najbardziej zbliżony do zależności wyniających z eorii impulsu. Podobne wniosi można wyciągnąć na podsawie przebiegu omponenów cylicznych uzysanych dzięi meodologii filra HP ( II ), óre obrazuje rysune 12. Isone znaczenie przy porównaniu sóp zwrou ro do rou analizowanych indesów, zgodnie z meodologią filra HP, ma przebieg omponenu rendu w przypadu wsaźnia FT-SE 100 i era DA. Oazuje się, że warość współczynnia orelacji dla rendu FT-SE 100 i era DA w dosępnym onie czasowym, zn. od wienia rou do grudnia rou, wynosi 91,13%. 18 Widoczny na rysunu omponen cyliczny indesu WIG obejmuje ores od do II i odpowiada warości parameru λ na poziomie 129600. Cyl WIG-u uzysany dla λ = 1000 nie jes porównywalny z cylami FTSE i DA, óre obliczono dla λ = 129600.
14 / Paweł Srzypczyńsi, Krzyszof Borowsi Wysoa warość współczynnia orelacji dla omponenów rendu, świadczy o ym, że londyńsi indes FT-SE 100 i franfurci era DA zachowywały się w rozparywanym oresie czasowym w bardzo zbliżony sposób, jeżeli chodzi o długoerminowy ierune zachodzących zmian. Równocześnie dużo niższe warości współczynniów orelacji w przypadu omponenów cylicznych obydwu indesów, 48,32% w przypadu filra HP oraz 66,09% w przypadu filra BK, powierdzają fa, iż era DA odznacza się cylem o odmiennej charaerysyce niż FT-SE 100. Taie zachowanie cylu ma luczowe znaczenie dla rozparywanej eorii impulsu. Malejące w czasie wahania cyliczne, o órych mówi eoria impulsu, w przypadu niemieciego rynu apiałowego i zasosowanych do jego analizy narzędzi, nie są a wyraźnie widoczne ja ma o miejsce przy analizie indesu FT-SE 100. W związu z powyższym, należy dopuścić możliwość, iż cyl era DA nie charaeryzuje się przebiegiem sugerowanym przez eorię. Isnieje jedna prawdopodobieńswo, że w przyszłości na franfurcim rynu apiałowym, będzie możliwe zaobserwowanie zależności bardziej zgodnych z eorią impulsu. Jeżeli chodzi o indes WIG o wydaje się, że ma on przebieg zbliżony w więszym sopniu do rajeorii sugerowanej przez eorię impulsu niż era DA. Jednaże wyesponowanie omponenu cylicznego, óry charaeryzuje się malejącą ampliudą wahań w czasie, wymagało w przypadu ego indesu zasosowania logarymicznej sopy zwrou oraz niesandardowych usawień użyych narzędzi. Wysoa zmienność WIG-u w laach, była główną przyczyną przemawiającą za zasosowaniem do obliczeń logarymicznej formuły sopy zwrou. Należy pamięać, że w związu z małą liczbą danych hisorycznych indesu WIG, mamy do czynienia z więszym prawdopodobieńswem błędnej idenyfiacji cylu ego indesu pod ąem eorii impulsu, niż ma o miejsce w przypadu FT-SE 100, czy era DA. Oprócz zasosowanych w analizie filrów Hodrica-Prescoa i Baxera-Kinga, należy również rozważyć możliwość przebadania eorii impulsu na podsawie innych meod filracji. Przyładem alernaywnej meody może być, opisany w przypisie 10 (s. 3), random wal filer. Tabela 1. Współczynnii orelacji sładniów cylicznych 19 DA_HP FTSE_HP WIG_HP DA_BK FTSE_BK DA_HP... FTSE_HP 0,4832... WIG_HP 0,5028 0,4345... DA_BK 0,8931 0,5927 0,6172... FTSE_BK 0,5744 0,8548 0,5226 0,6609... Źródło: obliczenia własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). Tabela 2. Współczynnii orelacji sładniów rendu 20 DA_HP FTSE_HP WIG_HP DA_HP... FTSE_HP 0,9113... WIG_HP 0,3089 0,5497... Źródło: obliczenia własne na podsawie danych gazey giełdowej Parie (www.parie.com). 19 obliczone na podsawie danych miesięcznych; pomiędzy FTSE i DA według filra HP od do II ; pomiędzy FTSE i DA według filra BK od do II ; pomiędzy FTSE i WIG oraz DA i WIG według filra HP od do II ; w ażdym przypadu dla filra HP λ = 129600, naomias dla filra BK K 36, ω1 2π 96 i ω2 2π 18 ; współczynnii orelacji ze sładniiem cylicznym indesu WIG według filra BK nie zosały uwzględnione z uwagi na odmienne usawienia filra niż w przypadu danych miesięcznych (bra porównywalności). 20 obliczone na podsawie danych miesięcznych; pomiędzy FTSE i DA od do II ; pomiędzy FTSE i WIG oraz DA i WIG od do II ; w ażdym przypadu dla filra HP λ = 129600.